Ecuaciones de valor
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  • 1. Ecuaciones de valorEs muy frecuente el hecho de cambiar una o varias obligaciones por otra uotras nuevas obligaciones. La solución de este tipo de problemas se planteaen términos de una ecuación de valor que es una igualdad de valores ubicadosen una sola fecha denominada fecha focal. Su cálculo se hace exactamenteigual a lo que acabamos de plantear en el ejercicio anterior. En la fecha focaldebe plantearse entonces la igualdad entre las diferentes alternativas para quela suma algebraica sea cero como se establece en el principio de equivalenciafinanciera.Ejemplo 1: Una persona se comprometió a pagar $1.000.000 dentro de seismeses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ochomeses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicita elsiguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses yel resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20? Supongaque la tasa mensual es 1,5%. 2.000.00 1.500.000 0 1.000.000 0 10 20 6 12 18 0 1.200.00 1.200.000 X 0Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo( fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de lascuotas positivas sea igual a la suma de las cuotas negativas. Planteemos comofecha focal el instante cero: 1.000.000/1,0156 + 1.500.000/1,01512 + 2.000,000/1,01518 = 1.200.000 + 1.200.000/1,01510+ X/1,01520 3.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520
  • 2. X= 1.973.069,61Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultadoes el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuación devalor es la siguiente: 1.000.000*1,0156 + 1.500.000 + 2.000.000/1,0156 = 1.200.000 x 1,01512 + 1.200.000*1,0152 + X/1,0158 4.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158 X= 1.973.069,61Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar dehaber cambiado la fecha focal para plantear la ecuación de valor.Ejemplo 2: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses,$1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La personadesea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tresobligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidadamensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.La tasa de periódica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5%Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso: 2.000.000 1.000.000 1.500.000 n 0 3 10 12 4.500.000Tomemos como fecha focal el instante cero:
  • 3. 1.000.000/1,0153+1.500.000/1,01510+2 000.000/1,01512 = 4500,000 / 1,015n 3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n 1,015n = 4.500.000 / 3.921.592,69 1,015n = 1,14749296 log(1,015)n = 1,14749296 n x log 1,015 = log(1,14749296) n = 9,240587619Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Sireducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro denueve meses y siete días.Ejemplo 3: Planteemos por último una ecuación de naturaleza muy diferente.Una persona debe pagar $1.500.000 dentro de 4 meses, $1.500.000 dentro de6 meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona le plantea al acreeedor laposibilidad de efectuar un solo pago de $4.800.000 en el mes cinco. Si seaceptan estas condiciones, que tasa de interés rendiría la deuda? 2.000.000 1.500.00 1.500.00 0 5 0 4 6 12 4.800.000La ecuación de valor que se plantea con el instante cero como fecha focal esla siguiente: 1.500.000/( 1 + i )4 + 1.500.000/( 1 + i )6 + 2.000.000/( 1+i )12 = 4.800.000/( 1 +i )5
  • 4. Si igualamos a cero y ordenamos los exponentes, la ecuación queda : 2.000.000/( 1+i )12 + 1.500.000/( 1 + i )6 – 4.800.000/( 1 + i )5 + 1.500.000/( 1 +i )4 = 0Para resolver esta ecuación polinómica de octavo grado, debemos utilizar unmétodo iterativo de prueba y error. Para cada valor supuesto de la tasaperiódica i calculamos el valor del polinomio. Vale la pena anotar que losvalores supuestos para i están dentro de un rango acorde a los valoresutilizados en el sistema financiero. Si los valores iniciales de i son muydistantes de los buscados, el número iteraciones necesario puede ser muy alto.Ya que buscamos que el valor del polinomio sea cero, debemos encontrarinicialmente dos valores de i que hagan que el polinomio tenga signoscontrarios. i P( i ) 0,00% 200.000 0,50% 128.180 1,00% 62.402 1,50% 2.215 2,00% -52.796 2,50% -103.018 3,00% -148.805 3,50% -190.490 4,00% -228.378 4,50% -262.752 5,00% -293.874Vamos inicialmente a elaborar un gráfico del polinomio con el fin de establecerlos valores iniciales de i para el método de prueba y error. Para el gráfico,partimos de valores de i entre 0 y 0,05 con incrementos de 0,005.
  • 5. GRÁFICO DEL POLINOMIO DE LA ECUACIÓN DE VALOR 300.000 200.000 100.000 0 P(i) 0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% -100.000 -200.000 -300.000 -400.000 iObserve los signos diferentes del polinomio entre los valores 0,01 y 0,02. Yaque buscamos que el valor del polinomio sea cero, el valor buscado de i estáentre estos dos valores.La siguiente tabla nos muestra el procedimiento de prueba y error que yamencionamos. El tercer valor que le damos a i es 0,015. El valor obtenidopara P( i ) es positivo, lo que indica que el valor buscado está entre 0,015 y0,02. Con este criterio vamos cerrando el intervalo en el cual buscamos lasolución hasta llegar al nivel de aproximación que se quiera. i P(i) 0,0200000 -52.796,3237 0,0100000 62.401,5196 0,0150000 2.214,9161 0,0160000 -9.188,5988 0,0152000 -82,2378 0,0151900 32,4238 0,0151930 -1,9769 0,0151928 0,3165Podemos aceptar como una aproximación muy razonable una tasa de0,0151928 = 1,51928% mensual ya que el valor del polinomio essupremamente pequeño. Sin embargo, si desea mejorar el nivel de exactitudpodría continuarse con el procedimiento.