Geometria

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Geometria

  1. 1. ¿Qué es la Geometría?Inicialmente se puede decir que la Geometría es una rama de Matemática, queconstituye un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes,áreas y volúmenes.Para contestar mejor esta pregunta veamos un poco de historiaEuclides, (siglo III a. C.) configuró la geometría en forma axiomática,tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: lageometría euclidiana descrita en «Los Elementos». La matemática griegaplanteó los problemas geométricos haciendo referencia a las propiedadesmétricas de un conjunto de puntos definidos y localizados en el plano y en elespacio.R. Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcandouna nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas,podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones yecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructuraintrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo ala creación de la topología y la geometría diferencial,B. Riemann en la conferencia cuyo título es “Sobre las hipótesis que están enlos fundamentos de la geometría”, se preguntó por el hecho de aumentar elnúmero de dimensiones del espacio, para ello introduce primero el concepto devariedad diferenciable, generalización del concepto de superficie a cualquiernúmero (entero positivo) arbitrario de dimensiones. De hecho, el nombrevariedad hace referencia a las varias coordenadas que variarían para irobteniendo los puntos del objeto. Las superficies serían las variedades dedimensión 2, mientras que las curvas serían las variedades de dimensión 1, yaun los puntos las de dimensión 0Una variedad riemanniana no es sólo un objeto geométrico n-dimensional. Esuna variedad diferencial a la que además hay que dotar de una métrica. Unamétrica (o estructura riemanniana) sobre una variedad es una aplicación quea cada punto de la variedad le asigna un producto escalar en el espacio
  2. 2. tangente a la variedad en ese punto, y esa aplicación es diferenciable. Unproducto escalar es una regla que permite calcular longitudes de segmentos ymedidas de sectores angulares entre rectas. A través de una métrica, sepueden definir sobre una variedad conceptos como longitud de una curva o elángulo entre dos curvas.El nuevo modo de Riemann de estudiar la Geometría considera que cualquiermodelo de espacio (el plano, el espacio tridimensional, o cualquiera otro) puedeser estudiado como una variedad diferenciable, y que al introducir en ella unamétrica se está determinando la geometría que gobierna ese objeto. Porejemplo, el plano no es, por sí solo, euclidiano ni no euclidiano, sino queintroduciendo la métrica euclídea es cuando en el plano verifica el V postuladode Euclides. Si en lugar de considerar esa métrica se introduce en el plano otramétrica, deja de verificarse el mismo postulado. Con Riemann, la Geometríapasa a ser el estudio de las variedades, dejando de ser definitivamente elestudio de triángulos, circunferencias, polígonos, etc,Klein escribió una conferencia en 1872 conocida como el Programa deErlangen , ésta puede considerarse, junto a la Conferencia de Riemann y a losElementos de Euclides, como los puntos esenciales del estudio de laGeometría, como lo muestra la figura Figura: Puntos esenciales que permitieron el estudio de la GeometríaLa idea de la conferencia de Klein, es la de dar una definición formal de lo quees una Geometría. Ante la aparición de las nuevas geometrías no euclidianas,
  3. 3. parece lógico preguntarse qué es la Geometría, máxime cuando la propia ideade la Geometría euclidiana se había visto modificada desde la irrupción de losmétodos algebraicos y analíticos. Empieza a no estar tan claro que laGeometría sea el estudio de puntos, líneas (rectas o curvas) y superficies,puesto que el propio Análisis Matemático (sobre todo en el estudio deEcuaciones Diferenciales) parece que también estudia tales objetos. Por otraparte, los métodos analíticos y algebraicos también son aplicables a lasgeometrías no euclidianas. Hay dos niveles de distinciones: por un lado, la delas geometrías no euclidianas y la geometría euclidiana, por otro lado, ladistinción entre el método sintético, el algebraico y el analítico.¿Qué es entonces la Geometría?Klein da respuesta a esta pregunta introduciendo en la Geometría un nuevoconcepto de carácter algebraico: el concepto de grupo. Un grupo es unconjunto G en el que hay definida una operación, es decir, una aplicación que a cada par de elementos del conjunto le asigna otroelemento del conjunto (que será el resultado de operar dichos dos elementos).El concepto de grupo no es invención de Klein, pero es él el que descubre unhecho fundamental que lo relaciona con las distintas geometrías: cadageometría es el estudio de ciertas propiedades que no cambian cuando se leaplican un tipo de transformaciones. A esas propiedades las denominainvariantes, y las transformaciones que a un invariante no le hacen cambiar hande tener estructura de grupo bajo la operación de composición (componer dostransformaciones es hacer una de ellas y aplicarle la otra transformación alresultado de la primera).Así Klein descubre que, la Geometría euclidiana es el estudio de losinvariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías,giros y traslaciones), que la Geometría afín es el estudio de los invariantesmediante el grupo de las translaciones, que la Geometría proyectiva es elestudio de los invariantes mediante el grupo de las proyectividades, e inclusoque la Topología es el estudio de los invariantes mediante el grupo de lasfunciones continuas y de inversa continua, entre otras.
  4. 4. El descubrimiento de Klein es fundamental, ya que por un lado permiteclasificar las geometrías, comprendiendo cuál es una "subgeometría" de cual,por otro lado permite comprender qué es el estudio general de la Geometría(como disciplina matemática) y que los métodos sintético y algebraico no dangeometrías distintas, sino que realmente estudian la misma geometría en cadacaso.Referencias: Programa de Erlangen - Wikipedia, la enciclopedia libre.mht

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