Your SlideShare is downloading. ×
2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang  y  sebagai fungsi dari  x  jika terdapat aturan dimana nilai  y  (tunggal) mengk...
x y y  =  f ( x ) D f   W f   x y Soal:  Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian  tentukan daerah asal dan dan daer...
Contoh: 1. Secara verbal   Biaya pengiriman surat tercatat seberat  w  ons adalah  B ( w ).  Aturan yang digunakan Kantor ...
4. Secara aljabar   Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi    berikut. 2.2  Jenis-jenis Fungsi 1.  Fungsi ...
  Grafik:    Polinom derajat 2:  y  =  P ( x ) =  ax 2  +  bx  +  c ,   D = b 2   -  4 ac x y c a  < 0,  D  > 0  a  < 0,  ...
4.  Fungsi akar   Bentuk Umum: Daerah asal dan daerah hasil:   D f  = [0, ∞ ),  W f  = [0,  ∞ ),  jika  n  genap    D f  =...
6.  Fungsi rasional   Bentuk umum:  dimana:  P ,  Q  adalah polinom Daerah asal:  D f  =     -  {  x  |  Q ( x ) = 0} Con...
8.  Fungsi trigonometri 8.1  Fungsi sinus   Bentuk umum:  y  =  f ( x ) = sin  x,  x  dalam radian    Daerah asal dan daer...
  Grafik: 0 - -1 1 x y y  = tan  x 8.4  Fungsi trigonometri lainnya   Bentuk umum:  8.5  Beberapa sifat fungsi trigonometr...
x y 0 1 1 y  =  a x  ,  a  > 1 x y 0 1 1 y  =  a x  , 0 <  a  < 1  10.  Fungsi logaritma   Bentuk umum :  y  =  f ( x ) = ...
  Contoh:    Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. <ul><li>11.  Fungsi transenden </li></ul><ul><li>  Defi...
y 0 1 y  =  f ( x )   x 2 3.   Definisikan   x   = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil    atau sama dengan  x. f ( ...
  Definisi:  [Fungsi ganjil]    Jika fungsi  f  memenuhi  f ( -x ) =  -f ( x ) untuk setiap  x  di dalam    daerah asalnya...
Soal:  Periksa apakah fungsi  f  berikut adalah fungsi naik atau fungsi  turun pada selang  I.   a.  f ( x ) =  x 2  I  = ...
b.  Peregangan (dilatasi)   Misalkan  c  > 1. Untuk memperoleh grafik:   1.  y  =  cf ( x ), regangkan grafik  y  =  f ( x...
c.  Pencerminan   Untuk memperoleh grafik:   1.  y  =  -f ( x ), cerminkan grafik  y  =  f ( x ) terhadap sumbu- x   2.  y...
<ul><li>OPERASI FUNGSI ALJABAR </li></ul><ul><li>  Definisi:  [Aljabar fungsi] </li></ul><ul><li>  Misalkan  f  dan  g  ad...
  Soal :  Tentukan  f o g ,  g o f  dan   f o f  beserta daerah asalnya, jika D f g f W f W g D g x g ( a ) f ( g ( x ))  ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Fungsi

22,348

Published on

Published in: Business
3 Comments
5 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
22,348
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
540
Comments
3
Likes
5
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Fungsi"

  1. 1. 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x. Contoh: 1. a. b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f ( x ) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA Daerah hasil Daerah asal y = f ( x ) x Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut ( x , y ) sehingga x dan y memenuhi: Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. f A B Notasi: f : A -> B x 0 1 -1 2 -2 … 10 y 5 7 7 13 13 205
  2. 2. x y y = f ( x ) D f W f x y Soal: Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2 x + 1 b. y = x 2 - 1 <ul><li>Catatan: </li></ul><ul><li>1. Himpunan A , B є  </li></ul><ul><li>2. Fungsi: y = f ( x ) , </li></ul><ul><li>x peubah bebas </li></ul><ul><li>y peubah tak bebas, bergantung pada x </li></ul><ul><li>3. Daerah asal fungsi: D f = A = { x | fungsi f terdefinisi} </li></ul><ul><li> 4 . Daerah hasil fungsi: W f = { y є B | y = f ( x ), x є D f } </li></ul><ul><li> 5. Grafik fungsi: {( x , y ) | x є D f , y = f ( x )) } </li></ul><ul><li>Ada beberapa penyajian fungsi yaitu </li></ul><ul><ul><li>a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. </li></ul></ul><ul><ul><li>b. Secara numerik : dengan tabel </li></ul></ul><ul><ul><li>c. Secara visual : dengan grafik </li></ul></ul><ul><ul><li>d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit </li></ul></ul>
  3. 3. Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B ( w ). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. 0 1 2 3 4 5 1.000 1.500 2.000 w B Ons Rupiah Berat w (ons) Biaya B ( w ) (rupiah) 0 < w ≤ 1 1.000 1 < w ≤ 2 1.250 2 < w ≤ 3 1.500 3 < w ≤ 4 1.750 4 < w ≤ 5 2.000
  4. 4. 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f ( x ) = ax + b , a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu- y Daerah asal dan daerah hasil: D f =  , W f =  Grafik: y x b y = ax + b 2. Polinomial Bentuk umum: y = P ( x ) = a n x n + a n- 1 x n- 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dimana: a n , a n- 1 , … , a 1 , a 0 = konstanta, n = derajat polinom ( a n 0) Daerah asal: D f = 
  5. 5. Grafik: Polinom derajat 2: y = P ( x ) = ax 2 + bx + c , D = b 2 - 4 ac x y c a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 y = P ( x ) y c y = P ( x ) y c y = P ( x ) x x x y c a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 y = P ( x ) y c y = P ( x ) y c y = P ( x ) x x Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x 2 + 2 x - 1 b. y = - 2 x 2 + 2 x - 4 3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f ( x ) = x n , n є  Daerah asal: D f =  Grafik: y y = x y y = x 2 0 0 x x y y = x 3 0 x
  6. 6. 4. Fungsi akar Bentuk Umum: Daerah asal dan daerah hasil: D f = [0, ∞ ), W f = [0, ∞ ), jika n genap D f =  , W f =  , jika n ganjil Grafik: y 0 x y 0 x Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. y 0 x 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum: Daerah asal dan daerah hasil: D f =  - { 0}, W f =  - {0} Grafik :
  7. 7. 6. Fungsi rasional Bentuk umum: dimana: P , Q adalah polinom Daerah asal: D f =  - { x | Q ( x ) = 0} Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b. 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. b. Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar .
  8. 8. 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f ( x ) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D f =  , W f = [ - 1,1] Grafik: 0 - π -1 1 x y y = sin x 8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f ( x ) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D f =  , W f = [ - 1,1] Grafik: 0 -1 1 y y = cos x x -2 π 2 π π -2 π - π π 2 π 8.3 Fungsi tangen Bentuk umum: Daerah asal : D f =  - { π /2 + n π | n є  } Daerah hasil: W f = 
  9. 9. Grafik: 0 - -1 1 x y y = tan x 8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. - 1≤ sin x ≤ 1 b. - 1 ≤ cos x ≤ 1 c. sin x = sin ( x + 2 π ) d. cos x = cos ( x + 2 π ) e. tan x = tan ( x + π ) - π π 2 π -2 π
  10. 10. x y 0 1 1 y = a x , a > 1 x y 0 1 1 y = a x , 0 < a < 1 10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f ( x ) = log a x , a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: D f = (0, ) , W f =  Grafik: y 0 1 1 y = log a x x 9 . Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f ( x ) = a x , a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: D f =  , W f = (0, ) Grafik:
  11. 11. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. <ul><li>11. Fungsi transenden </li></ul><ul><li> Definisi: </li></ul><ul><ul><li>Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. </li></ul></ul><ul><ul><li>Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri </li></ul></ul><ul><ul><li>invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. </li></ul></ul>12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong ( piecewise function ) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh: y 0 1 1 y = | x| x -1
  12. 12. y 0 1 y = f ( x ) x 2 3. Definisikan  x  = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. f ( x ) =  x  = 0 1 2 3 1 2 3 x y 4 y = f ( x ) Catatan: 1. f ( x ) = | x | , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f ( x ) =  x  , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f ( -x ) = f ( x ) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. x y f ( x ) -x x y = f ( x ) Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu- y.
  13. 13. Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f ( -x ) = -f ( x ) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal . x y f ( x ) -x x y = f ( x ) -f ( x ) Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f ( x ) = 1 - x 4 b. f ( x ) = x + sin x c. f ( x ) = x 2 + cos x d. f ( x ) = 2 x - x 2 14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f ( x 1 ) < f ( x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I . 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f ( x 1 ) > f ( x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I . x 1 y f ( x 1 ) x y = f ( x ) x 2 f ( x 2 ) Fungsi f naik x 1 y f ( x 2 ) x y = f ( x ) x 2 f ( x 1 ) Fungsi f turun
  14. 14. Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f ( x ) = x 2 I = [0, ) b. f ( x ) = sin x I = [ , 2] <ul><li>15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama </li></ul><ul><li>Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: </li></ul><ul><li> 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan </li></ul><ul><li> 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian </li></ul><ul><li>dan pembagian </li></ul><ul><li> 3. Komposisi fungsi </li></ul><ul><li>Transformasi fungsi </li></ul><ul><li>a. Pergeseran (translasi) </li></ul><ul><li> Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: </li></ul><ul><li> 1. y = f ( x ) + c , geser y = f ( x ) sejauh c satuan ke atas </li></ul>y = f ( x ) c y x c c c y = f ( x-c ) y = f ( x+c ) y = f ( x ) - c y = f ( x ) + c
  15. 15. b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf ( x ), regangkan grafik y = f ( x ) secara tegak dengan faktor c . 2. y = (1/ c)f ( x ), mampatkan grafik y = f ( x ) secara tegak dengan faktor c . 3. y = f ( cx ), mampatkan grafik y = f ( x ) secara mendatar dengan faktor c . 4. y = f ( x/c ), regangkan grafik y = f ( x ) secara medatar dengan faktor c . 2. y = f ( x ) - c , geser grafik y = f ( x ) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f ( x - c ) , geser y = f ( x ) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f ( x + c ) , geser y = f ( x ) sejauh c satuan ke kiri 0 π 2 π -1 1 y y = cos x 2 -2 y = 2 cos x y = ½ cos x x 0 π 2 π -1 1 y y = cos x 2 -2 x y = cos ½ x y = cos 2 x
  16. 16. c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f ( x ), cerminkan grafik y = f ( x ) terhadap sumbu- x 2. y = f ( -x ), cerminkan grafik y = f ( x ) terhadap sumbu- y y x y = f ( x ) y = -f ( x ) x y = f ( x ) y = f (- x ) y x -x x f ( x ) f ( x ) -f ( x ) Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f ( x )= | x- 1| 2. f(x ) = x 2 +2 x +1 3. f ( x )= sin 2 x 4. f(x ) = 1 - cos x
  17. 17. <ul><li>OPERASI FUNGSI ALJABAR </li></ul><ul><li> Definisi: [Aljabar fungsi] </li></ul><ul><li> Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan </li></ul><ul><li> D g . Fungsi f+g , f-g , fg dan f / g didefinisikan sebagai berikut </li></ul><ul><li>1. ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) D f+g = D f  D g . </li></ul><ul><li> 2. ( f - g )( x ) = f ( x ) - g ( x ) D f-g = D f  D g . </li></ul><ul><li> 3. ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) D fg = D f  D g . </li></ul><ul><li> 4. ( f / g )( x ) = f ( x )/ g ( x ) D f / g = { D f  D g .} – { x | g(x)= 0} </li></ul><ul><li> Contoh: </li></ul><ul><li>Tentukan f+g , f-g , fg dan f / g beserta daerah asalnya, jika </li></ul><ul><li>Komposisi fungsi </li></ul><ul><li> Definisi: [Komposisi fungsi] </li></ul><ul><li> Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D f dan </li></ul><ul><li> D g . Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: </li></ul><ul><li> ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) </li></ul><ul><li> di mana D f o g = { x є D g | g(x) є D f } </li></ul>
  18. 18. Soal : Tentukan f o g , g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika D f g f W f W g D g x g ( a ) f ( g ( x )) a g ( x ) f ° g

×