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• 1.  f  x  f  x  dx n
• 2.  f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1
• 3.  f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 d e.g. i  a) Find dx  1 x  3
• 4.  f  x  f  x  dx n  f  x n1  c  f  x  f  x  dx  n n 1 d e.g. i  a) Find dx d dx  1 x  3   1  1 1  x 3  1  x 3  2  3 x 2  2  3x 2  2 1  x3
• 5. b) Hence find;  x2 dx 3 1 x
• 6. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x
• 7. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3
• 8. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx
• 9. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2
• 10. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3
• 11. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3
• 12. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx 
• 13. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u  2  x2
• 14. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x x2 2  3x 2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx
• 15. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx dx    3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx
• 16. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx    dx 3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  1 du 2 u u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx
• 17. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx    dx 3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u 1 du 2 1 1 2   u du 2 u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx
• 18. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx    dx 3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u 1 du 2 1 1 2   u du 2 3 1 2 2   u c 2 3 u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx
• 19. b) Hence find;   x2 dx 3 1 x 2  3x 2 x2 dx    dx 3 3 3 2 1 x 1 x 2   1  x3  c 3 ii   x 2  x 2 dx OR 1   2 x 2  x 2 dx 2 3 1 2   2  x 2 2  c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3 x 2  x 2 dx  u  2  x2 du  2x dx du  2 xdx u 1 du 2 1 1 2   u du 2 3 1 2 2   u c 2 3 1  2  x 2  2  x 2  c 3
• 20. 1 iii  0 x x2 3  2 3 dx
• 21. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2 
• 22. 1 iii  0 x x2 3  2 3 dx 1 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2  1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30
• 23. 1 iii  0 x x2 3  2 3 dx 1 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2  1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6  
• 24. 1 iii  0 x x2 3  2 3 dx 1 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2  1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6   1 1 1      2 6  1  2 2  1  8
• 25. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx 1 1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6  1 1 1      2 6  1  2 2  1  8  x 0 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2   OR x2 3  2 3 dx
• 26. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx 1 1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6  1 1 1      2 6  1  2 2  1  8  x 0 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2   OR x2 3  2 3 dx u  x3  2 du  3 x 2 dx
• 27. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx 1 1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6  1 1 1      2 6  1  2 2  1  8  x 0 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2   OR x2 3  2 3 dx u  x3  2 du  3 x 2 dx x  0, u  2 x  1, u  1
• 28. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx 1 1 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6  1 1 1      2 6  1  2 2  1  8  x 0 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2   OR 1 x2 3  2 3 1 3   u du 3 2 dx u  x3  2 du  3 x 2 dx x  0, u  2 x  1, u  1
• 29. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx OR  x 0 x2 3  2 3 1 1 1 3   u du 3 2 1 1  2 1   u  2 6 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2  3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6   1 1 1      2 6  1  2 2  1  8 dx u  x3  2 du  3 x 2 dx x  0, u  2 x  1, u  1
• 30. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx OR  x 0 x2 3  2 3 dx 1 1 1 3   u du 3 2 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6 1 1  2 1   u  2 6 1 1 1      2 6  1  2 2  1 1 1      2 6  1  2 2  1  8 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2   1  8  u  x3  2 du  3 x 2 dx x  0, u  2 x  1, u  1
• 31. 1 iii  0 x 1 x2 3  2 3 dx OR  x 0 x2 3  2 3 dx 1 1 1 3   u du 3 2 3 1 2 3   3 x x  2  dx 30 2 1 1 3   x  2  0 6 1 du  3 x 2 dx x  0, u  2 x  1, u  1 1  2 1   u  2 6 1 1 1      2 6  1  2 2  1 1 1      2 6  1  2 2  u  x3  2 1  8 1 3x 2   dx 3 3 0 x 3  2    1  8 Exercise 11H; 1, 3, 5, 7ace etc, 8bdf,9 11*