Công th c Taylor                C c tr đ a phương               C c tr có đi u ki n  Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t     ...
Công th c Taylor                  C c tr đ a phương                 C c tr có đi u ki n    Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh ...
Công th c Taylor                                C c tr đ a phương                               C c tr có đi u ki n       ...
Đ o hàm riêng b c cao                          Công th c Taylor                                              Công th c Tay...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                     Cô...
Đ o hàm riêng b c cao                          Công th c Taylor                                                  Công th c...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                      C...
Đ o hàm riêng b c cao                             Công th c Taylor                                                 Công th...
Đ o hàm riêng b c cao                          Công th c Taylor                                              Công th c Tay...
Đ o hàm riêng b c cao                             Công th c Taylor                                                 Công th...
Đ o hàm riêng b c cao                               Công th c Taylor                                                    Cô...
Đ o hàm riêng b c cao                             Công th c Taylor                                                     Côn...
Đ o hàm riêng b c cao                                  Công th c Taylor                                                   ...
Đ o hàm riêng b c cao                             Công th c Taylor                                                      Cô...
Đ o hàm riêng b c cao                          Công th c Taylor                                              Công th c Tay...
Đ o hàm riêng b c cao                             Công th c Taylor                                                 Công th...
Đ o hàm riêng b c cao                         Công th c Taylor                                             Công th c Taylo...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                  Công ...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                  Công ...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                     Cô...
Đ o hàm riêng b c cao                               Công th c Taylor                                                      ...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                  Công ...
Đ o hàm riêng b c cao                               Công th c Taylor                                                   Côn...
Đ o hàm riêng b c cao                                  Công th c Taylor                                                   ...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                  Công ...
Đ o hàm riêng b c cao                              Công th c Taylor                                                   Công...
Đ o hàm riêng b c cao                                Công th c Taylor                                                    C...
Đ o hàm riêng b c cao                               Công th c Taylor                                                   Côn...
Công th c Taylor                                                Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                           C c ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                      Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                         ...
Công th c Taylor                                                         Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                      ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            C ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                   Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            C ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            C...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                     Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                          ...
Công th c Taylor                                                       Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                        ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                             ...
Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            C ...
Công th c Taylor                                                   Đi u ki n c n - Đi u ki n đ                            ...
Đ nh nghĩa                            Công th c Taylor                                                Đi u ki n c n (Đ nh ...
Đ nh nghĩa                              Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n (Đ...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                              Công th c Taylor                                                  Đi u ki n c n (Đ...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                                 Công th c Taylor                                                     Đi u ki n ...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                             Công th c Taylor                                                 Đi u ki n c n (Đ n...
Đ nh nghĩa                               Công th c Taylor                                                         Đi u ki ...
Đ nh nghĩa                              Công th c Taylor                                                   Đi u ki n c n (...
Đ nh nghĩa                              Công th c Taylor                                                   Đi u ki n c n (...
Công th c Taylor                            C c tr đ a phương    Thí d                           C c tr có đi u ki n   Bài...
Công th c Taylor                            C c tr đ a phương    Thí d                           C c tr có đi u ki n   Bài...
Công th c Taylor                            C c tr đ a phương    Thí d                           C c tr có đi u ki n   Bài...
Công th c Taylor                            C c tr đ a phương    Thí d                           C c tr có đi u ki n   Bài...
Công th c Taylor                            C c tr đ a phương    Thí d                           C c tr có đi u ki n   Bài...
Công th c Taylor                             C c tr đ a phương    Thí d                            C c tr có đi u ki n   B...
Công th c Taylor                              C c tr đ a phương     Thí d                             C c tr có đi u ki n ...
Công th c Taylor                             C c tr đ a phương    Thí d                            C c tr có đi u ki n   B...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Vphnb tt

4,499

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
4,499
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
40
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Vphnb tt

  1. 1. Công th c Taylor C c tr đ a phương C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Ôn thi Cao h c năm 2010 Môn Gi i Tích cơ b n PGS TS. Lê Hoàn HóaKhoa Toán - Tin H c, Trư ng Đ i H c Sư Ph m TP HCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 16 tháng 12 năm 2009 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 1
  2. 2. Công th c Taylor C c tr đ a phương C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tPhép Tính Vi Phân C a Hàm Nhi u Bi n (tt) PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 2
  3. 3. Công th c Taylor C c tr đ a phương C c tr có đi u ki n Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tN i dung 1 Công th c Taylor Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Tính duy nh t Thí d Bài t p 2 C c tr đ a phương Đi u ki n c n - Đi u ki n đ Thí d Bài t p 3 C c tr có đi u ki n Đ nh nghĩa Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) Đi u ki n đ Thí d Bài t p 4 Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Thí d Bài t p PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 3
  4. 4. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 4
  5. 5. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao Đ nh nghĩa 1 Cho D là t p m trong Rn , f : D → R. Gi s đ o hàm riêng ∂f ∂f ∂xi (x), i = 1, 2, . . . , n t n t i v i m i x ∈ D. Khi đó ∂xi : D → R ∂f bi n x ∈ D thành ∂xi (x) là hàm s th c theo n bi n s th c và đư c g i là hàm đ o hàm riêng c a f theo bi n xi . Ta có th đ ∂f c p đ n đ o hàm riêng c a hàm ∂xi theo bi n xj ∂f ∂f ∂ ∂f ∂xi (x + tej ) − ∂xi (x) ∂2f (x) = lim ≡ (x) ∂xj ∂xi t→0 t ∂xi ∂xj và g i là đ o hàm riêng b c hai c a f theo bi n xi , xj , theo theo th t , t i x. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 5
  6. 6. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao(tt) Thí d Cho x −y 2 2 xy x 2 +y 2 x2 + y2 > 0 f (x, y ) = 0 x =y =0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 6
  7. 7. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao(tt) Thí d Cho x −y 2 2 xy x 2 +y 2 x2 + y2 > 0 f (x, y ) = 0 x =y =0 ∂2f ∂2f Ta s có: ∂x∂y (0, 0) = −1 và ∂y ∂x (0, 0) = 1. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 7
  8. 8. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao(tt) Th t v y, ta có: ∂f f (t, 0) − f (0, 0) (0, 0) = lim =0 ∂x t→0 t ∂f f (0, t) − f (0, 0) (0, 0) = lim =0 ∂y t→0 t ∂f f (t, y ) − f (0, y ) ty (t 2 − y 2 ) (0, y ) = lim = lim = −y ∂x t→0 t t→0 t(t 2 + y 2 ) ∂f f (x, t) − f (x, 0) tx(x 2 − t 2 ) (x, 0) = lim = lim =x ∂y t→0 t t→0 t(x 2 + t 2 ) PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 8
  9. 9. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao(tt) Suy ra ∂f ∂f ∂2f ∂x (0, t) − ∂x (0, 0) (0, 0) = lim = −1 ∂x∂y t→0 t ∂f ∂f ∂2f ∂y (t, 0) − ∂y (0, 0) (0, 0) = lim =1 ∂y ∂x t→0 t PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 9
  10. 10. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ o hàm riêng b c cao(tt) Đ nh lý 1 (Đ nh lý Schwartz) ∂2f ∂2f N u các đ o hàm riêng ∂xi ∂xj , ∂xj ∂xi liên t c t i x thì ∂2f ∂2f (x) = (x) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 10
  11. 11. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pCông th c Taylor Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C k (D) (nghĩa là các đ o hàm riêng h n h p b c bé thua hay b ng k liên t c). Cho x ∈ D và h = (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Rn sao cho: x + th ∈ D, ∀t ∈ [0, 1]. Khi đó t n t i θ ∈ (0, 1) sao cho: n n 2 ∂ 1 ∂ f (x +h) = f (x)+ hi f (x)+ hi f (x)+· · · ∂xi 2! ∂xi 1 1 n k−1 n k 1 ∂ 1 ∂ + hi f (x) + hi f (x + θh) (k − 1)! ∂xi k! ∂xi 1 1 k 1 n ∂ S h ng k! 1 hi ∂xi f (x + θh) là dư s Lagrange. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 11
  12. 12. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pCông th c Taylor(tt) Ho c là: n n 2 ∂ 1 ∂ f (x +h) = f (x)+ hi f (x)+ hi f (x)+· · · ∂xi 2! ∂xi 1 1 n k−1 1 ∂ 1 + hi f (x) + ϕ(h)hk (k − 1)! ∂xi k! 1 1 trong đó s h ng k! ϕ(h)hk là đ i lư ng vô cùng bé b c l n hơn h k , đư c g i là dư s Peano. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 12
  13. 13. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pCông th c Taylor(tt) Trư ng h p n = 2, h = (s, t), ta có công th c: ∂f ∂f f (x + s, y + t) = f (x, y ) + (x, y ) s + (x, y ) t ∂x ∂y 1 ∂2f ∂2f ∂2f + (x, y ) s 2 + 2 (x, y ) st + 2 (x, y ) t 2 + · · · 2 ∂x 2 ∂x∂y ∂y k 1 ∂k f k/2 + Ck s i t k−i i + o s2 + t2 k! ∂x i ∂y k−i i=1 k/2 trong đó o s 2 + t 2 là lư ng vô cùng bé b c l n hơn k/2 s2 + t2 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 13
  14. 14. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pTính duy nh t Cho D là t p h p m trong Rn , 0Rn ∈ D và f : D → R. Gi s f ∈ C k (D) và th a mãn f (x) = P(x) + R(x), ∀x ∈ D trong đó P(x) là đa th c b c bé thua hay b ng k theo các bi n x1 , x2 , . . . , xn và k |R(x)| q(x) x v i lim q(x) = 0 x→0Rn PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 14
  15. 15. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pTính duy nh t(tt) PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 15
  16. 16. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pTính duy nh t(tt) Khi đó P(x) chính là khai tri n Taylor c a f g n 0Rn , nghĩa là n n 2 ∂ 1 ∂ P(x) = f (0) + xi f (0) + xi f (0) + · · · ∂xi 2 ∂xi 1 1 n k 1 ∂ + xi f (0) k! ∂xi 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 16
  17. 17. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 17
  18. 18. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 Cho f (x, y ) = x sin(x 2 + xy ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 18
  19. 19. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 Cho f (x, y ) = x sin(x 2 + xy ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N. Dùng khai tri n thành chu i Taylor ∞ t 2k+1 sin t = (−1)k (2k + 1)! 0 ta đư c ∞ 2k+1 2 k x 2 + xy f (x, y ) = x sin x + xy = x. (−1) (2k + 1)! 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 19
  20. 20. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) 2k+1 (x 2 +xy ) x S h ng (−1)k (2k+1)! là t ng c a các đơn th c b c (4k + 3) theo hai bi n x, y tương ng v i s h ng (4k + 3) trong công th c Taylor c a f là: n 1 ∂ n f (0, 0) Cn x i y n−i i v i n = 4k + 3. (4k + 3)! ∂x i ∂y n−i i=0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 20
  21. 21. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) 2k+1 (x 2 +xy ) x S h ng (−1)k (2k+1)! là t ng c a các đơn th c b c (4k + 3) theo hai bi n x, y tương ng v i s h ng (4k + 3) trong công th c Taylor c a f là: n 1 ∂ n f (0, 0) Cn x i y n−i i v i n = 4k + 3. (4k + 3)! ∂x i ∂y n−i i=0 Nghĩa là n 2k+1 1 ∂ n f (0, 0) x x 2 + xy Cn x i y n−i i = (−1)k (4k + 3)! ∂x i ∂y n−i (2k + 1)! i=0 v i n = 4k + 3. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 21
  22. 22. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) Dùng công th c này ta có th tính: PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 22
  23. 23. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) Dùng công th c này ta có th tính: ∂ 19 f (0, 0) i) : ng v i k = 4, đ ng nh t h s c a s h ng x 16 y 3 ∂x 16 ∂y 3 hai v : 1 16 ∂ 19 f (0, 0) 1 6 C19 16 ∂y 3 = C9 19! ∂x 9! Suy ra: ∂ 19 f (0, 0) 16! 16 ∂y 3 = ∂x 6! PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 23
  24. 24. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) Dùng công th c này ta có th tính: ∂ 19 f (0, 0) i) : ng v i k = 4, đ ng nh t h s c a s h ng x 16 y 3 ∂x 16 ∂y 3 hai v : 1 16 ∂ 19 f (0, 0) 1 6 C19 16 ∂y 3 = C9 19! ∂x 9! Suy ra: ∂ 19 f (0, 0) 16! 16 ∂y 3 = ∂x 6! ∂ n f (0, 0) ∂ 20 f (0, 0) ii) = 0 n u n = 4k + 3, thí d =0v im i ∂x i ∂y n−i ∂x i ∂y 20−i i t 1 đ n 20. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 24
  25. 25. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 2 Cho f (x, y ) = y 2 cos(x 2 + y ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 25
  26. 26. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 2 Cho f (x, y ) = y 2 cos(x 2 + y ) thì f ∈ C k (R2 ) v i m i k ∈ N. Dùng khai tri n thành chu i Taylor: ∞ t 2k cos t = (−1)k (2k)! 0 ta đư c: ∞ 2k 2 2 2 k x2 + y f (x, y ) = y cos x + y = y . (−1) (2k)! 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 26
  27. 27. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 2 (tt) C n khai tri n Taylor c a f đ n b c 10 v trái trong t ng ∞ 2 2k 2 k x +y y (−1) . G i B là t ng các đơn th c b c bé thua (2k)! 0 10, ta đư c y2 x 4y 2 y6 x8 y8 B = y2 1 − − x 2y + x 4 + y 4 + x 2y 3 + − − x 2y 5 + + 2 2 6! 4! 8! B chính là khai tri n Taylor c a f đ n b c 10. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 27
  28. 28. Đ o hàm riêng b c cao Công th c Taylor Công th c Taylor C c tr đ a phương Tính duy nh t C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pBài t p 1 Cho P(x, y ) là đa th c b c hai theo x, y . Gi s ∂P ∂P ∂2P P(0, 0) = 1, (0, 0) = 0, (0, 0) = −1, (0, 0) = ∂x ∂y ∂x∂y ∂2P ∂2P ∂P ∂2P 2, (0, 0) = 1, (0, 0) = 1. Tính (1, 1), (1, 2). ∂x 2 ∂y 2 ∂x ∂x∂y 2 Khai tri n Taylor c a f (x, y ) = y 2 sin(x 2 − xy ) đ n b c 8 ∂ 8 f (0, 0) ∂ 8 f (0, 0) trong lân c n c a (0, 0). Tính và . ∂x 2 ∂y 6 ∂x 4 ∂y 4 3 Khai tri n Taylor c a f (x, y ) = e xy cos y đ n b c 4 trong lân ∂ 4 f (0, 0) ∂ 4 f (0, 0) c n c a (0, 0). Tính và . ∂x 3 ∂y ∂x∂y 3 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 28
  29. 29. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tC c tr đ a phương Đ nh nghĩa 2 Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và x ∈ D. Ta nói: f đ t c c đ i đ a phương t i x n u có r > 0 sao cho B(x, r ) ⊂ D và f (x) f (y ) ∀y ∈ B(x, r ). f đ t c c ti u đ a phương t i x n u có r > 0 sao cho B(x, r ) ⊂ D và f (x) f (y ) ∀y ∈ B(x, r ). f đ t c c tr đ a phương t i x n u f đ t c c đ i đ a phương hay c c ti u đ a phương t i x. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 29
  30. 30. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐi u ki n c n Cho D m trong Rn , f : D −→ R và x ∈ D. Gi s t n t i các đ o ∂f hàm riêng ∂xi (x), ∀i = 1, 2, . . . , n. N u f đ t c c tr đ a phương t i x thì ∂f (x) = 0, i = 1, 2, . . . , n (1) ∂xi Đi m x tương ng đư c g i là đi m d ng. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 30
  31. 31. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐi u ki n đ Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C 2 (D). Gi s t i ∂f x0 ∈ D có ∂xi (x) = 0 v i m i i = 1, 2, . . . , n. Áp d ng công th c Taylor cho hàm f trong lân c n c a x0 , ta có n 2 1 ∂ f (x0 + h) − f (x0 ) = hi f (x0 ) + ϕ(h)(h)2 2 ∂xi i=1 v i lim ϕ(h) = 0L2 (Rn ,R) h→0Rn PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 31
  32. 32. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐi u ki n đ (tt) Đ t A là d ng toàn phương đ nh b i: n 2 n ∂ ∂ 2 f (x0 ) ∂ 2 f (x0 ) A(h) = hi f (x0 ) = hi2 +2 hi hj ∂xi ∂xi2 ∂xi ∂xj i=1 i=1 i=j PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 32
  33. 33. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐi u ki n đ (tt) D ng toàn phương A(h) th a mãn m t trong các tính ch t 1 D ng toàn phương A(h) là xác đ nh dương nghĩa là A(h) > 0 v i m i h = 0Rn . 2 D ng toàn phương A(h) là xác đ nh âm nghĩa là A(h) < 0 v i m i h = 0Rn . 3 D ng toàn phương A(h) là n a xác đ nh dương ho c n a xác đ nh âm nghĩa là A(h) 0 (hay A(h) 0) v i m i h = 0Rn và có m t h0 = 0Rn sao cho A(h0 ) = 0. 4 D ng toàn phương A(h) không xác đ nh, nghĩa là t n t i h, h ∈ Rn sao cho A(h) > 0 và A(h ) < 0. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 33
  34. 34. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐ nh lý 2 Cho D là t p m trong Rn , f : D → R và f ∈ C 2 (D). Gi s t i ∂f x0 ∈ D: ∂xi (x0 ) = 0, i = 1, 2, . . . , n. Đ t A là d ng toàn phương xác đ nh như trên. Khi đó: 1 N u A(h) là d ng toàn phương xác đ nh dương thì f đ t c c ti u đ a phương t i x0 . 2 N u A(h) là d ng toàn phương xác đ nh âm thì f đ t c c đ i đ a phương t i x0 . 3 N u A(h) là d ng toàn phương n a xác đ nh dương hay n a xác đ nh âm thì chưa th k t lu n v c c tr đ a phương t i x0 . 4 N u A(h) là d ng toàn phương không xác đ nh thì f không đ t c c tr đ a phương. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 34
  35. 35. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐ nh lý 3 Sau đây là đ nh lý Sylvester v tính xác đ nh âm, dương c a d ng toàn phương. Đ nh lý Sylvester v d ng toàn phương Cho A(h) là d ng toàn phương xác đ nh như trên, ma tr n bi u di n c a A(h) là ma tr n b c n × n đ t là B:   a11 a12 . . . a1n 2  v i aij = ∂ f (x0 )  a a . . . a2n  B =  21 22  ... ... ... ...  ∂xi ∂xj an1 an2 . . . ann Xem các đ nh th c con trên đư ng chéo chính a11 a12 . . . a1n a11 a12 a21 a22 . . . a2n ∆1 = a11 , ∆2 = , . . . , ∆n = a21 a22 ... ... ... ... an1 an2 . . . ann PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 35
  36. 36. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tĐ nh lý 3 (tt) Khi đó: 1 N u ∆i > 0, ∀i thì A(h) là d ng toàn phương xác đ nh dương. 2 N u (−1)i ∆i > 0, ∀i thì A(h) là d ng toàn phương xác đ nh âm. 3 – N u ∆i 0, ∀i và có m t i sao cho ∆i = 0 thì A(h) là d ng toàn phương n a xác đ nh dương. – N u (−1)i ∆i 0, ∀i và có m t i sao cho ∆i = 0 thì A(h) là d ng toàn phương n a xác đ nh âm. 4 Các trư ng h p khác thì A(h) là d ng toàn phương không xác đ nh. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 36
  37. 37. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 Xét c c tr đ a phương c a hàm s f (x, y , z) = x 3 + xy + y 2 − 2xz + 2z 2 + 3y − 1 T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình ∂f = 3x 2 + y − 2z = 0    ∂x  ∂f ∂y = x + 2y + 3 = 0  ∂f = −2x + 4z = 0   ∂z Có hai đi m d ng là M1 (1, −2, 2 ) và M2 (− 1 , − 4 , − 4 ). 1 2 5 1 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 37
  38. 38. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 (tt) Các đ o hàm riêng b c hai : ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f = 6x, = 1, 2 = 2, = −2, 2 = 4, =0 ∂x 2 ∂x∂y ∂y ∂x∂z ∂z ∂y ∂z T i M1 (1, −2, 1 ), ta có 2   6 1 −2 B=  1 2 0  −2 0 4 6 1 −2 6 1 ∆1 = 6, ∆2 = = 11, ∆3 = 1 2 0 = 36 1 2 −2 0 4 V y A là d ng toàn phương xác đ nh dương. Suy ra f đ t c c ti u 9 đ a phương t i M1 và f (M1 ) = − 2 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 38
  39. 39. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 (tt) T i M2 (− 1 , − 5 , − 1 ) ta có 2 4 4   −3 1 −2 B = 1 2 0  −2 0 4 −3 1 −2 −3 1 ∆1 = −3, ∆2 = = −7, ∆3 = 1 2 0 = −36 1 2 −2 0 4 V y A là d ng toàn phương không xác đ nh. Suy ra f không đ t c c tr đ a phương t i M2 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 39
  40. 40. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 2 Kh o sát c c tr đ a phương c a hàm f (x, y , z) = sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z), 0 < x, y , z < π T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình:  ∂f  ∂x = cos x − cos(x + y + z) = 0  ∂f = cos y − cos(x + y + z) = 0  ∂y  ∂f = cos z − cos(x + y + z) = 0  ∂z  0 < x, y , z < 0 Đi m d ng duy nh t M( π , π , π ). 2 2 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 40
  41. 41. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 2 (tt) Các đ o hàm riêng b c hai là ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) = −2, = −2, = −2, ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) ∂ 2 f (M) = −1, = −1, = −1 ∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 41
  42. 42. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 2 (tt) Ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương   −2 −1 −1 B=  −1 −2 −1  −1 −1 −2 −2 −1 −1 −2 −1 ∆1 = −2, ∆2 = = 3, ∆3 = −1 −2 −1 = −4 −1 −2 −1 −1 −2 V y A là d ng toàn phương xác đ nh âm. Suy ra f đ t c c đ i đ a phương t i M và f (M) = 4. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 42
  43. 43. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 3 Xét c c tr đ a phương c a hàm 2 +y 2 ) f (x, y ) = (x 2 + y 2 )e −(x T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình: 2 2 ∂f ∂x = 2x 1 − x 2 − y 2 e −x −y = 0 2 2 ∂f ∂y = 2y 1 − x 2 − y 2 e −x −y = 0 Đi m d ng: M0 (0, 0) và t t c các đi m trên đư ng tròn (C )x 2 + y 2 = 1 Do f (x, y ) 0, ∀(x, y ) ∈ R2 , f (0, 0) = 0 nên f đ t c c ti u đ a phương t i M0 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 43
  44. 44. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 3 (tt) 2 Đ t t = x 2 + y 2 , ϕ(t) = t 2 e −t . 2 Đ o hàm ϕ (t) = 2t(1 − t 2 )e −t . Đ th c a hàm ϕ v i t 0: Đ th c a hàm f là m t cong (S) sinh b i đư ng cong đ th c a hàm ϕ quay quanh tr c Oϕ. Hàm f đ t c c đ i đ a phương t i các 1 đi m M trên đư ng cong (C ), f (M) = e . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 44
  45. 45. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p 1 Xét c c tr đ a phương c a các hàm s sau: a) f (x, y ) = x 3 + y 3 − 3xy b) f (x, y ) = 2x 4 + y 4 − x 2 − y 2 8 x c) f (x, y ) = x + y +y x > 0, y > 0 d) f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − xy + x − 2z y2 z2 2 e) f (x, y , z) = x + 4x + y + z v i xyz = 0. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 45
  46. 46. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p 2 Xét c c tr đ a phương c a hàm n z = z(x, y ) suy t phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 46
  47. 47. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p 2 Xét c c tr đ a phương c a hàm n z = z(x, y ) suy t phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0 HD: Dùng đ nh lý hàm n: ∂z 2x − z + 2 ∂z 2y − z + 2 =− , =− ∂x 2z − x − y + 2 ∂y 2z − x − y + 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 47
  48. 48. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p 2 (tt) T a đ đi m d ng là nghi m c a h phương trình   2x − z + 2 = 0  2y − z + 2 = 0   x 2 + y 2 + z 2 − xz − xy + 2(x + y + z − 1) = 0  2z − x − y + 2 = 0  Có hai đi m d ng: √ √ √ – M1 (−3 + 6, −3 + 6) tương ng v i z = −4 + 2 6. √ √ √ – M2 (−3 − 6, −3 − 6) tương ng v i z = −4 − 2 6. Đ o hàm riêng b c hai t i hai đi m d ng: ∂2f 2 ∂2f 2 ∂2f =− , 2 =− , =0 ∂x 2 2z − x − y + 2 ∂y 2z − x − y + 2 ∂x∂y PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 48
  49. 49. Công th c Taylor Đi u ki n c n - Đi u ki n đ C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p 2 (tt) T i M1 : ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương là 1 − 2√ 6 0 1 1 B= 1 , ∆1 = − √ , ∆2 = 0 − 2√ 6 2 6 24 D ng toàn phương xác √nh âm, v y z đ t c c đ i đ a phương t i đ M1 và z(M1 ) = −4 + 2 6. T i M2 : ma tr n bi u di n c a d ng toàn phương là 1 √ 2 6 0 1 1 B= 1 , ∆1 = √ , ∆2 = 0 √ 2 6 2 6 24 D ng toàn phương xác đ nh dương, v y z đ t c c ti u đ a phương √ t i M2 và z(M2 ) = −4 − 2 6. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 49
  50. 50. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pC c tr có đi u ki n Nh ng phát bi u sau đây đúng trong trư ng h p t ng quát c a hàm f theo n + p bi n v i p đi u ki n. Tuy nhi n đây ta ch xét đơn gi n cho trư ng h p ba bi n v i m t đi u ki n. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 50
  51. 51. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐ nh nghĩa Đ nh nghĩa 3 Cho D là t p m trong R3 , f , g : D → R thu c l p C 2 (D). Đ t S = {(x, y , z) ∈ R3 /ϕ(x, y , z) = 0}. Cho M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ S. Ta nói: – f đ t c c đ i đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i đi m M0 n u t n t i r > 0 sao cho f (M0 ) f (M) v i m i M ∈ S và d (M, M0 ) < r . – f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i đi m M0 n u t n t i r > 0 sao cho f (M0 ) f (M) v i m i M ∈ S và d (M, M0 ) < r . – f đ t c c tr đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0 n u f đ t c c đ i đ a phương ho c c c ti u đ a phương có đi u ki n t i M0 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 51
  52. 52. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) Cho f , ϕ ∈ C 1 (D), M0 ∈ S và ∂ϕ (M0 ) = 0. N u f đ t c c tr đ a ∂z phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0 thì có duy nh t s th c λ0 sao cho x0 , y0 , z0 , λ0 là nghi m c a h phương trình:   ∂x (x, y , z) + λ ∂ϕ (x, y , z) = 0  ∂f ∂x  ∂f ∂ϕ ∂y (x, y , z) + λ ∂y (x, y , z) = 0  (I)  ∂f (x, y , z) + λ ∂ϕ (x, y , z) = 0  ∂z  ∂z ϕ(x, y , z) = 0  λ0 đư c g i là nhân t Lagrange c a f t i M0 v i đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0. H th ng (I) đư c g i là h phương trình t a đ đi m d ng cho bài toán c c tr có đi u ki n. Có th có nhi u đi m d ng ng v i cùng m t giá tr λ0 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 52
  53. 53. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐi u ki n đ Gi s f , ϕ ∈ C 2 (D) và x0 , y0 , z0 , λ0 là nghi m c a h phương trình (I) và ∂ϕ (x0 , y0 , z0 ) = 0. ∂z Đ t F (x, y , z) = f (x, y , z) + λ0 ϕ(x, y , z) Xét d ng toàn phương: ∂2F ∂2F ∂2F A = d 2 f (M0 ) = (M0 )dx 2 + (M0 )dy 2 + (M0 )dz 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂2F ∂2F ∂2F +2 (M0 )dxdy + 2 (M0 )dxdz + 2 (M0 )dydz ∂x∂y ∂x∂z ∂y ∂z trong đó dx, dy , dz th a mãn ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (M0 )dx + (M0 )dy + (M0 )dz = 0 ∂x ∂y ∂z PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 53
  54. 54. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pĐi u ki n đ Khi đó: i) N u A là d ng toàn phương xác đ nh dương thì f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M0 . ii) N u A là d ng toàn phương xác đ nh âm thì f đ t c c đ i đ a phương có đi u ki n t i M0 . iii) N u A là d ng toàn phương không xác đ nh thì f không đ t c c tr đ a phương có đi u ki n t i M0 . iv) N u A là d ng toàn phương n a xác đ nh d ng hay n a xác đ nh âm thì chưa th k t lu n v c c tr đ a phương có đi u ki n. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 54
  55. 55. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d Thí d 1 Tìm c c tr đ a phương c a hàm s f (x, y , z) = x + y + z v i đi u ki n ϕ(x, y , z) = xyz − a = 0, a > 0. Đ t F (x, y , z) = x + y + x + λ(xyz − a). T a đ đi m d ng và nhân t Lagrange là nghi m c a h :  ∂F  ∂x = 1 + λyz = 0  ∂F ∂y = 1 + λxz = 0  ∂F  ∂z = 1 + λxy = 0   xyz − a = 0 1 ng v i λ = − a2/3 có đi m d ng M(a1/3 , a1/3 , a1/3 ). Khi đó: F (x, y , z) = x + y + x − a−2/3 (xyz − a) PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 55
  56. 56. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 1 (tt) D ng toàn phương tương ng: d 2 F (M) = a−1/3 (dxdy + dydz + dxdz) v i đi u ki n d ϕ(M) = 0 ⇔ a2/3 (dx + dy + dz) = 0 hay dz = −dx − dy Th vào, ta đư c: d 2 F (M) = 2a−1/3 (dx 2 + dxdy + dy 2 ) 0 D ng toàn phương xác đ nh dương. V y f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n t i M và f (M) = 3a1/3 . V y: f (x, y , z) = x + y + z 3a1/3 n u xyz = a > 0. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 56
  57. 57. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d Thí d 2 Xét c c tr đ a phương c a hàm f (x, y , z) = x + y + z v i đi u 1 1 1 ki n x + y + z − 1 = 0. Đ t 1 1 1 F (x, y , z) = x + y + x + λ + + −1 x y z T a đ đi m d ng và nhân t Lagrange là nghi m c a h :   ∂F = 1 − x 2 = 0  ∂x λ  ∂F = 1 − λ = 0  ∂y y2  ∂F = 1 − zλ2 = 0  ∂z  1 1 1 x + y + z =1  PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 57
  58. 58. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 2 (tt) ng v i λ = 9 có đi m d ng M1 (3, 3, 3), ng v i λ = 1 có ba đi m d ng M2 (−1, 1, 1), M3 (1, −1, 1), M4 (1, 1, −1). ng v i λ = 9 và M1 (3, 3, 3) ta đư c: 1 1 1 F (x, y , z) = x + y + z + 9 + + −1 x y z có d ng toàn phương: 2 d 2 F (M1 ) = (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) 0 3 D ng toàn phương xác đ nh dương (d dàng nh n bi t mà không c n s d ng thêm đi u ki n d ϕ(M) = 0). V y f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n t i M1 và f (M1 ) = 9. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 58
  59. 59. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pThí d 2 (tt) ng v i λ = 1 và M2 (−1, 1, 1) ta có: 1 1 1 F (x, y , z) = x + y + z + + + −1 x y z có d ng toàn phương: d 2 F (M2 ) = 2(−dx 2 + dy 2 + dz 2 ) S d ng đi u ki n d ϕ(M2 ) = 0 ta đư c: d ϕ(M2 ) = dx + dy + dz = 0 hay dx = −dy − dz Thay vào bi u th c c a d 2 F (M2 ) ta đư c d 2 F (M2 ) = −dydz. Bi u th c này đ i d u khi dx, dy bi n thiên. D ng toàn phương không xác đ nh. V y f không đ t c c tr đ a phương có đi u ki n t i M2 . Do bi u th c c a f và ϕ đ i x ng theo x, y , z nên t i M3 , M4 f cũng không đ t c c tr đ a phương có đi u ki n. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 59
  60. 60. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pBài t p 1 Xét c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s : y2 a) f (x, y ) = xy v i đi u ki n x 2 + 4 = 1. b) f (x, y ) = x 2 + 12xy + 2y 2 n u 4x 2 + y 2 = 25. c) f (x, y ) = x 2 + y 2 n u x 2 − 2x − 4y + y 2 = 0. HD: C ba bài này có th dùng phương pháp bi u di n tham s phương trình đi u ki n r i th vào bi u th c c a f . Thí d câu b: 4x 2 + y 2 = 25 có bi u di n tham s là 5 x(t) = cos t, y (t) = 5 sin t v i t ∈ [0, 2π] 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 60
  61. 61. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pBài t p 1 (tt) Đ t 25 g (t) = f x(t), y (t) = cos2 t + 120 sin t cos t + 50 sin2 t 4 Hay 7 9 g (t) = −25. cos 2t + 60 sin 2t + 25. , t ∈ [0, 2π] 8 8 Suy ra: 2 1/2 7 2 9 max g = 25. + (60) + 25. 8 8 2 1/2 9 7 2 min g = 25. − 25. + (60) 8 8 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 61
  62. 62. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pBài t p 2 Tìm c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s a) f (x, y , z) = xy 2 z 3 n u x + 2y + 3z = a (x, y , z, a > 0). b) f (x, y , z) = x − 2y + 5z n u x 2 + y 2 + z 2 = 36. c) f (x, y , z) = x − 2y + 2z n u x 2 + y 2 + z 2 = 1. 1 1 1 1 1 d) f (x, y , z) = x + y n u x2 + y2 = a2 (a > 0). PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 62
  63. 63. Đ nh nghĩa Công th c Taylor Đi u ki n c n (Đ nh lý nhân t Lagrange) C c tr đ a phương Đi u ki n đ C c tr có đi u ki n Thí d Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Bài t pBài t p 2 Tìm c c tr đ a phương có đi u ki n c a hàm s a) f (x, y , z) = xy 2 z 3 n u x + 2y + 3z = a (x, y , z, a > 0). b) f (x, y , z) = x − 2y + 5z n u x 2 + y 2 + z 2 = 36. c) f (x, y , z) = x − 2y + 2z n u x 2 + y 2 + z 2 = 1. 1 1 1 1 1 d) f (x, y , z) = x + y n u x2 + y2 = a2 (a > 0). 1 1 HD: Đ i bi n u = x , v = y . Ghi chú: Trong 2 b), c) m t c u x 2 + y 2 + z 2 = 36 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 là t p đóng b ch n nên f s đ t c c đ i, c c ti u, do đó ch c n tìm các đi m d ng, tính giá tr c a f t i các đi m d ng. Giá tr l n nh t là c c đ i, bé nh t là c c ti u đ a phương có đi u ki n. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 63
  64. 64. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tGiá tr l n nh t - Giá tr bé nh t Cho D là t p đóng b ch n trong R3 , biên ∂D có phương trình ϕ(x, y , z) = 0. Cho f : D → R liên t c. Khi đó f đ t c c đ i và c c ti u trên D nghĩa là có M1 , M2 ∈ D sao cho: f (M1 ) = max{f (x, y , z)/(x, y , z) ∈ D} f (M2 ) = min{f (x, y , z)/(x, y , z) ∈ D} N u M1 ∈ D ∂D ho c M2 ∈ D ∂D thì f đ t c c đ i và c c ti u đ a phương t i M1 , M2 . N u M1 ∈ ∂D thì f đ t c c đ i đ a phương có đi u ki n ϕ(x, y , z) = 0 t i M1 . Tương t n u M2 ∈ ∂D thì f đ t c c ti u đ a phương có đi u ki n t i M2 . PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 64
  65. 65. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tGiá tr l n nh t - Giá tr bé nh t(tt) Đ tìm c c đ i, c c ti u c a f trên D ta làm như sau: Tìm đi m d ng trong D ∂D là nghi m c a h : ∂f ∂f ∂f (x, y , z) = 0, (x, y , z) = 0, (x, y , z) = 0 ∂x ∂y ∂z Tìm đi m d ng trên ∂D là nghi m c a h : ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ ∂f ∂ϕ +λ = 0, +λ = 0, +λ = 0, ϕ(x, y , z) = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Tính giá tr c a f t i t t c các đi m d ng. Giá tr l n nh t (bé nh t) c a f t i các đi m d ng là c c đ i (c c ti u) c a f trên D. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 65
  66. 66. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 Tìm giá tr l n nh t, bé nh t c a hàm s f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên x 2 + y 2 25 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 66
  67. 67. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 Tìm giá tr l n nh t, bé nh t c a hàm s f (x, y ) = x 2 + y 2 − 12x + 16y trên x 2 + y 2 25 T a đ đi m d ng trong x 2 + y 2 < 25: ∂f ∂x = 2x − 12 = 0 ∂f ∂y = 2y + 16 = 0 Đi m d ng M1 (6, −5) không thu c mi n x 2 + y 2 < 25. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 67
  68. 68. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 1 (tt) T a đ đi m d ng trên biên ∂D : x 2 + y 2 = 25   ∂x + λ ∂ϕ = 2x − 12 + 2λx = 0  ∂f ∂x ∂f + λ ∂ϕ = 2y + 16 + 2λy = 0  ∂y ∂y  x 2 + y 2 = 25 ng v i λ = 1, đi m d ng M2 (3, −4), f (M2 ) = −75. ng v i λ = −3, đi m d ng M3 (−3, 4), f (M3 ) = 125. V y max f = 125 và min f = −75. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 68
  69. 69. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 2 Tìm giá tr l n nh t, bé nh t c a hàm s f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 + x − y + 2z trên mi n x 2 + y 2 + z 2 4 T a đ đi m d ng trong mi n x 2 + y 2 + z 2 < 4 là nghi m c a h :  ∂f  ∂x = 2x + 1 = 0 ∂f = 2y − 1 = 0  ∂y ∂f ∂z = 2z + 2 = 0 Đi m d ng M1 (− 1 , 1 , −1) thu c mi n x 2 + y 2 + z 2 < 4. 2 2 PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 69
  70. 70. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tThí d 2 (tt) T a đ đi m d ng trên m t c u ϕ(x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 = 0   ∂x + λ ∂ϕ = 2x + 1 + 2λx = 0  ∂f ∂x + λ ∂ϕ = 2y − 1 + 2λy = 0  ∂f  ∂y ∂y  ∂f + λ ∂ϕ = 2z + 2 + 2λz = 0  ∂z ∂z x2 + y2 + z2 = 4   √ 1 1 1 ng v i λ = 6 − 1 có đi m d ng M2 (− 2√6 , 2√6 , − √6 ). √ 1 1 1 ng v i λ = − 6 − 1 có đi m d ng M3 ( 2√6 , − 2√6 , √6 ). Ta có f (M1 ) = − 3 , f (M2 ) = 4 − 2 3 √ ,f 6 (M3 ) = 4 + √3 6 3 3 V y max f = 4 + √ , min f 6 = −2. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 70
  71. 71. Công th c Taylor C c tr đ a phương Thí d C c tr có đi u ki n Bài t p Giá tr l n nh t - Giá tr bé nh tBài t p Tìm c c đ i, c c ti u c a f trên mi n sau: 1) f (x, y ) = x 2 + y 2 − xy − x − y trên mi n x 0, y 0, x + y 3. 2) f (x, y ) = x 2 − xy + z 2 trên mi n |x| + |y | 1. 3) f (x, y , z) = x 2 + y 2 + 2z 2 − z trên mi n x 2 + y 2 + z 2 100. 4) Tìm hình h p ch nh t có đư ng chéo b ng a cho trư c và có th tích l n nh t. PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ôn thi cao h c 71
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×