Bai 1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Bai 1

on

  • 2,180 views

Định thức

Định thức

Statistics

Views

Total Views
2,180
Views on SlideShare
503
Embed Views
1,677

Actions

Likes
0
Downloads
30
Comments
0

2 Embeds 1,677

http://osshcmup.wordpress.com 1672
https://osshcmup.wordpress.com 5

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Bai 1 Bai 1 Presentation Transcript

  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t p Đ I S TUY N TÍNH Chuyên ngành: Đ i S 1. Đ nh Th c (Phiên b n đã ch nh s a)Khoa Toán-Tin h c, Đ i h c Sư Ph m TPHCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 5 tháng 12 năm 2009 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pĐ i S Tuy n Tính1. Đ nh Th c PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pĐ i S Tuy n Tính1. Đ nh Th cNhóm th c hi n: Toán 4A 1 Mai Th D u 2 Nguy n Ng c Kiên 3 Dương Xuân Kim Lai 4 Tr n Th Thanh Nhãn PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Cho A là ma tr n vuông c p 2 : a11 a12 A a21 a22 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Cho A là ma tr n vuông c p 2 : a11 a12 A a21 a22 Đ nh th c (c p 2) c a A là m t s , ký hi u det A (ho c A ) xác đ nh như sau : a11 a12 det A a11 a22 a12 a21 (1) a21 a22 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Cho A là ma tr n vuông c p 3 : a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Cho A là ma tr n vuông c p 3 : a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 Đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c A ), xác đ nh như sau : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Cho A là ma tr n vuông c p 3 : a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a31 a32 a33 Đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c A ), xác đ nh như sau : a11 a12 a13 det A a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a32 a33 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 (2) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Công th c khai tri n ( 2 ) thư ng đu c nh theo quy t c Sarrus như sau : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Ví d : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Ví d : 1 2 3 1 2 1 1 0 4 1 2 4 21 1 103 3 2 1 10 1 214 8 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3 f S2 f S3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3 f S2 f S3 T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau. Cho A là ma tr n vuông c p n : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3 f S2 f S3 T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau. Cho A là ma tr n vuông c p n : a11 a12 a1n a21 a22 a2n A . . .. . . . . . . . . an1 an2 ann PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n Đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c A ), xác đ nh như sau : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n Bài t p1.2 Đ nh th c c p n Đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c A ), xác đ nh như sau : a11 a12 a1n a21 a22 a2n det A . . .. . s f a1f 1 a2f 2 anf n . . . . . . . f Sn an1 an2 ann (3) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 1 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) Ví d : 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) Ví d : 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9 Chú ý : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) Ví d : 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 9 3 6 9 Chú ý : T tính ch t này, m t m nh đ v đ nh th c n u đúng v i dòng thì cũng đúng v i c t và ngư c l i. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 2 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh th c thì đ nh th c đ i d u. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh th c thì đ nh th c đ i d u. Ví d : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh th c thì đ nh th c đ i d u. Ví d : 1 2 3 7 8 9 4 5 6 4 5 6 7 8 9 1 2 3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i . PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i . Ví d : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i . Ví d : 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2 2 1 3 6 4 9 6 4 9 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i . Ví d : 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2 2 1 3 6 4 9 6 4 9 Chú ý : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i . Ví d : 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2 2 1 3 6 4 9 6 4 9 Chú ý : T tính ch t này ta có n u A là ma tr n vuông c p n thì det A n det A PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n A có th bi u di n du i d ng : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n A có th bi u di n du i d ng : aij aij aij v i j 1 2 n. Khi đó ta có : det A ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n A có th bi u di n du i d ng : aij aij aij v i j 1 2 n. Khi đó ta có : det A ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain Trong đó các dòng còn l i c a 3 đ nh th c 2 v là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn l i c a ma tr n A. T t nhiên ta cũng có k t qu tương t đ i v i c t. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : Tính ch t 5 Đ nh th c s b ng 0 n u : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : Tính ch t 5 Đ nh th c s b ng 0 n u : Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l . PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 4 Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : Tính ch t 5 Đ nh th c s b ng 0 n u : Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l . Có m t dòng (m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác). PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác) Ví d : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Đ nh lý Laplace Bài t pCác tính ch t c a đ nh th c Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác) Ví d : 1 1 1 0 1 1 1 0 2 1 3 2 0 1 5 2 1 0 1 2 0 1 0 2 3 1 2 4 0 4 1 4 (Lý do: nhân dòng 1 v i 2 c ng vào dòng 2, nhân dòng 1 v i 1 c ng vào dòng 3, nhân dòng 1 v i 3 c ng vào dòng 4). PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 k n. Các ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 k n. Các ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A. Đ c bi t, cho trư c 1 i j n, n u ta xóa đi dòng i, c t j c a A ta s đư c ma tr n con c p n 1 c a A, ký hi u là Mij . Khi đó, Aij 1 i j det Mij đư c g i là ph n bù đ i s c a ph n t A ij . ( A ij là ph n t n m hàng i, c t j c a ma tr n A) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n : a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ai1 ai2 aij ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 anj ann Khi đó ta có : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n : a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ai1 ai2 aij ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 anj ann Khi đó ta có : Khai tri n đ nh th c theo dòng i n det A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik k 1 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n : a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ai1 ai2 aij ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 anj ann Khi đó ta có : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n : a11 a12 a1j a1n a21 a22 a2j a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ai1 ai2 aij ain . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 anj ann Khi đó ta có : Khai tri n đ nh th c theo c t j n det A a1j A1j a2j A2j anj Anj akj Akj k 1 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan tr ng sau c a đ nh th c : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan tr ng sau c a đ nh th c : Tính ch t 1 N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính, t c là : a11 0 0 0 a21 a22 0 0 . . . . . a11 a22 ann . . . . . . . . . . an1 an2 an3 ann PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace Bài t p3.2 Đ nh lý Laplace T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan tr ng sau c a đ nh th c : Tính ch t 1 N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính, t c là : a11 0 0 0 a21 a22 0 0 . . . . . a11 a22 ann . . . . . . . . . . an1 an2 an3 ann Tính ch t 2 N u A B là các ma tr n vuông c p n thì det AB det A det B PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0. Khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. Khi đó vi c tính m t đ nh th c c p n quy v vi c tính m t đ nh th c c p n 1. Ti p t c l p l i quá trình trên cho đ nh th c c p n 1, cu i cùng ta s d n v vi c tính đ nh th c c p 2, 3. PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ví d 1 Tính 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính ch t 2.6) PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính ch t 2.6) 1 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 1 Khai tri n theo c t 2 1 1 4 3 1 0 1 4 3 1 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 2 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã cho s b ng : PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã cho s b ng : 1 1 2 4 1 1 5 5 (Khai tri n theo dòng 4) 1 1 1 0 1 0 0 0 1 2 4 5 1 1 1 5 5 1 1 1 0 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ví d 2 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ví d 2 Gi i phương trình 1 x x 1 x 2 0 0 x2 1 0 0 x 1 x x 2 0 0 x 5 1 x 100 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ví d 2 Gi i phương trình 1 x x 1 x 2 0 0 x2 1 0 0 x 1 x x 2 0 0 x 5 1 x 100 Gi i : 1 x x 2 (Khai tri n theo dòng 2 ) 5 VT 1 x2 1 x 1 x 2 0 0 x 100 (Khai tri n theo dòng 3) 1 x 1 x 2 x 100 x 1 1 x2 2 x 100 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p có gi i Ví d 2 Gi i phương trình 1 x x 1 x 2 0 0 x2 1 0 0 x 1 x x 2 0 0 x 5 1 x 100 Gi i : 1 x x 2 (Khai tri n theo dòng 2 ) 5 VT 1 x2 1 x 1 x 2 0 0 x 100 (Khai tri n theo dòng 3) 1 x 1 x 2 x 100 x 1 1 x 2 2 x 100 V y phương trình đã cho tương đương v i 1 x 2 2 x 100 0 x 0 x 1 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pN i dung 1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3 1.2 Đ nh th c c p n 2 Các tính ch t c a đ nh th c 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s 3.2 Đ nh lý Laplace 4 Bài t p Bài t p có gi i Bài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i3 Tính trong đó là các nghi m c a phương trình : x3 px q 0 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i5 Tính trong đó là các nghi m c a phương trình : x3 px q 06 Gi i phương trình : 1 x x2 x3 1 2 4 8 0 1 3 9 27 1 4 16 64 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i9 Ch ng minh : a1 b1 b1 c 1 c1 a1 a2 b2 b2 c 2 c2 a2 0 a3 b3 b3 c3 c3 a3 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
  • Đ nh Nghĩa Đ nh Th c Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i Bài t pBài t p t gi i11 Ch ng minh : a1 b1 b1 c 1 c1 a1 a2 b2 b2 c 2 c2 a2 0 a3 b3 b3 c3 c3 a312 Ch ng minh : a2 a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 0 c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2 d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2 PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C