1. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Đ I S TUY N TÍNH
Chuyên ngành: Đ i S
1. Đ nh Th c
(Phiên b n đã ch nh s a)
Khoa Toán-Tin h c, Đ i h c Sư Ph m TPHCM
http://math.hcmup.edu.vn
Ngày 5 tháng 12 năm 2009
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
2. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Đ i S Tuy n Tính
1. Đ nh Th c
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
3. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Đ i S Tuy n Tính
1. Đ nh Th c
Nhóm th c hi n: Toán 4A
1 Mai Th D u
2 Nguy n Ng c Kiên
3 Dương Xuân Kim Lai
4 Tr n Th Thanh Nhãn
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
4. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
5. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
6. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
7. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Cho A là ma tr n vuông c p 2 :
a11 a12
A
a21 a22
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
8. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Cho A là ma tr n vuông c p 2 :
a11 a12
A
a21 a22
Đ nh th c (c p 2) c a A là m t s , ký hi u det A (ho c A )
xác đ nh như sau :
a11 a12
det A a11 a22 a12 a21 (1)
a21 a22
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
9. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
10. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Cho A là ma tr n vuông c p 3 :
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a31 a32 a33
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
11. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Cho A là ma tr n vuông c p 3 :
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a31 a32 a33
Đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c A ),
xác đ nh như sau :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
12. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Cho A là ma tr n vuông c p 3 :
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a31 a32 a33
Đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c A ),
xác đ nh như sau :
a11 a12 a13
det A a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 (2)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
13. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
14. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Công th c khai tri n ( 2 ) thư ng đu c nh theo quy t c Sarrus
như sau :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
15. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Ví d :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
16. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Ví d :
1 2 3
1 2 1
1 0 4
1 2 4 21 1 103 3 2 1 10 1 214 8
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
17. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
18. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
19. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c
( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
20. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c
( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau :
det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3
f S2 f S3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
21. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c
( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau :
det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3
f S2 f S3
T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau.
Cho A là ma tr n vuông c p n :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
22. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c
( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau :
det A s f a1f 1 a2f 2 và det A s f a1f 1 a2f 2 a3f 3
f S2 f S3
T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau.
Cho A là ma tr n vuông c p n :
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
A . . .. .
.
. .
. . .
.
an1 an2 ann
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
23. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
Đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c
A ), xác đ nh như sau :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
24. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 1.1 Đ nh Th c C p 2,3
Đ nh lý Laplace 1.2 Đ nh th c c p n
Bài t p
1.2 Đ nh th c c p n
Đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c
A ), xác đ nh như sau :
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
det A . . .. . s f a1f 1 a2f 2 anf n
.
. .
. . .
. f Sn
an1 an2 ann
(3)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
25. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 1
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
26. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 1
Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là :
det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
27. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 1
Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là :
det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A)
Ví d :
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 9 3 6 9
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
28. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 1
Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là :
det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A)
Ví d :
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 9 3 6 9
Chú ý :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
29. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 1
Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là :
det At detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A)
Ví d :
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 9 3 6 9
Chú ý : T tính ch t này, m t m nh đ v đ nh th c n u
đúng v i dòng thì cũng đúng v i c t và ngư c l i.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
30. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 2
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
31. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 2
N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh
th c thì đ nh th c đ i d u.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
32. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 2
N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh
th c thì đ nh th c đ i d u.
Ví d :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
33. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 2
N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh
th c thì đ nh th c đ i d u.
Ví d :
1 2 3 7 8 9
4 5 6 4 5 6
7 8 9 1 2 3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
34. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
35. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a
đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c
ban đ u nhân v i .
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
36. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a
đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c
ban đ u nhân v i .
Ví d :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
37. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a
đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c
ban đ u nhân v i .
Ví d :
1 2 3 1 2 3
4 2 6 2 2 1 3
6 4 9 6 4 9
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
38. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a
đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c
ban đ u nhân v i .
Ví d :
1 2 3 1 2 3
4 2 6 2 2 1 3
6 4 9 6 4 9
Chú ý :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
39. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 3
N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a
đ nh th c đu c nhân v i thì đ nh th c m i b ng đ nh th c
ban đ u nhân v i .
Ví d :
1 2 3 1 2 3
4 2 6 2 2 1 3
6 4 9 6 4 9
Chú ý : T tính ch t này ta có n u A là ma tr n vuông c p
n thì det A n det A
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
40. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
41. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n
A có th bi u di n du i d ng :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
42. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n
A có th bi u di n du i d ng : aij aij aij v i j 1 2 n.
Khi đó ta có :
det A ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain
ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
43. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n
A có th bi u di n du i d ng : aij aij aij v i j 1 2 n.
Khi đó ta có :
det A ai1 ai1 ai2 ai2 ain ain
ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain
Trong đó các dòng còn l i c a 3 đ nh th c 2 v là hoàn
toàn như nhau và chính là các dòng còn l i c a ma tr n A.
T t nhiên ta cũng có k t qu tương t đ i v i c t.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
44. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
45. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
46. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
47. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính
thay phiên c a đ nh th c.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
48. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính
thay phiên c a đ nh th c.
T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a
đ nh th c :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
49. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính
thay phiên c a đ nh th c.
T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a
đ nh th c :
Tính ch t 5
Đ nh th c s b ng 0 n u :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
50. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính
thay phiên c a đ nh th c.
T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a
đ nh th c :
Tính ch t 5
Đ nh th c s b ng 0 n u :
Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l .
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
51. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 4
Ví d :
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 5 4 2 0 2
7 8 9 7 8 9 7 8 9
Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính
thay phiên c a đ nh th c.
T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a
đ nh th c :
Tính ch t 5
Đ nh th c s b ng 0 n u :
Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l .
Có m t dòng (m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòng
khác (c t khác).
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
52. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
53. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
Đ nh th c s không thay đ i n u :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
54. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
Đ nh th c s không thay đ i n u :
Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng
khác (c t khác).
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
55. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
Đ nh th c s không thay đ i n u :
Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng
khác (c t khác).
C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các
dòng khác (c t khác)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
56. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
Đ nh th c s không thay đ i n u :
Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng
khác (c t khác).
C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các
dòng khác (c t khác)
Ví d :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
57. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c
Đ nh lý Laplace
Bài t p
Các tính ch t c a đ nh th c
Tính ch t 6
Đ nh th c s không thay đ i n u :
Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng
khác (c t khác).
C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các
dòng khác (c t khác)
Ví d :
1 1 1 0 1 1 1 0
2 1 3 2 0 1 5 2
1 0 1 2 0 1 0 2
3 1 2 4 0 4 1 4
(Lý do: nhân dòng 1 v i 2 c ng vào dòng 2, nhân dòng 1
v i 1 c ng vào dòng 3, nhân dòng 1 v i 3 c ng vào dòng 4).
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
58. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
59. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
60. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 k n. Các
ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm
thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này
g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
61. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 k n. Các
ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm
thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này
g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A.
Đ c bi t, cho trư c 1 i j n, n u ta xóa đi dòng i, c t j c a A
ta s đư c ma tr n con c p n 1 c a A, ký hi u là Mij . Khi đó,
Aij 1 i j det Mij đư c g i là ph n bù đ i s c a ph n t A ij .
( A ij là ph n t n m hàng i, c t j c a ma tr n A)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
62. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
63. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
64. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
Cho A là ma tr n vuông c p n :
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
A
ai1 ai2 aij ain
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
an1 an2 anj ann
Khi đó ta có :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
65. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
Cho A là ma tr n vuông c p n :
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
A
ai1 ai2 aij ain
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
an1 an2 anj ann
Khi đó ta có :
Khai tri n đ nh th c theo dòng i
n
det A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik
k 1
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
66. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
Cho A là ma tr n vuông c p n :
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
A
ai1 ai2 aij ain
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
an1 an2 anj ann
Khi đó ta có :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
67. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
Cho A là ma tr n vuông c p n :
a11 a12 a1j a1n
a21 a22 a2j a2n
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
A
ai1 ai2 aij ain
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
. . . . . .
an1 an2 anj ann
Khi đó ta có :
Khai tri n đ nh th c theo c t j
n
det A a1j A1j a2j A2j anj Anj akj Akj
k 1
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
68. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan
tr ng sau c a đ nh th c :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
69. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan
tr ng sau c a đ nh th c :
Tính ch t 1
N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì
det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính,
t c là :
a11 0 0 0
a21 a22 0 0
. . . . . a11 a22 ann
.
. .
. .
. .
. .
.
an1 an2 an3 ann
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
70. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
Đ nh lý Laplace 3.2 Đ nh lý Laplace
Bài t p
3.2 Đ nh lý Laplace
T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan
tr ng sau c a đ nh th c :
Tính ch t 1
N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì
det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính,
t c là :
a11 0 0 0
a21 a22 0 0
. . . . . a11 a22 ann
.
. .
. .
. .
. .
.
an1 an2 an3 ann
Tính ch t 2
N u A B là các ma tr n vuông c p n thì
det AB det A det B
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
71. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
72. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p
Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3)
ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ
đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s
l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên,
trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i
v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
73. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p
Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3)
ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ
đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s
l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên,
trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i
v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u :
Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c
theo dòng (c t) đó.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
74. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p
Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3)
ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ
đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s
l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên,
trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i
v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u :
Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c
theo dòng (c t) đó.
S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã
ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
75. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p
Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3)
ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ
đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s
l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên,
trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i
v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u :
Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c
theo dòng (c t) đó.
S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã
ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0.
Khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. Khi đó vi c tính m t
đ nh th c c p n quy v vi c tính m t đ nh th c c p n 1.
Ti p t c l p l i quá trình trên cho đ nh th c c p n 1, cu i
cùng ta s d n v vi c tính đ nh th c c p 2, 3.
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
76. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
77. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ví d 1
Tính
1 0 1 1 2
0 1 1 2 1
1 2 1 0 1
1 0 1 0 2
1 1 1 1 1
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
78. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i
đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân
dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính
ch t 2.6)
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
79. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i
đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân
dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính
ch t 2.6)
1 0 1 1 2
1 1 1 2
0 1 1 2 1
Khai tri n theo c t 2 1 1 4 3
1 0 1 4 3
1 1 0 2
1 0 1 0 2
1 0 1 2
1 0 0 1 2
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
80. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi
khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
81. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi
khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i
c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã
cho s b ng :
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
82. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi
khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i
c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã
cho s b ng :
1 1 2 4
1 1 5 5 (Khai tri n theo dòng 4)
1 1 1 0
1 0 0 0
1 2 4
5
1 1 1 5 5 1
1 1 0
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
83. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ví d 2
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
84. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ví d 2 Gi i phương trình
1 x x 1 x 2
0 0 x2 1 0
0
x 1 x x 2
0 0 x 5 1 x 100
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
85. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ví d 2 Gi i phương trình
1 x x 1 x 2
0 0 x2 1 0
0
x 1 x x 2
0 0 x 5 1 x 100
Gi i :
1 x x 2
(Khai tri n theo dòng 2 ) 5
VT 1 x2 1 x 1 x 2
0 0 x 100
(Khai tri n theo dòng 3) 1 x
1 x 2 x 100
x 1
1 x2 2 x 100
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
86. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p có gi i
Ví d 2 Gi i phương trình
1 x x 1 x 2
0 0 x2 1 0
0
x 1 x x 2
0 0 x 5 1 x 100
Gi i :
1 x x 2
(Khai tri n theo dòng 2 ) 5
VT 1 x2 1 x 1 x 2
0 0 x 100
(Khai tri n theo dòng 3) 1 x
1 x 2 x 100
x 1
1 x 2 2 x 100
V y phương trình đã cho tương đương v i
1 x 2 2 x 100 0 x 0 x 1
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
87. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
N i dung
1 Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
1.1 Đ nh Th c C p 2,3
1.2 Đ nh th c c p n
2 Các tính ch t c a đ nh th c
3 Đ nh lý Laplace
3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s
3.2 Đ nh lý Laplace
4 Bài t p
Bài t p có gi i
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
88. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
89. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
3 Tính
trong đó là các nghi m c a phương trình :
x3 px q 0
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
90. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
5 Tính
trong đó là các nghi m c a phương trình :
x3 px q 0
6 Gi i phương trình :
1 x x2 x3
1 2 4 8
0
1 3 9 27
1 4 16 64
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
91. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
92. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
9 Ch ng minh :
a1 b1 b1 c 1 c1 a1
a2 b2 b2 c 2 c2 a2 0
a3 b3 b3 c3 c3 a3
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
93. Đ nh Nghĩa Đ nh Th c
Các tính ch t c a đ nh th c Bài t p có gi i
Đ nh lý Laplace Bài t p t gi i
Bài t p
Bài t p t gi i
11 Ch ng minh :
a1 b1 b1 c 1 c1 a1
a2 b2 b2 c 2 c2 a2 0
a3 b3 b3 c3 c3 a3
12 Ch ng minh :
a2 a 1 2 a 2 2 a 3 2
b2 b 1 2 b 2 2 b 3 2
0
c2 c 1 2 c 2 2 c 3 2
d2 d 1 2 d 2 2 d 3 2
PGS TS M Vinh Quang ÔN THI CAO H C
