Bagian III
Invers Matriks
A. Matriks Invers
Jika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis
yang mempunyai ukuran sama, maka dapat
ditunjukkan b...
dan
BA =
= = = I
Contoh Matriks yang tidak mempunyai Invers :
A = , (A matriks singular)






21
53





...
Diketahui matriks :
A =
Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat
dirumuskan sebagai berikut :
A-1
= =
AA-...
Diketahui, matriks
A = , B = , AB =
A-1
= , B-1
= , (AB)-1
=
B-1
A-1
= = , ∴(AB)-1
= (B-1
A-1
)






=




...
B. Pangkat Matriks
Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka
dapat didefinisikan pangkat Matriks A
sebagai berikut :
- A0
...
- Aturan pangkat pada matriks bujursangkar,
jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan
asli, maka berlaku
Ar
As
= Ar+s...
- Contoh :
A = dan A-1
=
maka,
A3
= =
A-3
= =






31
21






−
−
11
23






31
21





...
C. Ekspresi Polynomial Pada Matriks
Jika A matriks bujursangkar, katakan mxm dan,
p(x) = a0 + a1x + …+ anxn
adalah bentuk ...
D. Bentuk – bentuk Transpose
Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama
sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka,
(a). (...
(e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers,
maka AT
juga dapat di invers, sehingga
(AT
)-1
= (A-1
)T
Contoh :
A = , A...
E. Matriks Dasar (Elementary Matrices)
Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks
dasar (elementary matrices), jika matr...
Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) :
1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali
operasi b...
Contoh 1 :
E23 = , matriks elementer ini akan menjadi
matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3
dengan baris ke...
Contoh 2 :
Misalkan A = adalah hasil kali sejumlah
matriks dasar, maka proses penyederhanaannya,
⇒ ⇒ ⇒
dengan matriks – ma...
Skema Penyelesaian Invers Matriks menggunakan,
Operasi Baris Elementer (OBE)
Ek…E2E1 A = In A = (E1
-1
E2
-1
…E3
-1
)
Anxn...
E3E2E1A = I
A = (E3E2E1)-1
I = (E1
-1
E2
-1
E3
-1
)






− 12
01






2
1
0
01





 −
10
31

...
Contoh 3 :
Carilah matriks berukuran 3x3, di mana termuat dalam
A = E3(5)E23(2)E12. dan Cari juga A-1
.
Jawab :





...
-1
12233
1
E2E5EA ])()([=−
-1
3
-1
23
-1
12 5E2EE )]([)]([][=
)()( -1
32312 5E2-EE=



















...
F. Metode Invers Matriks dengan OBE
Misalkan matriks Anxn non singular , maka,
(a). A ekuivalent baris dengan In
(b). A me...
Bentuk matriks partisi :
[A | I2] ⇔ [I2| A-1
]








=
10
011
IA
11
2
2 ][






−−
−→
11
01
10
21
RRR 122...
A-1
=
diketahui :
sehingga,






−
−
11
21
221212 IA1E1E2E =−−− )()()(
)()()( 1E1E2EA 21212
1-
−−−=
)()()( 2E1E1E...
G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL)
dengan Metode Invers
Jika A adalah matriks yang dapat diinvers dan
berukuran...
Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah :
dengan bentuk invers :












−−
−−
−
=−
125
3513...












+
+
−
−
−
−
←
←
101
012
001
520
310
321
133
122
R-1RR
R-2RR
)(
)(












+←
−
−
−...












+
−−
−−
←
← +
125
3513
3614
100
010
021
311
322
R-3RR
R3RR
)(
)(












−+
−−
−−
...
H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu
Persamaan
Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak
konsisten,
Misalnya :
...
Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi :
dengan persamaan At
AX = At
B,
dan persamaan normalnya menjadi,
2x + y = 4, 001...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Pertemuan56 111108204636-phpapp02

162
-1

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
162
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
6
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pertemuan56 111108204636-phpapp02

  1. 1. Bagian III Invers Matriks
  2. 2. A. Matriks Invers Jika A matriks bujur sangkar, dan B matriks sejenis yang mempunyai ukuran sama, maka dapat ditunjukkan bahwa AB = BA = I, maka A dikatakan dapat diinvers, dan B disebut invers dari A. Jika B tidak dapat dicari maka A disebut matriks singular. ⇔ Contoh : B = , A = ⇒ AB = = = I       21 53       − − 31 52       21 53       − − 31 52       10 01
  3. 3. dan BA = = = = I Contoh Matriks yang tidak mempunyai Invers : A = , (A matriks singular)       21 53       − − 31 52       10 01       +−−+ +−−+ 3.2)5.(1)1(22.1 3.3)5.(3)1.(52.3           063 052 041           333231 232221 131211 bbb bbb bbb           063 052 041           0 0 0           0 0 0 B = , BA = = , BA ≠ I
  4. 4. Diketahui matriks : A = Dapat di invers jika (ad – bc) ≠ 0, dalam kasus ini dapat dirumuskan sebagai berikut : A-1 = = AA-1 = A-1 A = I ⇔ = …       dc ba       − − − ac bd bcad 1         −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d       dc ba       −− − − − − bcad a bcad c bcad b bcad d
  5. 5. Diketahui, matriks A = , B = , AB = A-1 = , B-1 = , (AB)-1 = B-1 A-1 = = , ∴(AB)-1 = (B-1 A-1 )       =        ++ ++ = −− − − − − −− − − − − 10 01 I bcad da bcad bc bcad dc bcad cd bcad ba bcad ab bcad bc bcad ad       119 87       31 21       32 23       − − 11 23         − − 5 3 5 2 5 2 5 3         − − 5 7 5 9 5 8 5 11         − − 5 3 5 2 5 2 5 3       − − 11 23         − − 5 7 5 9 5 8 5 11
  6. 6. B. Pangkat Matriks Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka dapat didefinisikan pangkat Matriks A sebagai berikut : - A0 = I, - An = ( n > 0) - Jika A dapat diinvers, maka berlaku, A-n = (A-1 )n =   faktorn AAA     faktorn 111 AAA −−−
  7. 7. - Aturan pangkat pada matriks bujursangkar, jika matriks A, dengan r dan s adalah bilangan asli, maka berlaku Ar As = Ar+s, dan (Ar )s = Ars - Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka berlaku : (a). (A-1 )-1 = A (b). (An )-1 = (A-1 )n (c). Untuk k skalar, matriks kA dapat diinvers (kA)-1 = A-1 k 1
  8. 8. - Contoh : A = dan A-1 = maka, A3 = = A-3 = =       31 21       − − 11 23       31 21       4115 3011       31 21       31 21       − − 11 23       − − 1115 3041       − − 11 23       − − 11 23
  9. 9. C. Ekspresi Polynomial Pada Matriks Jika A matriks bujursangkar, katakan mxm dan, p(x) = a0 + a1x + …+ anxn adalah bentuk polynomial, maka didefinisikan p(A) = a0I + a1A + …+ anAn Contoh : p(x) = 2x2 – 3x + 4 dan A = maka, p(A) = 2A2 – 3A + 4I = 2 - 3 + 4 =      − 30 21 2 30 21      −      − 30 21       10 01       130 29
  10. 10. D. Bentuk – bentuk Transpose Jika suatu matriks mempunyai ukuran sama sehingga suatu operasi dapat dilakukan, maka, (a). (AT )T = A. (b). (A+B)T = AT + BT dan (A - B)T = AT - BT (c). (kA)T = kAT ,dengan k skalar (d). (AB)T = BT AT
  11. 11. (e). Jika A adalah matriks yang dapat di invers, maka AT juga dapat di invers, sehingga (AT )-1 = (A-1 )T Contoh : A = , AT = A-1 = , (A-1 )T = , (AT )-1 = ∴ berlaku rumus bahwa (AT )-1 = (A-1 )T       −− 12 35       − − 13 25       −− 52 31       − − 53 21       − − 53 21
  12. 12. E. Matriks Dasar (Elementary Matrices) Suatu matriks beerukuran nxn disebut matriks dasar (elementary matrices), jika matriks itu mengalami satu kali pengolahan dasar baris (Operasi Baris Elementer) menjadi matriks Identitas (In), Contoh : , , , Matriks – matriks ini adalah matriks dasar, yang dapat diubah kebentuk matriks identitas.       − 30 01               0010 0100 1000 0001           100 010 301           100 010 001
  13. 13. Ada 3 tipe Notasi Operasi Baris Elementer (OBE) : 1. Eij, (i ≠ j), notasi ini menunjukkan jika terjadi satu kali operasi baris elementer dengan menukar baris i dengan j, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 2. Ei(t), (t ≠ 0), notasi ini menunjukkan OBE, jika dilakukan perkalian baris ke-i dengan t, maka matriksnya menjadi matriks identitas (In). 3. Eij(t), (i ≠ j), notasi ini menunjukkan OBE, jika penjumlahan baris ke-j dikali t dengan baris ke-i pada matriks maka matriksnya menjadi matriks identitas (In).
  14. 14. Contoh 1 : E23 = , matriks elementer ini akan menjadi matriks Identitas (In) jika dipertukarkan baris ke–3 dengan baris ke–2. E2(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–2 dikali dengan (-1) E23(-1) = , matriks ini akan menjadi matriks identitas jika baris ke–3 dikali dengan (-1) dijumlahkan dengan baris ke–2 .           010 100 001           − 100 010 001           − 100 110 001 Angka 2, menunjukkan baris ke–2 yang berubah
  15. 15. Contoh 2 : Misalkan A = adalah hasil kali sejumlah matriks dasar, maka proses penyederhanaannya, ⇒ ⇒ ⇒ dengan matriks – matriks dasarnya, ,       82 31       20 31       10 01       − =−= 12 01 2EE 211 )(       82 31       10 31       == 2 12 1 22 0 01 EE )(       − =−= 10 31 3EE 123 )(
  16. 16. Skema Penyelesaian Invers Matriks menggunakan, Operasi Baris Elementer (OBE) Ek…E2E1 A = In A = (E1 -1 E2 -1 …E3 -1 ) Anxn O1 A′nxn O2 A′′nxn O3 I1 E1 I1 E2 I1 I4 A-1 nxn dan seterusnyaOi =Operasi Baris Elementer (OBE)
  17. 17. E3E2E1A = I A = (E3E2E1)-1 I = (E1 -1 E2 -1 E3 -1 )       − 12 01       2 1 0 01       − 10 31       = 10 01       82 31       10 01       2 1 0 01 1 12 01 −           −          − = 10 31 1 12 01 −       − = 1 2 1 0 01 −       1 10 31 −       −       = 12 01       20 01       10 31       = 22 01       = 82 31       10 31
  18. 18. Contoh 3 : Carilah matriks berukuran 3x3, di mana termuat dalam A = E3(5)E23(2)E12. dan Cari juga A-1 . Jawab :                     =           = 100 001 010 100 210 001 5E 100 001 010 2E5EA 3233 )()()(                                     == 100 201 010 00 0 100 201 010 5 3 E 5 010 01 )(           = 500 201 010
  19. 19. -1 12233 1 E2E5EA ])()([=− -1 3 -1 23 -1 12 5E2EE )]([)]([][= )()( -1 32312 5E2-EE=                         −= 5 100 0 0 00 0 E 10 01 1 210 01 12             −             = 5 1 5 2 00 0 0 00 0 1 01 1 001 10           − = 5 1 5 2 00 001 10             −= 5 1 5 2 00 0 0 E 1 01 12
  20. 20. F. Metode Invers Matriks dengan OBE Misalkan matriks Anxn non singular , maka, (a). A ekuivalent baris dengan In (b). A merupakan hasil perkalian matrik baris elementer. Contoh : Tunjukkan bahwa A = merupakan matriks non singular, Carilah A-1 dan uraikan bahwa A adalah hasil perkalian matriks baris elementer. Penyelesaian :       11 21
  21. 21. Bentuk matriks partisi : [A | I2] ⇔ [I2| A-1 ]         = 10 011 IA 11 2 2 ][       −− −→ 11 01 10 21 RRR 122       − −→ 11 01 10 21 R1R 22 )(       − − −→ 11 21 10 01 R2RR 211 Ditunjukkan bahwa, A ekuivalen I2 dan merupakan matriks non singular.
  22. 22. A-1 = diketahui : sehingga,       − − 11 21 221212 IA1E1E2E =−−− )()()( )()()( 1E1E2EA 21212 1- −−−= )()()( 2E1E1EA 12221 −= dimana, E2(-1)-1 = )()( 11 1 22 EE − − =
  23. 23. G. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan Metode Invers Jika A adalah matriks yang dapat diinvers dan berukuran nxn, maka matriks b berukuran nx1, suatu sistem persamaan Ax = b mempunyai tepat satu penyelesaian, katakanlah, x = A-1 b. Contoh : x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1+ 5x2 + 3x3 = 3 x1 + 8x3 = 10 Sehingga,
  24. 24. Bentuk matriks dari SPL diatas ditulis Ax = b, adalah : dengan bentuk invers :             −− −− − =− 125 3513 91640 1 A             = 81 352 321 0 A             = 3 2 1 x x x x,           = 17 3 5 b,             =⇔ 100 010 001 801 352 321 IA ][
  25. 25.             + + − − − − ← ← 101 012 001 520 310 321 133 122 R-1RR R-2RR )( )(             +← − − − − 125 012 001 100 310 321 233 R2RR )(             ← −− −− 125 012 001 100 310 321 33 R-1R )(             + + −− −− ← ← 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )(
  26. 26.             + −− −− ← ← + 125 3513 3614 100 010 021 311 322 R-3RR R3RR )( )(             −+ −− −− − ← 125 3513 91640 100 010 001 211 R2RR )(             −− −− − =− 125 3513 91640 1 A maka , Jadi ,                               −− −− − −=== − 2 1 1 10 3 5 125 3513 91640 1 bAx Atau , x1 = 1, x2= –1 , dan x3= 2
  27. 27. H. Penyelesaian Kuadrat Terkecil dari suatu Persamaan Andaikan bahwa sistem persamaan AX = B, tidak konsisten, Misalnya : x = 1 y = 2 x + y = 3, 001 hal ini, dpat dibuat konsisten dengan mengubah ke dalam bentuk persamaan, At AX = At B
  28. 28. Sehingga bentuk persamaan diatas menjadi : dengan persamaan At AX = At B, dan persamaan normalnya menjadi, 2x + y = 4, 001 x + 2y = 5, 001 dengan x = 1, 001 dan y = 2. 001           = 11 10 01 A         = y x X,           = 001,3 2 1 B,       110 101         y x                 = 001,3 2 1 110 101           11 10 01         y x       = 001,5 001,4       21 12
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×