Your SlideShare is downloading. ×
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Keterbagian
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Keterbagian

3,686

Published on

0 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
3,686
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
6
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. 1BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar BelakangDalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk diketahuitentang teori yang berlaku dalam penyelesaian sebuah soal. Hal ini pentingdilakukan supaya dalam penyelesaiannya memperhatikan prosedurpenyelesaian soal . seperti dalam penyelesaian soal keterbagian.Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalamteori bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagianbilangan merupakan bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan, olehkarenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi pendidikan matematikaharus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi haltersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya dalambentuk catatan yang akan menambah pengetahuan kita semua sebagaimahasiswa pendidikan matematika.1.2 Rumusan masalaha) Apa yang dimaksud dengan keterbagian ?b) Apa sajakan sifat yang berlaku dalam keterbagain ?c) Bagaimana ciri suatu bilangan yang habis dibagi ?d) Bagaimana teorema menghitung pembagi persekutuan ?1.3 Tujuan penulisana) Pembaca mengetahui tentang keterbagianb) Pembaca juga mengetahu sifat yang berlaku dalam keterbagian untukdapat diaplikasikan
  • 2. 2c) Pembaca mengetahui ciri suatu bilangan yang habis dibagi dan dapatmenerapkannya dalam soal keterbagian.
  • 3. 3BAB IIPEMBAHASAN2.1 Definisi KeterbagianKeterbagian merupakan bilangan bulat b dibagi oleh a jika terdapatbilangan bulat x, sehingga b = ax dan dinotasikan a│b. dibaca “a membagib”, atau “ b terbagi habis oleh a” atau “b kelipatan dari a”. sifat pembagian ini: jika a≠ 0 dan terdapat x € z sedemikian sehingga b = ax, maka x tunggal.Sebagai bukti : misalkan b = ax1 dan b = ax2 sehingga ax1 = ax2 ,ax1 - ax2 = 0 ↔ a(x1 – x2 ) = 0↔ karena a ≠ 0, maka x1 – x2 = 0……….. Sehingga x1 = x2Jika a=0, maka x tak ada kecuali b = 0, dalam kasus ini x tidaktunggal, untuk b =ax, maka a disebut factor dari b dan b disebut kelipatan daria. untuk a≠ 0, x disebut hasil bagi b oleh a. bilangan bulat x dalam b = axsering disebut juga factor komplemen b oleh a.2.2 Sifat-sifat keterbagianJika a,b,c bilangan bulat maka berlaku:a) a│ b → a │bc, untuk setiap c bilangan bulat.Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Denganmengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n)= dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, danketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadid│na.b) (a │ b, b │c) → a │ c.Bukti a│b dan b│k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan gsedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnyamenurut definisi, a│k.c) (a │ b, b │a) → a = ± b.
  • 4. 4d) (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│bmengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)dKarena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b).Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b).e) (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat.Bukti j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikiansehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya,j│(ka+lb).Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan cf) a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.g) a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0h) ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.2.3 Ciri suatu bilangan habis dibagiAda beberapa teorema yang berkaitan dengan ciri suatu bilanganyang habis dibagi, yaitua. Teorema 7-10 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka(a + b + c ) juga habis dibagi xb. Teorema 7-11 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka (a-b-c) juga habis dibagi xc. Teorema 7-12 : untuk a,b,c € Z, jika a│c, maka c│ab2.3.1 Suatu bilangan ahabis dibagi 2 juka bilangan yang diwakili oleh angkaterakhirnya genap.Bukti : misalkan bilangan tersebut adalah ab = a.10 + b. a.10 habisdibagi 2, supaya ab habis dibagi 2, maka haruslah b dibagi 2Contoh : 24 = 2.10 + 42.10 habis dibagi 2 dan 4 juga habis dibagi 2, maka tentulah24 habis dibagi 2
  • 5. 52.3.2 Bilangan yang habis dibagi oleh 2nUntuk n=1 maka suatu bilangan yang habis dibagi 2 jika satubilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.Untuk n=2 maka suatu bilangan yang habis dibagi 4 jika duabilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4. Apakah11348 habis dibagi 4? Kita ambil dua digit terakhir 48 ternyata habisdibagi 4, jadi 11348 habis dibagi 4.Utuk n=3 maka suatu bilangan yang habis dibagi 8 jika tiga angkaterakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.Contoh : Apakah 532096 habis dibagi 8? Kita ambil tiga digitterakhir yaitu bilangan 096 ternyata habis dibagi 8, jadi 532096 habisdibagi 8.2.3.3 Suatu bilangan habis dubagi 4, jika dua angka terakhir bilangan tersebuthabis dibagi 4.Bukti : misalkan bilangan tersebut abcabc = a.100 + b.10 + ca.100 habis dibagi 4 sebab a.100 = 4(25a)jadi agar abc habis dibagi 4, maka kharuslah (b.10 + c) habisdibagi 4Contoh : 732 = 7.100 + 3.10 + 27.100 habis dibagi 4, sebab 700 = 4(175), 32 habis dibagi 4,sehingga 732 habis dibagi 4.2.3.4 Suatu bilangan habis dibagi 8, jika 3 angka terakhir bilangan tersebuthabis dibagi 8Bukti : misalkan bilangan tersebut abcdabcd = a.1000 + b.100 + c.10 + da.1000 habis dibagi 8 sebab a.1000 = 8 (125a).jadi supaya abcd habis dibagi 8, maka haruslah (b.100 + c.10 +d) habis dibagi 8
  • 6. 6Contoh : 2832 = 2.1000 + 8.100 + 3.10 + 22.1000 habis dibagi 8, sebab 2000 = 8 (250), 832 habis dibagi8, oleh karena itu 2832 habis dibagi 8.2.3.5 Suatu bilangan habis dibagi lima, jika angka paling kanan dari bilangantersebut adalah 5 atau 0.Bukti : i) misalkan bilangan tersebut ab, yang berarti ab = a.10 + b,dengan b=5, karena ada a.10 merupakan kelipatan 5, berartia.10 habis dibagi 5, sedangkan b=5 juga habis dibagi 5,sehingga secara keseluruhan ab habis dibagi 5.ii) 10 habis dibagi 5, setiap bilangan yang angka terakhirnya nolberarti puluhan atau kelipatan sepuluh, maka jelas bilangantersebut habis dibagi 5.Contoh : 235 = 2.100 + 3.10 + 52.100 habis dibagi 5, 3.10 habis dibagi 5 dan 5 juga habisdibagi 5. Oleh sebab itu, 235 habis dibagi 52.3.6 Suatu bilangan habis dibagi 9, jika jumlah bilangan yang diwakili olehangka-angkanya habis dibagi 9.Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, makaBilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.Misalkan bilangan yang akan diperiksa adalah abcdabcd = a.1000 + b.100 + c.10 + d= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d= (999.a + 99.b + 99.c) + (a+ b+c+ d)Karena (999.a + 99.b + 99.c) kelipatan 9, agar abcd habis dibagi 9,maka haruslah (a+ b+c+ d) habis dibagi 9.
  • 7. 7Contoh : 6804 = 6(999+1) + 8(99+1) + 0(9+1) + 4= 6.999 + 8.99 + 0.9 + (6+8+0+4)Karena 6.999 + 8.99 + 0.9 habis dibagi 9 dan (6+8+0+4) = 18habis dibagi 9, maka 6804 habis dibagi 92.3.7 Suatu bilangan habis dibagi 3, jika jumlah bilangan yang diwakili olehangka-angkanya habis dibagi 3.Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, makaBilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.Contoh : 123 = 1(99+1) + 2(9+1) + 3= (1.99 + 2.9) + (1+2+3)1.99 2.9 habis dibagi 3, maka 123 habis dibagi 3.2.3.8 Suatu bilangan habis dibagi 6, jika bilangan tersebut habis dibagi 2 danhabis dibagi 3.Bukti : misalkan a € Z dengan 1≤ a ≥ 9, makaBilangan puluhan bisa ditulis a(9 + 1)Bilangan ratusan dapat ditulis a(99 + 1)Bilangan ribuan dapat ditulis a(999 + 1)Bilangan puluhan ribu dapat ditulis a(9999 + 1) dan seterusnya.Contoh : 972 habis dibagi 2, juga habis dibagi 3 sebab 9+7+2 = 28habis dibagi 3, oleh karena itu 972 habis dibagi 6.2.3.9 Suatu bilangan habis dibagi 7 jika selisih antara bilangan yang diwakilioleh bilangan semula kecuali angka yang terakhir dengan dua kaliangka yang terakhir habis dibagi 7.
  • 8. 8Contoh : 7│ 84 sebab 8 – 2 (4) = 0 + 0.70 habis dibagi 77 │ 483 sebab 48 – 2(3) = 42Jelas 42 kelipatan dari 7, jadi 7 │ 4832.3.10 Suatu bilangan habis dibagi 10 jika angka terakhir dari bilangantersebut adalah nol.Contoh : 40 habis dibagi 10, karena angka terakhir dari bilangantersebut adalah 0.2.3.11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlahbilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung darikanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap habis dibagi 11.Bukti : bilangan berpangkat 10 dapat ditulis dalam kelipatan 1,sebagai berikut :100= 0.11 + 1101= 1.11 – 1102= 9.11 + 1103= 91.11 – 1104= 909.11 + 1105= 9091.11 - 1…………………102k= m.11 + 1, untuk suatu k, m bilangan cacah102k+1= n.11 – 1, untuk suatu k, n bilangan cacah.Misalkan bilangan yang akan kita tunjukkan adalah abcd.abcd artinya :e.100= e(k1.11 + 1) = e.k1.11 + ed.101= d(k2.11 – 1) = d.k2.11 – d
  • 9. 9c.102= c(k3.11 + 1) = c.k3.11 + cb.103= d(k4.11 – 1) = b.k4.11 – ba.104= a(k5.11 – 1) = a.k5.11 + aJadi abcd = (ek1 + dk2 + ck3 + bk4 + ak5). 11 + (a+c+e) – (d+b) agarabcd habis dibagi 11, maka haruslah {(a+c+e) – (d+b)} habis dibagi11.Contoh :1) 76978 habis dibagi 11 sebab (7+9+8) - (6+7) = k.11 dengank=1, maka 76978 habis dibagi 112) 765842902 habis dibagi 11 sebab (7+5+4+9+2) – (6+8+2+0) =27 – 16 = 11 merupakan kelipatan dari 11.Untuk ciri-ciri suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan yanglebih besar dari pembagi yang telah dibahas diatas, jika bilangan itukomposit pada dasarnya sama, kecuali untuk pembagi-pembagi primayang lebih besar dari 13.2.4 Pembagi PersekutuanPembagi persekutuan merupakan suatu bilangan bulat a disebutpembagi (=factor persekutuan dari b dan c, jika a│ b dan a│c.Setiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki berhingga banyak factorsaja, oleh sebab itu factor persekutuan dari b dan c hanya ada sejumlahterbatas saja, kecuali dalam kasus b = c = 0. Bilangan 1 membagi setiapbilangan bulat, oleh karena itu 1 merupakan pembagi persekutuan duabilangan sebarang a dan b. Jadi setiap pasang bilangan memiliki pembagipersekutuan.Paling sedikit ada satu diantara b danc adalah tak nol, yang terbesardiantara pembagi-pembagi persekutuan yang positif dinamakan pembagipersekutuan terbesar (factor persekutuan terbesar „FPB‟ ) dari b dan c. notasi(b.c) menyatakan fpb dari b dan c.
  • 10. 10Pembagi persekututan terbesar Dari b dan c dapat dinyatakan sebagaikombinasi linear dari b dan c. hal tersebut dinyatakan dengan teorema sebagaiberikut :Teorema 7-13 : jika g = (b,c) maka terdapat bilangan bulat x0 dan y0sedemikian sehingga g = bx0 + cy0Bukti : Pandang kombinasi linear bentuk bx + cy dengan x dan y sebagaibilangan bulat dan K = { m│ m = bx +cy }, himpunan K ≠ Ø, sebab0 € K, yaitu untuk x = 0 dan y = 0.Pilih x0 dan y0 sedemikian sehingga h = bx0 + cy0 bilangan positifterkecil dalam K. tunjukkan bahwa h│ b dan h│ c . andaikan htidak│b, maka b = hq + r dengan 0 < r< hatau r = b – qh= b – q(bx0 + cy0 )= b(1-qx0) + c(-qy0) karena 1 – qx0 € Z dan –cy0 € Z,maka r berbentuk bx + cy untuk suatu x,y bilangan bulat. Dengankata lain r € K. hal ini bertentangan dnengan pengandaian bahwaterkecil dalam K dan 0 < r < h. maka haruslah h│ b dan b│h.Karena g = (b,c) maka terdapat bilangan bulat m,n sedemikiansehingga b = g.m dan c = g.n. dari h = bx0 + cy0 = gmx0 + gny0 =g(mx0 + ny0 ). Jadi g│h. berdasarkan teorema 7-5 jika g│h maka g ≤h.Tidak mungkin terjadi g < h, karena g pembagi persekutuan terbesardari b dan c, maka haruslah g = h = bx0 + cy0
  • 11. 11Contoh : (27,45) = 9 berarti 9 = 27xo + 45yo dan dapat diambil9 = 27(2) + 45(-1) atau9 = 27 (-3) + 45 (2) atau9 = 27 (-8) + 45 (5)Teorema 7-14 : Jika g = (b,c) maka g mempunyai ciri-ciri :(1) G bilangan bulat positif terkecil yang berbentukbx + cy untuk x dan y bilangan bulat positif(2) G pembagi persekutuan yang positif dari b dan cdan g terbagi oleh persekutuan b dan cTeorema 7-15 : Untuk sembarang bilangan bulat p > 0berlaku(pa,pb) = p(a,b)Teorema 7-16 : Jika d > 0, d│a dan d│b, maka ( , ) = ( a,b)Jika (a,b) = g , maka , ) = 1 ( bilangan bulat adan b saling prima jika (a,b) = 1Teorema 7-17 : Suatu bilangan bulat b relative prima terhadap yangtidak nol, jika sisa hasil bagi b oleh a juga relativeprima terhadap prima.Teorema 7-18 : Jika c│ab dan (b,c) = 1, maka c│a = 1Teorema 7-19 : Algoritma EuclidDiberikan bilangan bulat b dan c dengan c > 0, bilakita terapkan alogaritma pembagian berkali-kalimaka diperoleh persamaan sebagai berikut :
  • 12. 12b = cq1 + r1 0 < r1 < oc = r1 q2 + r2 0 < r2 < r1r1 = r2 q3 + r3 0 < r3 < r2r2 = r3 q4 + r4 0 < r4 < r3.......................................................rj-4 = rj-3 qj-2 + rj-2 0 < rj-2 < rj-3rj-3 = rj-2 qj-1 + rj-1 0 < rj-1 < rj-2rj-2 = rj-1 qj + rj 0 < rj < rj-1rj-1 = rj qj-1FPB dari b dan c adalah rj yang merupakan sisa taknol pada langkah ke j dalam proses pembagiandiatas.Contoh : Misalkan b = 161 dan c = 91, maka161 = 1.91 + 7091 = 1.70 + 2170 = 3.21 + 721 = 3.7Jadi FPB dari 161 dan 91 adalah 7 atau (161,91) = 7.Berdasarkan teorema 7-13, jika (161,91) = 7, maka
  • 13. 13Sehingga 7 = 161x0 + 91y07 = 70 – 3.217 = 70 – 3(91 – 1.70)= 4.70 – 3.91= 4(161 – 1.91) – 3.91= 4(161) – 7 (91)7= 161(4) + 91(-71)diperoleh xo = 4 dan yo = -7
  • 14. 14BAB IIIPENUTUP3.1 KesimpulanKeterbagian merupakan bilangan bulat b dibagi oleh a jika terdapatbilangan bulat x, sehingga b = ax dan dinotasikan a│b. dibaca “a membagib”, atau “ b terbagi habis oleh a” atau “b kelipatan dari a”. sifat pembagian ini: jika a≠ 0 dan terdapat x € z sedemikian sehingga b = ax, maka x tunggal.Jika a,b,c bilangan bulat maka berlaku sifat keterbagian:a. a│ b → a │bc, untuk setiap c bilangan bulat.b. (a │ b, b │c) → a │ c.c. (a │ b, b │a) → a = ± b.d. (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).e. (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat.f. a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.g. a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0h. ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan ciri suatu bilanganyang habis dibagi, yaitua. Teorema 7-10 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka(a + b + c ) juga habis dibagi xb. Teorema 7-11 : untuk a,b,c € Z, dan masing-masing habis dibagi x, maka( a-b-c) juga habis dibagi xc. Teorema 7-12 : untuk a,b,c € Z, jika a│c, maka c│ab
  • 15. 15DAFTAR PUSTAKAErman. 1993.Perkenalan dengan Teori Bilangan. Bandung: WijayakusumahLutfi, nurul aulia. 2012. Makalah Teori Bilangan Keterbagian. http//: Lutfi, nurulaulia.blogspot.com

×