Pertemuan56 111108204636-phpapp02
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Pertemuan56 111108204636-phpapp02

on

  • 240 views

 

Statistics

Views

Total Views
240
Views on SlideShare
190
Embed Views
50

Actions

Likes
0
Downloads
5
Comments
0

1 Embed 50

http://mathematicsofsanpedrouniversity.blogspot.com 50

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Pertemuan56 111108204636-phpapp02 Pertemuan56 111108204636-phpapp02 Presentation Transcript

  • Bagian III Invers Matriks
  • A. Matriks Invers Jika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis yang mempunyai ukuran sama, maka dapat ditunjukkan bahwa AB = BA = I, maka A dikatakan dapat diinvers, dan B disebut invers dari A. Jika B tidak dapat dicari maka A disebut matriks singular. ⇔ Contoh : B = , A = ⇒ AB = = = I       21 53       − − 31 52       21 53       − − 31 52       10 01
  • dan BA = = = = I Contoh Matriks yang tidak mempunyai Invers : A = , (A matriks singular)       21 53       − − 31 52       10 01       +−−+ +−−+ 3.2)5.(1)1(22.1 3.3)5.(3)1.(52.3           063 052 041           333231 232221 131211 bbb bbb bbb           063 052 041           0 0 0           0 0 0 B = , BA = = , BA ≠ I
  • Diketahui matriks : A = Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut : A-1 = = AA-1 = A-1 A = I ⇔ = …       dc ba       − − − ac bd bcad 1         −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d       dc ba       −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d
  • Diketahui, matriks A = , B = , AB = A-1 = , B-1 = , (AB)-1 = B-1 A-1 = = , ∴(AB)-1 = (B-1 A-1 )       =        ++ ++ = −− − − − − −− − − − − 10 01 I bcad da bcad bc bcad dc bcad cd bcad ba bcad ab bcad bc bcad ad       119 87       31 21       32 23       − − 11 23         − − 5 3 5 2 5 2 5 3         − − 5 7 5 9 5 8 5 11         − − 5 3 5 2 5 2 5 3       − − 11 23         − − 5 7 5 9 5 8 5 11
  • B. Pangkat Matriks Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan pangkat Matriks A sebagai berikut : - A0 = I, - An = ( n > 0) - Jika A dapat diinvers, maka berlaku, A-n = (A-1 )n =   faktorn AAA     faktorn 111 AAA −−−
  • - Aturan pangkat pada matriks bujursangkar, jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan asli, maka berlaku Ar As = Ar+s, dan (Ar )s = Ars - Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka berlaku : (a). (A-1 )-1 = A (b). (An )-1 = (A-1 )n (c). Untuk k skalar, matriks kA dapat diinvers (kA)-1 = A-1 k 1
  • - Contoh : A = dan A-1 = maka, A3 = = A-3 = =       31 21       − − 11 23       31 21       4115 3011       31 21       31 21       − − 11 23       − − 1115 3041       − − 11 23       − − 11 23
  • C. Ekspresi Polynomial Pada Matriks Jika A matriks bujursangkar, katakan mxm dan, p(x) = a0 + a1x + …+ anxn adalah bentuk polynomial, maka didefinisikan p(A) = a0I + a1A + …+ anAn Contoh : p(x) = 2x2 – 3x + 4 dan A = maka, p(A) = 2A2 – 3A + 4I = 2 - 3 + 4 =      − 30 21 2 30 21      −      − 30 21       10 01       130 29
  • D. Bentuk – bentuk Transpose Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka, (a). (AT )T = A. (b). (A+B)T = AT + BT dan (A - B)T = AT - BT (c). (kA)T = kAT ,dengan k skalar (d). (AB)T = BT AT
  • (e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers, maka AT juga dapat di invers, sehingga (AT )-1 = (A-1 )T Contoh : A = , AT = A-1 = , (A-1 )T = , (AT )-1 = ∴ berlaku rumus bahwa (AT )-1 = (A-1 )T       −− 12 35       − − 13 25       −− 52 31       − − 53 21       − − 53 21
  • E. Matriks Dasar (Elementary Matrices) Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks dasar (elementary matrices), jika matriks itu mengalami satu kali pengolahan dasar baris (Operasi Baris Elementer) menjadi matriks Identitas (In), Contoh : , , , Matriks – matriks ini adalah matriks dasar, yang dapat diubah kebentuk matriks identitas.       − 30 01               0010 0100 1000 0001           100 010 301           100 010 001
  • Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) : 1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali operasi baris elementer dengan menukar baris i dengan j, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 2. Ei(t), (t ≠ 0), notasi ini menunjukkan OBE, jika dilakukan perkalian baris ke-i dengan t, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 3. Eij(t), (i ≠ j), notasi ini menunjukkan OBE, jika penjumlahan baris ke-j dikali t dengan baris ke-i pada matriks maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).
  • Contoh 1 : E23 = , matriks elementer ini akan menjadi matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3 dengan baris ke–2. E2(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–2 dikali dengan (-1) E23(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–3 dikali dengan (-1) dijumlahkan dengan baris ke–2 .           010 100 001           − 100 010 001           − 100 110 001 Angka 2, menunjukkan baris ke–2 yang berubah
  • Contoh 2 : Misalkan A = adalah hasil kali sejumlah matriks dasar, maka proses penyederhanaannya, ⇒ ⇒ ⇒ dengan matriks – matriks dasarnya, ,       82 31       20 31       10 01       − =−= 12 01 2EE 211 )(       82 31       10 31       == 2 12 1 22 0 01 EE )(       − =−= 10 31 3EE 123 )(
  • Skema Penyelesaian Invers Matriks menggunakan, Operasi Baris Elementer (OBE) Ek…E2E1 A = In A = (E1 -1 E2 -1 …E3 -1 ) Anxn O1 A′nxn O2 A′′nxn O3 I1 E1 I1 E2 I1 I4 A-1 nxn dan seterusnyaOi =Operasi Baris Elementer (OBE)
  • E3E2E1A = I A = (E3E2E1)-1 I = (E1 -1 E2 -1 E3 -1 )       − 12 01       2 1 0 01       − 10 31       = 10 01       82 31       10 01       2 1 0 01 1 12 01 −           −          − = 10 31 1 12 01 −       − = 1 2 1 0 01 −       1 10 31 −       −       = 12 01       20 01       10 31       = 22 01       = 82 31       10 31
  • Contoh 3 : Carilah matriks berukuran 3x3, di mana termuat dalam A = E3(5)E23(2)E12. dan Cari juga A-1 . Jawab :                     =           = 100 001 010 100 210 001 5E 100 001 010 2E5EA 3233 )()()(                                     == 100 201 010 00 0 100 201 010 5 3 E 5 010 01 )(           = 500 201 010
  • -1 12233 1 E2E5EA ])()([=− -1 3 -1 23 -1 12 5E2EE )]([)]([][= )()( -1 32312 5E2-EE=                         −= 5 100 0 0 00 0 E 10 01 1 210 01 12             −             = 5 1 5 2 00 0 0 00 0 1 01 1 001 10           − = 5 1 5 2 00 001 10             −= 5 1 5 2 00 0 0 E 1 01 12
  • F. Metode Invers Matriks dengan OBE Misalkan matriks Anxn non singular , maka, (a). A ekuivalent baris dengan In (b). A merupakan hasil perkalian matrik baris elementer. Contoh : Tunjukkan bahwa A = merupakan matriks non singular, Carilah A-1 dan uraikan bahwa A adalah hasil perkalian matriks baris elementer. Penyelesaian :       11 21
  • Bentuk matriks partisi : [A | I2] ⇔ [I2| A-1 ]         = 10 011 IA 11 2 2 ][       −− −→ 11 01 10 21 RRR 122       − −→ 11 01 10 21 R1R 22 )(       − − −→ 11 21 10 01 R2RR 211 Ditunjukkan bahwa, A ekuivalen I2 dan merupakan matriks non singular.
  • A-1 = diketahui : sehingga,       − − 11 21 221212 IA1E1E2E =−−− )()()( )()()( 1E1E2EA 21212 1- −−−= )()()( 2E1E1EA 12221 −= dimana, E2(-1)-1 = )()( 11 1 22 EE − − =
  • G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan Metode Invers Jika A adalah matriks yang dapat diinvers dan berukuran nxn, maka matriks b berukuran nx1, suatu sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, katakanlah, x = A-1 b. Contoh : x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1+ 5x2 + 3x3 = 3 x1 + 8x3 = 10 Sehingga,
  • Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah : dengan bentuk invers :             −− −− − =− 125 3513 91640 1 A             = 81 352 321 0 A             = 3 2 1 x x x x,           = 17 3 5 b,             =⇔ 100 010 001 801 352 321 IA ][
  •             + + − − − − ← ← 101 012 001 520 310 321 133 122 R-1RR R-2RR )( )(             +← − − − − 125 012 001 100 310 321 233 R2RR )(             ← −− −− 125 012 001 100 310 321 33 R-1R )(             + + −− −− ← ← 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )(
  •             + −− −− ← ← + 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )(             −+ −− −− − ← 125 3513 91640 100 010 001 211 R2RR )(             −− −− − =− 125 3513 91640 1 A maka , Jadi ,                               −− −− − −=== − 2 1 1 10 3 5 125 3513 91640 1 bAx Atau , x1 = 1, x2= –1 , dan x3= 2
  • H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu Persamaan Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak konsisten, Misalnya : x = 1 y = 2 x + y = 3, 001 hal ini, dpat dibuat konsisten dengan mengubah ke dalam bentuk persamaan, At AX = At B
  • Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi : dengan persamaan At AX = At B, dan persamaan normalnya menjadi, 2x + y = 4, 001 x + 2y = 5, 001 dengan x = 1, 001 dan y = 2. 001           = 11 10 01 A         = y x X,           = 001,3 2 1 B,       110 101         y x                 = 001,3 2 1 110 101           11 10 01         y x       = 001,5 001,4       21 12