Mates 2º eso avanza santillana
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Mates 2º eso avanza santillana Mates 2º eso avanza santillana Document Transcript

  • Matemáticas 2 ESO AVANZA El libro Matemáticas para 2.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Pedro Machín Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano EDICIÓN Angélica Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Las actividades de este libro deben ser realizadas por el alumno en un cuaderno. En ningún caso deben realizarse en el mismo libro.294758 _ 0001-0005.indd 1 13/06/12 11:07
  • Índice 5. Expresiones algebraicas...................................... 70 Antes de empezar la unidad ....................................................... 71 Lenguaje algebraico ................................................................ 72 Expresiones algebraicas . ......................................................... . 73 Monomios .............................................................................. . 74 Operaciones con monomios . .................................................. . 75 Polinomios . ............................................................................ . 76 Operaciones con polinomios . ................................................. . 78 Factor común ......................................................................... 80 Igualdades notables ................................................................ . 81 Lo esencial ............................................................................... 82 1. Números enteros...................................................... 6 Actividades .............................................................................. . 84 Antes de empezar la unidad ....................................................... 7 Números enteros .................................................................... 8 6. Ecuaciones de primer y segundo grado....... 88 Suma y resta de números enteros ............................................ 10 Antes de empezar la unidad ....................................................... 89 Multiplicación y división de números enteros ......................... 12 Elementos de una ecuación ..................................................... 90 Potencias de números enteros ................................................. 13 Transposición de términos ...................................................... 92 Operaciones con potencias ..................................................... 14 Resolución de ecuaciones de primer grado ............................. 93 . Jerarquía de las operaciones .................................................... 16 Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado ...... 95 Divisibilidad entre números enteros . ...................................... . 17 Ecuaciones de segundo grado ................................................. 96 Lo esencial ............................................................................... 20 Resolución de ecuaciones de segundo grado ........................... 97 Actividades .............................................................................. . 22 Lo esencial ............................................................................... 98 Actividades .............................................................................. 100 . 2. Fracciones................................................................... 26 Antes de empezar la unidad ....................................................... 27 7. Sistemas de ecuaciones. ..................................... 104 Fracciones .............................................................................. . 28 Antes de empezar la unidad ....................................................... 105 Fracciones equivalentes .......................................................... 29 Ecuaciones lineales ................................................................. 106 Comparación de fracciones ..................................................... 32 Sistemas de ecuaciones lineales ............................................... 108 Operaciones con fracciones . ................................................... . 33 Métodos de resolución de sistemas ......................................... 109 Potencia de una fracción ......................................................... 34 Lo esencial ............................................................................... 112 Jerarquía de las operaciones .................................................... 35 Actividades .............................................................................. . 114 Lo esencial ............................................................................... 36 Actividades .............................................................................. . 38 8. Proporcionalidad numérica. .............................. 118 Antes de empezar la unidad ....................................................... 119 3. Números decimales................................................ 42 Magnitudes directamente proporcionales ................................ 120 Antes de empezar la unidad ....................................................... 43 Problemas de proporcionalidad directa ................................... 121 Números decimales ................................................................ . 44 Magnitudes inversamente proporcionales ............................... 122 Fracciones y números decimales ............................................. 45 Problemas de proporcionalidad inversa .................................. 123 Operaciones con números decimales ...................................... 46 Porcentajes ............................................................................. 124 Aproximación ......................................................................... 49 Problemas con porcentajes . .................................................... . 125 Lo esencial ............................................................................... 50 Lo esencial ............................................................................... 128 Actividades .............................................................................. . 52 Actividades .............................................................................. . 130 4. Sistema sexagesimal. ........................................... 56 Antes de empezar la unidad ....................................................... 57 Sistema sexagesimal ................................................................ 58 Forma compleja e incompleja ................................................. 60 Operaciones en el sistema sexagesimal .................................... 62 Lo esencial ............................................................................... 64 Actividades .............................................................................. . 66294758 _ 0001-0005.indd 2 13/06/12 11:07
  • 9. Proporcionalidad geométrica. .......................... 134 12. Volumen de cuerpos geométricos................ 184 Antes de empezar la unidad ....................................................... 135 Antes de empezar la unidad ....................................................... 185 Teorema de Tales .................................................................... 136 Volumen de un cuerpo ........................................................... 186 Semejanza de triángulos . ........................................................ . 137 Relaciones entre las unidades de volumen, capacidad y masa .... 188 Criterios de semejanza de triángulos ....................................... 138 Volumen de un ortoedro . ....................................................... . 189 Polígonos semejantes .............................................................. 139 Volumen de prismas y cilindros .............................................. 190 Figuras semejantes .................................................................. 140 Volumen de pirámides y conos ............................................... 191 Escalas .................................................................................... 141 Volumen de la esfera . ............................................................. . 191 Lo esencial ............................................................................... 142 Lo esencial ............................................................................... 192 Actividades .............................................................................. . 144 Actividades .............................................................................. . 194 13. Funciones.................................................................. 198 Antes de empezar la unidad ....................................................... 199 Coordenadas cartesianas ......................................................... 200 Concepto de función .............................................................. 201 Representación gráfica de una función .................................... 202 Estudio de una función ........................................................... 204 Lo esencial ............................................................................... 208 Actividades .............................................................................. . 210 14. Estadística ................................................................ 214 Antes de empezar la unidad ....................................................... 215 Estadística . ............................................................................. . 216 Recuento de datos . ................................................................. . 216 Tablas de frecuencias .............................................................. 217 Gráficos estadísticos ................................................................ 218 Medidas de centralización ....................................................... 221 Lo esencial ............................................................................... 224 Actividades .............................................................................. . 226 10. Figuras planas. Áreas.......................................... 148 Antes de empezar la unidad ....................................................... 149 Teorema de Pitágoras .............................................................. 150 Aplicaciones del teorema de Pitágoras ..................................... 151 Área de polígonos ................................................................... 152 Longitud de una circunferencia .............................................. . 157 Área de figuras circulares ........................................................ 157 Lo esencial ............................................................................... 158 Actividades .............................................................................. . 160 11. Cuerpos geométricos. ......................................... 164 Antes de empezar la unidad ....................................................... 165 Rectas y planos en el espacio . ................................................. . 166 Poliedros . ............................................................................... . 167 Prismas ................................................................................... 168 Pirámides ................................................................................ 170 Poliedros regulares . ................................................................ . 172 Cuerpos de revolución ............................................................ 173 Lo esencial ............................................................................... 178 Actividades .............................................................................. . 180294758 _ 0001-0005.indd 3 13/06/12 11:07
  • Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos. Lectura inicial: Antes de empezar 1 Muestra la Antes de empezar la unidad... la unidad… importancia de lo que NÚMEROS NATURALES Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar Aparece el bloque Números de contenidos lo que le rodea. vas a estudiar El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. enteros Representación de números naturales previos necesarios a través de episodios • Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad. • Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 Al resolver operaciones para comprender El año cero combinadas siempre hay relacionados con la para representar el resto de números. que tener en cuenta la jerarquía El pequeño monje corría por los pasillos del palacio de las operaciones. 1 2 3 4 5 papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir. historia de las lo que vas a estudiar. Operaciones con números naturales Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba • Suma y resta el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo: Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha. Matemáticas. Además, mediante –Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, F 7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4 cuando Nuestro Señor vino al mundo. F F El Papa leyó con avidez el documento que • Suma, resta, multiplicación y división Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que la evaluación inicial, Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda Se proponen databa el nacimiento de Cristo en el año 753 a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. DESCUBRE de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, LA HISTORIA... 6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23 el monje repetía: F F 1. Dionisio el Exiguo fue –El año 754 de la fundación de Roma es nuestro actividades que podrás afianzar un monje que nació a finales del siglo v. primer año: primus anno Domini, el año primero Busca información de la Era del Señor. sobre su vida y sobre EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar sus aportaciones los contenidos era que, al contar los años de forma ordinal: En esta unidad te invitan a investigar a la creación del 1 Representa estos números naturales en la recta numérica. año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban aprenderás a… calendario cristiano. 5 3 1 7 8 4 el año cero. Este hecho provocó una enorme • Sumar, restar, 2. Investiga sobre el encargo que el papa polémica hace algunos años; así, mientras unas 2 Realiza estas operaciones de suma y resta. multiplicar y dividir repasados. personas mantenían que el siglo xxi comenzaba sobre el personaje de Juan I hizo a Dionisio a) 8+8-4-3+5 números enteros. el Exiguo. ¿Fueron el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban • Operar con potencias b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3 correctos los cálculos que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001. de números enteros. c) 9+3-5-1+2-7 del monje? • Aplicar las relaciones d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12 de divisibilidad entre la lectura 3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los números enteros. 3 Calcula el resultado de estas operaciones. últimos años de la • Hallar el máximo década de los noventa a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5 común divisor sobre el inicio del b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1 y el mínimo común y la importancia de siglo xxi? ¿A qué se c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7 múltiplo de dos o más debió esa polémica? d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4 números enteros. sus aportaciones. 7 Páginas de contenidos: En ellas Números  1 enteros 1.2  Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es encontrarás los contenidos ANTES, DEBES SABER… y procedimientos básicos apoyados CALCULADORA igual al número sin su signo: Para escribir números Para qué se utilizan los números enteros ;+a; = a ;-a; = a negativos con la calculadora Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números utilizamos la tecla +/- . naturales. Necesitamos utilizar los números negativos: EJEMPLO en gran cantidad de ejemplos resueltos. NO OLVIDES – 4 " 4 +/- • Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. 2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3. ;0; = 0 Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C. ;5; = ;+5; = ;-5; = 5 • Al considerar deudas económicas. Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4 Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3 Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €. En la mayoría de las páginas se incluye • Al referirse a las plantas de un edificio. 1.3  Opuesto de un número entero El garaje está en la planta -2. El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está valor absoluto pero de signo contrario. formado por: • Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … • El número cero: 0. Op (+a) = -a Op (-a) = +a la sección ANTES, DEBES SABER… EJEMPLO Los números enteros donde se repasan contenidos • Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, … positivos se escriben 3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica. habitualmente sin el signo + que les precede. 1.1  Representación de números enteros Op (-5) = +5 Op (+5) = -5 +6 = 6 +15 = 15 o procedimientos que debes conocer Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. • El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. 1.4  Comparación de números enteros • Los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero. Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de- SE ESCRIBE ASÍ al enfrentarte a los nuevos contenidos. • Los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero. recha en la recta numérica. > Mayor que 5>2 … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … • Un número entero positivo es mayor que cualquier número negativo. F F < Menor que 2<5 Números enteros negativos Números enteros positivos • El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera Esta sección también se refuerza positivo. EJEMPLO EJEMPLOS 1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: con ejemplos resueltos. -3 +6 -1 -4 0 +5 4 Compara estos números enteros. b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 -3 0 +1 +5 1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros. Al final de cada página se proponen LO QUE DEBES SABER RESOLVER +4 -3 -5 +6 1 Expresa con números enteros. 3 Escribe situaciones que correspondan -5 < -3 < +4 < +6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 a) El avión vuela a una altura de tres mil metros. a estos números. a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2 ejercicios que debes saber resolver b) El termómetro marca tres grados bajo cero. c) Le debo cinco euros a mi hermano. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Representa en la recta numérica estos números d) El almacén está en el tercer sótano. enteros. 2 Halla el valor absoluto y el opuesto de: 7 Representa y ordena, de menor a mayor: e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra. +7 -5 -2 +4 0 -8 -4 +5 -13 +27 -1 +18 +8 -2 +3 +11 0 -7 -9 8 9 a partir de los contenidos aprendidos.294758 _ 0001-0005.indd 4 18/06/12 11:51
  • Lo esencial: Esta doble página Lo esencial es de resumen y autoevaluación. COMPRENDE ESTAS PALABRAS Números enteros • Números enteros positivos: Divisibilidad 8 : 2 es una división exacta 4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS COMPRENDE ESTAS PALABRAS. Descompón 68 en factores primos. Es el vocabulario matemático +1, +2, +3, +4, … F F • El número 0. PRIMERO. Dividimos el valor FACTORES SEGUNDO. Expresamos el número como 8 es divisible por 2 absoluto del número entre PRIMOS el producto de todos los factores primos • Números enteros negativos: F los sucesivos números primos: 68 2 de la columna de la derecha utilizando F -1, -2, -3, -4, … trabajado en esa unidad. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… 68 : 2 " 34 2 potencias, siempre que se pueda. Potencia an = a ? a ? a ? … ? a F F tantas veces como sea necesario 34 : 2 " 17 17 68 = 2 ? 2 ? 17 = 22 ? 17 1442443 17 : 17 " 1 n veces 8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8 hasta obtener la unidad. 22 5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS HAZLO DE ESTA MANERA. Son los HAZLO DE ESTA MANERA Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84. 1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS ENTEROS 2. CALCULAR UN PRODUCTO O DIVISIÓN DE POTENCIAS PRIMERO. Descomponemos el valor absoluto de los números enteros en factores primos. 12 2 6 2 3 3 12 = 22 ? 3 24 2 12 2 6 2 24 = 23 ? 3 84 2 42 2 21 3 84 = 22 ? 3 ? 7 procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce 1 3 3 7 7 Calcula. a) (-4) ? (+3) b) (-25) : (-5) Expresa, si se puede, con una sola potencia. 1 1 a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23 SEGUNDO. PRIMERO. Multiplicamos o dividimos sus valores absolutos. b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23 • Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados mediante la resolución de una actividad al menor de los exponentes. a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12 PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales. • Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5 a) y b) 67 y 63 " La base de las dos elevados al mayor de los exponentes. SEGUNDO. Al resultado le añadimos potencias es la misma, 6. Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3 en la que se muestra, paso a paso, un signo + si ambos tienen el mismo signo, e) y f) (-6)5 y 23 " o son iguales las bases. N Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3 o el signo - si son de signo distinto. m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12 SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5 m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168 o restamos los exponentes. Si no lo son, F F Distinto signo Mismo signo no podemos operar los exponentes. 1. CALCULAR LA POTENCIA a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 e) y f) No podemos operar. b) 67 : 63 = 67-3 = 64 Y AHORA… PRACTICA un método general de resolución. DE UN NÚMERO ENTERO Comprende estas palabras Resolver operaciones combinadas Y AHORA… PRACTICA. Son actividades 1. Escribe, si se puede, estas expresiones 5. Calcula: Calcula el valor de las siguientes potencias. 3. RESOLVER OPERACIONES en forma de potencia. (-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2 a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4 COMBINADAS a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7 Descomponer un número en factores primos PRIMERO. Tomamos el valor absoluto Resuelve. Multiplicar y dividir números enteros que te permitirán comprobar si dominas de la base y calculamos su potencia. 6. Descompón en factores primos los números. (-3) ? [6 : (-2)] - (-2) = 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776 1. Calcula. a) (-5) ? (-7) b) (+24) : (-3) a) 88 c) 32 e) 91 PRIMERO. Resolvemos 64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296 los paréntesis. b) 84 d) 154 f) 252 Calcular la potencia de un número entero F los contenidos esenciales de esa unidad. SEGUNDO. Si la base es negativa = (-3) ? [-3] - (-2) = SEGUNDO. Resolvemos Calcular el máximo común divisor y el 3. Determina el valor de estas potencias. y el exponente es un número impar, las multiplicaciones mínimo común múltiplo de varios números a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3 añadimos el signo - al resultado. y divisiones. 7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo F a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296 = +9 - (-2) = TERCERO. Resolvemos Calcular un producto o división de potencias común múltiplo de estos números. b) (-6)5 = -7 776 = +9 + 2 = +11 las sumas y restas. 4. Expresa como una potencia. a) 33 ? 35 a) 8, 20 y 42 b) 18, 45 y 96 20 21 Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados Actividades por contenidos. Todos los enunciados NÚMEROS ENTEROS 62. ● Realiza las siguientes sumas. a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9) 67. ● ● Realiza estas operaciones. a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS van precedidos por un icono que 46. ● Expresa con un número entero. b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) 79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base a) Luis ganó 6 000 € en la lotería. c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) y el exponente. b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero. d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 c) Marta vive en el cuarto piso. b) (-2) ? (-2) ? (-2) indica su grado de dificultad. 63. ● Calcula estas restas. 68. ● ● Copia y completa los huecos para que las d) La tienda está en el segundo sótano. c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) igualdades sean ciertas. 47. ● Copia y completa esta recta numérica: a) (-11) + 4 = +4 80. ● Escribe en forma de potencia y en forma b) (+13) + 4 = +12 de producto. 4 -3 4 4 4 1 4 c) 4 + (-20) = -12 a) Base 11 y exponente 4. HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos d) (+3) - 4 = -7 b) Base -2 y exponente 3. 48. ● Representa estos números enteros en e) (-15) - 4 = +9 81. ● ● Calcula las siguientes potencias. una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2. f) 4 - (+8) = +7 a) 45 c) 142 e) 73 g) 54 que puedes tomar como modelo 49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4? 64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas. 69. ● Calcula los siguientes productos. b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4 50. ● Copia y completa con el signo < o >. a) (-21) + (-12) - (+9) a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35) 83. ● Calcula las siguientes potencias. a) -9 4 -12 b) (+17) - (+23) + (+34) b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5) c) (-32) + (-19) - (-11) a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1 para afianzar procedimientos b) 3 4 -2 d) (-54) - (+22) + (-10) 71. ● Calcula los siguientes productos. c) -1 4 -4 84. ● Expresa como una sola potencia. a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6) d) -7 4 -5 65. ● Calcula. a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3 b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3) a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8) trabajados en la unidad. 53. ● Escribe dos números enteros. b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 72. ● ● Copia y completa estos productos. a) Menores que +3 y mayores que -1. 85. ● Expresa como una sola potencia. c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 a) (-5) ? 4 = -30 b) Menores que -3. a) 43 ? 43 ? 4 d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 b) 4 ? (+3) = 45 c) Mayores que -6. b) 95 ? 92 ? 94 d) Mayores que -2 y menores que +1. e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1 c) (-9) ? 4 = 27 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2) d) 4 ? (-8) = -48 d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6 54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes HAZLO ASÍ números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1. 76. ● ● Realiza estas divisiones. 87. ● Expresa como una sola potencia. ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2) a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3 Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS? b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1) OPERACIONES CON NÚMEROS b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6) ENTEROS 66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) 77. ● ● Opera. 88. ● ● Expresa como una sola potencia. PRIMERO. Se resuelven los paréntesis. a) (+21) ? (+2) : (-14) 60. ● Calcula las siguientes sumas y restas. a) (28 : 23) ? 23 -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) = b) (+5) : (-5) ? (-4) b) 35 : (37 : 34) a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5) c) (+2) ? (+9) : (-3) SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis. c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2 b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33) d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3) • Si están precedidos por el signo +, se d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)] c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11) e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5) mantienen los signos de los números. d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15) f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5) 89. ● Expresa como una sola potencia. • Si están precedidos por el signo -, se cambian 61. ● Copia y completa esta tabla: los signos de los números. a) (54)3 c) [(-3)4]3 78. ● ● Copia y completa las siguientes divisiones. b) (75)2 d) [(-9)3]3 F a b a-b b-a a+b b+a = -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 = a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 91. ● ● Expresa como una sola potencia. F -7 +9 TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, c) 4 : (-6) = -42 a) (25)2 ? (22)4 -12 -5 de izquierda a derecha. d) (+48) : 4 = -6 b) (103)3 ? (102)4 +11 -18 = -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1 e) (-63) : 4 = -7 c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3 +23 +17 f) 4 : (+8) = +2 d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3 22 23294758 _ 0001-0005.indd 5 13/06/12 11:07
  • 1 Números enteros El año cero El pequeño monje corría por los pasillos del palacio papal, y su cara denotaba una satisfacción que difícilmente lograba reprimir. Cuando por fin llegó a la sala donde se encontraba el Papa, se arrodilló, besó su anillo y, con falsa modestia, dijo: –Lo encontré, Su Santidad: el Año de la Salvación, cuando Nuestro Señor vino al mundo. El Papa leyó con avidez el documento que Dionisio el Exiguo le había entregado, en el que databa el nacimiento de Cristo en el año 753 DESCUBRE de la fundación de Roma. Al mismo tiempo, LA HISTORIA... el monje repetía: 1. Dionisio el Exiguo fue un monje que nació –El año 754 de la fundación de Roma es nuestro a finales del siglo v. primer año: primus anno Domini, el año primero Busca información de la Era del Señor. sobre su vida y sobre Pero lo que estos dos personajes no podían imaginar sus aportaciones era que, al contar los años de forma ordinal: a la creación del calendario cristiano. año primero, año segundo, año tercero…, eliminaban el año cero. Este hecho provocó una enorme 2. Investiga sobre el encargo que el papa polémica hace algunos años; así, mientras unas Juan I hizo a Dionisio personas mantenían que el siglo xxi comenzaba el Exiguo. ¿Fueron el 1 de enero de 2000, los hechos demostraban correctos los cálculos que este siglo comenzó el 1 de enero de 2001. del monje? 3. ¿Cuál fue la polémica que se creó en los últimos años de la década de los noventa sobre el inicio del siglo xxi? ¿A qué se debió esa polémica?294758 _ 0006-0025.indd 6 13/06/12 11:10
  • Antes de empezar la unidad... NÚMEROS NATURALES Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. El conjunto de números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Representación de números naturales • Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos puntos como unidad. Al resolver operaciones • Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 combinadas siempre hay para representar el resto de números. que tener en cuenta la jerarquía de las operaciones. 1 2 3 4 5 Operaciones con números naturales • Suma y resta Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha. F 7 + 5 - 4 - 6 + 2 = 12 - 4 - 6 + 2 = 8 - 6 + 2 = 2 + 2 = 4 F F • Suma, resta, multiplicación y división Se calculan primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. 6 + 5 ? 4 - 6 : 2 = 6 + 20 - 6 : 2 = 6 + 20 - 3 = 26 - 3 = 23 F F EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO En esta unidad 1 Representa estos números naturales en la recta numérica. aprenderás a… 5   3   1   7   8   4 •  Sumar, restar, 2 Realiza estas operaciones de suma y resta. multiplicar y dividir a) 8 + 8 - 4 - 3 + 5 números enteros. b) 12 - 5 + 7 - 2 + 11 - 3 •  Operar con potencias de números enteros. c) 9 + 3 - 5 - 1 + 2 - 7 •  Aplicar las relaciones d) 15 - 4 - 2 + 6 + 12 de divisibilidad entre números enteros. 3 Calcula el resultado de estas operaciones. •  Hallar el máximo a) 16 + 3 - 15 : 3 + 5 común divisor b) 12 ? 3 + 7 - 8 : 2 - 1 y el mínimo común c) 4 + 9 : 3 - 2 - 1 + 7 múltiplo de dos o más d) 11 - 3 ? 2 + 6 ? 4 números enteros. 7294758 _ 0006-0025.indd 7 13/06/12 11:10
  • Números 1 enteros CALCULADORA ANTES, DEBES SABER… Para escribir números Para qué se utilizan los números enteros negativos con la calculadora Hay expresiones cotidianas que no se pueden indicar con números utilizamos la tecla +/-    . naturales. Necesitamos utilizar los números negativos: – 4 " 4 +/-     • Cuando hablamos de temperaturas bajo cero. Así, 3 grados bajo cero se expresa como -3 °C. • Al considerar deudas económicas. Si debemos 50 €, decimos que nuestro saldo es de -50 €. • Al referirse a las plantas de un edificio. El garaje está en la planta -2. El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z y está formado por: •   úmeros enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, … N •  El número cero: 0. Los números enteros •   úmeros enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, … N positivos se escriben habitualmente sin el signo + que les precede. 1.1  Representación de números enteros +6 = 6    +15 = 15 Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica. •  cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. El •  números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero. Los •  números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero. Los … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … F F Números enteros negativos Números enteros positivos EJEMPLO 1 Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -3        +6        -1        -4        0        +5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa con números enteros. 3 Escribe situaciones que correspondan a)  l avión vuela a una altura de tres mil metros. E a estos números. a) +57 € b) -100 m c) -6 °C d) +2 b)  l termómetro marca tres grados bajo cero. E c)  e debo cinco euros a mi hermano. L 1 Representa en la recta numérica estos números d) El almacén está en el tercer sótano. enteros. e) Hay cinco grados bajo cero en la sierra. +7  -5  -2  +4  0  -8 8294758 _ 0006-0025.indd 8 13/06/12 11:11
  • 1.2  Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero se escribe entre barras, ; ;, y es igual al número sin su signo: ;+a; = a     ;-a; = a EJEMPLO NO OLVIDES 2 Calcula el valor absoluto de -4 y +3. ;0; = 0 ;5; = ;+5; = ;-5; = 5 Valor absoluto de -4 " ;-4; = 4    Valor absoluto de +3 " ;+3; = 3 1.3  Opuesto de un número entero El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto pero de signo contrario. Op (+a) = -a     Op (-a) = +a EJEMPLO 3 Calcula el opuesto de -5 y de +5. Represéntalos en la recta numérica. Op (-5) = +5     Op (+5) = -5 1.4  Comparación de números enteros Un número entero es mayor que otro cuando está situado más a la de- SE ESCRIBE ASÍ recha en la recta numérica. > Mayor que 5>2 •  número entero positivo es mayor que cualquier número negativo. Un < Menor que 2<5 •  0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera El positivo. EJEMPLOS 4 Compara estos números enteros. b) -2 y -5 -2 > -5 c) +5 y -3 +5 > -3 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 -3 0 +1 +5 1 Ordena, de menor a mayor, estos números enteros. +4  -3  -5  +6 -5 < -3 < +4 < +6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Halla el valor absoluto y el opuesto de: 7 Representa y  ordena, de menor a mayor: -4  +5  -13  +27  -1  +18 +8  -2  +3  +11  0  -7  -9 9294758 _ 0006-0025.indd 9 13/06/12 11:11
  • Suma y resta 2 de números enteros 2.1  Suma de dos números con el mismo signo Para sumar dos números enteros que tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone al resultado el mismo signo de los sumandos. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. a) (+6) + (+7) = +13 Mismo signo  "  ;+6; + ;+7; = 6 + 7 = 13 b) (-6) + (-7) = -13 Mismo signo  "  ;-6; + ;-7; = 6 + 7 = 13 2.2  Suma de dos números con distinto signo Para sumar dos números enteros que tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone al resultado el signo del sumando de mayor valor absoluto. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. a) (-6) + (+7) = +1 Distinto signo  "  ;+7; - ;-6; = 1 El resultado es positivo ya que +7 es el sumando cuyo valor absoluto es mayor, ;+7; = 7. b) (+6) + (-7) = -1 Distinto signo  "   -7; - ;+6; = 1  ; LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Calcula. 4 Realiza estas sumas de números enteros. a) (+6) + (+2) c) (+3) + (+8) a) (+9) + (+7) f) (-3) + (+5) b) (-6) + (-2) d) (-3) + (-8) b) (-9) + (-7) g) (-3) + (-5) 3 Calcula. c) (+9) + (-7) h) (+5) + (-2) a) (+6) + (-2) c) (+3) + (-8) d) (+3) + (+5) i) (-5) + (-2) b) (-6) + (+2) d) (-3) + (+8) e) (+3) + (-5) j) (-5) + (+2) 10294758 _ 0006-0025.indd 10 13/06/12 11:11
  • 2.3  Resta de dos números enteros Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. EJEMPLO 5 Resuelve estas operaciones. c) (+6) - (+7) = (+6) + Op (+7) = (+6) + (-7) = 6 - 7 = -1 d) (+6) - (-7)  (+6) + Op (-7) = (+6) + (+7) = 6 + 7 = +13 = 2.4  Operaciones combinadas de suma y resta Para sumar y restar varios números sumamos y restamos los números en el orden en que aparecen. EJEMPLO 2 Calcula. F a) 6 + 3 - 8 - 5 = 9 - 8 - 5 = 1 - 5 = -4 F b) (-5) - (+4) + (-3) - (-6) = -5 - (+4) + (-3) - (-6) = Un paréntesis precedido del signo - F = -5 - 4 + (-3) - (-6) = -5 - 4 - 3 - (-6) = cambia los signos de F los números de su interior. F = -5 - 4 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -12 + 6 = -6 Un paréntesis precedido del signo + mantiene los signos. ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones de suma y resta con paréntesis Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 6 Resuelve esta operación. (-3) + (8 - 4) - (-4 + 3) = (-3) + (+4) - (-1) = -3 + (+4) - (-1) = = -3 + 4 - (-1) = -3 + 4 + 1 = 1 + 1 = 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Realiza estas operaciones. 9 Calcula. a) 3 + 5 - 2 - 8 a) -11 + 8 - 6 - 7 + 9 b) -5 + 8 - 2 - 7 b) 3 - 8 + 12 - 15 - 1 + 10 - 4 c) 9 - 7 + 8 + 3 - 2 c) 15 - 14 + 9 - 21 - 13 + 6 d) (+6) - (+7) + (-5) - (-3) d) -(4 - 9 + 3) + (11 - 8 - 7) + (-15) 11294758 _ 0006-0025.indd 11 13/06/12 11:11
  • Multiplicación y división 3 de números enteros 3.1  Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º  multiplican sus valores absolutos. Se 2.º  resultado se le añade el signo + si ambos números son de Al igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 6 Realiza estos productos. a) (+3) ? (+5) = +15 c) (-3) ? (+5) = -15 F F F F +?+=+ -?+=- 3 ? 5 = 15 3 ? 5 = 15 b) (-3) ? (-5) = +15 d) (+3) ? (-5) = -15 F F F F  - ? - = +   + ? - = -  Regla de los signos  3 ? 5 = 15   3 ? 5 = 15  +·+=+ +:+=+ -·-=+ -:-=+ +·-=- +:-=- 3.2  División de números enteros -·+=- -:+=- Para dividir dos números enteros: 1.º  dividen sus valores absolutos. Se 2.º  resultado se le añade el signo + si ambos números son de Al igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 7 Realiza estas divisiones. a) (+27) : (-3) = -9 c) (-27) : (-3) = +9 F F F F +:-=- -:-=+ 27 : 3 = 9 27 : 3 = 9 b) (+27) : (+3) = +9 d) (-27) : (+3) = -9 F F F F  + : + = +   - ? + = -   27 : 3 = 9   27 : 3 = 9  LO QUE DEBES SABER RESOLVER 12 Resuelve estas multiplicaciones. 6 Realiza las siguientes multiplicaciones a) (-3) ? (+2) d) (+2) ? (+7) y divisiones. b) (-2) ? (-8) e) (+5) ? (-4) a) (-5) ? (-6) b) (+3) ? (-3) 13 Calcula las divisiones. c) (-2) ? (+2) a) (-12) : (+6) d) (+21) : (+7) d) (+12) : (-2) b) (-6) : (-2) e) (+24) : (-4) e) (-24) : (-6) 12294758 _ 0006-0025.indd 12 13/06/12 11:11
  • Potencias 4 de números enteros ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias de números naturales Una potencia es la forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: 45 = 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4      3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34 Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de CALCULADORA factores iguales: Para hallar potencias con an = a ? a ? a ? … ? a 144 244 3 4 4 la calculadora utilizamos n veces la tecla x  y    . a es la base, el factor que se repite. 56 " 5   x  y   6   =  15625 n es el exponente, el número de veces que se repite la base. 212 " 2   x  y  12 =  4096 EJEMPLO 9 Completa la siguiente tabla. Producto Potencia Se lee (+4) ? (+4) (+4) 2 «4 elevado a 2» o «4 al cuadrado» (-9) ? (-9) ? (-9) (-9)3 «-9 elevado a 3» o «-9 al cubo» 5 3?3?3?3?3 3 «3 elevado a 5» o «3 a la quinta potencia» base Signo de una potencia de base un número entero 34 F F En una potencia de base un número entero y exponente natural: exponente •  la base es un número positivo, la potencia es positiva. Si •  la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando Si el exponente es par y negativa si es impar. EJEMPLO 10 Calcula el valor de estas potencias. a) (+2)4 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 24 = 16 b) (+2)5 = (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) ? (+2) = 25 = 32 c) (-2)4 = (-2) ? (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) ? (-2) = (-8) ? (-2) = 16 d) (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = (+4) ? (-2) = -8 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Escribe cómo se leen las potencias y calcula 17 Expresa en forma de potencia y halla su valor. su valor. 5 6 3 2 a) 3 c) (-8) e) 10 g) (-4) a) 6 ? 6 ? 6 c) (-2) ? (-2) ? (-2) b) 22 d) (-5)3 f) 42 h) (-2)3 b) 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 d) (-5) ? (-5) 13294758 _ 0006-0025.indd 13 13/06/12 11:11
  • Operaciones 5 con potencias ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número como potencias de 0 y de 1 • Un número elevado a 0 es 1. • Un número elevado a 1 es el mismo número. (-4)0 = 1     50 = 1     (-3)1 = -3     71 = 7 5.1  Producto de potencias de la misma base Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. am ? an = am+n EJEMPLO Para que se puedan aplicar las propiedades 3 Resuelve estas operaciones con potencias. del producto a) 63 ? 62 = 63+2 = 65 y el cociente, b) (-6)3 ? (-6)2 = (-6)3+2 = (-6)5 las potencias han de tener la misma base. c) 57 ? 54 = 57+4 = 511 d) (-5)7 ? (-5)4 = (-5)7+4 = (-5)11 5.2  Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias de la misma base se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am : an = am-n    m H n EJEMPLO 4 Resuelve estas operaciones con potencias. a) 63 : 62 = 63-2 = 61 c) 57 : 54 = 57-4 = 53 b) (-6)3 : (-6)2 = (-6)3-2 = (-6)1 d) (-5)7 : (-5)4 = (-5)7-4 = (-5)3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Expresa estas operaciones con potencias 7 Calcula. con una sola potencia, y utiliza la calculadora a) 43 ? 42 + 37 ? 35 b) 85 : 84 + 78 ? 73 para resolverlas. a) 34 ? 35 e) (-3)6 ? (-3)2 b) 53 ? 52 f) (-5)3 ? (-5)2 21 Resuelve las operaciones. c) 412 : 48 g) (-4)12 : (-4)8 a) 52 ? 52 + 36 : 35 + 102 ? 103 d) 74 : 7 h) (-7)4 : (-7) b) 52 : 5 + 33 ? 32 + 102 : 102 14294758 _ 0006-0025.indd 14 13/06/12 11:11
  • 5.3  Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (an)m = an ? m EJEMPLO 5 Escribe como una sola potencia. a) (63)4 = 63?4 = 612 b) (-63)4 = (-6)3?4 = (-6)12 c) (57)2 = 57?2 = 514 d) (-57)2 = (-5)7?2 = (-5)14 5.4  Potencia de una multiplicación y una división • La potencia de una multiplicación es igual al producto de las poten- cias de sus factores. (a ? b)n = an ? bn • La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor. (a : b)n = an : bn EJEMPLO DATE CUENTA 6 Resuelve estas operaciones con potencias. (-7 ? 2)3 = (-7)3 ? 23 [(-7) ? 2]3 = (-7)3 ? 23 a) (2 ? 6)4 = 24 ? 64 = 16 ? 1 296 = 20 736 Por tanto: b) (-2 ? 3)4 = (-2)4 ? 34 = 16 ? 81 = 1 296 (-7 ? 2)3 = [(-7) ? 2]3 c) [3 ? (-5)]3 = 33 ? (-5)3 = 27 ? (-125) = -3 375 d) [-2 ? (-4)]2 = (-2)2 ? (-4)2 = 4 ? 16 = 64 e) (15 : 5)2 = 152 : 52 = 225 : 25 = 9 f) [8 : (-2)]2 = 82 : (-2)2 = 64 : 4 = 16 g) [(-8) : (-4)]3 = (-8)3 : (-4)3 = (-512) : (-64) = 8 h) (-8 : 4)3 = (-8)3 : 43 = (-512) : 64 = -8 i) [-16 : (-4)]2 = (-16)2 : (-4)2 = 256 : 16 = 16 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Calcula estas potencias. 24 Expresa como un producto o una división 4 6 3 2 de potencias. a) (7 ) d) [(-8) ] b) [(-2)3]4 e) (56)3 a) (3 ? 2)3 c) [(-3) ? 2]3 e) [(-3) ? (-2)]3 c) (85)3 f) [(-9)5]3 b) (8 : 4)4 d) [(-8) : 4]4 f) [(-8) : (-4)]4 15294758 _ 0006-0025.indd 15 13/06/12 11:11
  • Jerarquía 7 de las operaciones ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales Al operar con números naturales resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 7 Resuelve esta operación. 25 - 4 ? 3 : 6 - 3 + 12 : 3 =    Multiplicaciones y divisiones F = 25 - 12 : 6 - 3 + 4 = = 25 - 2 - 3 + 4 =        Sumas y restas F = 23 - 3 + 4 = = 20 + 4 = 24 Cuando aparecen operaciones combinadas, el orden establecido para ope- rar es el siguiente: 1.o  Eliminamos los paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera. o 2.   Resolvemos las potencias y raíces, de izquierda a derecha. o 3.   Efectuamos las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. o 4.   Efectuamos las sumas y restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 17 Calcula. a) (+15) : [(+6) - (+1)] - [(+9) + (-3)] : 2 = Corchetes y paréntesis F = 15 : (6 - 1) - (9 - 3) : 2 = 15 : 5 - 6 : 2 =       Divisiones F =3-3=         Restas F =0 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 31 Calcula. 32 Haz estas operaciones. a) (+4) ? (-7) + (-3) ? (-2) a) (+7) - (-12) ? (+5) b) (+16) : (-8) + (-24) : (-6) b) (-5) - [(-6) - (-5) ? (-9)] c) (-4) ? (-5) - (+3) ? (-2) c) [16 - (-4)] : [2 ? (-2)] d) (-12) : (-3) - (+4) : (-2) d) (9 - 4) ? (-5) - 1 16294758 _ 0006-0025.indd 16 13/06/12 11:11
  • Divisibilidad 8 entre números enteros La divisibilidad se suele ANTES, DEBES SABER… estudiar solo para números Cuándo una división es exacta positivos. Para números negativos se • Una división es exacta cuando su resto es 0. cumplen las mismas • Una división no es exacta cuando su resto es distinto de 0. propiedades. 68  u 4 69  u 4 28  17 29  17   0 !Resto   68 : 4 es exacta.   1 !Resto   69 : 4 no es exacta. Si la división a : b es exacta (su resto es 0), podemos afirmar que: •  a es divisible por b. •  a es múltiplo de b. •  b es divisor de a. EJEMPLOS 8 ¿Es 6 múltiplo de 3? ¿Es 3 divisor de 6? 6 : 3 = 2 " División exacta " 6 es divisible por 3. 6 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 6. 18 Calcula los seis primeros múltiplos de 5. 5?1 5?2 5?3 5?4 5?5 5?6 • Múltiplos de 5 " 5 = { 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , …} SE ESCRIBE ASÍ 19 Determina los divisores de 6. •  3   "  Todos los múltiplos 6  1 6  2 6  3 6  4 6  5 6  6 de 3. 0  6 0  3 0  2 2  1 1  1 0  1 • 12  " Todos los múltiplos Divisores de 6 " Div (6) = {1, 2, 3, 6} de 12. Div (8)   "  Todos los divisores de 8. Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son él Div (12)  "  Todos los mismo y la unidad. En caso contrario decimos que es compuesto. divisores de 12. EJEMPLO 20 Averigua si 11 y 33 son números primos o compuestos. Div (11) = {1, 11}                 Div (33) = {1, 3, 11, 33} El número 11 es primo porque solo tiene dos divisores, 33 es compuesto porque tiene más de dos divisores. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 35 Calcula diez múltiplos y todos los divisores. 36 ¿Cuáles de estos números son primos? a) 8 b) 7 c) 4 d) 10 4  5  9  11   14   17   21 17294758 _ 0006-0025.indd 17 13/06/12 11:11
  • 8.1  Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten reconocer, sin necesidad de realizar la división, si un número es divisible por otro. Divisible por… Criterio 2 Si la última cifra es 0 o par. 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5 Si la última cifra es 0 o 5. 10 Si la última cifra es 0. EJEMPLO 21 Comprueba si 2 541 es divisible por 2, 3, 5 y 10. •  No es divisible por 2, porque no termina en 0 ni en cifra par. •  Es divisible por 3, porque: 2 + 5 + 4 + 1 = 12, que es múltiplo de 3. •  No es divisible por 5, porque no termina en 0 ni en 5. •  No es divisible por 10, porque no termina en 0. 8.2  Descomposición en factores primos Un número entero se puede expresar de forma única como producto de Para descomponer un distintos números primos elevados a potencias. A esta expresión se le número en factores primos llama descomposición en factores primos del número. tenemos que dividir entre 2, 3, 5… ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia Una potencia es un producto de factores iguales.    2 ? 2 ? 2 = 23 14243 F 3 veces EJEMPLO 22 Descompón 12 y 63 en factores primos. COCIENTES FACTORES COCIENTES FACTORES PARCIALES PRIMOS PARCIALES PRIMOS 12 2 63 3 12 : 2 "   6 2 " 63 : 3 " 21 3 " 6:2"  3 3" 21 : 3 "   7 7 " 3:3"  1 7:7"  1 2 12 = 2 ? 2 ? 3 = 2 ? 3 63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 39 Comprueba si son divisibles por 2, 3, 5, 10 y 11. 40 Descompón en factores primos. a) 145 b) 3 467 c) 12 624 d) 212 a) 210 b) 270 c) 66 d) 92 18294758 _ 0006-0025.indd 18 13/06/12 11:11
  • 8.3  Máximo común divisor y mínimo común múltiplo •  máximo común divisor (m.c.d.) de varios números enteros es el El SE ESCRIBE ASÍ mayor número entero positivo que es divisor de todos. •  Máximo común divisor •  m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los números El de dos números: en factores primos y multiplicando los factores primos comunes ele- m.c.d. (a, b) vados al menor de sus exponentes. m.c.d. (15, 12) •  Mínimo común múltiplo de dos números: EJEMPLO m.c.m. (a, b) m.c.m. (15, 12) 24 Calcula el máximo común divisor de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12   2 28   2   6   2 14   2 12 = 22 ? 3 28 = 22 ? 7   3   3   7   7   1     1   m.c.d. (12, 28) = 22 = 4 •  mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros es El Si m.c.d. (a, b) = 1, el menor número entero positivo que es múltiplo de todos. a y b no tienen divisores •  m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores primos El comunes. Decimos que y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados son primos entre sí. al mayor de sus exponentes. EJEMPLO 24 Calcula el mínimo común múltiplo de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12   2 28   2   6   2 14   2 12 = 22 ? 3 28 = 22 ? 7   3   3   7   7   1     1   m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Calcula el máximo común divisor de estos 43 Descompón estos números en factores primos, números, descomponiéndolos en factores y calcula su máximo común divisor y su mínimo primos. común múltiplo. a) 14 y 21 b) 35 y 70 a) 18 y 20 d) 18 y 32 b) 28 y 42 e) 48 y 32 9 Calcula el mínimo común múltiplo de estos c) 18 y 4 f) 21 y 28 números, descomponiéndolos en factores primos. 44 Halla el m.c.d. y el m.c.m. de estos números. a) 25 y 75 b) 36 y 72 a) 10, 12 y 35 b) 15, 20 y 27 19294758 _ 0006-0025.indd 19 13/06/12 11:11
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Números enteros Divisibilidad • Números enteros positivos: 8 : 2 es una división exacta +1, +2, +3, +4, … F F • El número 0. 8 es divisible por 2 • Números enteros negativos: F F -1, -2, -3, -4, … Potencia an = a ? a ? a ? … ? a F F 1442443 n veces 8 es múltiplo de 2      2 es divisor de 8 HAZLO DE ESTA MANERA 1. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS 2. CALCULAR UN PRODUCTO ENTEROS O DIVISIÓN DE POTENCIAS Calcula. a)  (-4) ? (+3) b) (-25) : (-5) Expresa, si se puede, con una sola potencia. PRIMERO. Multiplicamos o dividimos a) 67 ? 63 e) (-6)5 ? 23 sus valores absolutos. b) 67 : 63 f) (-6)5 : 23 a) ;-4; ? ;+3; = 4 ? 3 = 12 PRIMERO. Estudiamos si las bases son iguales. b) ;-25; ? ;-5; = 25 : 5 = 5 a) y b)  67 y 63 " La base de las dos SEGUNDO. Al resultado le añadimos potencias es la misma, 6. 5 3 un signo + si ambos tienen el mismo signo, e) y f)  (-6) y 2 "  o son iguales las bases. N o el signo - si son de signo distinto. SEGUNDO. Si las bases son iguales, sumamos a) (-4) ? (+3) = -12 b) (-25) ? (-5) = +5 o restamos los exponentes. Si no lo son, F F Distinto signo Mismo signo no podemos operar los exponentes. a) 67 ? 63 = 67+3 = 610 b) 67 : 63 = 67-3 = 64 e) y f)  No podemos operar. 1. CALCULAR LA POTENCIA DE UN NÚMERO ENTERO Calcula el valor de las siguientes potencias. 3. RESOLVER OPERACIONES a) 65 b) (-6)5 c) (-6)4 COMBINADAS PRIMERO. Tomamos el valor absoluto Resuelve. de la base y calculamos su potencia. (-3) ? [6 : (-2)] - (-2) = 65 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 7 776 PRIMERO. Resolvemos 64 = 6 ? 6 ? 6 ? 6 = 1 296 los paréntesis. F SEGUNDO. Si la base es negativa = (-3) ? [-3] - (-2) = SEGUNDO. Resolvemos y el exponente es un número impar, las multiplicaciones añadimos el signo - al resultado. y divisiones. F a) 65 = 7 776 c) (-6)4 = 1 296 = +9 - (-2) = TERCERO. Resolvemos 5 b) (-6) = -7 776 = +9 + 2 = +11 las sumas y restas. 20294758 _ 0006-0025.indd 20 13/06/12 11:11
  • 4. DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS Descompón 68 en factores primos. PRIMERO. Dividimos el valor FACTORES SEGUNDO. Expresamos el número como PRIMOS absoluto del número entre el producto de todos los factores primos los sucesivos números primos: 68   2 de la columna de la derecha utilizando 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… 68 : 2 " 34   2 potencias, siempre que se pueda. tantas veces como sea necesario 34 : 2 " 17   17 68 = 2 ? 2 ? 17 = 22 ? 17 hasta obtener la unidad. 17 : 17 " 1   22 5. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 12, 24 y 84. PRIMERO. Descomponemos el valor 12   2 24   2 84   2 absoluto de los números enteros   6   2 12   2 42   2 en factores primos.   3   3  12 = 22 ? 3   6   2  24 = 23 ? 3 21   3  84 = 22 ? 3 ? 7  1   3   3   7   7   1   1 SEGUNDO. •  Para calcular el máximo común divisor tomamos los factores comunes elevados al menor de los exponentes. •  Para calcular el mínimo común múltiplo tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor de los exponentes. Factores comunes " 2 y 3 Comunes con menor exponente " 22 y 3 Factores no comunes " 7 Comunes con mayor exponente " 23 y 3 m.c.d. (12, 24, 84) = 22 ? 3 = 12 m.c.m. (12, 24, 84) = 23 ? 3 ? 7 = 168 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Resolver operaciones combinadas 1. Escribe, si se puede, estas expresiones 5. Calcula: en forma de potencia. (-3)3 + (-5) ? [(-6) : (-3)] + (-7)2 a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) 7 ? 6 ? 5 ? 4 c) 7 ? 7 Descomponer un número en factores primos Multiplicar y dividir números enteros 6. Descompón en factores primos los números. 1. Calcula.  a)  (-5) ? (-7)    b)  (+24) : (-3) a) 88 c) 32 e) 91 b) 84 d) 154 f) 252 Calcular la potencia de un número entero Calcular el máximo común divisor y el 3. Determina el valor de estas potencias. mínimo común múltiplo de varios números a) 54 b) (-5)4 c) 53 d) (-5)3 7. Calcula el máximo común divisor y el mínimo Calcular un producto o división de potencias común múltiplo de estos números. 4. Expresa como una potencia.   a)  33 ? 35 a) 8, 20 y 42 b) 18, 45 y 96 21294758 _ 0006-0025.indd 21 13/06/12 11:11
  • Actividades NÚMEROS ENTEROS 62. ● Realiza las siguientes sumas. a) (+10) + (-5) + (+7) + (-9) 46. ● Expresa con un número entero. b) (-29) + (-12) + (-9) + (+17) a) Luis ganó 6 000 € en la lotería. c) (-20) + (+33) + (+21) + (-23) b) El termómetro marcó 7 °C bajo cero. d) (-23) + (-41) + (-16) + (+50) c) Marta vive en el cuarto piso. 63. ● Calcula estas restas. d) La tienda está en el segundo sótano. 47. ● Copia y completa esta recta numérica: 4 -3 4 4 4 1 4 48. ● Representa estos números enteros en una recta numérica: -5, 7, -9, 0, -3 y 2. 49. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -4 y 4? 64. ● Realiza estas sumas y restas combinadas. 50. ● Copia y completa con el signo < o >. a) (-21) + (-12) - (+9) a) -9 4 -12 b) (+17) - (+23) + (+34) b) 3 4 -2 c) (-32) + (-19) - (-11) c) -1 4 -4 d) (-54) - (+22) + (-10) d) -7 4 -5 65. ● Calcula. 53. ● Escribe dos números enteros. a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 a) Menores que +3 y mayores que -1. b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 b) Menores que -3. c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 c) Mayores que -6. d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 d) Mayores que -2 y menores que +1. e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1 54. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes HAZLO ASÍ números: -4, 6, -7, 11, -9, -6, 0, 2 y -1. ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS COMBINADAS CON PARÉNTESIS? OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 66. Calcula: -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) PRIMERO. Se resuelven los paréntesis. 60. ● Calcula las siguientes sumas y restas. -3 + (-8 + 9) - (3 - 6) = -3 + (+1) - (-3) = a) (+12) + (+25) e) (+19) - (+5) SEGUNDO. Se eliminan los paréntesis. b) (-9) + (+13) f) (-21) - (+33) • Si están precedidos por el signo +, se c) (-3) + (-11) g) (-7) - (-11) mantienen los signos de los números. d) (+17) + (-8) h) (+22) - (-15) • Si están precedidos por el signo -, se cambian 61. ● Copia y completa esta tabla: los signos de los números. F a b a-b b-a a+b b+a = -3 + (+1) - (-3) = -3 + 1 + 3 = F -7 +9 TERCERO. Se realizan las sumas y las restas, -12 -5 de izquierda a derecha. +11 -18 = -3 + 1 + 3 = -2 + 3 = 1 +23 +17 22294758 _ 0006-0025.indd 22 13/06/12 11:11
  • 67. ●● Realiza estas operaciones. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) 79. ● Escribe en forma de potencia, e indica la base c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) y el exponente. d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) a) 7 ? 7 ? 7 ? 7 b) (-2) ? (-2) ? (-2) 68. ●● Copia y completa los huecos para que las c) (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) ? (-5) igualdades sean ciertas. a) (-11) + 4 = +4 80. ● Escribe en forma de potencia y en forma b) (+13) + 4 = +12 de producto. c) 4 + (-20) = -12 a) Base 11 y exponente 4. d) (+3) - 4 = -7 b) Base -2 y exponente 3. e) (-15) - 4 = +9 81. ● ● Calcula las siguientes potencias. f) 4 - (+8) = +7 a) 45 c) 142 e) 73 g) 54 69. ● Calcula los siguientes productos. b) (-2)6 d) (-4)4 f) (-9)2 h) (-6)4 a) (+12) ? (+4) c) (+5) ? (-35) 83. ● Calcula las siguientes potencias. b) (-42) ? (-3) d) (-14) ? (+5) a) 50 b) 231 c) (-3)0 d) (-57)1 71. ● Calcula los siguientes productos. 84. ● Expresa como una sola potencia. a) (+21) ? (+3) ? (+4) c) (+13) ? (-5) ? (-6) a) 53 ? 54 c) (-3)5 ? (-3)3 b) (+19) ? (-2) ? (+3) d) (-20) ? (-9) ? (-3) b) 116 ? 114 d) (-8)4 ? (-8) 72. ●● Copia y completa estos productos. 85. ● Expresa como una sola potencia. a) (-5) ? 4 = -30 a) 43 ? 43 ? 4 b) 4 ? (+3) = 45 b) 95 ? 92 ? 94 c) (-9) ? 4 = 27 c) (-2)6 ? (-2)4 ? (-2) d) 4 ? (-8) = -48 d) (-7)3 ? (-7) ? (-7)6 76. ●● Realiza estas divisiones. 87. ● Expresa como una sola potencia. a) (+35) : (-7) : (-5) c) (+32) : (-8) : (-2) a) 75 : 73 c) (-9)6 : (-9)3 b) (-21) : (-7) : (-1) d) (-4) : (+4) : (-1) b) 128 : 125 d) (-6)7 : (-6) 77. ●● Opera. 88. ● ● Expresa como una sola potencia. a) (+21) ? (+2) : (-14) a) (28 : 23) ? 23 b) (+5) : (-5) ? (-4) b) 35 : (37 : 34) c) (+2) ? (+9) : (-3) c) [(-4)6: (-4)] : (-4)2 d) [(-2) ? (+7)] : (-14) ? (+3) d) (-5)3 : [(-5)4 : (-5)] e) (+36) : [(-9) : (+3)] ? (+5) f) (+36) : (-9) : (+2) ? (+5) 89. ● Expresa como una sola potencia. a) (54)3 c) [(-3)4]3 78. ●● Copia y completa las siguientes divisiones. b) (75)2 d) [(-9)3]3 a) (-36) : 4 = -4 b) (-54) : 4 = +9 91. ● ● Expresa como una sola potencia. c) 4 : (-6) = -42 a) (25)2 ? (22)4 d) (+48) : 4 = -6 b) (103)3 ? (102)4 e) (-63) : 4 = -7 c) [(-3)5]3 ? [(-3)4]3 f) 4 : (+8) = +2 d) [(-10)2]2 ? [(-10)3]3 23294758 _ 0006-0025.indd 23 13/06/12 11:11
  • JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES DIVISIBILIDAD 106. ●● Resuelve las siguientes operaciones. 112. ● Copia y completa con múltiplos de 12. • a) (-13) ? (+3) - (-12) ? (+7) 12 = {12, 4, 36, 4, 60, 4, …} b) (-3) ? (-12) - (-15) ? (-4) 113. ● Halla los múltiplos de 7 comprendidos c) (-35) : (-7) + (-54) : (+9) entre 20 y 40. d) [(-25) + 5 - (-4)] : (-8) e) [(-16) + (-9) + 5] : (-4) 114. ● Obtén los múltiplos de 4 comprendidos f) [(-4) + (-3) ? (-6)] : 7 entre 18 y 30. 107. ●● Resuelve las operaciones. 115. ● Calcula todos los divisores de: a) (-11) ? [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] a) 28 b) 54 c) 63 d) 90 b) (-8) ? [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] 116. ● Copia y completa los divisores de 42. c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] Div (42) = {1, 2, 4, 4, 4, 14, 4, 4} 117. ● Dados los números 12, 15, 18, 24, 4, 423, 10, 267, 10. ●● Realiza estas operaciones. 23 y 2, di cuáles son múltiplos de: a) (+45) : [(-7) + (+2)] a) 2 b) 3 c) 6 b) (+2) ? [(-63) : (-7)] 118. ● Escribe los múltiplos de 5 comprendidos c) (-25) : [(+3) - (+8)] entre 0 y 15. d) (-8) ? [(+21) : (-3)] a) ¿Cuáles de ellos son múltiplos de 7? e) (-7) - [(-14) : (+2) - (-7)] b) ¿Y cuáles son menores que 15? 119. ● Di cuáles de los siguientes números son HAZLO ASÍ primos. Razona la respuesta. ¿CÓMO SE REALIZAN OPERACIONES COMBINADAS a) 21 b) 19 c) 43 d) 39 DONDE APARECEN POTENCIAS? 120. ● Averigua si los números son primos 11. Calcula: o compuestos: 72, 147, 282, 331 y 407. (-3)2 - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 PRIMERO. Se resuelven los corchetes y paréntesis. 121. ● Realiza la descomposición factorial de: (-3) - 4 ? [(-6) - (-3)] - (-2)2 = 2 a) 3 850 b) 432 c) 561 = (-3)2 - 4 ? [-6 + 3] - (-2)2 = 122. ● Calcula el máximo común divisor de cada par = (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 de números. SEGUNDO. Se resuelven las potencias. a) 45 y 27 b) 28 y 21 c) 18 y 12 (-3)2 - 4 ? (-3) - (-2)2 = = 9 - 4 ? (-3) - 4 123. ● ● Halla el máximo común divisor. TERCERO. Se realizan las multiplicaciones a) 6, 8 y 12 b) 16, 20 y 28 c) 40, 10 y 25 y las divisiones. 124. ● ● Si m.c.d. (x, 12) = 6, halla el valor de x. 9 -4 ? (-3) - 4 = 9 + 12 - 4 CUARTO. Se realizan las sumas y las restas. 125. ● Calcula el mínimo común múltiplo. 9 + 12 - 4 = 21 - 4 = 17 a) 12 y 18 b) 15 y 45 c) 27 y 18 F 126. ● ● Obtén el mínimo común múltiplo de los siguientes números. 108. ●● Efectúa estas operaciones combinadas. a) 12, 9 y 10 b) 4, 18 y 27 c) 8, 30 y 24 a) (-5)2 ? [3 + 28 : (-4)] b) 22 ? [-5 ? 2 - 32 : (-8)] 127. ● ● ● Halla dos números cuyo m.c.d. sea 6 c) 33 : [-5 + (-7) ? (-2)] y su m.c.m sea 36. 24294758 _ 0006-0025.indd 24 13/06/12 11:11
  • PROBLEMAS CON NÚMEROS 134. ● ● El pasillo de una vivienda tiene 432 cm ENTEROS de largo y 128 cm de ancho. Se quieren poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula 128. ●● A las 7 de la mañana sus dimensiones y el número de baldosas. el termómetro marcaba 4 °C bajo cero, y cinco horas después marcaba 3 °C sobre cero. ¿Cuál es la diferencia entre las dos temperaturas? 129. ●● María vive en el 3.er piso. Baja 5 plantas para ir al trastero y luego sube 7 para visitar a su amigo Alberto. ¿En qué piso vive Alberto? 130. ●● Sara deja el coche en el tercer sótano y sube 4 plantas hasta su casa. ¿En qué piso vive? HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.m.? 135. Los libros de una estantería se pueden colocar en montones de 4, 6 y 9 libros sin que sobre ninguno. ¿Cuál es la menor cantidad de libros que puede haber? PRIMERO. Se analiza el problema. 131. ●● Luis tiene 123 €. A fin de mes recibe 900 € El número total de libros tiene que ser múltiplo de sueldo y paga su hipoteca de 546 €. ¿Cuánto de 4, 6 y 9. dinero le queda finalmente? Tiene que ser el mínimo " Problema de m.c.m. 132. ●● ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede SEGUNDO. Se realizan los cálculos. formar con 52 sellos? ¿Cuántos sobran? 4 = 22     6 = 2 ? 3     9 = 32 m.c.m. (4, 6, 9) = 22 ? 32 = 36 HAZLO ASÍ Como mínimo hay 36 libros. ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL m.c.d.? 136. ● ● Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 133. Tres cuerdas de 4, 6 y 9 m, respectivamente, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. se quieren cortar en trozos iguales. ¿Cuál es ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro? la longitud de los mayores trozos que se pueden hacer? 137. ● ● ● Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro PRIMERO. Se analiza el problema. con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse. La longitud de cada trozo tiene que ser un divisor de las longitudes de las cuerdas. Tiene que ser el máximo " Problema de m.c.d. SEGUNDO. Se realizan los cálculos. 4 = 2      6 = 2 ? 3     9 = 32 2 m.c.d. (4, 6, 9) = 1 Los trozos de mayor longitud son de 1 m. 25294758 _ 0006-0025.indd 25 13/06/12 11:11
  • 2 Fracciones Alejandro Magno En una ocasión, Roxana, la esposa de Alejandro Magno, le preguntó a su marido: –¿A qué dios le agradeces la conquista del mundo? A lo que Alejandro le contestó: –Mi primer agradecimiento va dirigido a mí mismo; y el segundo, al legado de mi padre: su invencible ejército, la falange macedonia. –Pero los imperios conquistados tenían un ejército, generalmente, más numeroso que el tuyo –replicó Roxana. –La fuerza de mi ejército –explicó Alejandro– reside en su organización, no en su número: cada fila de 16 hoplitas es la cuarta parte de una tetrarquia, que a su vez es la cuarta parte de un syntagma, y 64 de estas unidades de infantería forman la falange. Su simple presencia DESCUBRE infunde respeto a los ejércitos enemigos. LA HISTORIA... 1. Busca información sobre Alejandro Magno y la época en que vivió. 2. Explica la organización de la falange macedonia utilizando las fracciones. 3. Averigua cómo se han utilizado las fracciones a lo largo de la historia.294758 _ 0026-0041.indd 26 13/06/12 11:11
  • Antes de empezar la unidad... LECTURA Y REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Numerador F 5 7 F Denominador Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla: Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos. En una fracción 3 F se lee tres onceavos el denominador nunca 11 puede ser cero. F Representación de fracciones Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad. • Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador. • Coloreamos tantas partes como indica el numerador. G 3 10 PLAN DE TRABAJO EVALUACIÓN INICIAL En esta unidad 1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones. aprenderás a… a) 2 c)  1 e)  12 •  Hallar fracciones 7 4 80 equivalentes y calcular 7 2 la fracción irreducible b) d)  f)  13 12 9 17 de una dada. •  Reducir fracciones a 2 Escribe cómo se lee. común denominador. a) Una fracción con numerador 3 y denominador 7. •  Sumar, restar, b) Una fracción con numerador 6 y denominador 15. multiplicar y dividir fracciones. 2. Representa las siguientes fracciones. •  Realizar operaciones a) 3 b) 2 c) 7 d) 9 combinadas con 8 5 2 5 fracciones. 27294758 _ 0026-0041.indd 27 13/06/12 11:11
  • 1 Fracciones ANTES, DEBES SABER… Qué son los números enteros Cualquier número El conjunto de números enteros está formado por: entero se puede escribir • Números enteros positivos: +1, +2, +3, … como una fracción • El número cero: 0 con denominador 1. • Números enteros negativos: -1, -2, -3, … 3 3= 1 a Una fracción es una expresión, , donde a y b son números enteros b llamados numerador, a, y denominador, b, con b ! 0. EJEMPLO 1 Decide si estas expresiones son fracciones.   "  Es una fracción 2 3 Numerador: 3 a) 4 Denominador: 4 7,3 b)   "  No es una fracción porque 7,3 no es un número entero. 5 ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan las fracciones Para expresar situaciones cotidianas que no se pueden indicar con números naturales, surgen otros números como las fracciones: • Para expresar partes de una cantidad. • Al expresar el cociente entre dos números. EJEMPLO 2 Expresa con fracciones las siguientes situaciones. a) Dividimos una hoja de papel en 7 partes iguales y coloreamos 3. b) Repartimos 50 caramelos en 5 bolsas. 2" a) Denominador  "  Partes en que se divide la unidad: 7 3 Numerador  "  Partes que se toman: 3 7 2" b) Numerador  "  Dividendo de la división: 50 50 Denominador  "  Divisor de la división: 5 5 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si son fracciones y, si lo son, indica 2 Escribe en forma de fracción. el numerador y el denominador. a) Repartimos 8 libros en 3 mochilas. 1, 6 7 6 9 b) Dividimos una tarta en 9 trozos y cogemos 4. a) b) c) d) 13 5 2, 3 15 c) De 24 metros hemos recorrido 13. 28294758 _ 0026-0041.indd 28 13/06/12 11:11
  • Fracciones 2 equivalentes a c a c Dos fracciones, y , son equivalentes, y se escribe = cuando b d b d a c representan la misma cantidad. Si = , se cumple que a ? d = b ? c. b d EJEMPLO DATE CUENTA 3 6 2 3 3 3 ¿Son equivalentes las fracciones y ? ¿Y las fracciones y ?   "  5 10 7 4 5 3 6 3 6 =F " 3 ? 10 = 5 ? 6 " 30 = 30 " y F son equivalentes. 6 5 10 5 10   "  10 2 2 3 2?4 = 8 2 3 =F " F 8 ! 21 " y no son equivalentes. Representan la misma 7 4 7 ? 3 = 21 " 7 4 cantidad; por tanto, son equivalentes. 2.1  Amplificación y simplificación de fracciones Para obtener fracciones equivalentes de una fracción podemos utilizar dos métodos: • Amplificar fracciones, que consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero. • Simplificar fracciones, que consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción entre un divisor común. EJEMPLO Siempre existen 4 fracciones equivalentes 4 Obtén dos fracciones equivalentes a , una por amplificación y la otra por amplificación, pero 6 por simplificación. no siempre por Amplificación simplificación. 4 4?2 8 = = 6 6?2 12 4 8 Como 4 ? 12 = 6 ? 8  "  y son equivalentes. 6 12 Simplificación 4 4:2 2 = = 6 6:2 3 4 2 Como 4 ? 3 = 6 ? 2  "  y son equivalentes. 6 3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 ¿Son equivalentes los siguientes pares 6 Escribe tres fracciones equivalentes por de fracciones? simplificación y otras tres por amplificación. 15 105 17 85 12 5 72 140 450 a) y b) y c) y a) b) c) 6 36 13 52 30 2 120 320 650 29294758 _ 0026-0041.indd 29 13/06/12 11:11
  • 2.2  Fracción irreducible Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. Una fracción es irreducible cuando el numerador y el ANTES, DEBES SABER… denominador no tienen divisores comunes. Cómo se calcula el máximo común divisor Para calcular el máximo común divisor de varios números: 1.º  Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes elevados al menor exponente. 3.º  El producto de estos factores es el m.c.d. de los números. EJEMPLO 3 Obtén el máximo común divisor de 72 y 48. Primero, descomponemos 72 y 48 en factores primos. 72   2 48   2 36   2 24   2 18   2 12   2   9   3   6   2   3   3   3   3   1     1   72 = 23 ? 32 48 = 24 ? 3 Factores primos comunes: 2 y 3 Al elevarlos al menor exponente: 23 y 3 Así, resulta que: m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24 Para obtener la fracción irreducible de una fracción dada, dividimos el numerador y el denominador entre el máximo común divisor de ambos. EJEMPLO 72 5 Calcula la fracción irreducible de . 48 3 "  m.c.d. (72, 48) = 23 ? 3 = 24 72 = 2 3 ? 32 48 = 2 4 ? 3 72 72 : 24 3 3 72 = = " es la fracción irreducible de . 48 48 : 24 2 2 48 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Calcula la fracción irreducible de: 11 Señala qué fracciones son irreducibles. 24 540 1 10 a) c) a) c) 36 320 3 25 60 120 23 57 b) d) b) d) 25 90 17 21 30294758 _ 0026-0041.indd 30 13/06/12 11:11
  • 2.3  Reducción a común denominador ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.º  Descomponemos los números en factores primos. 2.º Elegimos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º  El producto de estos factores es el m.c.m. de los números. EJEMPLO 4 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 18.   4   2 18   2   2   2   9   3 4 = 22 18 = 2 ? 32   1     3   3   1   Factor primo común: 2 Factor no común: 3 Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 32 Así, resulta que: m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36 Reducir fracciones a común denominador consiste en obtener otras fracciones equivalentes que tengan todas el mismo denominador. EJEMPLO 5 7 6 Reduce a común denominador las fracciones y . 4 18 Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores: 3 "  m.c.m. (4, 18) = 22 ? 32 = 36 4 = 22 18 = 2 ? 32 Este valor se toma como denominador común de las fracciones buscadas. Para calcular el nuevo numerador de cada fracción dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 5 F 5 ? 9 = 45 F 45 7 F 7 ? 2 = 14 F 14 F F 4 F 36 : 4 = 9 36 18 F 36 : 18 = 2 36 F F LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Halla el mínimo común múltiplo de 4 Reduce a común denominador. los denominadores de las siguientes fracciones 7 8 17 y redúcelas a común denominador. a) , y b) 5 , 11 y 7 10 25 35 4 16 32 3 7 a) y 15 18 10 Reduce a común denominador. 9 5 b) y 1 2 1 7 1 21 12 3 5 4 6 10 31294758 _ 0026-0041.indd 31 13/06/12 11:11
  • Comparación 3 de fracciones Para comparar dos fracciones podemos calcular sus valores y compararlos, o seguir estos criterios: •  tienen igual denominador, es mayor la fracción que tiene mayor Si numerador. •  tienen igual numerador, es mayor la fracción que tiene menor Si denominador. •  tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a Si denominador común. EJEMPLO 7 Compara las siguientes fracciones. 3 4"322" 3 2 5 3 2 a) y " 5 5 5 2 2 5 "5 3 3 3 4"415" 3 2 3 b) y " 5 5 4 3 4 5 " 4 3 5 7 Como tienen distintos numerador y denominador, c) , y   "  4 9 12 reducimos a común denominador. 9 = 32 4 " m.c.m. (4, 9, 12) = 22 ? 32 = 36 4 = 22 Denominador G común 12 = 22 ? 3 3 F 3 ? 9 = 27 F 27 5 F 5 ? 4 = 20 F 20 F F 4 F 36 : 4 = 9 36 9 F 36 : 9 = 4 36 7 F 7 ? 3 = 21 F 21 F 12 F 36 : 12 = 3 36 20 21 27 Ordenamos las fracciones: 1 1 36 36 36 5 7 3 1 1 F 9 12 4 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Ordena estas fracciones de menor a mayor. 13 Ordena, de menor a mayor, aplicando 8 12 7 2 los criterios de comparación a) y b) y de fracciones. 15 15 13 13 3 2 1 1 6 5 5 10 6 Ordena estas fracciones de mayor a menor. a) , , y c) , , y 5 5 4 7 8 4 6 8 9 9 17 17 2 3 6 4 7 9 a) y b) y b) , y d) , y 5 7 2 5 9 5 15 5 3 12 32294758 _ 0026-0041.indd 32 13/06/12 11:11
  • Operaciones 4 con fracciones 4.1  Suma y resta de fracciones Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador. EJEMPLO Para simplificar fracciones podemos hallar 8 Calcula. el máximo común divisor 18 19 18 + 19 37 del numerador y del a) + = = 15 15 15 15 denominador, y obtener la fracción irreducible. 8 7 8-7 1 b) - = = 3 3 3 3 4 7 1 13 7 4 + 7 - 1 + 13 - 7 16 8 c) + - + - = = = 6 6 6 6 6 6 6 3 F Simplificamos: m.c.d. (16, 6) = 2 Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores y se mantiene el nuevo denominador. EJEMPLOS 5 Calcula. 2 7 6 + 35 41 a) + = = 15 9 45 45 F Denominador común: m.c.m. (15, 9) = 45 7 5 14 - 5 9 3 b) - = = = 6 12 12 12 4 F Denominador común: m.c.m. (6, 12) = 12 1 2 3 7 4 + 12 + 9 - 14 11 9 Calcula: + + - = = 6 4 8 12 24 24 F Denominador común: m.c.m. (6, 4, 8, 12) = 24 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Realiza estas operaciones. 16 Calcula y simplifica el resultado, si se puede. 8 2 2 4 1 4 2 1 a) + b) 7 + 5 a) + + d) + - 5 15 3 9 3 3 3 7 4 2 8 Resuelve las siguientes operaciones. 3 1 1 9 1 1 b) + - e) - - 2 5 10 5 7 2 a) 7 - 1 b) 12 - 8 3 7 1 7 8 9 5 2 25 35 c) - - f) - + 4 2 3 5 3 10 33294758 _ 0026-0041.indd 33 13/06/12 11:11
  • 4.3  Multiplicación de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el pro- ducto de los denominadores. a c a?c ? = b d b?d EJEMPLO 11 Calcula. 2 9 2?9 18 3 2 7 3?2?7 42 7 a)  ?  = = a)  ? ?  = = = 5 7 5?7 35 5 9 4 5?9?4 180 30 4.4  División de fracciones Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada. a c a?d F : = F b d b?c EJEMPLO 12 Calcula. a n G Exponente e o a)  8 5 :  = 8?9 = 72 = 24 b)  2 9 : =  2?7 = 14 b 3 9 3?5 15 5 5 7 5?9 45 Base de G la potencia 5 Potencia de una fracción Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a dicha potencia. c m= ? ? ?f? = n a n a a a a an b b b b b b 1 4 4 44 2 4 4 44 3 n veces EJEMPLO 2 4 2 2 2 2 2?2?2?2 24 16 13 Calcula: d n= ? ? ? = = 4 = 3 3 3 3 3 3?3?3?3 3 81 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Realiza estas operaciones. 23 Escribe en forma de potencia. 7 3 7 4 2 2 2 1 1 a) ? b) : a) ? ? b) ? 8 11 2 5 5 5 5 2 2 34294758 _ 0026-0041.indd 34 13/06/12 11:12
  • Jerarquía 6 de las operaciones ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros Al operar con números enteros resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 6 Resuelve esta operación. (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6) : (-2) = Corchetes y paréntesis F = (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) = Multiplicaciones y divisiones F = (-20) + (-3) = Sumas y restas F = -20 - 3 = -23 Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay que respetar la jerarquía de las operaciones: 1.o Realizar las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes, de dentro hacia afuera. o 2.   Resolver las potencias y raíces, de izquierda a derecha. 3.o Efectuar las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. o 4.  Efectuar las sumas y restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO - ?e + + o= 1 3 1 2 1 15 Realiza estas operaciones.  a)  2 2 3 5 30 Corchetes y paréntesis - ?e o= - ? 1 3 10 12 1 1 3 23 F = + + = 2 2 30 30 30 2 2 30 Multiplicaciones y divisiones m.c.m. (3, 5, 30) = 30 1 69 1 23 F = - = - = 2 60 2 20 Sumas y restas 10 23 -13 13 F = - = =- 20 20 20 20 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Calcula. 11 Calcula. 12 2 4 1 1 44 5 2 - ? d - n -d n: 6 8 2 1 7 4 6 3 a) + ? - b) + - : a) b) - 5 3 5 4 8 5 7 5 5 3 5 7 9 3 24 7 35294758 _ 0026-0041.indd 35 13/06/12 11:12
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Fracción Numerador F 3 Fracción 24 24 : m.c.d. (24, 30) 4 = = Denominador F 4 irreducible 30 30 : m.c.d. (24, 30) 5 5 e o = 5 Fracciones 2 4 Potencia de 3 35 " 2 ? 14 = 7 ? 4 5 = equivalentes 7 14 una fracción 4 4 5 HAZLO DE ESTA MANERA 1. Calcular la fracción 2. Reducir fracciones a común irreducible denominador 30 7 8 Halla la fracción irreducible de . Reduce a común denominador y . 25 30 25 Primero. Calculamos el máximo común Primero. Hallamos el m.c.m. divisor del numerador y el denominador. de los denominadores. 3 "  m.c.m. (30, 25) = 2 ? 3 ? 52 = 150 30 2 25 5 30 = 2 ? 3 ? 5 15 3 5 5 25 = 52 5 5 1 Segundo. El m.c.m. de losdenominadores es 1 el nuevo denominador de las fracciones. 3 " m.c.d. (30, 25) = 5 30 = 2 ? 3 ? 5 7 F 7 ? 5 = 35 F 35 25 = 52 F 30 F 150 : 30 = 5 150 F Segundo. Dividimos el numerador y el denominador entre ese número. 8 F 8 ? 6 = 48 F 48 F 30 30 : 5 6 25 F 150 : 25 = 6 150 = = G Fracción irreducible F 25 25 : 5 5 3. Sumar y restar fracciones 7 8 2 Realiza esta operación de fracciones: + - 30 25 15 Primero. Silas fracciones no tienen 30 = 2 ? 3 ? 5 el mismo denominador, las reducimos 25 = 52 4 "  m.c.m. (30, 25, 15) = 2 ? 3 ? 52 = 150 a común denominador. 15 = 3 ? 5 7 150 : 30 ? 7 35 150 : 25 ? 8 2 150 : 15 ? 2 20 F 8 F 48 F = = = 30 F 150 25 F 150 15 F 150 m.c.m. (30, 25, 15) m.c.m. (30, 25, 15) m.c.m. (30, 25, 15) Segundo. Cuando las fracciones 7 8 2 35 48 20 63 21 tienen el mismo denominador se + - = + - = = 30 25 15 150 150 150 150 50 suman o restan los numeradores. 36294758 _ 0026-0041.indd 36 13/06/12 11:12
  • 4. Multiplicar fracciones 5. Dividir fracciones 8 5 6 3 Realiza esta operación: ? Realiza esta operación: : 3 4 5 7 Primero. Elnumerador es el producto de los Primero. Multiplicamos la primera fracción numeradores, y el denominador, el producto por la fracción inversa de la segunda. de los denominadores. 6 3 6 7 6?7 42 8 5 8?5 40 : = ? = = ? = = 5 7 5 3 5?3 15 3 4 3?4 12 segundo. Simplificamos el resultado, si es segundo. Simplificamos el resultado, si es posible. posible. 8 5 40 10 6 3 42 14 ? = = : = = 3 4 12 3 5 7 15 5 6. Realizar operaciones combinadas con fracciones 2 - ? e + o : e : 2o = 1 7 3 1 Resuelve aplicando la jerarquía 4 3 2 2 de las operaciones. m.c.m. (2, 3) = 6 Primero. Resolvemos los paréntesis ?e + o:e : o = 2 - ?e o:e o = 1 14 9 1 2 1 23 1 y corchetes, y si hay, las potencias y raíces, = 2- 4 6 6 2 1 4 6 4 de izquierda a derecha. Segundo. Resolvemos las multiplicaciones 1? 23 1 23 1 23 ? 4 92 = 2- : = 2- : = 2- = 2- = y divisiones, de izquierda a derecha. 4?6 4 24 4 24 ? 1 24 Tercero. Resolvemos las sumas y restas, 48 92 -44 44 11 = - = =- =- y simplificamos el resultado, si se puede. 24 24 24 24 6 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Sumar y restar fracciones 6 8 3 1. ¿Es 7 una fracción? ¿Y 3, 4 ? 6. ¿Cuál es el resultado de + - ? 5 8 5 3 4 3 5 Multiplicar fracciones 1. ¿Son equivalentes las fracciones y ? 4 7 2 1 7. Halla el resultado de ? . 5 3 7 4 3. ¿Cuál es el resultado de d n? 7 Dividir fracciones Calcular la fracción irreducible 10 8. Calcula el resultado de 5 : . 45 3 4. Halla la fracción irreducible de . 18 Realizar operaciones combinadas Reducir fracciones a común denominador con fracciones + ? e - 1o? 2 6 1 9 5 5. Calcula dos fracciones equivalentes a y . 9. ¿Cuál es el resultado de 2 : 9 24 3 2 3 37294758 _ 0026-0041.indd 37 13/06/12 11:12
  • Actividades fraccionEs 38. ● ● Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. 30. ●● Expresa estas situaciones mediante 6 9 8 2 fracciones. Encuentra las que sean equivalentes. a) = c) = d 3 12 d a) Luis se ha comido 3 bombones de una caja 4 d d 8 que contenía 12 bombones. b) = d) = 5 10 9 18 b) María ha esperado un cuarto de hora. c) Tres de cada nueve niños tienen una mascota. 12. ● ● Determina el término que falta en cada caso d) El libro de Juan tiene 15 capítulos, de para que las fracciones sean equivalentes. 10 páginas cada uno, y él ha leído 100 páginas. 3 9 15 d e) Ricardo duerme seis horas diarias. a) = b) = 4 d 6 20 f) El barco ha realizado dos terceras partes del trayecto. 39. ● Calcula la fracción irreducible. fracciones equivalentes 75 182 121 a) b) c) 30 48 11 34. ● Indica si son equivalentes los siguientes pares de fracciones. 13. ● Halla la fracción irreducible de cada una de 6 36 5 15 9 72 estas fracciones. a) y c) y e) y 8 48 4 8 13 104 150 250 1128 15 60 8 24 72 123 a) c) e) b) y d) y f) y 14 36 16 12 48 5 10 25 115 45 178 2 386 b) d) f) 35. ● Calcula cuatro fracciones equivalentes a cada 12 24 72 una de estas. 2 1 11 13 a) b) c) d) COMPARACIÓN DE FRACCIONES 7 5 6 2 36. ● Comprueba si son fracciones equivalentes. 42. ● Ordena estas fracciones, de mayor a menor. 6 24 -12 9 24 7 4 9 5 4 7 7 11 a) , y c) 3, y a) , , b) , , c) 1, , 5 20 10 3 8 3 3 3 12 12 12 6 6 1 3 2 4 7 28 7 b) , y d) , , y 43. ● Copia en tu cuaderno y completa 5 15 10 7 4 4 28 la tabla. HAZLO ASÍ Reducidas Ordenadas de ¿Cómo se calcula el término desconocido Fracciones a común menor a mayor para que dos fracciones sean equivalentes? denominador 37. Calcula el número que falta para que 9 4 las fracciones y sean equivalentes. 12 4 Primero. Se aplica la propiedad que cumplen dos fracciones equivalentes. 9 d 12 = 4 " 9 ? 4 = 12 ? d Segundo. Se despeja el término desconocido. 44. ● Ordena, de menor a mayor. 9?4 9 ? 4 = 12 ? d " d = =3 1 4 7 2 1 3 7 2 1 7 12 a) , y b) , y c) , , y 3 6 18 5 6 2 6 3 18 2 38294758 _ 0026-0041.indd 38 13/06/12 11:12
  • operaciones con FRACCIONES 54. ● Calcula estas divisiones. 2 4 9 4 12 4 6 a) :    b)  :    c)  :    d)  3 : 46. ● Calcula. 3 5 2 6 7 14 4 3 1 5 4 1 7 a) + + c) + + HAZLO ASÍ 2 4 8 6 4 3 5 1 3 1 5 1 7 ¿Cómo se realizan las operaciones b) - + - d) + - 3 6 2 8 2 3 6 de Multiplicación y división con fracciones negativas? HAZLO ASÍ 55. Calcula. a) e- o? : e- o ¿Cómo se opera con números enteros 2 1 3 6 b) - y fracciones? 3 4 5 7 47. Realiza estas operaciones. Primero. Se realiza la operación prescindiendo 7 5 del signo y se simplifica el resultado, si se puede. a) + 4 b) 3 ? 12 4 2 1 2 ?1 2 1 a) ? = = = Primero. Se escribe el número entero como una 3 4 3?4 12 6 fracción con denominador 1. 3 6 3 7 3?7 21 7 b) : = ? = = = 4 3 5 7 5 6 5?6 30 10 a) 4 = b) 3 = 1 1 Segundo. Se aplica la regla de los signos. Segundo. Se realiza la operación. a) e- o ? =- : e- o = 2 1 1 3 6 7 7 7 4 7 + 48 55 b) - a) +4 = + = = 3 4 6 5 7 10 12 12 1 12 12 5 3 5 3?5 15 b) 3 ? = ? = = 56. ● ● Calcula. 4 1 4 1? 4 4 6 3 a) 7 : e- 14 o : e- o 4 3 1 2 d) - ? g) 5 10 2 4 48. ● Realiza estas operaciones. 1 5 a) 1 + 3 d) 7 + 4 g) 9 + 1 - 1 b) -5 : e) ? (-2) h) - 1 : (-6) 4 3 3 6 2 2 4 : e- o i) - : e- o 3 3 9 21 ? e- o 11 4 1 1 3 5 b) - 2 e) 9 - h) + 5 - c) - f) - 3 7 4 3 5 9 8 4 4 2 15 2 1 5 58. ● Haz las operaciones. c) - 7 f) 3 - i) 7 - + 2 5 4 2 1 2 3 a) e : o? c) 7 : > 4 ? d- 5 nH 2 7 1 49. ●● Haz las operaciones. 3 4 5 a) e + o-e + o 1 3 4 7 b) e : o ? 4 d) 9 : e : o 10 5 8 4 2 6 5 3 3 6 3 9 b) e - o+e + o 7 4 6 2 60. ● Escribe en forma de potencia estos productos, 3 5 5 7 y calcula el resultado. c) 2 - > -e + o- H 4 1 2 1 3 2 5 3 53. ● Efectúa las siguientes multiplicaciones. 1 2 9 a) ? c) 3 ? 2 3 6 3 10 7 7 12 b) ? d) ? ? 5 2 2 4 21 39294758 _ 0026-0041.indd 39 13/06/12 11:12
  • operaciones combinadas problemas con fracciones 66. ●● Realiza las operaciones. HAZLO ASÍ 5 1 5 1 a) ? - 2 d) - 3? ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE 6 3 2 4 DE UNA CANTIDAD? 7 4 4 10 3 b) - 3? e) ? - 2 5 5 8 2 14. En una excursión a un museo asisten 60 3 3 7 alumnos de 2.º de ESO. Si del total son ? e- o - 7 12 3 5 c) 4 - ? f) 2 9 9 5 4 chicas, ¿cuántas chicas van? Primero. Se identifican los datos. 67. ●● Calcula. • Cantidad total: 60 alumnos a) e - o ? e - o d) e - o?e - o 3 1 1 6 5 1 1 1 4 6 4 8 2 7 3 6 3 • Parte: son chicas 5 b) e o?e - o e) e - o ? e + o 1 2 1 1 4 3 1 1 Segundo. Se multiplica la fracción que representa + 5 15 3 10 5 4 10 4 la parte por la cantidad total. 3 3 3 ? 60 de 60 = ? 60 = = 36 c) e - o?e + o f) e - o?e - o 4 1 2 1 1 1 1 1 5 5 5 7 3 21 6 8 6 2 4 Al museo asisten 36 chicas. 68. ●● Haz estas operaciones, indicando los pasos realizados. 15. ● ● Se está construyendo una carretera entre a) ? e - o - 1 c) - ? e - o 3 1 2 5 2 7 1 dos ciudades que distan 50 km. Si hasta 8 2 5 3 5 2 3 2 el momento se han construido , 5 ¿cuántos kilómetros son? d) e - o? - 3 1 2 5 2 7 1 b) ? - - 1 8 2 5 3 5 2 3 2 16. ● ● En un viaje de 750 km se han recorrido 10 69. ●● Realiza las siguientes operaciones. hasta el primer descanso. ¿Cuántos kilómetros se recorren hasta el descanso? -e ? o- d) >e- o ? - 2H ? 5 2 7 1 7 4 5 a) 3 5 2 3 3 5 3 17. ● ● En un proyecto del Ayuntamiento de una ciudad se ha aprobado plantar 270 árboles - e ? - o e) e - ? o- ?2 5 2 7 1 5 3 4 4 b) 4 3 5 2 3 4 8 9 5 en un nuevo parque. Si se ha decidido que 9 3 2 sean pinos, sean sauces y sean chopos, c) e ?5 - o? - e ? 5 - 9o 2 3 7 4 7 9 9 f) -3 ? 3 4 2 15 8 ¿cuántos árboles de cada tipo se van a plantar en el parque? 70. ●● Calcula. 18. ● ● Ana está leyendo a) e o?5 - ? 3 1 1 3 6 una novela de aventuras. - + 2 5 10 4 5 Si la novela tiene 120 páginas 1 y ha leído : b) >e - o?5 - H? - 3 1 1 3 6 3 2 5 10 4 5 a) ¿Cuántas páginas ha leído del libro? ? 4 - ?e - o 3 1 1 1 c) 1 - 2 3 5 10 b) ¿Cuántas le faltan por leer? d) 1 - > ? 5 - ? e + oH 3 1 2 1 2 2 3 9 40294758 _ 0026-0041.indd 40 13/06/12 11:12
  • 4 3 72. ●● Fran ha regado del césped y Raquel 77. ● ● De los 30 alumnos de una clase, son 6 5 4 chicas. ¿Cuántos chicos hay? los restantes. ¿Cuál de los dos ha regado 12 4 mayor zona de césped? 78. ● ● De una naranja se aprovechan las partes 9 para hacer zumo y el resto es piel. 73. ●● Un libro se hace con la colaboración de 1 18 personas. De ellas, corresponde a autores, 3 1 1 2 a secretarias, a maquetistas, a dibujantes 9 6 6 y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores de cada clase. 74. ●● En un colegio hay 1 095 alumnos que realizan 1 2 actividades extraescolares: hace judo, Si utilizamos 27 kg de naranjas, ¿qué cantidad 3 5 estudia italiano y el resto realiza ballet. de zumo obtendremos? ¿Y de piel? ¿Cuántos alumnos hacen cada actividad? 3 79. ● ● De una clase de 24 alumnos, los han tenido 8 75. ●● Un camión la gripe. ¿Qué fracción de alumnos no han transporta enfermado? ¿Cuántos alumnos son? 15 toneladas de fruta; 1 son naranjas, HAZLO ASÍ 5 2 ¿CÓMO SE HALLA EL TOTAL CONOCIENDO son manzanas 3 UNA DE LAS PARTES? y el resto son 3 peras. ¿Cuántas 80. He recorrido 900 metros, que suponen los 7 toneladas del recorrido. ¿Cuál es la longitud total? de cada fruta PRIMERO. Se calcula cuántos metros representa transporta una parte. el camión? 300 300 m HAZLO ASÍ 300 m m ¿CÓMO SE CALCULA unA PARTE DEl TOtal? 900 m 76. En una fiesta se colocaron 16 bombillas de colores. Al terminar solo funcionaba 3 1 un cuarto de ellas. ¿Cuántas bombillas Si son 900 m "  son 900 : 3 = 300 m 7 7 se fundieron? SEGUNDO. Se determina el total del recorrido. PRIMERO. Se calcula la fracción de bombillas Si una de las 7 partes es 300 m, las 7 partes serán: fundidas. 300 ? 7 = 2 100 m 1 1 1 4 1 3 1- = - = - = 4 1 4 4 4 4 3 81. ● ● Si tres cuartos de kilo de jamón cuestan Los de las bombillas terminaron fundidas. 15 €, ¿cuánto vale un kilo y medio? 4 SEGUNDO. Se determina el número que representa 82. ● ● Según una encuesta, las familias españolas la fracción. 1 dedican de su renta a la adquisición de 3 3 ? 16 48 3 de 16 = = = 12 bombillas 4 4 4 una vivienda, es decir, destinan un promedio Se fundieron 12 bombillas. de 11 000 € anuales a este concepto. ¿Cuál es la renta media mensual de una familia española? 41294758 _ 0026-0041.indd 41 13/06/12 11:12
  • 3 Números decimales A lomos del viento El encargo estaba terminado, y a medida que la nave iba ganando velocidad con ayuda del viento, y devoraba kilómetros de playa en dirección a ninguna parte, la cara de los pasajeros se transformaba: la tez de unos se volvía blanca, mientras se sujetaban aterrados a los asideros del carro; por el contrario, la faz de otros enrojecía, a la vez que gritaban como queriendo animar a los invisibles caballos que movían el carro. Su Excelencia, el conde Maurice de Nassau, mecenas de la obra, se sentía plenamente satisfecho. –Señor Stevin, este carro movido por la fuerza del viento que hincha su vela supera con creces mi encargo. Vamos más de veinticinco personas y dejamos atrás a los hombres, que nos siguen a todo galope montados en sus caballos. Simon Stevin se demoró un momento, el tiempo justo que tardó en anotar unas cantidades: DESCUBRE –Como podéis ver en los cálculos, la velocidad LA HISTORIA... se puede aumentar si utilizamos ruedas más pequeñas, de un metro y veintiséis centímetros. 1. Busca información sobre Simon Stevin y su relación con Maurice de Nassau. 2. ¿Cuál fue la aportación de Stevin al estudio de los 0 1 2 1 2 6 cm números decimales? 3. Investiga sobre la evolución de los números decimales a Stevin escribía así el número decimal 1,26. lo largo de la historia.294758 _ 0042-0055.indd 42 13/06/12 11:14
  • Antes de empezar la unidad... DESCOMPOSICIÓN Y LECTURA DE NÚMEROS DECIMALES Unidades decimales 1 unidad " 1 U 1 décima " 1 d 1 centésima " 1 c 1 milésima " 1 m F F F 1 U = 10 d 1 U = 100 c 1 U = 1 000 m 1 d = 0,1 U 1 c = 0,01 U 1 m = 0,001 U Descomposición polinómica de un número decimal El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende Parte entera Parte decimal del lugar o posición. Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas 1 6 0 2 7 16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001 Lectura de un número decimal Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra decimal. El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas». EVALUACIÓN INICIAL 1. Copia y escribe, en cada caso, la equivalencia. a) 47 décimas = 4 centésimas b) 25 centésimas = 4 unidades PLAN DE TRABAJO c) 8 unidades = 4 milésimas En esta unidad d) 13 milésimas = 4 décimas aprenderás a… 2. Descompón en sus órdenes de unidades estos números decimales, •  Reconocer los y escribe cómo se lee cada uno de ellos. diferentes tipos de a) 4,56 c) 13,205 números decimales. b) 78,004 d) 0,075 •  Determinar el tipo de número decimal que 1 Escribe estos números decimales con cifras. expresa una fracción. •  Realizar operaciones a) Trece unidades cuatro centésimas. con números b) Veintitrés unidades quince milésimas. decimales. 43294758 _ 0042-0055.indd 43 13/06/12 11:14
  • Números 1 decimales Un número decimal es un número que se compone de: •   arte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte P del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas… • Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési- mas, diezmilésimas… ANTES, DEBES SABER… Para qué sirven los números decimales Los números decimales se utilizan para expresar cantidades comprendidas entre dos números enteros. EJEMPLO Al añadir ceros a la derecha de un 1 Indica situaciones que se puedan expresar con números decimales. decimal, el número sigue siendo el mismo. Una entrada de cine cuesta 7,50 €. 1,35 La distancia de la casa de Miguel a la biblioteca es de 2,75 km. 1,350 Un euro equivale a 1,26 dólares. 1,3500 1,35000 1,350000 ANTES, DEBES SABER… Cómo se comparan números enteros 2<5 Un número entero es mayor que otro cuando +2 +5 está situado más a la derecha en la recta numérica. Para comparar números decimales primero los escribimos con la misma cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la derecha si es necesario. EJEMPLO 2 Ordena, de menor a mayor, estos números decimales: 7,32; 7,3211; 2; 7,3. 7,32 " 7,3200     7,3211 " 7,3211     2 " 2,0000     7,3 " 7,3000 Eliminamos la coma decimal y comparamos: 20 000 < 73 000 < 73 200 < 73 211 " 2 < 7,3 < 7,32 < 7,3211 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica tres situaciones que se puedan expresar 1 Ordena, de mayor a menor, los siguientes con números decimales. números decimales. a) 6,1; 4,22; 4,02; 6,11; 3,99; 3,9 2 Ordena de menor a mayor. b) 5,602; 5,611; 5,6005; 5,60102 a) 5,67; 4,97; 6; 4,89 b) 0,541; 0,57; 0; 0,55 c) 0,02; -1,05; 0,8; 0,12; -0,025; 0,07 44294758 _ 0042-0055.indd 44 13/06/12 11:14
  • Fracciones 2 y números decimales •   n número decimal es exacto cuando tiene un número finito de U cifras decimales. •  número decimal es periódico cuando tiene infinitas cifras de- Un SE ESCRIBE ASÍ cimales y, además, una o varias de ellas se repiten indefinidamente. Para escribir de forma La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama período. abreviada números –  el período empieza inmediatamente después de la coma, es Si decimales periódicos un decimal periódico puro. colocamos un arco sobre las cifras que componen –  el período no empieza justo después de la coma, es un deci- Si el período. mal periódico mixto. A las cifras decimales no periódicas se las ! 1,666… = 1,6 llama anteperíodo. Anteperíodo •  número decimal es no exacto y no periódico cuando tiene Un ! 1,066… = 1,06 infinitas cifras decimales y ninguna de ellas se repite periódicamente. Período EJEMPLO 1 Clasifica estos números decimales. 7,24 " Número finito de cifras decimales " Exacto 7,222… " Se repite indefinidamente 2 " Periódico puro 7,24343… "  espués de la coma hay un 2 y a continuación se repite D indefinidamente 43 " Periódico mixto Expresión de una fracción como número decimal Si divides 13 : 30 con la calculadora, obtienes Para expresar una fracción como número decimal se divide el numera- 0,4333333333, por tanto, se trata de un número dor entre el denominador. periódico mixto. EJEMPLO 4 Expresa estas fracciones como números decimales. 8   "  8 : 4 = 2 " Número entero 4 69 "  69 : 30 = 2,3 " Decimal exacto 30   13 ! "  13 : 30 = 0,433… = 0,43 " Decimal periódico mixto 30   LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Clasifica estos números decimales. 3 Expresa como números decimales e indica el tipo. a) 61,454545… e) 58,37777… 17 53 a) c) b) 2,5 f) 0,55 3 15 c) 7,3333… g) 6,34444… 27 15 b) d) d) 34,65555… h) 9,763333… 20 5 45294758 _ 0042-0055.indd 45 13/06/12 11:14
  • Operaciones 3 con números decimales 3.1  Suma y resta de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan sumas y restas combinadas con números enteros Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha. Sin paréntesis           Con paréntesis 23 - 5 - 4 = 18 - 4 = 14     23 - (5 - 4) = 23 - 1 = 22 Para sumar y restar dos números decimales se siguen estos pasos: •  colocan de forma que las comas coincidan en la misma columna. Se •  añaden ceros, si es necesario, para que los dos números tengan la Se misma cantidad de cifras decimales. •  suman o restan como si fueran números enteros, y se mantiene la Se coma del resultado en la columna correspondiente. EJEMPLOS 2 Realiza estas operaciones. a) 56,63 + 12,3 5 6,6 3 c) 36,5 - (22,73 + 7,007) + 1 2,3 0 2 2,7 3 0 6 8,9 3 + 7,0 0 7 2 9,7 3 7 b) 76,5 - 52,81 7 6,5 0 3 6,5 0 0 - 5 2,8 1 - 2 9,7 3 7 F 2 3,6 9 6,7 6 3 5 En su entrenamiento, un ciclista ha recorrido 32,5 km el primer día; el segundo, 1,375 km más que el primero, y el tercero, 2,96 km menos km que el segundo. ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo y el tercer día? 32,5 1.er DÍA Segundo día 3 2,5 0 0     Tercer día 3 3,8 7 5 + 1,375 F F km +  1,3 7 5 -  2,9 6 0 3 3,8 7 5 km 3 0,9 1 5 km km 2,96 ÍA - El segundo día recorrió 33,875 km y el tercero, 30,915 km. 2.º D LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Calcula. 7 Efectúa estas operaciones. a) 23,07 + 16,9 d) 12,07 - 5,3 a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 b) 123,045 + 8,9 e) 73,15 - 17,345 b) (5,02 - 3,009) + (7,96 - 2,1) c) 80,5 + 12,7 f) 89,2 - 27,37 c) 42,78 - (13,25 - 10,9672) 46294758 _ 0042-0055.indd 46 13/06/12 11:14
  • 3.2  Multiplicación de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación con números enteros Primero resolvemos los paréntesis, si los hay; después, las multiplicaciones de izquierda a derecha, y, por último, las sumas y restas de izquierda a derecha. Sin paréntesis           Con paréntesis 73 - 5 ? 4 = 73 - 20 = 53     23 ? (15 - 4) = 23 ? 11 = 253 Para multiplicar dos números decimales se siguen estos pasos: •  multiplican como si fueran números enteros. Se •  coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras, contando Se de derecha a izquierda, como decimales sumen entre ambos factores. EJEMPLOS 3 Realiza estas operaciones. a) 6,312 ? 1,3 6,3 1 2 G 3 decimales #  1,3      G 1 decimal 1 8 9 3 6 6 3 1 2 G 8,2 0 5 6 G 4 decimales b) 86,1 - (5,234 ? 7,2) 5,2 3 4 #  7,2      10468 8 6,1 0 0 0 3 6 6 3 8 F - 3 7,6 8 4 8 3 7,6 8 4 8 4 8,4 1 5 2 6 Fernando ha comprado una estatuilla en Perú que le ha costado 9,5 soles. ¿Cuántos euros pagó si 1 sol equivale a 0,24 €? 0,2 4 G 2 decimales #   9,5 G 1 decimal 120 216 G 2,2 8 0 G 3 decimales   La estatuilla le costó 2,28 €. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Resuelve. 9 Haz las siguientes operaciones. a) 3,2 ? 0,45 a) (5,03 - 4,95) ? 1,26 b) 7,25 ? 2,042 b) 9,82 + 6,2 ? 0,02 47294758 _ 0042-0055.indd 47 13/06/12 11:14
  • 3.3  División de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los términos de la división Dividendo  F   27    2 F   Divisor 07    13  F   Cociente Resto  F  1 Estudiamos los distintos casos que pueden surgir. El divisor es un número entero: •  dividendo es un número decimal. El 17, 41 7 Si el divisor es un número entero y el dividendo 03,4 2,48 es decimal, se añade la coma en el cociente al F 03,61 bajar la primera cifra decimal. 03,45 •  dividendo es un número entero. El 17,00 7 Si el divisor y el dividendo son números ente- Al multiplicar 03,0 2,42 ros, para obtener cifras decimales en el cociente el dividendo y el divisor F 03,20 convertimos el dividendo en número decimal de una división por el mismo número, añadiendo una coma y, después, tantos ceros 03,46 el cociente no varía. como cifras decimales deseemos en el cociente. El divisor es un número decimal: •  dividendo es un número entero. El 17,00 0, 71 Si el divisor es un número decimal y el dividen- 2 decimales G do es un número entero, se suprime la coma del divisor y se añaden tantos ceros al dividendo G 1700 71 como cifras decimales tenga el divisor. 0280 23 0367 •  dividendo es un número decimal. El 17,2 0, 71 Si el divisor y el dividendo son números decima- 2 decimales G les, se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma en el dividendo tantos lugares a la dere- G 1720 71 cha como cifras decimales tenga el divisor. 0300 24 Si es necesario, se añaden ceros al dividendo. 0316 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Resuelve estas divisiones. 5 Calcula. a) 459,3 : 5 b) 37,485 : 14 c) 478 : 7,86 a) 47,25 : 3,32    b)  19,34 : 4,2    c)  319 : 33 48294758 _ 0042-0055.indd 48 13/06/12 11:14
  • 5 Aproximación 5.1  Aproximar números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se aproximan números naturales Aproximar un número es sustituirlo por otro número cercano a él. EJEMPLO 4 Expresa de forma aproximada estos precios. 99 786 € 13 138 € La casa cuesta unos 100 000 €. El coche cuesta unos 13 000 €. Existen dos métodos para aproximar un número: el redondeo y el truncamiento. En general, redondear Redondear un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar es más exacto que las cifras de los órdenes inferiores a él y, además: truncar. •  i la cifra siguiente a la del orden que redondeamos es mayor o igual S que 5, sumamos una unidad a la cifra del orden de redondeo. •  es menor que 5, no modificamos la cifra del orden de redondeo. Si Truncar un número decimal a un cierto orden consiste en eliminar las cifras de los órdenes inferiores a él. EJEMPLO 7 Aproxima mediante redondeo y truncamiento el número 35,4929. A las milésimas A las centésimas A las décimas Redondeo 35,493 35,49 35,5 Truncamiento 35,492 35,49 35,4 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Redondea y trunca a las décimas los siguientes 21 Aproxima por redondeo y por truncamiento números decimales. a las centésimas estos números decimales. a) 7,895 c) 0,43 a) 156,2593 c) 36,243 b) 12,13 d) 3,567 b) 1,2064 d) 9,0503 49294758 _ 0042-0055.indd 49 13/06/12 11:14
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Número decimal Número decimal exacto  0,03  -12,2 # ! # Anteperíodo G F Período Número decimal periódico puro  0,03  -12,2 17,208 ! ! Parte entera G F Parte decimal Número decimal periódico mixto  0,03   -12,02 HAZLO DE ESTA MANERA 1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES Ordena, de menor a mayor: 23,63; 23,6; 22,7. 23,63 23,6 22,7 PRIMERO. Comparamos la parte entera de = > los distintos números. El número menor es 22,7. SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamos 23,63 23,60 su parte decimal añadiendo ceros hasta tener las = mismas cifras decimales en ambos números. > Es mayor el número con mayor parte decimal, 22,7 < 23,6 < 23,63 comparado cifra a cifra. 2. DETERMINAR EL TIPO DE NÚMERO DECIMAL QUE EXPRESA UNA FRACCIÓN Determina el tipo de número decimal que expresan estas fracciones. 14 19 11 33 a)  b)  c)  d)  7 25 9 45 PRIMERO. Sial dividir numerador entre SEGUNDO. Si al dividir numerador entre denominador el cociente no tiene cifras denominador el cociente tiene un número finito decimales, es un número entero. de cifras decimales, es un decimal exacto. a)  14 : 7 = 2 " Número entero b)  19 : 25 = 0,76 " Decimal exacto TERCERO. Si al dividir numerador entre denominador, en el cociente se repiten cifras de forma indefinida inmediatamente después de la coma, el número es periódico puro. Si se repiten, pero no inmediatamente después de la coma, es periódico mixto. c)  11 : 9 = 1,222… " Periódico puro       d)  33 : 45 = 0,733… " Periódico mixto 2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES Calcula.    a) 53,13 + 82,6      b) 25,7 - 9,04 PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales 5 3,1 3 2 5,7 0 estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que + 8 2,6 0 - 9,0 4 todos tengan el mismo número de cifras decimales. 1 3 5,7 3 1 6,6 6 SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar. 50294758 _ 0042-0055.indd 50 13/06/12 11:14
  • 3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES Calcula:  43,003 ? 8,06 PRIMERO. Multiplicamos los números decimales como si fueran 4 3,0 0 3 F 3 cifras decimales números naturales. #   8,0 6 F 2 cifras decimales SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando tantas 258018 cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando 344024 G de izquierda a derecha. 3 4 6, 6 0 4 1 8 F 5 cifras decimales 4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES Calcula.   a)  26,03 : 3    b)  2 603 : 0,3    c)  26,03 : 0,3 •  División de un número decimal entre un número natural a)  2 6,0 3   3 PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales. 2 0 8,6 7 SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma 23 en el cociente. 2 •  División de un número natural entre un •  División de un número decimal entre número decimal un número decimal PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. como cifras decimales haya en el divisor. b)  2 603 : 0,3 " ) c)  26,03 : 0,3 " ) 2 603 ? 10 = 26 030 26,03 ? 10 = 260,3 0,3 ? 10 = 3 0,3 ? 10 = 3 SEGUNDO. Realizamos 26030  3 SEGUNDO. Si en 2 6 0,3   3 la división como 2 0 8676 el dividendo siguen 2 0 8 6,7 si fueran números 23 apareciendo decimales, 23 naturales. 20 resolvemos la división 2 2 como en el primer caso. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Sumar y restar números decimales 1. Clasifica estos números decimales. # ! 2. Calcula: 12,433 + 7,009 - 0,56 a) 0,445 d) 56,7 Multiplicar números decimales b) 7,008 e) 7,445556666… # 3. Realiza estas multiplicaciones. c) 4,003 f) 2,37 a) 7,003 ? 3,4 b) 70,03 ? 34 c) 73 ? 3,01 Comparar números decimales Dividir números decimales 1. Ordena de menor a mayor. 4. Efectúa estas divisiones. 2,003 2 2,3 2,03 a) 7,003 : 3,4 b) 70,03 : 34 c) 72 : 2,02 51294758 _ 0042-0055.indd 51 13/06/12 11:14
  • Actividades Números decimales Comparación de números decimales 28. ● Expresa numéricamente las siguientes cantidades.   7. ● Decide qué número es mayor en cada caso. a) Cuatro centésimas. a) 4,34; 5,34 b) Seis décimas. b) 6,71; 6,77; 6,75 c) Trece milésimas. c) 11,003; 10,003; 11,1003 d) Ciento ocho unidades cuatro milésimas. d) 13,87; 13,78; 13,877 e) Mil una unidades siete diezmilésimas. f) Catorce unidades dos centésimas.   8. ● Ordena de menor a mayor. 29. ● Escribe cómo se leen estos números. a) 12,134; 11,34; 12,14 b) 26,451; 26,177; 26,475 a) 3,24 e) 102,04 c) 1,103; 1,013; 1,113 b) 49,3 f) 1 800,556 c) 0,001 g) 2,00005 d) 1,03 h) 25,5759 33. ● Ordena los siguientes números decimales exactos, de menor a mayor. 30. ● Copia en tu cuaderno y completa la tabla de a) 0,75; 0,57; 0,507; 0,705 descomposición de números. b) 0,102; 0,05; 0,105; 0,501; 0,251 Número C D U d c m 34. ● Copia y completa con un número decimal 12,59 1 2 5 9 exacto. 385,075 a) 14,065 > 4 > 13,95 0 0 1 0 0 0 b) 14,065 > 4 > 14,06 0,002 c) 14,065 > 4 > 14,061 0 0 0 1 0 0 d) 14,065 > 4 > 14,0651 105,426 2,359 HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DETERMINA UN NÚMERO DECIMAL 31. ● Copia y completa. COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS? a) Dos unidades son 4 milésimas. 9. Calcula un número decimal comprendido entre b) Una décima es 4 centésimas. 7,3 y 7,32. c) Tres unidades y dos décimas son 4 PRIMERO. Se escriben los números con la misma milésimas. cantidad de cifras decimales, añadiendo ceros a la d) Veinte milésimas son 4 centésimas. derecha si es necesario. 7,3 " 7,30    7,32 " 7,32 32. ●● Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. SEGUNDO. Se añaden al número menor más cifras decimales distintas de 0. a) 1,05 unidades equivalen a ciento cinco centésimas. 7,30 < 7,301 < 7,302 < 7,3021 < … < 7,32 b) Cuatro unidades y tres décimas son cuatro Observa que entre dos números decimales cualesquiera unidades y treinta centésimas. siempre hay infinitos números decimales distintos. c) Entre 2,452 y 2,453 no existe ningún número. d) 3,005 es mayor que 3,05. 35. ● Escribe tres decimales entre cada par. e) Tres unidades con dos décimas equivalen a) 2,3 y 3,6 c) 2,31 y 2,32 a treinta y dos mil milésimas. b) 2,3 y 2,4 d) 2,31 y 2,311 52294758 _ 0042-0055.indd 52 13/06/12 11:14
  • Clases de números decimales Operaciones con números decimales 41. ● Señala el período y el anteperíodo de estos números periódicos. 53. ● Efectúa estas operaciones. a) 4,5 + 6,7 a) b) 7,05 + 8,19 f) c) 9,06 + 1,7 b) g) d) 152,3 + 4,938 c) e) 27,92 - 8,03 h) f) 359,157 - 148,049 d) i) g) 0,03 - 0,003 h) 10,45 - 7,6923 e) j) HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN 43. ● Indica a qué clase de números decimales UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? corresponde la expresión decimal 10. Halla el término que falta para que el resultado de estas fracciones. sea correcto. 39 39 39 39 a) 12,99 + 4 = 98,3 a) c) e) g) 70 8 125 60 b) 7,45 - 4 = 3,99 78 39 39 117 c) 4 - 7,774 = 987,9 b) d) f) h) 39 40 180 39 PRIMERO. Se identifica el término desconocido. a) Es uno de los sumandos de una suma. 45. ● Realiza la división y di si el resultado es un número periódico puro o periódico mixto, b) Es el sustraendo de una resta. indicando la parte entera y el período. c) Es el minuendo de una resta. 2 26 1 SEGUNDO. Si el término es: a) c) e) 9 180 198 • Un sumando, se obtiene restando al resultado el otro sumando. 8 29 100 b) d) f) • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo 11 900 36 el resultado. 46. ●● Escribe tres fracciones que den lugar a: • El minuendo, se obtiene sumando al resultado el sustraendo. a) Números enteros. a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 b) Números decimales exactos. b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 c) Números decimales periódicos. c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674 48. ●● Escribe los números decimales con estas características y di a qué clase corresponden. 11. ● ● Determina el término que falta en cada a) Parte entera 26 y período 5. operación. Explica cómo lo haces. b) Parte entera 8 y período 96. a) 19,75 + 4 = 133,86 b) 87,19 - 4 = 8,464 c) Parte entera 5 y parte decimal 209. c) 29,572 - 4 = 16,413 d) Parte entera 0, parte decimal no periódica 4 d) 4 - 105,97 = 552,37 y período 387. e) 4 - 45,16 = 127,07 e) Parte entera 1, parte decimal no periódica 0 f) 4 + 23,58 = 79,05 y período 3. 53294758 _ 0042-0055.indd 53 13/06/12 11:14
  • 56. ● Realiza estas operaciones. HAZLO ASÍ a) (4,2 + 7,98) - 5,32 b) (11,95 - 6,792) - 0,04 ¿CÓMO SE MULTIPLICA Y SE DIVIDE UN NÚMERO DECIMAL POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROS? c) (263,45 - 193,3) + 10,7629 d) 7,005 - (96,82 + 13,99) 63. Calcula. a) 84,26 ? 10 c) 84,26 : 10 57. ● Calcula. b) 5,2 ? 1 000 d) 5,2 : 1 000 a) (21,5 + 7,96) - (14,3 + 2,857) b) (52,89 - 26,14) - (3,25 - 1,0002) PRIMERO. Para multiplicar se mueve la coma hacia c) (62,36 + 39,485) + (15,942 - 6,7) la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras d) (100,9 - 9,99) - (70,7 + 5,006) suficientes, se completa con ceros el resultado. 58. ● Calcula. a) 84,26 ? 10 = 842,6 a) 49,5 : 8 d) 57,3 : 7,2 b) 5,2 ? 1 000 = 5 200 b) 148,725 : 3 e) 158 : 6,3 SEGUNDO. Para dividir se mueve la coma hacia c) 4 536,65 : 4 f) 9 437,02 : 3,125 la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. En el caso de que no haya cifras suficientes, se completa con ceros el resultado. HAZLO ASÍ c) 84,26 : 10 = 8,426 ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES d) 5,2 : 1 000 = 0,0052 COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES? 59. Calcula: 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) 64. ● Efectúa estas multiplicaciones y divisiones. PRIMERO. Se realizan las operaciones entre a) 0,02 ? 10 d) 0,02 : 10 paréntesis. b) 1,05 ? 100 e) 1,05 : 100 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 c) 0,145 ? 100 f) 0,145 : 100 SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, 65. ● ● Resuelve estas operaciones, respetando las sumas y restas en el mismo orden. la jerarquía de las operaciones. 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09 a) 54,2 - 7,2 ? 10 b) (513,02 - 79,7) ? 1 000 60. ●● Dados los números decimales: c) (148,35 - 9,6 ? 100) - 10,467 a = 35,49    b = 67,50    c = 15,75 66. ● ● Resuelve estas operaciones, respetando calcula. la jerarquía de las operaciones. a) b - a e) 2 ? b + 3 ? c i) b - 2 ? c a) 17,94 ? 100 - 8,05 : 0,6 b) a + c f) 4 ? a - 2 ? c j) b : 2 b) 9,8 ? 10 + 41,96 : 1 000 c) a - c g) a + b k) c : 3 c) 100,15 : 100 - 3,995 ? 0,05 d) b - c h) b + c l) a : 7 d) (8,72 - 7,85) ? 0,1 - 0,2 61. ●● Haz las operaciones. e) 18,9654 : (1,35 + 1,05) a) 2,4 ? (3,02 + 0,456) - (9,231 + 0,4) f) 9,025 - 2,46 : (1,3 + 0,01) b) 12,84 : 3,21 - (16,001 + 0,225) ? 1,2 67. ● ● Copia y completa las series. c) 102,48 : 4,27 ? 1,2 - 445,98 + 0,25 + 0,25 + 0,25 62. ●● Resuelve, respetando la jerarquía de las a) 15  "  4  "  …  "  20 - 0,75 - 0,75 - 0,75 operaciones. b) 50  "  4  "  …  "  35 a) 33,7 ? 4,5 + 7,2 ? 0,05 ? 2,1 ? 2,1 ? 2,1 c) 1,5  "  4  "  …  "  29,17215 b) (33,7 ? 4,5 + 7,2) ? 0,05 : 1,8 : 1,8 : 1,8 c) 33,7 ? (4,5 + 7,2 ? 0,05) d) 76,527504  "  4  "  …  "  4,05 54294758 _ 0042-0055.indd 54 13/06/12 11:14
  • Aproximación 88. ●● Un padre quiere repartir 15,70 € entre 76. ● Trunca y redondea 72,289 a las décimas. sus cuatro hijos a partes iguales. 77. ● Trunca y redondea 0,397 a las centésimas. ¿Cuánto recibirá cada uno? 78. ● Trunca y redondea 125,3925 a las milésimas. 79. ● Copia y completa la tabla con las aproximaciones de los siguientes valores: 89. ●● Tengo que pagar 192,75 € en tres plazos: ! # ! • En el primer plazo pago la mitad. 1,25667   2,5   22,45   0,547   5 • En el segundo plazo, la tercera parte. A las A las A las • Y en el tercero, el resto. décimas centésimas milésimas Calcula cuánto pagaré en cada plazo. Truncamiento Redondeo 90. ●● Si una pulgada equivale a 2,54 cm: a)  Qué longitud tiene un televisor ¿ de 27 pulgadas? ¿Y uno de 24 pulgadas? 12. ●● Trunca y redondea a las décimas y a las centésimas estos números decimales. b)  Cuántas pulgadas son 45,725 cm? ¿ a) 18,504 c) 0,743 91. ●● Una onza equivale a 28,35 g. b) 132,856 d) 53,557 a)  Cuántas onzas tiene 1 kg? ¿Y 560 g? ¿ b)  Cuántos gramos serían 5,7 onzas? ¿ PROBLEMAS CON NÚMEROS 92. ●● Un barril americano contiene 158,98 ¬  . DECIMALES a)  Cuántos barriles podemos llenar con 317 960 ¬ ¿ de petróleo? ¿Y con 1 000 000 ¬? 86. ●● En la frutería he comprado 2,4 kg de naranjas; b)  Cuántos litros son 250 barriles? ¿ 1,56 kg de manzanas; 0,758 kg de uvas; 545 g de fresas y 255 g de cerezas. 93. ●● Una tira de papel mide 29 cm de largo. ¿Cuántas tiras necesitamos para obtener una tira de 2,4 m de largo? 94. ●● Sabiendo que una milla terrestre es 1,6093 km, ¿cuántos metros y kilómetros son 2,35 millas? ¿Y 0,6 millas? 95. ●● Un nudo es una milla marina/h y una milla marina es 1,852 km. La velocidad de un barco es de 60 nudos. ¿Cuántos kilómetros recorre en tres horas? a) ¿Cuánto pesa la compra? 96. ●● Un glaciar retrocede 2,8 cm al año por b) ¿Cuánto dinero me he gastado? el deshielo. ¿Cuánto tardará en retroceder 5 m? kg Naranjas: 1,90 €/ Fresas: 2,8 7 €/kg Cerezas: 3,05 €/kg Manzanas: 1,25 €/kg Uvas: 2,36 €/kg 87. ●● El alumno más alto de la clase mide 172 cm y el más bajo 148 cm. Calcula la diferencia entre ambos y exprésala en metros. 55294758 _ 0042-0055.indd 55 13/06/12 11:14
  • 4 Sistema sexagesimal El amo de la Luna La nave de Colón llevaba tiempo embarrancada en la isla de Jamaica, sus hombres amenazaban con un motín y, para acabar de comprometer la situación, los indígenas, cansados de intercambiar espejitos y cuentas, se negaban a abastecerlos de comida. La situación era desesperada y Colón, para calmar a sus hombres, les prometió comida y citó a los jefes indígenas esa misma noche. –¡Sabed que me habéis enojado y, por vuestra negativa a colaborar, haré que la Luna se torne roja de sangre y luego desaparezca! Los jefes indios miraron la Luna y, tras comprobar DESCUBRE cómo se cumplían las amenazas de Colón, LA HISTORIA... le pidieron aterrorizados que resucitara la Luna, prometiéndole seguir llevando comida para él 1. Regiomontanus fue el matemático más y sus tripulantes. influyente del siglo xv. Colón movió los brazos, como invocando a alguien, Investiga sobre y les aseguró: su vida y sus –La Luna aparecerá de nuevo esta misma noche, aportaciones a pero si faltáis otra vez a vuestra palabra jamás la ciencia. la volveréis a ver. 2. ¿Cómo pudo influir el trabajo de Después de esto se retiró satisfecho a sus aposentos, Regiomontanus en felicitándose por haber llevado consigo el Ephemerides el descubrimiento de del famoso matemático Regiomontanus, donde América por Cristóbal se predecía el eclipse que acababa de ocurrir. Colón? Regiomontanus escribió también sobre ángulos, 3. Busca información midiéndolos en grados, minutos y segundos. sobre el sistema sexagesimal a lo largo de la historia.294758 _ 0056-0069.indd 56 13/06/12 11:15
  • Antes de empezar la unidad... SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Magnitudes y unidades Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número. El peso es una magnitud. La longitud es una magnitud. Esta cuerda mide 16 m. El sistema métrico es El melón pesa 1,5 kg. decimal porque sus El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida unidades se relacionan entre sí mediante de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. potencias de 10. Transformación de unidades Para transformar una unidad en otra en el sistema métrico decimal, se multiplica o se divide sucesivamente por una potencia de 10. • En el caso de las unidades de longitud, de capacidad y de masa, se multiplica o se divide por 10. ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 F F F F F F km hm dam m dm cm mm F F F F F F : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 • Para transformar unidades de superficie, se multiplica o se divide por 100 y para unidades de volumen, por 1 000. EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO 1 Decide si las siguientes cualidades son magnitudes. En esta unidad a) La distancia entre dos ciudades. aprenderás a… b) La amistad. c) La estatura de una persona. •  Medir ángulos d) La temperatura de una ciudad. y tiempo en el sistema 2 Escribe la unidad que utilizarías para medir las magnitudes de la sexagesimal. actividad anterior. •  Expresar medidas de ángulos y tiempo 3 Expresa en la unidad indicada en cada caso. en forma compleja e incompleja. a) 23 km en m. b) 750 dm en km. •  Realizar operaciones de sumas y restas, c) 245 m2 en dm2. de medidas de d) 1250 dam2 en km2. ángulos y tiempo. 57294758 _ 0056-0069.indd 57 13/06/12 11:15
  • Sistema 1 sexagesimal ANTES, DEBES SABER… B Qué es un ángulo y cómo se mide 60o Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Para medir ángulos utilizamos el transportador A y expresamos su medida en grados. Un grado es el ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos y períodos de tiempo menores que el día. 1.1  Unidades de medida de ángulos La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado, y se expresa mediante el símbolo °. Para medir ángulos con más precisión se utilizan unidades menores que el grado: el minuto () y el segundo ("). En el sistema decimal cada unidad es 10 veces Unidad Símbolo Equivalencia mayor que la unidad Grado ° 1° = 60 inmediatamente inferior. Minuto 1 = 60" En el sistema sexagesimal Segundo " 1° = 3 600" cada unidad es 60 veces mayor que la unidad Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior inmediatamente inferior. y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior. ? 60 ? 60 : 60 : 60 F F F F Grado Minuto Segundo Grado Minuto Segundo F F ? 3 600 : 3 600 EJEMPLOS 1 Expresa en segundos.  a)  125  "  125 ? 60 = 7 500" 2 Expresa en la unidad indicada. a) 240 en grados  $      240 : 60 = 4° b) 3 240" en minutos  "      3 240 : 60 = 54 c) 162 000" en grados "  162 000 : 60 = 2 700  "  2 700 : 60 = 45° LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en minutos. 2 Calcula. a) 300" c) 150° a) ¿Cuántos grados son 64 800"? b) 1 380" d) 480° b) ¿Y cuántos segundos son 10°? 58294758 _ 0056-0069.indd 58 13/06/12 11:15
  • 1.2  Unidades de medida de tiempo Las unidades de medida de tiempo son el siglo, el año, el mes, el día… Para medir períodos de tiempo menores que el día utilizamos la hora (h), el minuto (min) y el segundo (s). Al igual que las unidades de medida de ángulos, la hora, el minuto y el se- gundo forman un sistema sexagesimal, porque 60 unidades de un orden forman 1 unidad del orden superior. Unidad Símbolo Equivalencia Hora h 1 h = 60 min Minuto min 1 min = 60 s Segundo s 1 h = 3 600 s Cada unidad es 60 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 60 veces menor que la unidad inmediatamente superior. ? 60 ? 60 : 60 : 60 F F F F Hora Minuto Segundo Hora Minuto Segundo 1 día = 24 horas 1 lustro = 5 años F F ? 3 600 : 3 600 1 siglo = 100 años milenio = 1 000 años 1 EJEMPLOS 3 Expresa en segundos. a) 20 min  "  20 ? 60 = 1 200 s b) 3 h  "   3 ? 60 = 180 min  "  180 ? 60 = 10 800 s 4 Expresa en la unidad indicada. a) 1 080 s en minutos  "  1 080 : 60 = 18 min b) 360 min en horas  "    360 : 60 = 6 h c) 14 400 s en horas  "  14 400 : 60 = 240 min  "  240 : 60 = 4 h LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Transforma en segundos las siguientes 1 Expresa en la unidad indicada en cada caso. medidas de tiempo. a) 25 200 s en horas a) 100 min c) 1,5 h b) 300 s en minutos b) Media hora d) 60 min c) 9 min en segundos d) 5 h en segundos 6 Expresa en minutos. a) 2,5 h c) 3 600 s 8 Si la jornada diaria de un estudiante de ESO b) 2 días d) 14 400 s es de 6 horas, expresa ese tiempo en minutos 7 Calcula la equivalencia en horas. y también en segundos. a) 90 000 s 9 Expresa en segundos la duración de un partido b) 3 120 min de baloncesto que tiene cuatro tiempos de c) 1 semana 10 minutos cada uno. 59294758 _ 0056-0069.indd 59 13/06/12 11:15
  • Forma compleja 2 e incompleja 2.1  Expresiones complejas e incomplejas Una medida de ángulos o de tiempo puede ser expresada de dos maneras: •  e forma compleja, es decir, utilizando varias unidades. D 2 h 42 min 13 s 24° 19 45" •  forma incompleja, es decir, utilizando una sola unidad. De 4,5 h 29° 3,25 min 190" 2.2  Paso de forma compleja a incompleja ANTES, DEBES SABER… Cómo se pasa de forma compleja a incompleja en el sistema métrico decimal Multiplicamos por la potencia de 10 correspondiente para expresar todas CALCULADORA las unidades en la unidad que se pide y las sumamos. 3 km 28 m en m " 3 ? 1000 + 28 = 3 028 m Para expresar medidas 5 dam 2 m en dm " 5 ? 100 + 2 ? 10 = 520 dm de ángulos o de tiempo en el sistema sexagesimal con la calculadora se utiliza Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma compleja la tecla º ‘ “ . a incompleja hay que considerar las equivalencias entre las unidades: Así, para introducir 24º 19’ 45” •  ara pasar de horas o grados a minutos se multiplica por 60. P tecleamos: • Para pasar de horas o grados a segundos se multiplica por 3 600. 24  º ‘ “   19  º ‘ “   45  º ‘ “    •  ara pasar de minutos a segundos se multiplica por 60. P EJEMPLOS 5 Expresa en segundos. a) 12° 25 48" 12°  "  12 ? 3 600 = 43 200" 25  "   25 ? 60 = 01 500" 48" 12° 25 48" = 44 748" 6 Expresa 5 h 4 min en forma incompleja. 5 h  "  5 ? 60 = 300 min 4 min 5 h 4 min = 304 min LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Expresa en segundos. 12 Expresa 56° 40 en forma incompleja. a) 28° 17 39" c) 2 h 16 min 20 s 13 ¿Cuántos minutos son tres cuartos de hora? b) 56° 38" d) 60° 31 ¿Y cuántos segundos? 60294758 _ 0056-0069.indd 60 13/06/12 11:15
  • 2.3  Paso de forma incompleja a compleja ANTES, DEBES SABER… Cómo se pasa de forma incompleja a compleja en el sistema métrico decimal Dividimos la medida y los sucesivos cocientes entre la potencia de 10 correspondiente. La expresión en forma compleja está formada por el último cociente y los restos. 326 m " 326 m 10 32 dam F 10 26 32 dam 2 dam 3 hm " 3 hm 2 dam 6 m 6m Para transformar una medida de ángulos o tiempo de forma incompleja a compleja hay que considerar que: •  dividimos segundos entre 60, obtenemos como cociente minutos Si y, como resto, segundos. Dividendo F segundos 60 G Divisor Resto F segundos minutos G Cociente •  dividimos minutos entre 60, obtenemos como cociente grados Si (u horas) y, como resto, minutos. Dividendo minutos F 60 Divisor G Si colocas de esta Resto minutos  F grados manera los divisores será Cociente G más fácil hallar el resultado. (u horas) EJEMPLOS 4 7 1 4 s 60 4 5 1 4 7 8 min 6 0 7 Expresa 44 748" en minutos y segundos. 4 2 3 4 s 1  min 1 h 8 4 4 7 4 8" 60   2 7 4 7 4 5     3 4 8       4 8"     44 748" = 745 48" 8 Transforma 4 714 s a forma compleja; es decir, exprésalo en horas, minutos y segundos. 4 7 1 4 s 60   5 1 4 7 8 min F 7 8 min 60     3 4 s 1 8 min 1h     4 714 s = 1 h 18 min 34 s LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Expresa en grados, minutos y segundos 16 Expresa en forma compleja las siguientes estas medidas de ángulos. medidas de tiempo. a) 28 300" d) 65 497" a) 458 min d) 13 590 s b) 28 215" e) 43 208" b) 34 567 s e) 5 681 min c) 872 f) 45 001 c) 8 010 s f) 477 s 61294758 _ 0056-0069.indd 61 13/06/12 11:15
  • Operaciones en el sistema 3 sexagesimal ANTES, DEBES SABER… Cómo se dibujan ángulos 1.º  Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. 2.º  Hacemos una marca en la medida del ángulo que vamos a dibujar. 3.º  Finalmente, utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada. G Para sumar dos medidas expresadas en forma compleja también se pueden pasar 3.1  Suma en el sistema sexagesimal a forma incompleja Para sumar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma com- y sumarlas. pleja se colocan los sumandos agrupados: grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos. Una vez obtenido el resultado hay que tener en cuenta que: •  i los segundos sobrepasan 60, los transformamos en minutos. S •  los minutos sobrepasan 60, los transformamos en horas o en grados. Si EJEMPLO 9 Suma estas medidas de ángulos, 26° 25 48" y 43° 48 19". 26°  25  48" + 43°  48  19" 69°  73  67" 70° 14 7" F 67" = 60" + 7" = 1 + 7" + 1  17" F 69°  74  17" 26° 25 48" F 74 = 60 + 14 = 1°+ 14 43° 48 19" + 1°14     17 F 70°  14  17"  Si escribimos la suma en forma horizontal:  26° 25 48" + 43° 48 19" = 70° 14 7" LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Efectúa estas operaciones. 20 El ganador de una carrera ha llegado a la meta a) 12° 15 58" + 23° 22 19" a las 14 h 26 min 47 s, y el segundo, 17 min 52 s después. ¿A qué hora llegó el segundo? b) 35° 45 + 26° 10 + 26° 15 33" 62294758 _ 0056-0069.indd 62 13/06/12 11:15
  • 3.2  Resta en el sistema sexagesimal Para restar medidas de ángulos o de tiempo expresadas en forma comple- ja se colocan el minuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados con grados (u horas con horas), minutos con minutos y segundos con segundos. Al efectuar la resta hay que tener en cuenta que: NO OLVIDES •   uando el número de segundos del minuendo sea menor que el C del sustraendo, se pasa un minuto del minuendo a segundos. Si al sumar o restar en el resultado se obtienen •   uando el número de minutos del minuendo es menor que el del C minutos o segundos mayores sus­ raen­ o, se pasa una hora o un grado del minuendo a minutos. t d que 60, se deben transformar en la unidad inmediatamente superior. EJEMPLOS 11 Realiza esta resta: 70° 15 3" - 28° 39 50" El número de segundos y minutos del minuendo es menor que el del sustraendo. 1 = 60" 1° = 60 70°  15   3" " 70°  14  63" " 69°  74  63" - 28°  39  50" - 28°  39  50" - 28°  39  50" 41° 35 13" Efectuamos la resta: 28° 39 50" Para restar dos 69°  74  63" medidas expresadas - 28°  39  50" 70° 15 3" en forma compleja 41°  35  13"   "  70° 15 3" - 28° 39 50" = 41° 35 13" también se pueden pasar a forma incompleja 12 Susana estuvo el lunes conectada a Internet durante 2 h 31 min 15 s, y restarlas. y el martes, durante 1 h 40 min 8 s. ¿Cuánto tiempo estuvo conectada el lunes más que el martes? Como no podemos restar estas cantidades, pues los minutos del sustraendo son mayores que los del minuendo, transformamos una hora en minutos. 1 h = 60 min 2 h  31 min  15 s   "   1 h  91 min  15 s - 1 h  40 min   8 s - 1 h  40 min   8 s 51 min   7 s El lunes estuvo conectada 51 min 7 s más que el martes. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 Efectúa estas operaciones. 2 Ana salió a pasear el lunes durante 1 h 12 min a) 32° 5 23" - 17° 22 33" 24 s y el miércoles su paseo duró 27 min 12 s menos. ¿Cuánto tiempo paseó el miércoles? b) 19° 35 - 11° 34" c) 4 h 14 min 34 s - 2 h 30 min 58 s 24 En una prueba contrarreloj los tiempos de dos d) 2 h 6 min - 37 min 52 s ciclistas han sido 1 h 1 min 7 s y 59 min 43 s, respectivamente. 23 Calcula: Calcula la diferencia de tiempo que hay 24° 36 - (24° 22" - 6° 14) entre ambos. 63294758 _ 0056-0069.indd 63 18/06/12 11:52
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Unidades de medida de ángulos Unidades de medida de tiempo Unidad Símbolo Equivalencia Unidad Símbolo Equivalencia Grado ° 1° = 60 Hora h 1 h = 60 min Minuto 1 = 60" Minuto min 1 min = 60 s Segundo " 1° = 3 600" Segundo s 1 h = 3 600 s ? 60 ? 60 : 60 : 60 F F F F Grado (hora) Minuto Segundo F Grado (hora) Minuto Segundo F ? 3 600 : 3 600 HAZLO DE ESTA MANERA 1. TRANSFORMAR UNIDADES DE 1. TRANSFORMAR MEDIDAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS Y DE TIEMPO ÁNGULOS Y TIEMPO EXPRESADAS EN FORMA COMPLEJA A INCOMPLEJA Expresa estas medidas en la unidad indicada en cada caso. Expresa en la unidad indicada en cada caso. a) 7º en segundos. a) 3º 45 54" en minutos. b) 12 min en horas. b) 2 h 24 min en segundos. PRIMERO. Contamos los saltos que hay PRIMERO. Transformamos en la unidad que y su sentido, desde la unidad que nos dan se pide. hasta la unidad en la que tenemos que a) Pasamos a minutos cada unidad. expresar la medida. 3° = 3 ? 60 = 180 a) Para pasar de grados a segundos hay 45 = 45 2 saltos hacia la derecha. 54" = 54 : 60 = 0,9 b) Para pasar de minutos a horas hay 1 salto hacia la izquierda. b) Pasamos a segundos cada unidad. 2 h = 2 ? 60 ? 60 = 7 200 s SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto. 24 min = 24 ? 60 = 1 440 s • Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos por 60 tantas veces como SEGUNDO. Sumamos los resultados. saltos. a) Forma 3° 45 54" " 180 G • Si el salto es hacia la izquierda, dividimos compleja   45 por 60 tantas veces como saltos.   +    ,9 0 a) Multiplicamos 2 veces por 60. 225,9 G Forma 7 ? 60 ? 60 = 25 200 incompleja 7° = 25 200 s b) Forma 2 h 24 min " 7 200 s G b) Dividimos 1 vez entre 60. compleja + 1 440 s 12 : 60 = 0,2 8 640 s G Forma 12 min = 0,2 h incompleja 64294758 _ 0056-0069.indd 64 13/06/12 11:15
  • 2. Transformar medidas de ángulos y tiempo expresadas en forma incompleja a compleja Expresa 4 083" de forma compleja. SEGUNDO. Dividimos 68 60 los minutos entre 60:   8 1° PRIMERO. Dividimos 4 083" 60 el cociente son grados, los segundos entre 60: y el resto, minutos.   483 68 el cociente son minutos, y el resto, segundos.    03" Forma  4 083" = 1° 8 3"  G G Forma incompleja compleja 3. Sumar en el sistema 4. Restar en el sistema sexagesimal sexagesimal Calcula: 6 h 24 min 28 s + 52 min 47 s Calcula: 6° 24 28" - 52 47" PRIMERO. Colocamos los sumandos, 6°  24  28" PRIMERO. Agrupamos las agrupados por unidades, y realizamos medidas por unidades. -   52  47" la suma. 6 h  24 min  28 s SEGUNDO. Si el número de segundos del +  52 min  47 s sustraendo es menor que el del minuendo, 6 h  76 min  75 s se transforma un minuto en segundos. 24 = 23 + 60" SEGUNDO. Si en el resultado sobrepasan 60: 6°  24  28" " 6°  23  88" •  Los segundos, los transformamos en -   52  47" -   52  47" minutos. •  Los minutos, los transformamos en horas. TERCERO. Si el número de minutos del sustraendo es menor que el del minuendo, 6 h 24 min 28 s + 52 min  47 s = 6 h 76 min 75 s se transforma un grado (u hora) en minutos. 75 s = 1 min + 15 s F F 6° = 5° + 60 6 h 77 min 15 s 6°  23  88" " 5°  83  88" 77 min = 1 h + 17 min -   52  47" -   52  47" F F 7 h 17 min 15 s 5°  31  41" Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Transformar de forma incompleja 1. Expresa en la unidad indicada. a compleja a) 133 200" en grados. 3. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 620 s? b) 17 h en segundos. 2. Expresa en forma compleja 4 862". Transformar unidades de medida de ángulos Sumar en el sistema sexagesimal y de tiempo Halla la suma de los ángulos 20° 30 25" 4.  1. Expresa 360" en minutos y 24 h en segundos. y 40° 40 40". Transformar de forma compleja a incompleja Restar en el sistema sexagesimal 2. Expresa en segundos el ángulo 40° 40 40". ¿Cuál es el resultado de 7° 25 30" - 4° 27 40"? 5.  65294758 _ 0056-0069.indd 65 13/06/12 11:15
  • Actividades sistema sexagesimal 39. ● ● Expresa en minutos los siguientes ángulos. 34. ● Copia y completa esta tabla: a) 35° g) 5° b) 4° 30 h) 6° 25 Grados Minutos Segundos c) La mitad de 30° i) 13° 35 60" 125° 7 500 450 000" d) 360" j) 17° 180" e) 2° 45 120" k) 35 420"   93 600" f) (18° - 15°) + 3° l) 5 + 60" + 3° 2 100 40. ● ● Expresa en segundos estos ángulos.   540 a) 1° 45 f) 4° 38" 3° b) (17° - 3°) - (10° - 5°) g) 2° 20 30"   50 400" c) 3 h) 35 10" d) (35" - 28") - 4" i) 55 35. ● Calcula mentalmente y expresa en minutos e) 3° 5 10" j) 7° 25 y en segundos las medidas de ángulos. a) 3° c) 8° e) 1° 15   5. ● Expresa en la unidad indicada en cada caso. b) 5° d) 10° f) 10° 10 a) 3 400 s en min b) 12 h 40 min en s 36. ● Expresa en forma incompleja. c) 7 h 534 s en min a) 35° 54 65" c) 4 h 27 min 56 s d) 127º 84 en segundos b) 65° 53 12" d) 7 h 33 min 49 s e) 16º 34 44" en minutos f) 13º 157 83" en grados 37. ● Expresa en forma compleja. h) (12º - 7º) + 3º en minutos a) 25 123 s d) 13,25 h g) 27 762 s i) 9 + (23 + 12) en segundos b) 45 125 s e) 5 432 s h) 90 000 s j) (87" + 34") - 23" en minutos c) 16 459" f) 452 min i) 40 000 38. ● Expresa en forma incompleja. OPERACIONES EN EL SISTEMA a) 13° 15 32" d) 7 h 51 min 46 s SEXAGESIMAL b) 100° 47 e) 20 h 32 s c) 82° 3 f) 19 h 46 min 41. ● Realiza estas sumas de ángulos. a) 35° 20 15" + 10° 30 40"   3. ● Expresa en segundos estas medidas de tiempo. b) 6° 10 5" + 8° 40 52" a) 45 h d) 47 min 23 s c) 15° 36 40" + 2° 10 13" b) 34 min e) 2 h 34 min 4 s d) 18° 13 25" + 28° 48 10" c) 5 h 24 s f) 12 h 7 min 3 s e) 6° 30 + 4° 50 45"   4. ● Expresa en minutos estas medidas de tiempo. f) 5° 25 3" + 75 8" a) 1 374 h g) 4° 3 6" + 5° 7 28" + 25° 39 40" b) 3 856 s h) 43° 25" + 5° 48 c) 238 h 34 min 64 s i) 2° 2" + 75° 43 d) 127 h 84 min 32 s j) 33 7" + 4° 45 e) 6 h 54 min k) 3 h 660 s en min f) 7 h 17 min 23 s l) (4 + 2) - 1 en segundos m) (52" - 7") + 75" en minutos 66294758 _ 0056-0069.indd 66 13/06/12 11:15
  • 42. ● Efectúa las siguientes restas. 45. ● ● Calcula el ángulo que falta. a) 3° 35 - 2° 10 a) - 2° 36 45" = 13° 15 10" b) 1° 25 - 10 b) - 15 35" = 6° 25 46" c) 63° 47" - 25 30" c) - 1° 50" = 3° 48 d) 1° 45 3" - 75 10" d) - 47 58" = 2° 35 40" e) 4° 2 - 1° 40 e) - 6° 18 40" = 15° 27 38" f) 2° 30 10" - 3 50" f) - 10° 45 = 37° 53 44" g) 42° 5 3" - 38 10" g) - 17° 25 46" = 38 43" h) 37 45" - 20 78" h) - 65" = 1° 48 35" i) 2° 6 4" - 1° 10 j) 35° 11 54" - 13° 12 15" HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE SUMA HAZLO ASÍ Y RESTA CON PARÉNTESIS? ¿CÓMO SE CALCULA UN SUMANDO EN UNA SUMA 46. Realiza esta operación: DE LA QUE CONOCEMOS SU RESULTADO? (39° + 45° 30) - (6° 38 - 2° 20) V 43. ¿Qué medida tiene el ángulo B si, al sumarlo PRIMERO. Se resuelven los paréntesis. con el ángulo AV = 17° 26", resulta 39° 6°  38         el ángulo 36° 7 15"? +  45°  30 -  2°  20 PRIMERO. Se expresa el problema mediante 84°  30 4°  18 una operación, y se despeja la medida desconocida. V V V A + B = 36° 7 15"  "  17° 26" + B = 36° 7 15" SEGUNDO. Se efectúan las sumas 84°  30 F Pasa restando y las restas, de izquierda a derecha. - 4°  18 SEGUNDO. Se realizan las operaciones. 80°  12 1 = 60" 36°  7  15" " 36°  6  75" 47. ● ● Realiza las siguientes operaciones. -  17°    26" -  17°    26" a) (10° 20" + 15° 30) - 13° 14 35" No se pueden restar 19°  6  49" b) (50° 35 - 37° 45) + 6° 18" los segundos c) (5 38" + 4° 36) + (5° 10 - 3° 2") V Por tanto, el ángulo es B = 19° 6 49". d) (25° 35 + 2° 10) - (3° + 17° 43) 48. ● ● Calcula. V   6. ●● ¿Qué medida tiene el ángulo B si, al sumarlo a) (124° 34 12" - 78° 47 24") + 43° con el ángulo AV = 19° 45, resulta un ángulo b) 25° 30 6" + (7° 6" - 1° 25) de 133° 51 36"? ¿Y si, al restarlo del ángulo V c) (4° 3 5" + 7° 6 3") - 3° 10 15" A = 87° 11 24", resulta un ángulo de 78° 43 34"? d) (10° 8 2" - 4° 2) + (6° 4 23" - 2° 5") 44. ●● Copia, y completa el ángulo que falta.   7. ● ● Calcula. a) + 25° = 50° 20 47" a) (53º 12 33" - 12º 45 34") - 12º 34 12" b) + 27° 32" = 80° 5 38" b) 112º 45 24" + (223º 4 21" - 13º 45 34") c) + 1° 40" = 5° 3 20" c) (146º 24 - 57 22") + (51º 23" - 21º 34) d) 15° 10 30" + = 20° 5 40" d) 137º 27 - (120º 53 - 45 42") e) + 25 35" = 1° 30 16"   8. ● ● Calcula. f) + 17° = 20° 12" a) 3 h - (54 min 12 s + 24 min 34 s) g) + 6° 42 = 10° 58 35" b) (2 h 24 min 11 s - 44 min 24 s) - 45 min h) + 9° 18 = 17° 43" 67294758 _ 0056-0069.indd 67 13/06/12 11:15
  • 51. ● ● Calcula. HAZLO ASÍ a) (3° 4 6" + 5° 7 10") ? 2 ¿CÓMO SE MULTIPLICA EN EL SISTEMA b) (10° 6 10" - 4° 3 7") ? 3 SEXAGESIMAL? c) (5° 30 + 15 65") ? 6   9. Calcula: (25º 13 14") ? 5 d) (6° + 15° 10 - 3° 7) ? 7 Primero. Se multiplica cada unidad por el número e) (15° 35 45" - 40 58") ? 4 natural. f) (22° 5 16" + 73° 16 45") ? 3 25°  13  14" V g) Cuádruple de A = 3° 36 27" #  5 h) Doble de (1° 35 5" + 38 55") 125°  65  70" i) (7° + 1° 30" - 5° 56 10") ? 7 Segundo. Sial operar se obtienen minutos o segundos mayores que 60, se transforman en la unidad 54. ● ● Dada la medida de los ángulos: V V inmediatamente superior. A = 15° 25 6" B = 36° 10 20" 125°  65  70" F V V V V halla la medida de C, si: C = 2 ? (A + B) 70" = 60" + 10" = 1 + 10" + 1    F 125°  66  10" PROBLEMAS DE TIEMPOS F 66 = 60 + 6 = 1°+ 6 Y ÁNGULOS + 1° F 126°   6  10" "  (25° 13 14") ? 5= 126° 6 10" 59. ● ● Sergio realiza un trabajo en 1 hora, 35 minutos y 50 segundos. Si pensaba tardar 2 horas, ¿cuánto tiempo le ha sobrado? 49. ● Efectúa los siguientes productos. a) (4° 35 46") ? 2 e) (6° 78") ? 3 60. ● ● El tren de las 10:05 h partió con 16 minutos de retraso. ¿A qué hora salió? b) (1° 10 15") ? 7 f) (36 40") ? 5 c) (12° 25 37") ? 6 g) (2° 17 3") ? 9 61. ● ● Un abanico abierto forma un ángulo de 180°. d) (35° 4 20") ? 4 h) (27° 15 26") ? 8 Al abrir otro abanico, al que le faltan algunas varillas, he comprobado que solo tiene una abertura de 105° 38 45". ¿Cuál es el ángulo 10. ●● Efectúa estas operaciones y expresa que formaban las varillas que se han roto? el resultado en segundos. a) 4 ? (23° 43 45") b) 7 ? (32° 8 54") 11. ●● ¿Cuánto mide el ángulo doble del ángulo V A = 7° 21 34" ? Expresa el resultado en minutos. HAZLO ASÍ 62. ● ● Un autobús parte de una estación a las ¿CÓMO SE RESUELVEN LAS OPERACIONES 9 h 26 min y llega a la estación de destino COMBINADAS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL? a las 13 h 14 min. ¿Cuánto dura el trayecto? 50. Calcula: (75° 26 16" - 58° 15 10") ? 3 PRIMERO. Se resuelve 75°  26  16" 12. ● ● Miguel juega en un equipo de fútbol el paréntesis. y entrena dos días a la semana. -  58°  15  10" 17°  11   6" a) Mañana empieza a las cinco y cuarto de la tarde y entrena una hora y media, ¿a qué hora SEGUNDO. Se realizan terminará? 17°  11   6" las multiplicaciones b) Ayer el entrenamiento terminó a las siete menos y divisiones, de izquierda #  3 cuarto de la tarde. Si entrenó durante una hora a derecha. 51°  33  18" y media, ¿a qué hora empezó a entrenar? 68294758 _ 0056-0069.indd 68 13/06/12 11:15
  • 65. ● ● Desde mi casa hasta el trabajo hay dos 13. ●● Una obra de teatro dura 109 minutos y tiene estaciones; en llegar a la primera suelo tardar dos actos. 32 min 54 s, y a la segunda, 44 min 27 s. a) El primer acto empieza a las siete y media Hoy el tren se ha retrasado, y en llegar y dura 45 minutos. ¿A qué hora es a la primera estación ha tardado 19 min 40 s el descanso? más de lo habitual, mientras que en la segunda b) Si el descanso dura 15 minutos, ¿a qué hora se ha retrasado 26 min 32 s. termina la obra? 14. ●● La duración en segundos de diferentes canciones de un CD es: • 127 segundos • 154 segundos • 103 segundos • 225 segundos • 317 segundos • 158 segundos a)  Cuánto tiempo he tardado en llegar? ¿ • 273 segundos b)  i en la vuelta no he tenido retrasos, ¿cuánto S tiempo he invertido en los dos trayectos? Si el CD está formado por dos canciones de cada duración, ¿cuánto dura el CD completo? 66. ● ● Una máquina trabaja de manera Expresa el resultado en horas, minutos ininterrumpida durante 4 h 50 min 30 s, parando y segundos. después 1 h 50 min. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en hacer tres turnos de trabajo y descanso? HAZLO ASÍ 67. ● ● Un pintor ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS ha tardado en DE ATRASOS HORARIOS? pintar el salón 63. Un reloj se atrasa 1 min 20 s cada día. 3 horas y cuarto ¿Cuánto tiempo se atrasa en una semana? por la mañana, y 2 horas PRIMERO. Se determinan las operaciones. y media por (1 min 20 s) ? 7 la tarde. SEGUNDO. Se efectúan las operaciones. a) ¿Cuánto tiempo tardó en total? (1 min 20 s) ? 7 = 7 min 140 s = 9 min 20 s b) ¿Cuánto tiempo trabajó más por la mañana? El reloj se atrasa 9 min 20 s en una semana. c) Si cobra la hora a 19,20 €, ¿cuánto dinero ganó? 68. ● ● Damián cobra el sábado 8 € por cada hora 64. ●● Lola trabajó el lunes 8 h 40 min 25 s, de trabajo, y el domingo, 9,50 €. Este mes y de martes a jueves, media hora menos ha trabajado tres sábados y cuatro domingos. cada día. ¿Cuánto tiempo trabajó en total Los sábados trabajó 5 horas y media, esta semana? y los domingos, 3 horas y tres cuartos. ¿Cuánto cobrará a fin de mes? 69. ● ● Tres amigos se están comiendo un pastel: •  Marcos se ha comido un trozo de 35° 10. •  Roberto se ha comido un trozo de 40° 30. •  Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40. a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han comido entre los tres? b) ¿Cuánto mide el trozo que queda? 69294758 _ 0056-0069.indd 69 13/06/12 11:15
  • 5 Expresiones algebraicas El templo de Apis Desde un lugar privilegiado, el escriba Ahmes asistía al interrogatorio dirigido por el juez y el sumo sacerdote del templo, quien había denunciado la desaparición de la comida del buey. El sacerdote se volvió hacia el juez y dijo: –¡Al robar toda la comida del dios han cometido un delito imperdonable, y Apis exige que la condena sea máxima! –La ley está escrita y estipula la condena por el acto cometido y la cantidad robada –le replicó el juez sin mirarlo. Y acto seguido volvió a preguntar DESCUBRE a los dos detenidos por las cantidades que LA HISTORIA... habían sustraído. 1. Busca información El mayor de ellos le contestó: sobre el papiro de –Cada uno tomó lo que pudo: él cogió tres Rhind y otros papiros «montones» y yo sustraje diez «montones». que se conserven en la actualidad –El registro del templo dice que había 24 heqat relacionados con destinadas a la reencarnación del dios Apis. las matemáticas. Ahmes, anota los datos y calcula la cantidad 2. ¿Cuál es la simbología que sustrajo cada uno –dijo el juez dirigiéndose utilizada por los al escriba, que seguía apuntando en el papiro. egipcios para escribir El escriba anotó la siguiente expresión para números? ¿Cuál sería el significado de designar lo sustraído por cada uno. la expresión que aparece en el texto? 3. Investiga sobre las matemáticas en Egipto y las áreas en las que más se desarrollaron.294758 _ 0070-0087.indd 70 13/06/12 11:18
  • Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma y resta • Si los números tienen el mismo signo, sumamos los valores absolutos y dejamos el mismo signo. 4 + 5 = 9 12 + 4 = 16 -3 - 6 = -9 -11 - 9 = -20 • Si los números tienen distinto signo, restamos sus valores absolutos Los números positivos se (el mayor el menor) y dejamos el signo del que tiene mayor suelen escribir sin el valor absoluto. signo + que los precede. -4 + 5 = 1 12 - 4 = 8 3 - 6 = -3 -11 + 9 = -2 Multiplicación y división • Si los números tienen el mismo signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo positivo. 4 ? 5 = 20 12 : 4 = 3 3 ? (-6) = 18 - -18 : (-3) = 6 • Si los números tienen distinto signo, multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo negativo. -4 ? 5 = -20 12 : (-4) = 3 3 ? (+6) = -18 - -18 : 3 = -6 EVALUACIÓN INICIAL 1 Realiza estas operaciones con números enteros. a) 4 + 6 d) -3 - 8 b) 7 + 11 e) 9 - 3 PLAN DE TRABAJO c) -7 - 4 f) -5 + 12 En esta unidad 2 Calcula. aprenderás a… a) -4 - 7 + 5 •  Reconocer b) 12 - 4 - 21 los elementos c) 19 + 32 - 51 de una expresión algebraica. d) -14 - 21 - 12 •  Sumar, restar y 3 Halla el resultado de estas operaciones. multiplicar monomios a) 7 ? 3 d) 22 : (-2) y polinomios. b) 12 ? (-3) e) (-35) : (-5) •  Conocer y aplicar -49 las igualdades c) -4 ? 7 f) (-49) : 7 ? 7 notables. 71294758 _ 0070-0087.indd 71 13/06/12 11:18
  • Lenguaje 1 algebraico El lenguaje numérico sirve para expresar operaciones en las que solo apa- recen números. El lenguaje que utiliza letras y números unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas, se denomina lenguaje algebraico. ANTES, DEBES SABER… Para qué se utiliza el lenguaje algebraico Con el lenguaje numérico expresamos situaciones concretas, mientras que con el lenguaje algebraico podemos generalizar dichas situaciones. Por ejemplo, en el caso del cálculo del área de un rectángulo: A = 6 ? 3 " Lenguaje numérico A = a ? b " Lenguaje algebraico 3 b 6 a EJEMPLOS Para representar números desconocidos 1 Expresa en lenguaje algebraico. solemos utilizar las letras x, y, z, a, b, c… Lenguaje usual Lenguaje algebraico El triple de un número 3?x Un número aumentado en dos unidades a+2 El triple de un número más otro número 3?x+y x La mitad de un número 2 El precio de x kilos de naranjas a 1,50 €/kg 1,50 ? x La edad de una persona hace 3 años b-3 2 Expresa mediante el lenguaje algebraico estas relaciones. a) El área de un cuadrado. l Área = lado ? lado  "  A = l ? l l c) El área de un triángulo. base ? altura b?h Área = 2 "A= 2 h b LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en lenguaje algebraico. 2 Si x es la edad de Inés, expresa en lenguaje a) El doble de un número. algebraico. c) El doble de un número menos tres unidades, a) La edad que tendrá dentro de 10 años. más otro número. b) La edad que tenía hace 4 años. 72294758 _ 0070-0087.indd 72 13/06/12 11:19
  • Expresiones 2 algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. EJEMPLO 5 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas. Expresión escrita Expresión algebraica El perímetro de un campo rectangular 2?x+2?y La suma de dos números consecutivos n + (n + 1) 15 El 15 % de un número C ?C 100 Valor numérico de una expresión algebraica ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias de números enteros Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Exponente F Base F an = a ? a ? … ? a • Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. 42 = 4 ? 4 = 16 43 = 4 ? 4 ? 4 = 64 • Si la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando el exponente es par y negativa si es impar. El valor numérico (-2)2 = (-2) ? (-2) = 4 (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8 de una expresión algebraica varía según los valores El valor numérico de una expresión algebraica es el número que que toman las letras. resulta de sustituir las letras por los números determinados y realizar las operaciones que se indican. EJEMPLOS 6 Calcula el valor numérico de la expresión algebraica x2 + 1 si x = 2 y x = 5. x=2 x=5 x2 + 1  "  22 + 1 = 4 + 1 = 5 x2 + 1  "  52 + 1 = 25 + 1 = 26 1 Calcula el valor numérico de x2 - x si x = -3 y x = -1. x = -3 x = -1 x2 - x  "  (-3)2 - (-3) = 12 x2 - x  "  (-1)2 - (-1) = 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Calcula el valor numérico de estas expresiones 8 Halla el valor numérico de 2x2 - y para estos algebraicas para x = 3. valores. 2 2 a) x + 1 b) x + 1 c) 2x - 3 d) 2x - 3x a) x = 0, y = 1 b) x = -1, y = -2 73294758 _ 0070-0087.indd 73 18/06/12 11:54
  • 3 Monomios SE ESCRIBE ASÍ Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras. •  signo del producto El de números y letras El número recibe el nombre de coeficiente, y las letras, con sus expo- no se suele escribir. nentes, son la parte literal. 5 ? x2 ? y3 = 5x2y3 El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que •  exponente 1 no se El lo forman. escribe. a1b1 = ab •  un monomio está Si EJEMPLOS formado solo por letras, su coeficiente es 1. Determina los elementos de estos monomios. 2 1 ? x3 = x3 " Coeficiente 1 Monomio Coeficiente Parte literal 5x2 5 x2 -8xy -8 xy Un monomio de grado 0 -x2y -1 x2y es un número. 7x 0 = 7 3 Halla el grado de cada monomio. Monomio Grado -x 2 2 2 -3x yz 2+1+1=4 17xy 1+1=2 9 Determina los elementos y el grado de los monomios 4x2 y -36x2y3z. Monomio Monomio 4 x2  "  Grado: 2 -36 x2y3z  "  Grado: 2 + 3 + 1 = 6 Coeficiente  Parte literal Coeficiente  Parte literal •  Monomios semejantes. Llamamos monomios semejantes a los mono- mios que tienen la misma parte literal. EJEMPLO 10 Determina si los monomios son semejantes. a) -25a2b y a2b  "  Son semejantes, porque tienen igual parte literal (a 2b). b) 3z2 y 7z  "  No son semejantes. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado 1 Decide si los siguientes monomios son de estos monomios. semejantes. 2 a) 7x yz 3 2 b) -2xy z 2 c) 15x d) 8xy 2 a) 3xy y -6xy c) 9xyz y 18xyz e) 3abc f) -4a2bc4 g) 9m2 h) 6 b) -5x2 y -5y2 d) 24xy, -12xy y 8xy 74294758 _ 0070-0087.indd 74 13/06/12 11:19
  • Operaciones 4 con monomios Las operaciones con monomios siguen las mismas reglas que las operacio- nes con números. 4.1  Suma y resta de monomios La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza sumando (o res- tando) los coeficientes y manteniendo la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada. EJEMPLO 12 Haz la suma y la resta de estos monomios. "  ) 7ab4 - 3ab4 = (7 - 3)ab4 = 4ab4 7ab4 + 3ab4 = (7 + 3)ab4 = 10ab4 a) 7ab4 y 3ab4 Son semejantes  No son semejantes  "  ) 7b4 + 3ab4 b) 7b4 y 3ab4 7b4 - 3ab4 4.2  Multiplicación y división de monomios ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan productos y cocientes de potencias am ? an = am + n 34 ? 36 = 34 + 6 = 310 (-2)3 ? (-2)5 = (-2)3 + 5 = (-2)8 am : an = am - n 38 : 36 = 38 - 6 = 32 (-2)4 : (-2) = (-2)4 - 1 = (-2)3 •  Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coefi- cientes y, por otro, sus partes literales. •  Para dividir monomios, por un lado, dividimos sus coeficientes y, por otro, sus partes literales (si se puede). EJEMPLO 13 Realiza estas operaciones con monomios. a) 2x2 ? 3x4 = (2 ? 3) ? (x2 ? x4) = 6x2+4 = 6x6 b) 5xy2 ? y = (5 ? 1) ? (xy2 ? y) = 5xy2+1 = 5xy3 c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ? (x5 : x3) = 3x5-3 = 3x2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Realiza las siguientes operaciones. 14 Realiza las siguientes operaciones. 2 a) 5x + 2x h) 5x + 7x d) -4x3 ? 2x f) 9a : 3a b) -3y2 + 4y2 i) 4x - 5xy 1 3 g) -10x3y2 : x2y e) a 3 ? a2 c) 2ab2 - a2b j) -3x + 4y2 2 4 k) 10x3 : 2xy2 75294758 _ 0070-0087.indd 75 13/06/12 11:19
  • 5 Polinomios Antes de trabajar con un polinomio, se suman Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la o se restan sus monomios resta de dos o más monomios no semejantes. semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, 3x y - xy + x y = 2 2 2 2 término independiente. = 4x 2y 2 - xy El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio. EJEMPLO 14 Determina los elementos y el grado de este polinomio: Polinomio 3y - 22xy + y2 - 14y + 3x + 5 2 3 F Término independiente Términos Término de mayor grado: -22xy3  "  Grado del polinomio: 1 + 3 = 4 ANTES, DEBES SABER… Cómo actúa un signo delante de un paréntesis • Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. +(6 - 2) = +6 - 2 F 4 + (6 - 2) + 7 - (8 - 3 - 5) = 4 + 6 - 2 + 7 - 8 + 3 + 5 = 15 F -(8 - 3 - 5) = -8 + 3 + 5 El polinomio opuesto de P(x), que designamos como -P(x), se obtiene SE ESCRIBE ASÍ cambiando de signo los coeficientes de todos los términos de P(x). Para designar los polinomios EJEMPLO utilizamos una letra mayúscula, indicando entre 4 Escribe el polinomio opuesto de P(x) = -2x4 + 3x3 + x - 7. paréntesis las letras que aparecen en el polinomio. -P(x)  -(-2x4) - (+3x3) - (+x) - (-7) = = = 2x4 - 3x3 - x + 7 P(x) = 5x5 + 4x4 - 7 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Reduce los términos semejantes en estos 2 Escribe el polinomio opuesto en cada uno polinomios, ordena sus términos, de mayor de estos polinomios. a menor grado, e indica su grado. a) P(x) = 6x3 - 2x2 + x a) P(x) = 5x3 - x + 7x3 - x2 + 8x - 2 b) P(x) = -x2 - 7x + 3 b) Q(x) = 12 + x2 + 7x - x4 - 8 + 3x2 c) P(x) = -11x5 - x2 - 5 c) R(x) = 9x - 4x2 - 6 - 10x + 1 d) P(x) = 3x3 + x2 + 7 76294758 _ 0070-0087.indd 76 13/06/12 11:19
  • Valor numérico de un polinomio ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números enteros Al operar con números enteros resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre corchetes y paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 5 Resuelve esta operación. (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) = Corchetes y paréntesis F = (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) = Multiplicaciones y divisiones F = (-20) + (-3) = Sumas y restas F = -20 - 3 = -23 El valor numérico de un polinomio P(x), para un valor x = a, lo expresamos como P(a) y se obtiene sustituyendo la variable x por el valor a en el polinomio y operando. EJEMPLOS 15 Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x3 + x - 3, para x = 2. x=2 P(x) = 5x3 + x - 3  "  P(2) = 5 ? 23 + 2 - 3 = 39 El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 39. 6 Calcula el valor numérico de P(x) = -2x4 + 3x3 - x para x = -1. x = -1 P(x) = -2x4 + 3x3 - x  "  P(-1) = -2 ? (-1)4 + 3 ? (-1)3 - (-1) = = -2 ? 1 + 3 ? (-1) + 1 = = -2 - 3 + 1 = -4 El valor numérico de P(x) para x = -1, P(-1), es -4. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Halla el valor numérico de estos polinomios 18 Calcula el valor numérico de estos polinomios para x = 1 y x = -1. para x = -3. 3 2 a) P(x) = x - 2x + x 1 3 3x a) Q (x) = - x b) R (x) =- 5 + 7x + b) Q(x) = -x2 + 3x + 1 2 2 2 77294758 _ 0070-0087.indd 77 13/06/12 11:19
  • Operaciones 6 con polinomios 6.1  Suma y resta de polinomios Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restarlos, suma- mos al primero el polinomio opuesto del segundo. EJEMPLO 16 Realiza estas operaciones, P(x) + Q(x) y P(x) - Q(x), siendo: P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1      Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 Para sumar, disponemos en columna los monomios semejantes: -x5 + 2x 4 + 4x3 - x2 - 5x + 1 +   -x5 - 2x 4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 P(x) + Q(x)  " -x5 - 2x 4 + 7x3 + x2 - 0x - 6 La suma de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) + (-2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7) = El signo – delante del = -x5 + 4x3 - 5x + 1 - 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7 = paréntesis cambia el signo = -x5 - 2x4 + 4x3 - 3x3 + x2 - 5x + 5x + 1 - 7 = de todos los términos del = -x5 -2x4 + x3 + x2 - 6 polinomio. Para restar, determinamos primero el polinomio opuesto del segundo: –(–x 2 – x + 8) = x 2 + x – 8 Opuesto Q(x) = -2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7  "  -Q(x) = 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7 -x5 + 2x 4 + 4x3 - x2 - 15x + 1 + -x5 + 2x 4 + 3x3 - x2 - 15x + 7    P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))  "  -x5 + 2x 4 + 7x3 - x2 - 10x + 8 La resta de polinomios se puede realizar también en horizontal. Para ello, suprimimos los paréntesis y sumamos los monomios semejantes. P(x) - Q(x) = (-x5 + 4x3 - 5x + 1) - (- 2x4 - 3x3 + x2 + 5x - 7) = = -x5 + 4x3 - 5x + 1 + 2x4 + 3x3 - x2 - 5x + 7 = = -x5 + 2x4 + 4x3 + 3x3 - x2 - 5x - 5x + 1 + 7 = = -x5 + 2x4 + 7x3 - x2 - 10x + 8 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Suma estos polinomios. 20 Realiza las siguientes operaciones con estos P(x) = 2x3 - 7x2 + x Q(x) = -x2 - 2x + 1 polinomios: P(x) = x2 - 3x + 7 S(x) = 8x - 2 5 Resta estos polinomios. Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3 R(x) = 7x2 + 4 P(x) = 5x4 - 3x2 + 4x a) Q(x) + S(x) c) P(x) + Q(x) Q(x) = -x2 + 2x + 1 b) R(x) - P(x) d) Q(x) + R(x) 78294758 _ 0070-0087.indd 78 13/06/12 11:19
  • 6.2  Producto de un número por un polinomio ANTES, DEBES SABER… Cómo se aplica la propiedad distributiva La propiedad distributiva permite transformar un producto en una suma o una resta. 7 ? (4 + 5) = 7 ? 4 + 7 ? 5    (4 + 5) ? 7 = 4 ? 7 + 5 ? 7 7 ? (4 - 5) = 7 ? 4 - 7 ? 5    (4 - 5) ? 7 = 4 ? 7 - 5 ? 7 Para multiplicar un número por un polinomio, multiplicamos el nú- mero por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 17 Multiplica el polinomio P(x) = 4x5 + 6x3 - 2x2 + 7x - 5 por 5. La multiplicación de un número por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical. 24x 5 + 26x 3 - 22x 2 + 27x2 - 5 # 5 5 3 2 5 ? P(x) " 20x + 30x - 10x + 35x - 25 5 ? P(x) = 5 ? (4x 5 + 6x 3 - 2x 2 + 7x - 5) = 20x 5 + 30x 3 - 10x 2 + 35x - 25 6.3  Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio. EJEMPLO 18 Multiplica el polinomio P(x) = -x5 + 4x3 - 5x + 1 por el monomio 3x2. La multiplicación de un monomio por un polinomio se puede realizar en horizontal o en vertical. -x5 + 4x 3 - 5x + 1 # 3x2 2 3x ? P(x) " -3x + 12x - 15x + 3x2 7 5 3 3x2 ? P(x) = 3x2 ? (-x5 + 4x 3 - 5x + 1) = -3x7 + 12x 5 - 15x3 + 3x2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Realiza las siguientes operaciones. 23 Realiza estas operaciones. 2 P(x) = x - 3x + 7 S(x) = 8x - 2 a) (18x5 - 10x4 + 6x2) ? (-2x) Q(x) = 5x3 - 6x2 + x - 3 R(x) = 7x2 + 4 b) (12x4 - 24x3 + x2) ? 3x2 a) 3 ? S(x) c) 2 ? Q(x) d) P(x) ? 7 c) (6x2 - 8x + 3) ? (3x - 1) 79294758 _ 0070-0087.indd 79 13/06/12 11:19
  • Factor 7 común La propiedad distributiva nos permite transformar un producto en una suma o una resta, y viceversa. 7 ? (3 + 5) = 7 ? 3 + 7 ? 5  "  7 ? 3 + 7 ? 5 = 7 ? (3 + 5) 4 ? (6 - 2) = 4 ? 6 - 4 ? 2  "  4 ? 6 - 4 ? 2 = 4 ? (6 - 2) Este último proceso se denomina sacar factor común. Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto. Factor común Factor común " " a ? b + a ? c = a ? (b + c)        a ? b - a ? c = a ? (b - c) ! ! Propiedad distributiva Propiedad distributiva ANTES, DEBES SABER… Cuando el factor común coincide con cualquiera Cómo se calcula el máximo común divisor de los sumandos, en El máximo común divisor de dos o más números es el mayor su lugar queda la unidad. de sus divisores comunes. a · b + a = a · (b + 1) 18   2 30   2 2  "  m.c.d. (18, 30) = 2 ? 3 = 6   9   3 15   3 18 = 2 ? 3 2 3   3 5   5 30 = 2 ? 3 ? 5 1 1 EJEMPLO 22 Extrae factor común en estos polinomios. b) x2 + 2x = x ? x + 2 ? x  "  Factor común: x x2 + 2x = x ? (x + 2) c) 6x2 + 2x = 2 ? 3 ? x ? x + 2 ? x  "  Factor común: 2x 6x2 + 2x = 2x ? (3x + 1) d) 24x3 + 72x2 - 6x Para determinar si un número es factor común hallamos el m.c.d. de los coeficientes de cada término. m.c.d. (6, 24, 72) = 6 Además, en este caso la x se repite en todos los sumandos. 24x3 + 72x2 - 6x = 6x ? (4x2 + 12x - 1) LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Extrae factor común en los siguientes 29 Determina si se puede sacar factor común, polinomios. y hazlo en los casos en los que sea posible. 3 2 a) x - 6x + x a) -5x4 + 2x3 e) 7x2 - 4y2 b) -4x2 + 2x + 8 b) 3x2 + 6x 2 - 9x3 f) 3x2 + 2 c) 12x6 - 6x4 + 10x2 c) 3x2 - 3x + 3 g) 12x - 4y d) -4x10 - 2x5 d) x6 - x3 h) 5x2 - 10 80294758 _ 0070-0087.indd 80 13/06/12 11:19
  • Igualdades 8 notables 8.1  Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el SE ESCRIBE ASÍ doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado Cuando un polinomio tiene del segundo. dos términos se denomina (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 binomio. Así, por ejemplo, x3 - 3x es un binomio. EJEMPLO 23 Calcula el cuadrado de esta suma: (x + 3)2 = x2 + 2 ? x ? 3 + 32 = x2 + 6x + 9 F a = x   b = 3 8.2  Cuadrado de una diferencia Al elevar un monomio a una El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos potencia tenemos que elevar el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del a la potencia el coeficiente segundo. y la parte literal. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (5x 2)2 = 52 · (x 2)2 = 25x 4 EJEMPLO 24 Calcula el cuadrado de esta diferencia: (5x2 - 1)2 = (5x2)2 - 2 ? 5x2 ? 1 + 12 = 52 ? (x2)2 - 10x2 + 1 = 25x4 - 10x + 1 F a = 5x   b = 1 8.3  Suma por diferencia El producto de una suma por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados. (a + b)(a - b) = a2 - b2 EJEMPLO 25 Simplifica estos productos. a) (x + 3)(x - 3) = x2 - 32 = x2 - 9 b) (5 + 2x)(5 - 2x) = 52 - (2x)2 = 25 - 4x2 F F a = x   b = 3 a = 5   b = 2x LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Calcula los cuadrados de estas sumas 35 Expresa estos productos como una diferencia y diferencias. de cuadrados. 2 2 2 a)  (4x + 5) e)  (3a - 5b) f)  (8 - 3x) a)  (x + 4)(x - 4) b)  (x2 - 1)(x2 + 1) 81294758 _ 0070-0087.indd 81 13/06/12 11:19
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Lenguaje algebraico Polinomio El doble de un número   "   2x + 1 Polinomio más uno 14243 Término Expresión algebraica 3y - 22xy3 + y2 + 5 2 F independiente Monomio Términos Monomio Igualdades notables 4 x2 F Grado •  Cuadrado de una suma       Coeficiente  Parte literal (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Monomios semejantes •  Cuadrado de una diferencia 3 17x y                  -5x y 3 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 •  Suma por diferencia Misma parte literal (a + b)(a - b) = a2 - b2 HAZLO DE ESTA MANERA 1. CALCULAR EL VALOR NUMÉRICO DE 1. SUMAR POLINOMIOS UN POLINOMIO Calcula: (3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x) Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 4x - 7 para x = 2. PRIMERO. Agrupamos los monomios semejantes. PRIMERO. Sustituimosla variable x por el valor numérico que nos dan. (3x5 - 5x2 + x - 7) + (7x2 - 5x) = P(x) = x3 + 4x - 7 = 3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7 14 43 424 14 43 2 x=2 Semejantes Semejantes F P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7 SEGUNDO. Operamos. SEGUNDO. Realizamos las operaciones. 3x5 - 5x2 + 7x2 + x - 5x - 7 = 3x5 + 2x2 - 4x - 7 14243 14 43 2 P(2) = 23 + 4 ? 2 - 7 = 8 + 8 - 7 = 9 2x2 -4x El valor numérico de P(x) para x = 2, P(2), es 9. 2. MULTIPLICAR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO 2. RESTAR POLINOMIOS Calcula: (-x3 - 2x - 7) ? 2x2 5 2 2 Calcula: (3x - 5x + x - 7) - (7x - 5x) PRIMERO. Multiplicamos el monomio por cada PRIMERO. Hallamos el polinomio opuesto uno de los términos del polinomio. del segundo polinomio. (-x3 + 2x - 7) ? 2x2 = Opuesto 2 7x - 5x  "  -7x + 5x 2 = -x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2 SEGUNDO. Sumamos los polinomios. SEGUNDO. Realizamos las operaciones. (3x5 - 5x2 + x - 7) - (7x2 - 5x) = -x3 ? 2x2 + 2x ? 2x2 -7 ? 2x2 =     = (3x5 - 5x2 + x - 7) + (-7x2 + 5x) = = -2x5 + 4x3 -14x2     = 3x5 - 5x2 - 7x2 + x + 5x - 7 = Por tanto:     = 3x5 - 12x2 + 6x - 7 (-x3 + 2x - 7) ? 2x2 = -2x5 + 4x3 -14x2 82294758 _ 0070-0087.indd 82 13/06/12 11:19
  • 5. SACAR FACTOR COMÚN 3. EXPRESAR IGUALDADES NOTABLES COMO POLINOMIOS Extrae factor común en este polinomio: 6yx5 - 8y2x4 - 12x2 Calcula. a) (x + 4)2 PRIMERO. Comprobamos si hay letras que se b) (x2 - 5)2 repiten en todos los sumandos. Si las hay, c) (3x + 2)(3x - 2) tomamos las que se repiten con menor exponente. PRIMERO. Determinamos los monomios que x se repite en todos los sumandos. forman el polinomio. x con menor exponente  "  x2 a) (x + 4)2 " (b = 4 a=x SEGUNDO. Hallamos el m.c.d. de los b) (x2 - 5)2 " ) coeficientes de cada término. a = x2 b=5 m.c.d. (6, 8, 12) = 2 c) (3x + 2)(3x - 2) " ( a = 3x TERCERO. El factor común del polinomio serán b=2 las letras y el número que hemos obtenido. SEGUNDO. Aplicamos la igualdad notable Factor común = 2x2 correspondiente. CUARTO. Dividimos el polinomio entre a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 el factor común, y expresamos el polinomio (x + 4)2 = x2 + 2 ? x ? 4 + 42 = x2 + 8x + 16 como producto del factor común por el b) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 polinomio resultante de la división. (x2 - 5)2 = (x2)2 - 2 ? x2 ? 5 + 52 = x4 - 10x2 + 25 : 2x2 6yx5 - 8y2x4- 12x2  "  3yx3 - 4y2x2 - 6 c) (a + b) (a - b) = a2 - b2 6yx5 - 8y2x4- 12x2 = 2x2 ? (3yx3 - 4y2x2 - 6) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4 Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Restar polinomios 1. Escribe dos monomios y dos polinomios 4. Indica el resultado de las restas. de grado 2. a) (7x4 - x3 + 5x2 - 2x + 1) - (x3 - 5x - 7) 2. Calcula. b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) - (x3 - 5x - 7) a) (x3 + 7x)2 c) (6x4 + 8x - 9) - (x4 - 6x + 2) b) (x2 - 4x3)2 Multiplicar un polinomio por un monomio c) (2x2 + x)(2x2 - x) 2. Calcula: (3x4 - 7x3 + 2x - 5) ? (-3x2). Calcular el valor numérico de un polinomio Sacar factor común 1. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 2x2 - 3x - 5 para x = -1. Saca factor común en: 7.  a) 9x3y - 12x2y2 - 18xy3 Sumar polinomios b) -3xy2 + 18x2y2 + 27x4y3 3. Halla el resultado de estas sumas. Expresar igualdades notables como polinomios a) (7x4 - x3 + 5x2 + 2x + 1) + (x3 - 5x - 7) b) (3x5 - 6x2 + 7x - 1) + (x4 - 2x2 + 3x) 3. Calcula. c) (2x3 - x2 + 1) + (3x5 - x4 + x3) a) (2x - 7)2 b) (7x + 4)(7x - 4) 83294758 _ 0070-0087.indd 83 13/06/12 11:19
  • Actividades LENGUAJE ALGEBRAICO MONOMIOS 38. ● Expresa en lenguaje algebraico. 49. ● Copia y completa la siguiente tabla: a) El doble de un número más 5. Monomio Coeficiente Parte literal Grado b) El triple de un número menos 6. -8xyz 2 c) El doble de la suma de un número más 4. 3a 2b 4 d) La mitad de la diferencia de un número 4 x 3y 2 5 menos 8. 2 -9 a bc 4 e) El cuadrado de la suma de un número más 7. 6 f) El cubo de la mitad de un número. 1 z 6 -3xy 3 45. ● Calcula el valor numérico de la expresión 8x2y 2x - 3 para estos valores de x. a) x = 1 c) x = -2 50. ● Indica si las afirmaciones son verdaderas 1 o falsas. Razona tu respuesta. b) x = 0 d) x = 2 a) 12ab y -2ab son semejantes. 46. ● Determina el valor numérico de la expresión b) 7xyz y -7xy son opuestos. 3x2 - 2y + 4 para los valores de x e y: c) 7xy2z y -7x2yz son semejantes y opuestos. a) x = 1, y = -2 d) 3xy2 y -3xy2 son semejantes y opuestos. b) x = -1, y = -3 51. ● ● Escribe, si es posible. c) x = 0, y = -1 a) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes d) x = -2, y = 0 y no opuestos. b) Dos monomios de grado 5 que sean opuestos HAZLO ASÍ y no semejantes. c) Dos monomios de grado 5 que sean semejantes ¿CÓMO SE HALLA UN COEFICIENTE DESCONOCIDO y opuestos. EN UN POLINOMIO SI SE CONOCE UNO DE SUS VALORES NUMÉRICOS? 7. Calcula el valor de a en el polinomio x2 + ax - 9 OPERACIONES CON MONOMIOS si su valor numérico para x = 3 es 36. 52. ● Haz estas operaciones de monomios. PRIMERO. Se sustituye x por su valor en el polinomio a) -x2 + x + x2 + x3 + x y se iguala al resultado. x=3 b) 2x3 - (x3 - 3x3) x2 + ax - 9  "  32 + a ? 3 - 9 = 36 c) 8x2 - x + 9x + x2 SEGUNDO. Se despeja a en la expresión que resulta. d) 8xy2 - 5x2y + x2y - xy2 2 3 + a ? 3 - 9 = 36 " 9 + a ? 3 - 9 = 36 e) -3x + 7y - (8y + y - 6x) 36 4 5 7 " a ? 3 = 36 " a = 3 = 12 f) xy - xy + xy - xy 3 2 4 g) 2x2 ? 4x3 ? 5x6 47. ●● Halla el valor de a en la expresión 7 h) -3x ? (-2x) ? x 4x3 + 3x2 - ax - 5, sabiendo que su valor 4 numérico para x = -1 es 0. i) 7x3 ? 5x ? 9x4 j) 15x3 : 5x2 48. ●● Calcula el valor de a en la expresión -2x2 - 3x - a, si su valor numérico k) -8x3y2 : 2x2y para x = 3 es -5. l) 10x4yz2 : 5xyz 84294758 _ 0070-0087.indd 84 13/06/12 11:19
  • 8. ● Realiza estas operaciones con monomios. POLINOMIOS a) -x3 - 12x3 + x 3 + 3x 3 57. ● Indica si son verdaderas o falsas b) 2x 2y - 7x 2y + 9x 2y + 3x 2y estas afirmaciones referidas a 2x + 3. c) 11xy ? (-2xy) a) 3 es el coeficiente de x. d) 121x 2yz : 11x 2yz b) 3 es el término independiente. c) Hay tres términos. 53. ●● Razona si las igualdades son verdaderas d) La x es la incógnita. o falsas, y corrige los errores cometidos. a) a + a = 2a 58. ● Señala los términos, coeficientes, variables y grados de estos polinomios. b) 2a + a = 2a2 c) 2a - a = 2 a)  x + 3y - 2 2 c) 2a + 2b + 3c d) 2a - 2 = a b) 5 - 2x + 8y - 3x 2 d) 7 + 5t - 2z 2 - 3y e) 2a - b = 2 ? (a - b) 59. ● Identifica estos elementos de f) 2a + 3a = 5a los polinomios. g) 2a + 3b = 5ab a) Número de términos de x3 - x2 + 4x + 5x4 - 6. h) 2a2 = 4a b) Término independiente de y + 3y4 - 3y3. 54. ●● Escribe 12x2y como: c) Grado de R(x, y) = 5x3y2 + 6y4 - 3x4y3 + 8x2. 7 - 2x + 10x 3 a) Suma y/o resta de tres monomios. d) Coeficientes de . 3 b) Producto de tres monomios. c) Cociente de dos monomios. 60. ● Escribe un polinomio de una variable, con grado 7, que tenga 6 términos y cuyo término independiente sea -2. HAZLO ASÍ 61. ● Indica el grado de los polinomios. ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS DE MONOMIOS? a) 5x 2 - 2xy 2 c) 4x 2 + 5x 2y 2 - 10xy b) 8a 3b 2 + 5a 2b 3c d) a 2bc - 2abc + 6a 2b3 55. Resuelve: 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) PRIMERO. Se resuelven las operaciones que hay 9. ● Escribe el polinomio opuesto en cada caso. entre paréntesis. a) P(x) = -x3 - 12x2 + x + 3 8x2 - (5x4 + x4) : 2x2 + 15x4 : (3x ? x) = b) P(x) = 5x2 - x + 11  = 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones 10. ● Halla el valor numérico de los siguientes y divisiones, de izquierda a derecha. polinomios en x = -1. 8x2 - 6x4 : 2x2 + 15x4 : 3x2 = 8x2 - 3x2 + 5x2 a) P(x) = 2x3 - 7x2 + 5x - 1 TERCERO. Se resuelven las sumas y restas b) P(x) = -3x2 + 2x - 9 en el mismo orden. c) P(x) = -x3 - x + 2 8x2 - 3x2 + 5x2 = 5x2 + 5x2 = 10x2 62. ● Calcula el valor numérico de estas expresiones 56. ●● Opera y reduce. para los valores n = 1 y n = -2. a) 12x ? 3x2 : x + 14x ? x3 : 7x2 a) 3n 2 + 4n c) n 2 - 1 b) 16x ? x3 : (-4) + 9x5 : x4 ? (-3x3) b) n(n + 3) d) n 2(n + 2) c) 3x2 ? (10 ? 5x3) - 10x4 ? 6x2 : 2x 63. ● Si P(x) = 3x4 - 2x3 + x2 - 5, calcula. d) (5x2 - 2x2 + 7x2) ? (4x3 - x3 + 6x3) c) P e o 1 e) (-4xy2 + 9xy2) : (3xy + 2xy) a) P(1) + P(0) - P(-2) 2 f) (x3 - 8x3 + 4x3) ? (y - 3y + 5y) b) 2 ? P(2) + 3 ? (-P(-1)) 85294758 _ 0070-0087.indd 85 13/06/12 11:19
  • OPERACIONES CON POLINOMIOS 77. ● Extrae factor común en cada caso. a) 3x + 6x - 9x e) 10xy - 5xy + 15xy 67. ● Con estos polinomios, calcula. b) 4x - 12y f) 14x 4 - 35x 3 - 7x 2 + 42 A(x) = 2x 3 - 3x 2 + x - 7 c) 10a - 10b + 10c g) 25m 2n + 20m 3n 2 - 30m 4 B(x) = x 3 + 7x 2 - 4x d) 3ab + 5ab h) x 2y - xy 3 + xy C(x) = -2x 2 + x - 5 a) A(x) + B(x) + C(x) c) A(x) - B(x) 78. ● ● Extrae factor común. b) B(x) + C(x) d) A(x) - B(x) - C(x) a) 4x5 + 3x4 - 5x2 c) 10x2y - 15xy + 20xy2 b) -6y4 + 8y3 + 4y d) 3z4 + 9z2 - 6z3 11. ● Con los polinomios indicados, realiza estas operaciones. 13. ● ● Extrae factor común en los siguientes P(x) = -2x 4 - 5x 2 - 1 polinomios. Q(x) = -x 5 + 3x 3 - 7x 2+ 4 a) 24x 4 - 18x 2 - 9 R(x) = -x 2 + 2x - 3 b) -3x 6 - 6x 2 - 9 S(x) = -7x 5 + 3x 3 -2x - 8 c) 36x 12 + 12x 4 a) P(x) + Q(x) + R(x) d) -8x 9 + 4x 3 - 32x b) Q(x) + R(x) c) S(x) - P(x) 14. ● ● Extrae factor común. d) Q(x) + S(x) - P(x) a) -25x 4 - 100x 2 - 50 b) -30x 3 - 15x 2 - 5x 68. ●● Halla dos polinomios cuya suma sea c) 49x 12 + 28x 24 + 21x 6 4x3 - 6x2 + 7x - 2. d) -18x 8 - 27x 4 - 30x2 69. ●● Copia y completa. a) 6x2 - 4x + 7 + d = 3x + 2 igualdades notables b) 5x3 + 3x2 - 10 - d = x - x2 + 7 c) 9x3 + x2 - 6x + 4 + d = 2x2 - x3 + x 79. ● Desarrolla las igualdades notables. 70. ● Efectúa las siguientes operaciones. a) (x - 5)2 c) (4 + a)2 a) (3x + 4) ? 2 c) (4x2 + x - 2) ? (-5) b) (2x + 3y)2 d) (3a - 6b)2 b) (x - 2) ? 4x d) (x2 + 3x - 6) ? (-3x3) 80. ● ● Calcula. 12. ●● Con los polinomios indicados, realiza estas a) (x 2 + y 2)2 c) (x 2 - y 2)2 operaciones. b) (3x 2 - 5y 3)2 d) (1 + a 4)2 P(x) = -x 4 + 7x 2 - x 81. ● Expresa como una diferencia de cuadrados. Q(x) = -3x 5 + 2x 3 - x 2+ 4 R(x) = 5x 2 + 7x - 8 a) (x + 1)(x - 1) a) P(x) ? 5 b) (5 + ab)(5 - ab) b) -4 ? Q(x) c) (3a - 2b)(3a + 2b) c) (P(x) - R(x)) ? 3x d) (2 + 7x 2y)(2 - 7x 2y) d) Q(x) + 4 ? R(x) 82. ● ● Corrige los errores cometidos. a) (x + 2)2 = x2 + 4 72. ● Opera y reduce términos semejantes. b) (x - 3)2 = x2 + 6x - 9 c) 5 + 2 ? (x + 1)2 = 10 ? (x + 1)2 = (10x + 10)2 15. ● ● Copia y completa estas igualdades. a) (x + 7)2 = x 2 + d + 49 b) (2x - 2)2 = 4x 2 - 8x + d c) (x + d)(x - d) = x 2 - 64 86294758 _ 0070-0087.indd 86 13/06/12 11:19
  • 83. ●● Copia y completa los términos que faltan. HAZLO ASÍ a) (2x + 4)2 = d + 16x + d b) (3x2 - 2)2 = 9d + d - 12x2 ¿CÓMO SE EXPRESA UN POLINOMIO DE LA FORMA c) (d + 5)2 = x4 + 10d + d a2 - b2 COMO UNA SUMA POR DIFERENCIA? d) (3 - d)2 = d + 16x2 - 24x 86. Expresa P(x) = 16 - x2 como una suma por diferencia. HAZLO ASÍ PRIMERO. Se identifican a y b. ¿Cómo se expresan polinomios de la forma a2 = 16  "  a = 4     b2 = x2  "  b = x a2 + 2ab + b2 o a2 - 2ab + b2 como el cuadrado SEGUNDO. Se aplica la igualdad. de una suma o una diferencia? a2 - b2 = (a + b)(a - b) 16. Expresa estos polinomios como el cuadrado 16 - x2 = 42 - x2 = (4 + x)(4 - x) de una suma o una diferencia. a) 4x2 + 12x + 9 b) 16x4 - 40x2 + 25 87. ● ● Expresa los polinomios como producto PRIMERO. Se identifican los términos que de una suma por diferencia. corresponden a a2 y b2. a) 100 - 64x2 d) 9x6 - x8 • El término independiente del polinomio debe corresponder a b2. b) 49x4 - 36x2 e) 16x2 - 25 • El término con x de mayor grado del polinomio debe c) 1 - x2 f) x4 - 4 corresponder a a2. a) Término independiente: b2 = 9 " b = 3 PROBLEMAS CON EXPRESIONES Término de mayor grado: ALGEBRAICAS a2 = 4x2 " a = 2x 88. ● ● El precio del kilo de naranjas es x y el de uvas b) Término independiente: es y. Expresa en lenguaje algebraico. b2 = 25 " b = 5 Término de mayor grado: a) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg de uvas. a2 = 16x4 " a = 4x2 b) Las uvas cuestan el doble que las naranjas. SEGUNDO. Se comprueba que el término restante c) El precio de 1,5 kg de naranjas y 2,5 kg corresponde a 2ab. de uvas. a = 2x  b = 3 a) 12x  "  2ab = 2 ? 2x ? 3 = 12x 89. ● ● Si x es la edad actual de Jorge y Pedro tiene 2 a = 4x   b=5 8 años más que él, contesta a estas preguntas b) 40x2  "  2ab = 2 ? 4x2 ? 5 = 40x2 utilizando expresiones algebraicas. TERCERO. Si el signo de este último es positivo, la a) ¿Cuál será la edad de Jorge dentro de 20 años? expresión buscada es del tipo (a + b)2, y si es negativo, (a - b)2. b) ¿Qué edad tenía Jorge hace 7 años? a) En este caso es positivo: c) ¿Cuándo tendrá Jorge el doble 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 de la edad que tiene ahora? b) En este caso es negativo: d) ¿Cuál es la edad actual 16x4 - 40x2 + 25 = (4x2 - 5)2 de Pedro? e) ¿Cuál será la edad de Pedro dentro de 85. ●● Expresa estos polinomios como el cuadrado 15 años? de una suma o una diferencia. f) ¿Hace cuántos años a) x2 + 4x + 4 Pedro tenía la mitad b) 4x2 - 12x + 9 de la edad actual de 1 Jorge? c) x2 - x + 1 4 g) ¿Dentro de cuántos d) x4 + 2x2 + 1 años tendrá Jorge e) 9x4 + 6x3 + x2 el doble de la edad f) 9x4 + 6x2y + y2 actual de Pedro? 87294758 _ 0070-0087.indd 87 13/06/12 11:19
  • 6 Ecuaciones de primer y segundo grado París bien vale una misa Cuando su primo Enrique III, el último de la dinastía Valois, lo nombró su sucesor, Enrique IV ya sabía que el camino al trono se hallaba sembrado de espinas. Las guerras de religión habían dividido no solo a Francia, sino a toda Europa, y aunque él había sido bautizado católicamente, fue educado en la doctrina de Calvino, y las sufrió en sus propias carnes. Todavía recordaba cómo, después de llevar cuatro años reinando en Francia, tuvo que abjurar de su fe y abrazar nuevamente la doctrina católica para que la Santa Liga de París lo aceptara como rey. Las disputas de poder contra el católico Felipe II continuaban años después y, mientras leía la misiva que su secretario le había traído, Enrique IV se asombraba por el talento DESCUBRE de François Viète para interpretar los mensajes LA HISTORIA... cifrados que los españoles utilizaban 1. Busca información para comunicarse entre ellos. sobre la vida de Cerró los ojos e intentó recordar alguna de François Viète y su las nociones de álgebra que Viète logró hacerle relación con la corte de Enrique III y comprender. Recordó así que usaba las consonantes, Enrique IV. B, C, D…, para suplir las cantidades conocidas, y las vocales, A, E, I…, para las desconocidas. 2. Averigua cómo escribiría Viète una ecuación de segundo grado. 3. Investiga sobre la evolución del álgebra a lo largo de la historia.294758 _ 0088-0103.indd 88 13/06/12 12:27
  • Antes de empezar la unidad... MONOMIOS. OPERACIONES CON MONOMIOS Un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número y una o varias letras. 8x3y Coeficiente Parte literal Grado de un monomio El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras Si los monomios no son que lo forman. semejantes, la suma 6x3 " Grado: 3 o la resta se deja 2x3y2z " Grado: 3 + 2 + 1 = 6 indicada. Suma y resta de monomios semejantes Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. • La suma de dos monomios semejantes se realiza sumando los coeficientes y manteniendo la parte literal. • La resta de dos monomios semejantes se realiza restando los coeficientes y manteniendo la parte literal. Por ejemplo, los monomios 6x3y y 4x3y son semejantes, ya que tienen la misma parte literal, x3y. Por tanto, podemos sumarlos o restarlos. • Suma: 6x3y + 4x3y = 10x3y • Resta: 6x3y - 4x3y = 2x3y EVALUACIÓN INICIAL 1. Determina el grado de estos monomios. PLAN DE TRABAJO a) 5x2y6 e) 6xy4 b) -9x5 f) 4x2y7 En esta unidad 5 c) 7x y g) -7x3 aprenderás a… d) -2x2 h) 5z2y •  Reconocer los distintos elementos de 1 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de estos monomios. una ecuación. a) 4xyz d) -3xy4 •  Resolver ecuaciones de primer grado. a) 7y2 d) 9xy5z •  Resolver problemas b) -4xy e) -5x mediante ecuaciones de primer grado. 3. Comprueba si estos monomios son semejantes, y en caso afirmativo, •  Resolver ecuaciones halla su suma y su resta. de segundo grado. a) 12x2 y 4x2 c) 9xy2 y 7x2y e) -5xy y 4xy •  Comprobar la solución b) 73xy y 18xy d) -18x3y2 y 7x2y3 f) -7x2yz y 3x2y de una ecuación. 89294758 _ 0088-0103.indd 89 13/06/12 12:27
  • Elementos 2 de una ecuación ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de un polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente. El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio. Polinomio 3y2 - 22xy3 + y2 - 14y + 3x + 5 $ Término independiente Términos Término de mayor grado: -22xy3 " Grado: 1 + 3 = 4 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no Antes de calcular el grado es cierta para todos los valores de las letras. de una ecuación tenemos que reducir los términos •   iembro. En una ecuación hay dos expresiones separadas por el signo M semejantes: igual. La expresión situada a la izquierda se denomina primer ­ iembro, m x 2 - 3x + 1 - x 2 = 0 y la situada a la derecha, segundo miembro. •   érmino. Es cada uno de los sumandos de los miembros. Si está forma- T F -3x + 1 = 0 do por un solo número se denomina término independiente. •   ncógnitas. Son las letras cuyos valores son desconocidos. I F Grado 1 •   rado. Es el mayor grado de sus términos, después de realizar las G o ­ peraciones que se indican en la ecuación. EJEMPLOS 3 Indica cuáles son los miembros y los términos de estas ecuaciones. 1.er miembro                 2.º miembro 1.er miembro               2.º miembro 14x2 - 3x = 4 + x " Incógnitas: x, y 3x - 1 = 0 " Incógnita: x Términos Términos 4 Determina el grado de las siguientes ecuaciones. a) 7x - 3 = 4  "  Ecuación de grado 1 o de primer grado b) x2 - 2x - x + 2 = 0  "  x2 - 3x + 2 = 0       Ecuación de grado 2 o de segundo grado " LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina los miembros, los términos 4 Determina los miembros, los términos y el grado de estas ecuaciones. y el grado de estas ecuaciones. a) x + 3 = 10 c) x(x - 2) = 3 - 4(x + 2) b) 4x - x = x + 8 d) x - x2 + 3 = 8 + x(5 - x) c) x + 3x2 = 7 + 3x2 e) x2(x - 3) + 5x2 = x(1 + x2) 90294758 _ 0088-0103.indd 90 13/06/12 12:27
  • Solución ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la potencia de un número Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Exponente F Base F an = a ? a ? … ? a •  Si la base es un número positivo, la potencia es positiva. •  la base es un número negativo, la potencia es positiva cuando Si el exponente es par y negativa si es impar. 3 3 33 27 32 = 3 ? 3 = 9 d n= 3 = 5 5 125 (-2)3 = (-2) ? (-2) ? (-2) = -8 Cómo se calcula el valor numérico de un polinomio Para calcular el valor numérico de un polinomio P(x) si x = a, sustituimos la variable x por el valor de a en el polinomio y operamos. x=2 P(x) = 2x2 - x + 3  " P(2) = 2 ? 22 - 2 + 3 = 9 x = -3 P(x) = 2x2 - x + 3  " P(-3) = 2 ? (-3)2 - (-3) + 3 = 24 •   oluciones. Son los valores numéricos de la incógnita que hacen S que la igualdad sea cierta. •   esolver una ecuación es encontrar su solución. R EJEMPLOS 5 Determina si los valores 2 y 4 son solución de la ecuación x + 3 = 5. x=2 x + 3 = 5  "  2 + 3 = 5  "  5 = 5. El valor x = 2 es solución. x=4 x + 3 = 5  "  4 + 3 ! 5  "  7 ! 5. El valor x = 4 no es solución. 1 Decide si x = 3 y x = -1 son solución de x2 - x + 2 = 8. x=3 x2 - x + 2 = 8  "  32 - 3 + 2 = 8  "  x = 3 es solución. x = -1 x2 - x + 2 = 8  "  (-1)2 -(-1) + 2 ! 8  "  x = -1 no es solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si x = 2 y x = 1 son solución de estas 2 Decide si x = -1 y x = 1 son solución de estas ecuaciones. ecuaciones. a) 3x + x = 8 a) 3x2 + 8x = -5 b) 6x2 - x = 5 b) -5x + 8 = 3 c) 12x + 4 = 14x 5   ¿Cuáles de estos valores son solución d) 6x - 3x = 2x + 1 de la ecuación x(x + 1) = 6? e) -x + 8 = -2x + 5 a) x = 2    b)  x = -2    c)  x = 3    d)  x = -3 91294758 _ 0088-0103.indd 91 18/06/12 12:14
  • Transposición 3 de términos Para resolver una ecuación podemos hacer que cualquier término pase al otro miembro de forma «inversa» a como estaba: •  estaba sumando, pasa restando; y si estaba restando, sumando. Si EJEMPLO 2 Agrupa los términos con x en el mismo miembro en estas ecuaciones. a) x + 13 = 8 - 2x Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. x + 13 = 8 - 2x " x = 8 - 2x - 13 " x + 2x = 8 - 13 F F Está sumando, pasa restando Está restando, pasa sumando b) x + 5 = 7 - 2x2 Agrupamos todos los términos en el primer miembro. x + 5 = 7 - 2x2 " x + 5 - 7 = -2x2 " x + 5 - 7 + 2x2 = 0 F F Está sumando, pasa restando Está restando, pasa sumando •  estaba multiplicando, pasa dividiendo; y si estaba dividiendo, Si multiplicando. EJEMPLO 3 Halla el valor de la incógnita en estas ecuaciones. a) 5x = 10 Para hallar el valor de x, el 5 que está multiplicando en un miembro pasa al otro miembro dividiendo. 10 5x = 10 " x = 5 F Está multiplicando, pasa dividiendo x b) =3 6 Para hallar el valor de x, el 6 que está dividiendo en un miembro pasa al otro miembro multiplicando. x =3"x=3?6 6 F Está dividiendo, pasa multiplicando Esta técnica se denomina transposición de términos. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Agrupa términos en estas ecuaciones. 4 Agrupa en el primer miembro. a) 3x - 6 = 27 + 9x b) -5x = 45 a) 3x2 = -6x + 9 b) 7x = -12x2 - 25 92294758 _ 0088-0103.indd 92 13/06/12 12:27
  • Resolución de ecuaciones 4 de primer grado 4.1  Resolución de ecuaciones sencillas Para resolver una ecuación de primer grado debemos agrupar los tér­ inos m con la incógnita en uno de los miembros, y los términos numéricos, en el SE ESCRIBE ASÍ otro. Esto lo conseguimos aplicando la transposición de términos. Aunque para representar las incógnitas podemos utilizar Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay cualquier letra, habitualmente números, decimos que hemos despejado la incógnita. utilizaremos la x. EJEMPLOS 4 Resuelve esta ecuación: 5x + 6 = 18 - x 1.º Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. Está restando, pasa sumando F 5x + 6 = 18 - x " 5x = 18 - x - 6 " 5x + x = 18 - 6 F Está sumando, pasa restando 2.º Reducimos términos semejantes realizando las operaciones. 5x + x = 18 - 6 " 6x = 12 3.º Aplicamos de nuevo la transposición de términos para dejar la incógnita sola en un miembro, y hallamos la solución. 12 6x = 12 " x = "x=2 6 Reducir términos F Está multiplicando, pasa dividiendo semejantes significa sumar o restar 9 Resuelve la ecuación 3x - 2 = 4 + x. los términos. 1.º Agrupamos términos: •  Agrupamos los términos numéricos 3x - 2  = 4 + x F en el segundo miembro.              Pasa como +2 Agrupamos los términos con x •  3x = 4  + x  + 2 F en el primer miembro.     Pasa como -x 2.º Reducimos términos semejantes. 3x - x = 4 + 2     2x = 6 6 3.º Despejamos x y hallamos la solución. x= =3 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Resuelve estas ecuaciones utilizando 10 Resuelve estas ecuaciones. la transposición de términos. a) 2x + 4 = 16 a) x + 4 = 12 e) 2x = 16 b) 7x + 8 = 57 b) 1 - x = 12 f) 7x = 49 c) x + 2 = 16 - 6x c) x - 3 = 8 g) 5x = 25 d) x - 1 = 9 - x d) -5 + x = -3 h) 2x = 5 e) 5x - 5 = 25 93294758 _ 0088-0103.indd 93 13/06/12 12:27
  • 4.2  Resolución de ecuaciones con paréntesis ANTES, DEBES SABER… Cómo actúa un signo delante de un paréntesis • Si el paréntesis viene precedido por el signo +, se suprime el paréntesis dejando los signos del interior tal y como aparecen. • Si el paréntesis viene precedido por el signo -, al suprimir el paréntesis todos los sumandos del interior se transforman en su opuesto. F -(3 - 5) + 7 + (5 - 4) = -3 + 5 + 7 + 5 - 4 = 10 F Cómo se aplica la propiedad distributiva Esta propiedad permite transformar un producto en una suma o una resta. 3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5    (2 - 5) ? 3 = 2 ? 3 - 5 ? 3 Para resolver ecuaciones con paréntesis seguimos estos pasos: 1.º  Eliminamos paréntesis. 2.º Agrupamos las x en un miembro, y los números, en el otro. 3.º  Reducimos términos semejantes, si los hubiera. 4.º  Despejamos x y hallamos la solución. EJEMPLOS 5 Resuelve esta ecuación: 2(x - 6) + 1 = -x + 4 1.º Eliminamos paréntesis. 2x - 12 + 1 = -x + 4 2.º Agrupamos términos: Los términos con x en el primer 2x - 12 + 1 + x = 4 •  miembro. •  Los términos numéricos en el segundo. 2x + x = 4 + 12 - 1 3.º Reducimos términos semejantes. 3x = 15 15 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x= "x=5 3 10 Resuelve la ecuación 2(x - 4) - (6 + x) = 3x - 4. 1.º  Eliminamos paréntesis. 2x - 8 - 6 - x = 3x - 4 2.º Agrupamos términos: • Agrupamos los términos con x -8 - 6 = 3x- 4 - 2x + x en el segundo miembro. • Agrupamos los términos numéricos -8 - 6 + 4 = 3x- 2x + x en el primer miembro. 3.º Reducimos términos semejantes. -10 = 2x 10 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x =- " x =    -5 2 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Resuelve estas ecuaciones. 10 Resuelve esta ecuación. f) 3x + 4 = 2(x + 4) g) 5(x - 1) - 6x = 3x - 9 h) 4(x - 2) + 1 + 3x = 5(x + 1) 94294758 _ 0088-0103.indd 94 13/06/12 12:27
  • Resolución de problemas 5 con ecuaciones de primer grado ANTES, DEBES SABER… Cómo se traducen enunciados en expresiones algebraicas Cualquier enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas. Expresión escrita Expresión algebraica El doble de un número, más 3 2x + 3 El perímetro de un rectángulo 2x + 2y Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos: 1.º  Leemos atentamente el enunciado e identificamos la incógnita. 2.º  Planteamos la ecuación. 3.º  Resolvemos la ecuación. 4.º  Comprobamos que la solución es válida y la interpretamos. EJEMPLO 12 Si al dinero que tengo ahora le añadiera el doble y, además, otros 5 €, tendría 59 €. ¿Cuánto dinero tengo? 1.º  dentificamos la incógnita. Para ello debemos saber cuáles son los I datos que conocemos y los que no. Lo que sabemos… Lo que no sabemos… El dinero que tengo más el doble, Dinero que tengo más 5 €, es 59 € Incógnita (x)  "  Dinero que tengo 2.º Planteamos la ecuación. El dinero que tengo  "  x El doble del dinero que tengo  "  2x El dinero que tengo más el doble, más 5 €  "  x + 2x + 5 El dinero que tengo más el doble, más 5 €, es 59 €  "  x + 2x + 5 = 59 3.º Resolvemos la ecuación. 54 x + 2x + 5 = 59  "  3x = 59 - 5  "  3x = 54  "  x = = 18 3 4.º Comprobamos e interpretamos la solución. x = 18 x + 2x + 5 = 59  "  18 + 2 ? 18 + 5 = 59  "  18 + 36 + 5 = 59  "  59 = 59 La solución de la ecuación es válida. INTERPRETACIÓN: Tengo 18 €. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 La suma de un número y el doble de ese número 18 El perímetro de un cuadrado es de 60 cm. es 120. ¿De qué números se trata? Calcula la longitud de cada lado. 95294758 _ 0088-0103.indd 95 13/06/12 12:27
  • Ecuaciones 6 de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad entre dos expresiones algebraicas con las siguientes características: •  Tiene una única incógnita. • Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2. EJEMPLO 14 Determina cuáles de estas ecuaciones son de segundo grado Si en una ecuación con una incógnita. de segundo grado a es 0: -x2 + 2x = 4 Son ecuaciones x2 + 2y = 34 No son ecuaciones 7x - x = 30 4 de segundo grado - ax + bx + c = 0 2 7x2 - x = 0 4 de segundo grado a=0 x2 = 0 con una incógnita.  x2 = x3 con una incógnita. " bx + c = 0 En realidad es una ecuación de primer grado. Expresión general Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar utilizando su forma general: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos y a ! 0. EJEMPLO 15 Expresa estas ecuaciones en su forma general, y determina el valor de sus coeficientes. ECUACIÓN FORMA GENERAL COEFICIENTES x2 + 2x - 1 = 0 x2 + 2x - 1 = 0 a = 1- b = 2- c = -1 3x2 - 2x - 5 3x2 - 2x - 5 = 0 a = 3- b = -2 c = -5 x2 = 25 x2 - 25 = 0 a = 1- b = 0- c = -25 7x2 = 0 7x2 = 0 a = 7- b = 0- c = 0 -3x(x + 2) = 0 -3x2 - 6x = 0 a = -3 b = -6 c = 0 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Escribe la expresión general de estas 27 Escribe una ecuación de segundo grado cuyos ecuaciones de segundo grado, y determina coeficientes sean: sus coeficientes. a) a = 4, b = -3, c = -2 a) (x - 1)(x + 4) = 1 b) a = 6, b = 0, c = -3 b) x2 - 5x + 2 = -x2 c) a = -1, b = 2, c = 0 c) 3x2 - 5 = -2x2 + x - 4 d) a = -1, b = 0, c = 0 d) x(4x + 2) = 0 28 Determina si estas ecuaciones son de segundo e) 3x2 - 5x = 0 grado. 2 f) -x - x - 1 = 0 a) 3x2 - 5x + 2 = 3x2 + 2x c) (x - 2)(x + 1) = 0 g) (x - 2)3x = 4 b) 3x2 - 2x2 = 2x2 + x d) x(x + 1) = x2 + 2x 96294758 _ 0088-0103.indd 96 13/06/12 12:27
  • Resolución de ecuaciones 7 de segundo grado ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula la raíz cuadrada de un número SE ESCRIBE ASÍ La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero. Para representar que una ecuación tiene dos 4 Lo escribimos como 4 = 2 porque 22 = 4 soluciones, una positiva 4 = !2 y otra negativa, se utiliza 4 =-2 porque (-2)2 = 4 el signo !. Las soluciones de una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 se obtienen aplicando la fórmula: * -b + b 2 - 4ac x1 = -b ! b2 - 4ac 2a x= = 2a -b - b 2 - 4ac x2 = 2a La ecuación puede tener dos soluciones, una o ninguna. EJEMPLO 18 Resuelve estas ecuaciones. a) x2 - 2x = 0 " a = 1, b = -2, c = 0 * 2+ 4 x1 = =2 -b ! b2 - 4ac -(-2) ! (-2) 2 - 4 ? 1? 0 2 x= = = La raíz cuadrada de un 2a 2 ?1 2- 4 número negativo no existe. x2 = =0 2 Así, -13 no existe porque Esta ecuación tiene dos soluciones: x1 = 2 y x2 = 0 no hay ningún número tal que al elevarlo al cuadrado b) 4x2 + 4x + 1 = 0 " a = 4, b = 4, c = 1 dé -13. -4 + 0 1 * x1 = =- 2 -b ! b - 4ac 2 -4 ! 4 - 4 ? 4 ? 1 8 2 x= = = 2a 2?4 -4 - 0 1 x2 = =- 8 2 1 Esta ecuación tiene una única solución: x = - 2 c) 2x2 + 3x + 3 = 0 " a = 2, b = 3, c = 3 * -3 + -13 x1 = " No existe solución -3 ! 32 - 4 ? 2 ? 3 4 x= = 2?2 -3 - -13 x2 = " No existe solución 4 Esta ecuación no tiene solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Resuelve las siguientes ecuaciones. 32 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x - 6x + 8 = 0 2 b) 2x - x - 1 = 0 2 c) 3x2 - 4x + 1 = 0 d) -x2 + 4x - 3 = 0 97294758 _ 0088-0103.indd 97 13/06/12 12:27
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación Ecuación de segundo grado con una incógnita Primer miembro                Segundo miembro ax2 + bx + c = 0 3xy + 4 = 12  "  ( Grado: 1 + 1 = 2 Incógnitas: x, y Solución -b ! b2 - 4ac "  x = 2a = Términos * -b + b2 - 4ac x1 = Ecuación de primer grado con una incógnita 2a = Solución b -b - b2 - 4ac ax + b = 0  "  x =- a x2 = 2a HAZLO DE ESTA MANERA 1. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación x - (4x - 7) = 8 - 2(x + 2). PRIMERO. Eliminamos los paréntesis, si los hay. x - 4x + 7 = 8 - 2x - 4 SEGUNDO. Agrupamos términos: •  Agrupamos los términos x - 4x + 7 + 2x = 8 - 4 con x en el primer miembro. •  Agrupamos los términos x - 4x + 2x = 8 - 4 - 7 numéricos en el segundo miembro. TERCERO. Reducimos términos semejantes. -x = -3 -3 CUARTO. Despejamos x y hallamos la solución. x= "x=3 -1 2. RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Resuelve estas ecuaciones.   a)  2x2 - 2x + 3 = 0     b)  2x2 - 50 = 0     c)  2x2 - 5x = 0 PRIMERO. Identificamos los coeficientes de la ecuación. a) a = 2  b = -2  c = 3     b)  a = 2  b = 0  c = -50     c)  a = 2  b = -5  c = 0 -b ! b2 - 4ac SEGUNDO. Aplicamos la fórmula: x = 2a -(-2) ! (-2) 2 - 4 ? 2 ? 3 2 ! -20 a) x = = " No tiene solución. 2?2 4 = ) x =-5 0 ! 02 - 4 ? 2 ? (-50) 0 ! 400 x1 = 5 b) x = = 2?2 4 2 5 =* -(-5) ! (-5) 2 - 4 ? 2 ? 0 5 ! 25 x1 = c) x = = 2 2?2 4 x2 = 0 98294758 _ 0088-0103.indd 98 13/06/12 12:27
  • 3. COMPROBAR LA SOLUCIÓN 4. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE DE UNA ECUACIÓN UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Comprueba si los valores de la incógnita Una madre tiene 40 años y su hijo 10 años. que se dan son o no soluciones de ¿Cuántos años han de transcurrir para las ecuaciones. que la edad de la madre triplique la del hijo? a) x - (x - 3) = 2x + 7. Solución: x = -2 PRIMERO. Identificamos la incógnita. 2 b) 2x - 7x + 3 = 0. Solución: x = 1 Lo que sabemos… Lo que no sabemos… PRIMERO. Sustituimos la incógnita por su valor Madre: 40 años Años que han y operamos. Hijo: 10 años de transcurrir a) x - (x - 3) = 2x + 7 Incógnita (x)  "  Años que han de transcurrir x = -2 SEGUNDO. Planteamos la ecuación. " (-2) - ((-2) - 3) = 2 ? (-2) + 7 Años transcurridos  " x " -2 + 2 + 3 = -4 + 7 Edad madre transcurridos los años  " 40 + x "3=3 Edad hijo transcurridos los años  " 10 + x b) 2x2 - 7x + 3 = 0 Edad madre es triple que hijo  " 40 + x = 3(10 + x) x=1 TERCERO. Resolvemos la ecuación. " 2 ? 12 - 7 ? 1 + 3 = 0 40 + x = 3(10 + x)  " 40 + x = 30 + 3x " 2 - 7 + 3 = 0 " -2 ! 0 " 10 = 2x " x = 5 SEGUNDO. El valor es solución si se obtiene CUARTO. Comprobamos la solución el mismo resultado en ambos miembros. y la interpretamos. a) Se obtiene una igualdad (3 = 3); luego Dentro de 5 años: -2 es solución de la ecuación. MADRE: 40 + 5 = 45 años 45 = 3 ? 15 b) Se obtiene una desigualdad (-2 ! 0); HIJO: 10 + 5 = 15 años por tanto, 1 no es solución de la ecuación. La solución es válida. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Resolver ecuaciones de segundo grado 1.  ndica cuáles son los miembros y los términos I 4. Resuelve la ecuación x2 - 100 = 0. de la ecuación -2x2y + 5xy = 10. 5. ¿Cuál es la solución de x2 - 4x - 12 = 0? 2.  scribe una ecuación de primer grado con una E 6. Halla la solución de 6x2 - 3x = 0. incógnita y tres ecuaciones de segundo grado, una de cada tipo. Comprobar la solución de una ecuación 7. Decide si los valores x1 = -2 y x2 = 5 son Resolver ecuaciones de primer grado soluciones de: 1.  alla la solución de las siguientes ecuaciones. H a) x2 - 3x - 10 = 0 a) 2x + 1 = 11 b) 3x2 - 12 = 0 b) -x + 10 = 4 + 5x Resolver un problema mediante x una ecuación de primer grado c) =-8 2 8. La suma de tres números consecutivos es 18. d) (x - 3) + 5 = 2(x + 1) ¿Cuáles son esos números? 99294758 _ 0088-0103.indd 99 13/06/12 12:27
  • Actividades ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN 5. ● Comprueba si los valores indicados son solución de cada ecuación. 42. ● Identifica los elementos de las ecuaciones. a) -2x + 7 = 11, para x = 2 er 1. 2.º b) -(x + 3) = x - 1, para x = -1 Ecuación Incógnitas Grado miembro miembro c) 5(x - 2) = 15, para x = 5 4x - 3 = 5 d) -3(2 - 5x) = 8 + x, para x = 1 4(x - 3) = 5x x e) = 2, para x = 7 y+2 7 8y - y = f) x2 - x - 56 = 0, para x = 8 3 a 3a - b = 5 z2 - 4z + 3 = 0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO x(x + 1) = x2 + 9 46. ● Simplifica estas ecuaciones reduciendo x(3 - x) = x - 1 términos semejantes, tal como se indica en el ejemplo. 43. ●● Escribe una ecuación para estos enunciados. a) El doble de un número es 8. b) El triple de un número es 12. c) La mitad de un número es 10. d) La tercera parte de un número es 2. e) El doble de un número más 3 es 8. f) La mitad de un número menos 5 es 120. a) 5(x - 6) + 2(-3x -7) = 2(3x + 5) g) La cuarta parte de un número menos 6 es 7. b) 4x + 5 - x = 10x + 7 - x h) El doble de un número más 7 es 18. c) 7 - 10x + 3(x2 - 9x) = x - 8 i) La diferencia entre el cuádruple de un número 7 5 d) 8 + (x - 3) - x2 + x = menos 10 es 24. 3 4 e) -2(2x + 4) - x(x + 3) = 5 - 3x 44. ●● Asigna una ecuación a cada enunciado. 47. ● ● Corrige los errores cometidos al reducir a) El cuadrado de un número es 100. términos semejantes de estas ecuaciones. b) El cubo de un número es 125. a) 7x - (2 - x) = 3x + 1 c) La suma del cuadrado de un número más 2  7x - 2 - x = 3x + 1 es 82. x - x - 3x - 2 + 1 = 0 7 d) La diferencia del cubo de un número menos 3  3x - 1 = 0 es 124. b) 8(2 - x) - x = x e) La mitad del cuadrado de un número es 8. 16 - 8x - x = x f) La quinta parte del cubo de un número es 310. 8x - x - x + 16 = 0         6x + 16 = 0 45. ●● Escribe los enunciados correspondientes a estas ecuaciones. c)        5 - (x - 3) = x - (-7) 2 5+7-x-3-x=0 a) 2x + 5 = 3 e) x - 1 = 8          -2x + 9 = 0 b) 7 - x = 2 f) 3(x - 2) = 9 x-4 48. ● Averigua cuáles de las ecuaciones son c) 2(x + 1) = 10 g) =1 equivalentes a la ecuación x = 4. 2 x2 x+6 a) 2x = 8 c) 4x = 12 e) -2x = 8 d) = 3 h) =2 2 3 b) 3x = 9 d) -x = -4 f) -3x = -12 100294758 _ 0088-0103.indd 100 13/06/12 12:27
  • 49. ● Resuelve estas ecuaciones. HAZLO ASÍ a) x + 2 = 7 i) 4x = 20 b) x - 3 = 15 j) 13x = 91 ¿CÓMO SE RESUELVEN ALGUNOS TIPOS x DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON c) x + 13 = 21 k) =5 DENOMINADORES? d) x - 7 = 2 4 l) -x = 3 6. Resuelve estas ecuaciones. e) x + 11 = 3 m) -7x = 21 3x - 12 8x 5x f) x - 17 = 17 a) = b) = 2x - 9 6 n) -12x = 60 7 5 3 g) x + = 11 ñ) 6x = 18 2 PRIMERO. Se multiplican los dos miembros en cruz h) x - 9 = -16 o) -3x = 21 para eliminar los denominadores. 3x - 12 8x 50. ● Resuelve estas ecuaciones. a) 7 = 5 " 5(3x - 12) = 7 ? 8x 2x 4x 5x a) = 5 c) = 82 b) = 2x - 9 " 5x = 3(2x - 9) 20 2 3 9x 3x b) = 27 d) =9 SEGUNDO. Se eliminan paréntesis. 6 6 a) 5(3x - 12) = 7 ? 8x " 15x - 60 = 56x 51. ● Halla la solución de las ecuaciones. b) 5x = 3(2x - 9) " 5x = 6x - 27 x a) -5x = 45 h) =1 TERCERO. Se agrupan términos. 15 b) 6x = -36 a) 15x - 60 = 56x " 15x - 56x = 60 x 1 c) 3x = 2 i) = b) 5x = 6x - 27 " 5x - 6x = -27 4 2 d) 8x = 48 j) x + 4 + x = 18 + 3 CUARTO. Se reducen términos. e) -12x = -72 k) x + 3x + 4x = 8 a) 15x - 56x = 60 " -41x = 60 x f) =8 l) 5x - 2 + 2x = 6x + 8 b) 5x - 6x = -27 " -x =-27 -3 m) 4x + 3x - 2x = 45 x 1 QUINTO. Se despeja x y se halla la solución. g) = n) -x + 4x - 3 = 5 - 2x 4 4 60 60 a) -41x = 60 " x = =- -41 41 52. ● Resuelve las siguientes ecuaciones de primer -27 grado. b) -x =-27 " x = = 27 -1 a) 2x - 10 = 0 b) 5x + 4 = x - 8 7. ● ● Resuelve estas ecuaciones de primer grado c) x + 2(x - 1) = 4 con denominadores. d) 2(3x - 5) - x - (2x - 3) = 1 - (2x - 5) 2x 3x - 23 9x a) = x + 3 b) = e) 7(x + 2) + 4(x + 3) = 3x + 1 5 8 2 f) 3(x - 3) - 4(2 - 3x) = 2(1 - 2x) 54. ● ● Resuelve estas ecuaciones de primer grado. 53. ●● Obtén la solución de estas ecuaciones 5-x 3x + 8 de primer grado. a) =1 e) =x 7 4 a) 4x + 1 + 3x - 5 = 2(x - 2) + 30 x-8 3x b) 3(x + 8) = 6(x - 2) + 24 b) =3 f) - 25 = x - 20 6 2 c) 3(x + 8) - (x - 4) = 12 x+5 2x - 7 c) =4 g) - 25 = 7x d) 2(4 - x) + 3(4x + 16) = 3 6 5 e) 6(x + 8) - 2(x - 4) = 24 4x - 8 4x - 4 d) =2 h) - 18 = 74 f) 6(x - 2) = 3(x + 8) - 24 -2 3 101294758 _ 0088-0103.indd 101 13/06/12 12:27
  • ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 65. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x2 - x = 0 60. ● Identifica cuáles de estas ecuaciones son b) 5x2 + 10x = 0 de segundo grado. c) 7x - 21x2 = 0 a) x(x + 2) = 0 d) 2x2 = 16x b) x2 - 3(x - 5) = 3x - 4 e) 9x = 18x2 c) 5 + x + x2 = -30 + x2 f) 6x - 10x2 = 0 x2 + 8 x g) 4x2 = 9x d) = (2 + x) 3 4 h) 5x2 + 3x = 0 e) (x + 1)2 + x2 = 5x f) (x + 2)2 - (x - 3)2 = 8 66. ● Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula general. 61. ● Expresa estas ecuaciones de segundo grado a) 7x2 + 21x - 28 = 0 de la forma ax2 + bx + c = 0, e identifica b) 2x2 - 3x - 5 = 0 los términos a, b y c. c) x2 + 4x + 3 = 0 x2 1 d) x2 + x - 20 = 0 a) - 3x + = 0 2 3 67. ● ● Obtén la solución de las ecuaciones. b) 5(x - 3)2 = 2 c) x2 - x(2x + 4) + 7 = 6 a) x2 - 3x = x - 2 d) 3x(2x - 6) - x(x - 5) = 9 b) x2 - 2x = -1 c) x2 + 5 = 6x 62. ● Expresa la forma general de las siguientes d) x - 12 = -x2 ecuaciones de segundo grado. e) 2x2 - 7x + 3 = 0 a) (x + 3)(x - 5) = 3 f) 6x2 = 5x - 1 b) 2x2 - 5x = -4x2 - x + 8 g) 3x2 - 1 = -2x c) -5x2 - 3x + 9 = -x2 - 7x + 11 h) 5x = 3 - 2x2 d) -4x(7 - 3x) = 0 63. ● Escribe las ecuaciones de segundo grado HAZLO ASÍ cuyos coeficientes son: ¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES a) a = -1 b=2 c = -3 EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO? b) a = 3 b=0 c=9 68. Resuelve la siguiente ecuación. c) a = 4 b=2 c=0 (3x - 1)(4x + 2) = 0 1 2 -1 d) a = b= c= Cuando el producto es igual a 0. 2 3 5 PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. 3 -1 e) a = b= c=0 ((3x - 1))((4x + 2)) = 0 " ( 3x - 1 4x + 2 = 0 " ( 4 2 3x - 1 = 0 3x - 1 = 0 4x + 2 = 0 4x + 2 = 0 64. ● Halla la solución de las ecuaciones. SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones a) 2 4x - 16 = 0 de primer grado. Estas serán las soluciones de la ecuación de segundo grado. b) 5x2 = 45 c) 3x2 - 75 = 0 1 3x - 1 = 0 " x = d) 4x2 = 64 3 -2 1 e) 8x2 - 8 = 0 4x + 2 = 0 " x = =- 4 2 f) 9x2 = 900 Las soluciones de la ecuación son: g) 16x2 = 9 1 1 25 x = , x =- h) x2 = 3 2 4 102294758 _ 0088-0103.indd 102 13/06/12 12:27
  • 69. ●● Resuelve las siguientes ecuaciones. 82. ● ● En el zoológico hay el doble de tigres a) x(x - 3) = 0 que de panteras, y sabemos que b) (x - 5)(3x + 9) = 0 en total son 171 animales. c) (7x + 1)(4x - 3) = 0 Determina d) (x + 4)(x - 5) = 0 cuántos hay 1 e) (5x + 3) d x - n = 0 de cada 5 especie. f) (x + 3)(x + 3) = 0 1 1 g) d x - nd x + n = 0 2 2 3 84. ● ● En una clase hay partes de chicos y las 7 chicas son 16. ¿Cuántos chicos hay en la clase? PROBLEMAS CON ECUACIONES 85. ● ● Juan realiza la cuarta parte de un viaje en 74. ● Calcula el número tal que si le sumamos 2 nos autobús, la sexta parte en moto, tres octavas da 10. partes en bicicleta, y los últimos 40 km andando. 75. ● Obtén el número cuyo doble más su triple a) ¿Qué distancia recorrió en total? suma 35. b) ¿Qué distancia ha recorrido en cada medio de transporte? 76. ● Determina un número, de forma que la suma de su triple y cuatro veces el número sea 21. 77. ●● Escribe en lenguaje algebraico los enunciados y resuélvelos. a) La suma de dos números consecutivos es 63. b) La suma de dos números pares consecutivos es 126. c) El doble de un número y su mitad suman 10. d) El doble de la suma de un número más 7 es 18. 86. ● ● Luis tiene 92 monedas de 1, 2 y 5 céntimos. e) El triple de un número menos 8 es 40. Calcula cuántas monedas tiene de cada tipo si f) Un número menos su quinta parte es 80. las monedas de 1 céntimo son la tercera parte de las de 5 céntimos, y estas son el quíntuplo 78. ●● La suma de dos números es 55 y uno de ellos de las monedas de 2 céntimos. es la cuarta parte del otro. Halla los números. 87. ● ● María se entrena aumentando el recorrido del día anterior en 1 km. Al cabo de siete días, 79. ●● Encuentra dos números sabiendo el recorrido total que ha hecho es de 42 km. que su suma es 20 y se diferencian en 6 unidades. ¿Cuánto ha entrenado el último día? 80. ●● La suma de tres números es 330. El primero 88. ● ● Un bebé gana durante su primer mes de vida es el doble del segundo y el segundo es el triple la quinta parte de su peso, y en el segundo mes del tercero. aumenta las cuatro quintas partes del peso Calcula dichos números. que aumentó en el mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa 5 450 g, ¿cuánto pesó 81. ●● Un trayecto en taxi cuesta 2,50 € de bajada al nacer? de bandera y 1,50 € por cada kilómetro. Si pagamos 13 €, ¿qué distancia hemos recorrido? 83. ●● Carlos, David y Sergio han ganado 3 200 € y deciden repartirlos así: Carlos tendrá 200 € menos que Sergio, y David 200 € menos que Carlos. Calcula el dinero de cada uno. 103294758 _ 0088-0103.indd 103 13/06/12 12:27
  • 7 Sistemas de ecuaciones Gabriel & Giovanni No hacía mucho tiempo que los dos jóvenes, Gabriel Cramer y Giovanni Calandrini, habían sido rivales al competir por la misma cátedra de Filosofía, que los dos perdieron y, al mismo tiempo, los dos ganaron: la cátedra de Filosofía fue asignada a otra persona, pero ambos impresionaron tanto al tribunal que crearon una nueva cátedra de Matemáticas que fue adjudicada a los dos. Y es que sus personalidades tan diferentes hicieron que se complementaran y, a la postre, se convirtieran en inseparables amigos. Aquel día, un pensativo Calandrini le dijo a Cramer: –Gabriel, ¿te has dado cuenta de que pasamos una parte importante de nuestra vida averiguando DESCUBRE lo que queremos ser, y cuando lo sabemos, gastamos LA HISTORIA... el resto del tiempo intentando cambiar en lo que 1. Uno de los científicos nos hemos convertido? más destacables de –La solución es sencilla –contestó Cramer–; ponemos Suiza del siglo xviii a un lado lo que sabemos y al otro lo que no sabemos, fue Gabriel Cramer. y planteando las relaciones de manera correcta, Busca información sobre su vida y sus la solución surge ante nosotros de forma natural. aportaciones a las Calandrini dio un manotazo al aire y respondió: matemáticas. –A veces me sacas de quicio, no sé por qué tienes 2. Investiga sobre la que aplicar las matemáticas a todo. rivalidad que existió entre Gabriel Cramer –Porque pienso que cualquier problema tiene y Giovanni Calandrini. su solución, aunque lamentablemente no somos 3. Analiza la evolución a capaces de plantear las ecuaciones adecuadas. lo largo de la historia en el estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales.294758 _ 0104-0117.indd 104 13/06/12 11:21
  • Antes de empezar la unidad... ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras. Elementos de una ecuación • Miembro: es cada una de las expresiones algebraicas que forman la ecuación. La expresión situada a la izquierda del signo = se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro. • Término: es cada uno de los sumandos de los miembros. Si un término está • Incógnitas: son las letras cuyos valores desconocemos. formado por un solo 1.er miembro 2.° miembro número se llama término independiente.  14y2   -   3x   =  4   +  x " Incógnitas: x, y Términos Grado de una ecuación Es el mayor grado de los términos de la ecuación, una vez realizadas las operaciones que se indican en ella. -3x + y = 8 "  cuación de grado 1 o de primer grado con E dos incógnitas -x2 + x + 7 = 0 "  cuación de grado 2 o de segundo grado con E una incógnita EVALUACIÓN INICIAL 1 Indica cuáles son los miembros de las siguientes ecuaciones. a) -x + x2 = 16 - x PLAN DE TRABAJO b) -3x + yz = 8 + z c) 4x + 8 = (3 + 2x) + 2x En esta unidad d) -x + 2y = 20 aprenderás a… e) 6x - x = 12 + x •  Distinguir los elementos que 2 Indica cuáles son los términos y las incógnitas de estas ecuaciones. forman un sistema de a) -2x + x2 = 16 ecuaciones lineales b) -3x + y = 8 con dos incógnitas. c) 3x + 2y = 8(x + 7) •  Resolver sistemas de d) 6x2 - 2x = 6x2 + 18 ecuaciones lineales, e) -x + 3x2 = 2x2 + x - 6 utilizando distintos métodos: sustitución 3 Determina el grado de las ecuaciones del ejercicio anterior. e igualación. 105294758 _ 0104-0117.indd 105 13/06/12 11:21
  • Ecuaciones 1 lineales Una ecuación de primer grado con una o varias incógnitas se denomina ecuación lineal. EJEMPLO 1 Decide si estas ecuaciones son lineales, y determina el número de incógnitas que tiene cada una de ellas. 2x - 3 = 0 " Ecuación lineal con una incógnita. x2 - x + 2 = 0 " No es una ecuación lineal por ser de segundo grado. 2x - y = 10 " Ecuación lineal con dos incógnitas. ANTES, DEBES SABER… Cómo se comprueba si un valor es solución de una ecuación Una solución de una ecuación es cualquier valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. x=5 x + 2 = 7  " 5 + 2 = 7 " x = 5 es solución. x = -1 Antes de decidir x + 2 = 7  " (-1) + 2 ! 7 " 1 ! 7 " x = -1 no es solución. si una ecuación es lineal con una o varias incógnitas, tenemos que reducir •  Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se los términos semejantes. puede expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incóg- 2x + 2y - y = y + 7 nitas, y a, b y c, números conocidos. 2x + 2y - y - y = 7 •  Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es cada par 2x = 7 de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. Tiene una incógnita. EJEMPLOS 2 Encuentra dos soluciones para la ecuación x + y = 7. Si x = 1 x + y = 7  "  1 + y = 7  "  y = 6  "  x = 1, y = 6 es solución. Si x = 2 x + y = 7  "  2 + y = 7  "  y = 5  "  x = 2, y = 5 es solución. 3 Determina si los siguientes valores son solución de la ecuación x + 2y = 9. a) x = 1, y = 4 x = 1, y = 4 x + 2y = 9  "  1 + 2 ? 4 = 9  "  9 = 9  "  Es solución. b) x = 2, y = 5 x = 2, y = 5 x + 2y = 9  "  2 + 2 ? 5 ! 9  "  12 ! 9  "  No es solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Decide si estas ecuaciones son lineales, 2 Comprueba si x = -1, y = 8 es solución y determina su número de incógnitas. de estas ecuaciones. 2 a) x + y = 0 b) x - 2 = 0 a) 2x + y = 6 b) 7x - y = 11 106294758 _ 0104-0117.indd 106 13/06/12 11:21
  • Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. ANTES, DEBES SABER… Cómo se traducen enunciados en expresiones algebraicas Un enunciado se puede traducir al lenguaje algebraico utilizando expresiones algebraicas. Expresión escrita Expresión algebraica El triple de un número, menos 2 3x - 2 El producto de dos números x?y EJEMPLO 4 Subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros. ¿Cuánto mide Ana y cuál es la altura de la silla? Estatura de Ana  " x    Altura de la silla  " y Altura de Ana sobre la silla = 2 metros " x + y = 2 Obtenemos una ecuación lineal con dos incógnitas. El par de valores x = 1, y = 1 hace cierta la igualdad: x = 1, y = 1 x + y = 2  "  1 + 1 = 2  "  2 = 2 Este par de valores es solución de la ecuación. Pero existen otros pares de valores que también son soluciones: x = 1,40; y = 0,60 x + y = 2  "  1,40 + 0,60 = 2  "  2 = 2 El par x = 1,40; y = 0,60 es solución de la ecuación. x = 1,30; y = 0,70 x + y = 2  "  1,30 + 0,70 = 2  "  2 = 2 El par x = 1,30; y = 0,70 es solución de la ecuación. En general, una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Aunque una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, existen valores que no son solución. EJEMPLO 5 Si subida en una silla, Ana alcanza una altura de 2 metros, ¿podría ser la estatura de Ana de 2,10 m? Si x es la estatura de Ana e y es la altura de la silla, obtenemos la ecuación: x = 2,10 x + y = 2  "  2,10 + y = 2  "  y = -0,1 Ana no puede medir 2,10 m, porque si fuera así la altura de la silla sería un número negativo. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 En una piscina, el ancho y el borde a ambos 6 Encuentra tres valores que sean soluciones lados suman 16 metros. Plantea y resuelve y tres valores que no lo sean de estas la ecuación lineal con dos incógnitas para ecuaciones. determinar la medida del ancho y del borde. a) x - 2y = 10 b) 2x + 3y = 5 107294758 _ 0104-0117.indd 107 13/06/12 11:21
  • Sistemas de ecuaciones 2 lineales Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común: 3 ax + by = c a9x + b9y = c9 forman un sistema de ecuaciones lineales. EJEMPLO 6 Decide cuáles de los siguientes son sistemas de ecuaciones lineales. 3    Sistema de ecuaciones lineales. 3x + y = 10 x-y = 2 " 4  "  es un sistema de ecuaciones lineales, ya que x2 - y = 4   2 No x + y = 10 la primera ecuación es de segundo grado. Una solución del sistema es cualquier par de números que cumplen las dos ecuaciones a la vez. EJEMPLO 7 Determina si los siguientes valores son solución del sistema: 3 3x + y = 10 x- y=2 a) x = 3, y = 1 3 2 " Es solución. 3x + y = 10 x = 3, y = 1 3 ? 3 + 1 = 10 x-y = 2   "  3-1 = 2     b) x = 4, y = -2 3 "  4 - (-2) ! 2 3  "  es solución, ya 3x + y = 10 x = 4, y = -2 3 ? 4 + (-2) = 10 No x-y = 2   que solo cumple la primera ecuación. c) x = 6, y = 4 3  "  6 - 4 = 2 2  "  No es solución, porque 3x + y = 10 x = 6, y = 4 3 ? 6 + 4 ! 10 x-y = 2 solo cumple la segunda ecuación. 3 es encontrar ax + by = c Resolver el sistema de ecuaciones lineales a9x + b9y = c9 su solución. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Decide cuáles de los siguientes sistemas 9 Comprueba si x = 1 e y = -1 es solución son lineales. de este sistema: a) x - 2y = 5 b) 3x - 2y = 9 x + y = 83 3 2x - 3y = 5 4 x + y2 = 15 x+ y = 0 108294758 _ 0104-0117.indd 108 13/06/12 11:21
  • Métodos de resolución 3 de sistemas Para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones se utilizan dife- rentes técnicas que denominamos métodos de resolución. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una ecuación Despejar la incógnita en una ecuación consiste en dejarla sola en uno de sus miembros. Para despejar una incógnita utilizamos estas reglas: • Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando. Y si está restando, pasa sumando. • Si un término está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. EJEMPLO 1 Despeja la incógnita en esta ecuación: x + 12 = 8 - 4x Agrupamos las x en el primer miembro: x + 12 = 8 - 4x " x = 8 - 4x - 12 " x + 4x = 8 - 12 4 " 5x = -4 " x = - 5 Cómo se resuelven ecuaciones de primer grado Para resolver ecuaciones de primer grado: 1.º Eliminamos paréntesis. 2.º Agrupamos los términos con la incógnita en un miembro, y los términos numéricos en el otro. 3.º Reducimos términos semejantes. 4.º Despejamos la incógnita y hallamos la solución. EJEMPLO 2 Resuelve esta ecuación: 3(x - 1) + 2 = -x + 11 1.º Eliminamos paréntesis. 3x - 3 + 2 = -x + 11 2.º Agrupamos términos: •  Agrupamos los términos 3x - 3 + 2 + x = 11 con x en el primer miembro. •  Agrupamos los términos 3x + x = 11 + 3 - 2 numéricos en el segundo miembro. 3.º Reducimos términos semejantes. 4x = 12 12 4.º Despejamos x y hallamos la solución. x= "x=3 4 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Despeja la incógnita en estas ecuaciones. 2 Resuelve estas ecuaciones de primer grado. a) -4x = 20 + 2x b) 7x + 17 = 38 - 4x a) 2x + 10 = 8 b) -4x - 8 = 20 + 2x 109294758 _ 0104-0117.indd 109 13/06/12 11:21
  • 3.1  Método de sustitución Para resolver un sistema por el método de sustitución, despejamos una incógnita en una de las ecuaciones y sustituimos su valor en la otra. ANTES, DEBES SABER… El método de sustitución Cómo se multiplican números enteros es útil si alguna de Para multiplicar dos números enteros: las incógnitas tiene como 1.º Multiplicamos sus valores absolutos. coeficientes 1 o -1. 2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. (+5) ? (+3) = +15 (+5) ? (-3) = -15 (-5) ? (-3) = +15 (-5) ? (+3) = -15 EJEMPLO 9 Resuelve este sistema aplicando el método de sustitución: 2x - y = 3 3 x + 2y = -1 1.º  Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.  Conviene despejar una incógnita cuyo coeficiente sea 1 o -1, para evitar trabajar con denominadores. Así, despejamos la x de la primera ecuación. 3 3 2x + 2y =-1 " x =-1 - 2y 2x - 2y = 3 2x - y = 3 2.º Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. En la segunda ecuación, sustituimos x por su valor, -1 - 2y. x = -1 - 2y 2x - y = 3  "  2(-1 - 2y) - y = 3 3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. 2(-1 - 2y) - y = 3 " -2 - 4y - y = 3 " -5y = 3 + 2 5 " -5y = 5 " y = -5 =-1 4.º  Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. Hallamos el valor de x sustituyendo y por su valor, -1, en la primera ecuación, x + 2y = -1. y = -1 x + 2y = -1  "  x + 2 ? (-1) = -1 " x - 2 = -1 " x = 1 El sistema tiene como solución x = 1, y = -1. 5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. 3 "  2 ? 1 - (-1) = 3 3 " 3 = 3 2 x + 2y =-1 x = 1, y = -1 1 + 2 ? (-1) =-1 -1 = -1 2x - y = 3   Son igualdades y, por tanto, x = 1, y = -1 es solución del sistema. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Resuelve por el método de sustitución. 20 Resuelve por el método de sustitución. 3 3 3 3 a) x + y = 12 b) x + y = 5 a) 2x - 3y = 7 b) -4x + 3y =-7 x-y = 2 -x + 2y =-2 3x + 9y =-3 2x + 5y = 7 110294758 _ 0104-0117.indd 110 13/06/12 11:21
  • 3.2  Método de igualación Para resolver un sistema por el método de igualación despejamos la mis- ma incógnita en las dos ecuaciones e igualamos sus valores. EJEMPLO 10 Resuelve este sistema aplicando el método de igualación: 2x - y = 3 3 x + 2y =-1 1.º Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.  Como en el método de sustitución, es conveniente despejar la incógnita que resulte más sencilla. 2x + 2y = -1 " x = -1 - 2y 4 3+y 4 2x - 2y = 3 "x= 2      2.º Igualamos las expresiones obtenidas. x =-1 - 2y 3 + y 4 " -1 - 2y = 3+y El método de igualación x= 2 es más apropiado utilizarlo 2 si los coeficientes de las 3.º Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta. incógnitas son distintos de 1 o de –1. Como aparece un denominador en el segundo miembro, para eliminarlo lo pasamos al otro miembro multiplicando cada uno de sus términos por él. 3+y -1 - 2y = " 2 (-1 - 2y) = 3 + y " -2 - 4y = 3 + y 2 5 Para despejar la incógnita,- y = 3 + 2 " -los = 5 " y que tienen 1 " -4y agrupamos todos 5y términos = -5 =- 3 el y incógnita en + primer miembro y hallamos su valor. -1 - 2y = " 2 (-1 - 2y) = 3 + y " -2 - 4y = 3 + y 2 5 " -4y - y = 3 + 2 " -5y = 5 " y = -5 =-1 4.º  Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. y = -1 x + 2y = -1  "  x + 2 ? (-1) = -1 " x = -1 + 2 = 1 El sistema tiene como solución x = 1, y = -1. 5.º Comprobamos que la solución obtenida es solución del sistema. 3 "  2 ? 1 - (-1) = 3 3 " 3 = 3 2 x + 2y = -1 x = 1, y = -1 1 + 2 ? (-1) =-1 -1 =-1 2x - y = 3 Obtenemos dos igualdades; por tanto, x = 1, y = -1 es solución del sistema. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Resuelve por el método de igualación. 20 Resuelve por el método de igualación. 3 3 3 3 a) x + y = 12 b) x + y = 5 a) 2x - 3y = 7 b) -4x + 3y =-7 x-y = 2 -x + 2y =-2 3x + 9y =-3 2x + 5y = 7 111294758 _ 0104-0117.indd 111 13/06/12 11:21
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Ecuación lineal con dos incógnitas Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x,   "  Incógnitas y * x, y "  Incógnitas * a $  Coeficiente de x 3 ax + by = c " b ax + by = c a, al"  Coeficientes de x $  Coeficiente de y alx + bly = cl " b, bl"  Coeficientes de y c $  Términos independientes c, cl"  Términos independientes HAZLO DE ESTA MANERA 1. COMPROBAR SI UN PAR DE VALORES ES SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES 3 x + 4y = 3 Comprueba si los siguientes pares de valores son solución de: x + 2y = 2 a)  x = 1, y = 0,5 b)  x = -1, y = 1 c)  x = -2, y = 2 PRIMERO. Sustituimos x e y en las dos ecuaciones. ) " 1 + 2 ? 0,5 = 2 ) ) " -2 + 2 ? 2 = 2 ) a) x + 4y = 3   x=1 1 + 4 ? 0,5 = 3 c)  x + 4y = 3   x = -2 -2 + 4 ? 2 = 6 x + 2y = 2 y = 0,5 x + 2y = 2 y=2 ) " -1 + 2 ? 1 = 1) b) x + 4y = 3   x = -1 -1 + 4 ? 1 = 3 x + 2y = 2 y=1 SEGUNDO. Comprobamos si los resultados obtenidos coinciden con los términos independientes en las dos ecuaciones. Si es así, el par de valores es solución del sistema. ) "  Es solución.   ) "  No es solución.   ) "  No es solución. a) 3 = 3 b) 3 = 3 c) 6 ! 3       2=2 1!2 2=2 1. RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Resuelve este sistema utilizando el método de sustitución: 3x - 2y = 113 2x + y = 5 3 3 PRIMERO. Despejamos una de las incógnitas. 2x + y = 5 " y = 5 - 2x Elegimos la incógnita más fácil de despejar, 3x - 2y = 11 3x - 2y = 11 en este caso la y de la primera ecuación. y = 5 - 2x SEGUNDO. Sustituimos la expresión obtenida 3x - 2y = 11  "  3x - 2(5 - 2x) = 11 en la otra ecuación, y resolvemos la ecuación " 3x - 10 + 4x = 11 " 3x + 4x = 11 + 10 que resulta. 21 " 7x = 21 " x = 7 = 3 x=3 TERCERO. Calculamos el valor de la otra incógnita, 2x + y = 5 "2?3+y=5"6+y=5 sustituyendo el valor obtenido en cualquiera " y = 5 - 6 = -1 de las dos ecuaciones. La solución del sistema es: x = 3, y = -1. 112294758 _ 0104-0117.indd 112 13/06/12 11:21
  • 2. RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN Resuelve este sistema utilizando el método de igualación:  3 2x + y = 5 3x - 2y = 11 PRIMERO. Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita más fácil de despejar, en este caso la y. 2x + y = 5 " y = 5 - 2x 4 3x - 11 4 3x - 2y = 11 " y = 2 SEGUNDO. Igualamos las expresiones obtenidas, y resolvemos la ecuación que resulta. 3x - 11 5 - 2x = " 2 ? (5 - 2x) = 3x - 11 2 " 10 - 4x = 3x - 11 " 10 + 11 = 3x + 4x " 21 = 7x 21 "x= 7 =3 TERCERO. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones. x=3 2x + y = 5 "2?3+y=5 "6+y=5 " y = 5 - 6 = -1 La solución del sistema es: x = 3, y = -1. Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 2.  scribe un sistema de ecuaciones lineales con E  1.  n el sistema de ecuaciones lineales E  dos incógnitas. -x + 2y = 5 3, indica: 2x + y = 10 Resolver un sistema por sustitución 3.  esuelve el sistema: x - y = 13, por el método x+y = 7 a) Las incógnitas. R  b)  os coeficientes de x e y y los términos L de sustitución. independientes. Resolver un sistema por igualación 1. En el sistema de ecuaciones lineales 4.  i igualamos los valores de y en este sistema: S  3 2x - y = 0 3, ¿qué ecuación obtenemos? x+y = 7 x + y = 12 x - y = 1 , indica: a) Las incógnitas. 2. Resuelve el sistema: x - y = 13, por el método x+y = 7 b) Los coeficientes de x e y. c) Los términos independientes. de igualación. 113294758 _ 0104-0117.indd 113 13/06/12 11:21
  • Actividades ecuaciones lineales. sistemas 42. ● ¿Son los valores x = -2, y = -1 soluciones de estos sistemas de ecuaciones? 3 36. ● Identifica cuáles de las siguientes ecuaciones a) x + y = 3 son ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2x - y =-1 a) x + 2y = 4 f) x2 = y 3 b) 3x - 2y =-5 b) x + y = 0 g) x + y = y x - 2y = 0 c) x + y = x h) -x = 2y 3 c) x + 2y =-3 d) 2(x - y) = 3x i) x ? y = 8 x - 2y =-4 x-y x2 3 e) = 3 j) =8 d) x + 2y =-3 5 y -x - 2y = 4 37. ● Dada la ecuación 2x - 3y = 7, di cuál es 3. ● Decide si los siguientes valores son solución de su solución. este sistema de ecuaciones: a) x = 1, y = 5 b) x = 5, y = 1 3 2x - 4y =-10 38. ● ¿Cuáles de estas ecuaciones tienen como -x + 2y = 5 solución x = -1, y = 3? a) x = 2, y = -1 y b) x = 3, y = 4 a) 3x + y = 3 c) 3x - = 0 3 c) x = -2, y = 2 x y b) 3x - y = 0 d) - = 1 3 9 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS 39. ●● Escribe tres ecuaciones lineales con dos DE ECUACIONES incógnitas que tengan como solución x = 2, y = -1. 40. ●● Comprueba que si x = 2, y = -3 es solución 44. ● Resuelve por el método de sustitución de una ecuación, también lo será de la ecuación los sistemas de ecuaciones. que resulta al: 3 a) x + 3y = 4 a) Sumar 8 en los dos miembros. 2x - 3y =-1 b) Restar 10 en los dos miembros. 3 b) x - 2y = 1 c) Multiplicar los dos miembros por 3. 2x + 2y = 8 d) Dividir los dos miembros entre 5. 3 c) 2x + 3y = 7 x - 3y = 0 41. ●● Comprueba que x = 2, y = 1 es solución 3 de las ecuaciones. d) 5x + 3y = 16 3x - 3y = 0 a) 3x + 2y = 8 3 3 e) x - y = 5 b) x + y = 4 2x + y = 1 2 3 c) 9x + 6y = 24 f) x + 4y = 9 3x - 6y = 9 d) 12x + 8y = 32 3 g) 5x - 3y = 1 e) 15x + 10y = 40 4x + 3y = 11 3 1 3 h) 3x - 2y = 5 f) x + y = 2 4 2 4x + 2y = 14 g) 6x + 4y = 16 3 i) x + 2y = 5 2 8 x + 2y = 6 h) x + y = 3 3 3 j) x + 3y = 5 ¿Encuentras alguna relación entre ellas? x - 3y = 1 114294758 _ 0104-0117.indd 114 13/06/12 11:21
  • 45. ● Resuelve estos sistemas por sustitución. 49. ● Resuelve  por el método más adecuado.  3 a) x + y = 0 3 a) x = 3y + 2 2x - 5y = 5 x - y =-10 3 b) 2x - 5y = 1 3 b) x = 1-y 3x + 2y =-1 -x + 4y = 4 3 c) 3x + 4y =-2 3 c) 2x + 5y = 11 5x - 3y =-19 2x + 3y = 0 3 d) 4x + y = 6 d) 4x - 2y =-2 3 5x + 3y = 6 -x - y = 0 3 e) -2x - 3y =-7 e) -3x + 7y =-44 3 2x - 9y = 38 5x + 3y =-2 f) x - 5y = 6 f) 4x + 2y = 18 3 3 2x + 3y = 11 x + 4y = 15 46. ● Resuelve por el método de igualación 50. ● ● Resuelve por el método más adecuado. los sistemas de ecuaciones. 3 a) x + y = 2 x-y = 6 3 b) 2x + 3y = 4 2x - 3y = 4 3 c) x + 2y = 5 2x + 5y = 11 3 d) 2x + 3y = 8 x + 2y = 3 e) 3 x + 3y = 9 20x - 3y =-4 3 f) 2x - 3y =-25 47. ● Resuelve estos sistemas por igualación. 12x - 3y = 75 3 a) 3x + 2y = 7 g) x + 2y = 5 4x - 3y = 15 3 2x + 2y = 7 3 b) 2x - 3y = 13 h) 5x - 5y = 23 3x - 6y = 12 3 -9x + 5y = 13 3 c) 2x + 4y = 6 3x + 7y = 5 51. ● ● Resuelve por el método más adecuado. 3 d) x + 5y = 13 a) x - 3y = 4 3 2x - 5y =-23 2x - 5y = 8 3 3 e) 2y - 7x = 3 b) 3x + y = 3 3x + 7y = 43 6x - y = 0 3 f) 3x + 5y = 11 c) 4x - 5y = 10 3 2x + 5y = 29 2x + 7y =-4 3 d) x - 3y = 13 4. ● Resuelve por el método de sustitución 5x - 2y = 26 los sistemas planteados en el ejercicio anterior 3 e) 8x + 14y =-6 y comprueba que obtienes el mismo resultado. x + 14y = 0 115294758 _ 0104-0117.indd 115 13/06/12 11:22
  • 5. ●● Resuelve estos sistemas. HAZLO ASÍ 2 a) 15x - 4y = 65 ¿CÓMO SE RESUELVEN SISTEMAS DE ECUACIONES 8x - 3y = -12 CON PARÉNTESIS? 2 b) 5x - 2y = 22 8. Resuelve este sistema de ecuaciones: 4x - 5y = 4 2 2x + 3y = 15 2 c) 8x + 17y = 10 (x - y) = 5 3 -x +   5y = 13 PRIMERO. Se eliminan los paréntesis. 2 2 HAZLO ASÍ 2x + 3y = 15 2x + 3y = 15 (x - y) = 5 " 3x - 3y = 5 3 ¿Cómo se expresan las ecuaciones de un sistema en su forma general ax + by = c? SEGUNDO. Se resuelve el sistema que resulta por cualquiera de los métodos de resolución. 6. Expresa las ecuaciones de este sistema en su forma general: En este caso, utilizamos el método de sustitución. 2 2 x + 1 = 5 - 2y 15 - 3y 2"x= 2x + 3y = 15 2(x + y) = 15 - 2y 3x - 3y = 5 2 3x - 3y = 5 PRIMERO. Se eliminan los paréntesis. 15 - 3y 15 - 3y "  3 e o - 3y = 5 x= 2 2" 2 x + 1 = 5 - 2y x + 1 = 5 - 2y 3x - 3y = 5  2(x + y) = 15 - 2y 2x + 2y = 15 - 2y 2 45 - 9y SEGUNDO. En la primera ecuación, se agrupan " - 3y = 5 las incógnitas en un miembro, y los números en 2 el otro. 45 - 9y " = 5 + 3y 2" 2 x + 1 = 5 - 2y x + 1 + 2y = 5 2 2x + 2y = 15 - 2y 2x + 2y = 15 - 2y Como se obtiene una ecuación con denominadores, " 2x + 2y = 15 - 2y2 x + 2y = 5 - 1 multiplicamos el segundo miembro por 2. 45 - 9y = 5 + 3y " 45 - 9y = 2(5 + 3y) " 2x + 2y = 15 - 2y2 x + 2y = 4 2 " 45 - 9y = 10 + 6y " 45 - 10 = 6y + 9y TERCERO. En la segunda ecuación, se agrupan 35 7 las incógnitas en un miembro, y los números en " 35 = 15y " y = 15 = 3 el otro. 7 "  2x + 3 d n = 15 y= 3 7 2 2 x + 2y = 4 x + 2y = 4 2x + 3y = 15  2x + 2y = 15 - 2y " 2x + 2y + 2y = 15 3 " 2x + 7 = 15 " 2x = 15 - 7 " 2x = 8 " x = 4 " 2x + 4y = 152 x + 2y = 4 7 La solución del sistema: x = 4, y = 3 7. ●● Expresa las ecuaciones de estos sistemas en 9. ● ● Resuelve estos sistemas de ecuaciones con su forma general. paréntesis. 2 a) 5(x - 4) -y = 140 2 2x - y = -12 a) x-y=5 2(7x - 4y) = 58 2 b) 5x - 4(y + 6) = -75 2 x - 3(y + 5) = 250 b) 3(x - 2) + y = 8 2x - 3y = 13 1 4 c) (4x - 6) + 2 = 5y - 3 2 2 c) 4x - 3(y + 2) = -16 4x - 2y + 1 = 1 - 3y + 7x 2x + 3y = 4 116294758 _ 0104-0117.indd 116 13/06/12 11:22
  • 53. ●●● Resuelve estos sistemas. 55. ● ● Expresa mediante una ecuación lineal con dos incógnitas estos enunciados, e indica 3 a) 2x + 3y = 5 + x + 2y x - 2y - 3 = 3 - 4y qué representan las incógnitas. a) La suma de dos números es 15. 3 b) 2y - x - 1 = 4 - y - 2x 2x - y = 1 + x b) La mitad de un número más el doble de otro es igual a 52. 3 c) 3y - 2 = x - 2 ? (x + y) c) La diferencia entre las edades de un padre (x + 4) + 2 ? (y - 2) = 18 - x - y y un hijo es 28 años. 3 d) 3x - 2 (y - 1) = y - x + 1 d) He recorrido 20 km más que tú. 2x - y = x + y - 9 e) Tengo 16,50 € en monedas de 1 € y 50 céntimos. f) El precio de 2 kg de naranjas y 3 kg PROBLEMAS CON SISTEMAS de manzanas es 5,80 €. g) Dos bocadillos y tres refrescos cuestan 14 €. HAZLO ASÍ h) El perímetro de un rectángulo es 32 m. ¿CÓMO SE EXPRESAN CIERTOS ENUNCIADOS i) El triple de un número más el doble de otro es 28. MEDIANTE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS? j) Me he gastado 3,50 € en tu cuaderno y 1,25 € en un bolígrafo. 54. Expresa mediante ecuaciones con dos incógnitas estos enunciados. k) Dos lápices y tres cuadernos cuestan 13,50 €. a) La suma de dos números es 33. b) Cuatro sillas y una mesa cuestan 260 €. 56. ● ● Asocia a cada ecuación de la actividad c) Jaime pesa 22 kg más que su perro. anterior otra ecuación que resulte del mismo d)  l ancho de un rectángulo es el doble que E apartado en esta actividad. Calcula la solución su altura. del sistema de ecuaciones lineales que forman. PRIMERO. Seasigna una incógnita a cada dato a) Su diferencia es 1. desconocido. b) La cuarta parte del primer número más la tercera parte del segundo es 16. Datos desconocidos Incógnitas c) La edad del padre es cinco veces la del hijo. Dos números x, un número d) He recorrido el doble de distancia que tú. y, el otro número e) El número de monedas es 23. Precio de una silla x, precio de una silla f) El kilo de naranjas vale 40 céntimos más y una mesa y, precio de una mesa que el de manzanas. Peso de Jaime x, peso de Jaime g) Los bocadillos cuestan el doble que y su perro y, peso del perro los refrescos. Ancho y altura x, ancho h) La altura es tres quintas partes de la base. de un rectángulo y, altura 57. ● ● Ana tiene 5 cromos más que Juan y entre SEGUNDO. Se relacionan los datos conocidos los dos suman 59 cromos. ¿Cuántos cromos y desconocidos mediante una igualdad. tiene cada uno? a) La suma de dos números es 33 " x + y = 33 b) 4 sillas y 1 mesa cuestan 260 € " 4x + y = 260 c) Jaime pesa 22 kg más que su perro " x + 22 = y d) El ancho es el doble que la altura " x = 2y 10. ●● Expresa estos enunciados mediante ecuaciones con dos incógnitas. a) El producto de dos números es 45. 58. ● ● En la clase de Alicia hay 21 alumnos, siendo b) La suma de un número y el doble de 7 chicos más que chicas. ¿Cuántos alumnos otro número es 20. y alumnas hay en la clase? 117294758 _ 0104-0117.indd 117 13/06/12 11:22
  • 8 Proporcionalidad numérica Cuando el verde es rojo El joven de 26 años, John Dalton, era consolado por su hermano mayor, Jonathan, mientras paseaban por la ciudad inglesa de Kendal. –John, no te lo tomes tan a pecho. Seguro que mamá no quiso ofenderte. John no parecía muy convencido y miraba incrédulo la prenda que había regalado a su madre, y que esta le había devuelto visiblemente enfadada. –No entiendo por qué no le gusta, el dependiente me aseguró que el paño era de primera calidad. –Ya sabes que mamá es muy religiosa y el color DESCUBRE rojo... –le contestó su hermano Jonathan. LA HISTORIA... –Tú tampoco te habías dado cuenta –protestó John 1. John Dalton y su y, mientras arrojaba la prenda escarlata al río, hermano padecían comenzó a pensar: ¿Por qué su hermano y él mismo una enfermedad en no podían distinguir los colores? la vista que después fue conocida como Dos años después, en 1793, John Dalton publicaba daltonismo. Busca un trabajo donde se describía el tipo de enfermedad información sobre que él mismo sufría, conocida a partir de entonces la vida de este como daltonismo. químico inglés nacido en el siglo XVIII. Dalton adquirió fama y pasó a la historia de la ciencia por su teoría atómica, donde juega 2. Averigua cómo utilizó la proporcionalidad un papel fundamental la proporcionalidad John Dalton en numérica. sus trabajos sobre Por ejemplo, una molécula de agua tiene dos átomos teoría atómica. de hidrógeno y uno de oxígeno. Su teoría afirma 3. Investiga sobre otras que, independientemente de la cantidad de agua, aportaciones la cantidad de átomos de hidrógeno y oxígeno a la ciencia realizadas estará siempre en la misma proporción. por John Dalton.294758 _ 0118-0133.indd 118 13/06/12 11:21
  • Antes de empezar la unidad... FRACCIONES a Una fracción es una expresión, , donde a y b son números enteros llamados numerador, a, b y denominador, b, con b ! 0. a Una fracción expresa el cociente entre dos números, a y b. Para calcular su valor se divide b el numerador entre el denominador. Fracciones equivalentes 2 es una fracción, mientras a c a c 3 Dos fracciones, y , son equivalentes, y se escribe = 1,2 b d b d que no lo es, tan solo 3 cuando representan la misma cantidad. representa la división entre a c dos números. Si = , se cumple que a ? d = b ? c. b d 4 2 4 2 = , ya que 4 ? 3 = 6 ? 2 " y son equivalentes. 6 3 6 3 7 4 7 4 ! , ya que 7 ? 3 ! 5 ? 4 " y no son equivalentes. 5 3 5 3 Fracción de una cantidad Para calcular la parte de una cantidad que representa una fracción, multiplicamos la cantidad por el numerador de la fracción y dividimos entre el denominador. 3 3 ? 150 de 150 = = 90 5 5 EVALUACIÓN INICIAL 1 Expresa estas fracciones como cociente y halla el resultado. 15 5 PLAN DE TRABAJO a) c) 5 10 En esta unidad 1 77 aprenderás a… b) d) 8 11 •  Calcular el término desconocido 1. Decide si estas fracciones son equivalentes. en una proporción. 2 8 8 2 a) y c) y •  Reconocer 3 12 20 5 magnitudes directa 7 3 7 11 e inversamente b) y d) y 5 2 3 9 proporcionales. 3. Calcula. •  Aplicar las reglas de tres simples 2 6 a) de 60 c) de 80 directas e inversas. 5 4 •  Resolver problemas 4 7 b) de 120 d) de 140 de porcentajes. 3 4 119294758 _ 0118-0133.indd 119 13/06/12 11:21
  • Magnitudes directamente 3 proporcionales ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye una tabla numérica A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición. Número 1 2 3 4 Su doble 1?2=2 2?2=4 3?2=6 4?2=8 Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores: y su valor, expresarlo con un número. Magnitud A a1 a2 a3 … m La distancia o el tiempo son Magnitud B b1 b2 b3 … n magnitudes. Si al dividir los valores correspondientes de ambas magnitudes, el resul- tado es el mismo: a1 a2 a3 m = = =…= =k b1 b2 b3 n decimos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales. EJEMPLO 5 En una pastelería se venden rosquillas a 8 €/kg. Forma una tabla en la que se relacione el precio de las rosquillas con el peso, y estudia si las magnitudes son directamente proporcionales. ?3 ?2 :2 F F F Peso (kg) 1 2 3 … 6 … Precio (€) 8 16 24 … 48 … F F F ?2 :2 ?3 Al multiplicar (o dividir) el peso de las rosquillas por un número, el precio queda multiplicado (o dividido) por ese número. Además, se cumple que: 1 2 3 6 = = = = 0,125 8 16 24 48 Por tanto, las magnitudes Peso y Precio son directamente proporcionales. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Una revista cuesta 4,20 €. ¿Son directamente 8 «Un sobre de cromos cuesta 1,50 €.» proporcionales las magnitudes Indica las magnitudes que intervienen, N.º de revistas y Precio? y decide si son directamente proporcionales. 120294758 _ 0118-0133.indd 120 13/06/12 11:21
  • Problemas de 4 proporcionalidad directa 4.1  Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa es un procedimiento para hallar una can- tidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones •  Si la incógnita está en el numerador. Se multiplica por el denominador de la otra fracción. x 2 18 ? 2 F =   " x ? 3 = 18 ? 2  " x = = 12 18 3 3 F Pasa dividiendo •  Si la incógnita está en el denominador. Se multiplica por el numerador de la otra fracción. 18 45 24 ? 45 F =   " 18 ? x = 24 ? 45  " x = = 60 24 x 18 F Pasa dividiendo EJEMPLO En general, para resolver 6 Para hacer 3 marcos iguales, Luisa ha utilizado 2,79 m de listón. una regla de tres simple directa, ¿Cuántos metros de listón necesitará para hacer 4 marcos? aplicamos el siguiente cálculo: N.º de marcos 3 6 9 … 2,79 5,58 8,37 a  "  b a b c?b   "  = = = 0,93 c  "  x " = "x= Listón (m) 2,79 5,58 8,37 … 3 6 9 c x a Las magnitudes son directamente proporcionales. N.º de marcos Metros de listón necesitamos Si para 3 marcos  "  2,79 m de listón necesitaremos Si para 4 marcos  "  x m Calculamos el valor desconocido: 3 2,79 4 ? 2,79 4 = x " 3 ? x = 4 ? 2,79 " x = 3 = 3,72 m LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. 1 Para pintar 4 m2 de pared necesitamos 5 kg ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar de pintura. ¿Cuántos kilos necesitaremos para 1 000 tornillos? pintar 6 m2? 11 Al traducir un libro cobro 6 € por página. Si me han pagado 2 532 €, ¿cuántas páginas 12 Una familia bebe 2,5 litros de leche diarios. he traducido? ¿Cuántos litros consume a la semana? 121294758 _ 0118-0133.indd 121 13/06/12 11:21
  • Magnitudes inversamente 5 proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi- plicada) por ese mismo número. Consideramos A y B dos magnitudes con estos valores: Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n Si los valores de ambas magnitudes cumplen que: Las magnitudes A y B son a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k inversamente proporcionales decimos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. si se cumplen estas igualdades: EJEMPLO Magnitud A a1 a2 a3 … m Magnitud B b1 b2 b3 … n 8 Un pintor tarda 48 días en pintar una casa. Forma una tabla que relacione el número de pintores con los días, a1 b2 a3 b4 =       = ... y estudia si las magnitudes son inversamente proporcionales. a2 b1 a4 b3 ?3 ?2 :2 F F F N.º de pintores 1 2 3 … 6 … N.º de días 48 24 16 … 8 … F F F :2 ?2 :3 En este caso, al multiplicar (o dividir) el número de pintores por un número, el número de días queda dividido (o multiplicado) por ese mismo número. Además, se cumple que: 1 ? 48 = 2 ? 24 = 3 ? 16 = 6 ? 8 = 48 Las magnitudes N.º de pintores y N.º de días son inversamente proporcionales. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Comprueba si estas dos magnitudes son 15 Copia y completa la siguiente tabla de valores inversamente proporcionales. inversamente proporcionales. Magnitud A 2 4 6 8 Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 6 3 2 1,5 Magnitud B 24 8 6 16 ¿Son inversamente proporcionales? 14 Dieciocho obreros realizan un trabajo a) Velocidad y tiempo empleado. en 30 días. Copia y completa la tabla. b) Edad y estatura de una persona. N.º de obreros 3 9 18 36 72 c) Consumo de electricidad y horas de luz solar. N.º de días 30 d) Espacio recorrido y tiempo empleado. 122294758 _ 0118-0133.indd 122 13/06/12 11:22
  • Problemas de 6 proporcionalidad inversa 6.1  Regla de tres simple inversa La regla de tres simple inversa es un procedimiento para hallar una can- tidad desconocida a partir de otras cantidades conocidas, correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos Si un término está multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro dividiendo. EJEMPLO 1 Despeja la incógnita. 28 ? 6 168 a) 14 ? x = 28 ? 6 " x = " x = 14 = 12 14 25 ? 3 75 b) 25 ? 3 = 15 ? x " =x"x= =5 15 15 En general, para resolver una regla de tres simple inversa, aplicamos el siguiente cálculo: EJEMPLO a  "  b a x a?b 9 Un tren, a una velocidad de 90 km/h, tarda 2 h en realizar un trayecto. c  "  x " = "x= c b c ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 75 km/h? Velocidad (km/h) 90 180 45 … "  90 ? 2 = 180 ? 1 = 45 ? 4 = 180 Tiempo (h) 2 1 4 … Las magnitudes Velocidad y Tiempo son inversamente proporcionales. Velocidad Tiempo tarda Si a 90 km/h  "    2 h tardará Si a 75 km/h  "    x h En este caso, por ser las magnitudes inversamente proporcionales, tomamos la inversa de la segunda fracción:  90 x 90 ? 2 = " 90 ? 2 = 75 ? x " x = = 2,4 h 75 2 75 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Un grifo que vierte 18 ℓ/min tarda 28 horas 19 Un coche recorre un trayecto a 90 km/h para llenar un depósito. Si su caudal fuera en 8 horas. ¿A qué velocidad iría si tardase de 42 ℓ/min, averigua el tiempo que tardaría 9 horas? en llenarlo. Resuélvelo: 3 Si 9 pintores tardan 26 horas en pintar a) Mediante una regla de tres. la fachada de un edificio, ¿cuánto tardarán 6 pintores? b) Por el método de reducción a la unidad. 123294758 _ 0118-0133.indd 123 13/06/12 11:22
  • 7 Porcentajes El tanto por ciento de una cantidad, cuyo símbolo es %, significa que de cada 100 partes de esa cantidad tomamos el tanto indicado. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. t a t % de C = ?C a % = 100 100 65 65 %  "  = 0,65 ANTES, DEBES SABER… 100 23,5 Cómo se divide por la unidad seguida de ceros 23,5 %  "  = 0,235 100 Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad. 345 : 100 = 3,45     56,7 : 100 = 0,567 EJEMPLOS 11 Completa la tabla. Porcentaje Se lee Significa El 25 % de los Veinticinco De cada 100 españoles, 25 % españoles son niños por ciento 25 son niños Gasto el 36 % de Treinta y seis De cada 100 € que gasto, 36 % mi sueldo en comida por ciento 36 € son en comida 12 Calcula el 30 % de 200. 30 30 % de 200 = ? 200 = 60 " El 30 % de 200 es 60. 100 En los problemas de porcentajes intervienen magnitudes directamente pro- porcionales; por tanto, se pueden resolver mediante una regla de tres directa. EJEMPLO 13 El 40 % de los 355 alumnos de un instituto son chicos. ¿Cuántos chicos hay? Alumnos Chicos hay Si de 100 alumnos  " 40 chicos 3" x = 355 ? 40 habrá = 142 Si de 355 alumnos  " x chicos 100 En el instituto hay 142 chicos. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Calcula. 22 Halla el valor de x, sabiendo que: a) 7 % de 420 b) 15 % de 4 000 a) 30 % de x es 20 b) 4,5 % de x es 152 124294758 _ 0118-0133.indd 124 13/06/12 11:22
  • Problemas 8 con porcentajes En los porcentajes aparecen siempre tres cantidades relacionadas: el tanto CALCULADORA por ciento, que llamaremos t, la cantidad total, C, y la parte, A. t % de C = A Para calcular el tanto por ciento de una cantidad utilizamos la tecla %  . 8.1  Cálculo de la parte, conocidos el porcentaje y el total 16 000 # 12 % 1920 Para calcular la parte, conociendo el tanto por ciento, t, y la cantidad total, C, resolvemos esta regla de tres simple directa: tomo Si de 100 "  t 2" 100 t C ?t de C tomaré = " x = 100 "  x C x EJEMPLOS 14 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento del 12 %. ¿A qué cantidad equivale el descuento? Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y el tanto por ciento, t = 12. Tenemos que calcular el tanto por ciento de esa cantidad. le descuentan Si de 100 €  "  12 € 3" x = 16 000 ? 12 le descontarán = 1 920 Si de 16 000 €  "  x € 100 El descuento es de 1 920 €. 15 De las 4 075 personas que asistieron a una exposición, el 52 % eran jóvenes menores de 35 años. ¿Cuántas personas menores NO OLVIDES de 35 años asistieron? A Conocemos la cantidad total, C = 4 075, y el tanto por ciento, t = 52. Para calcular la parte: hay tomo Si de 100 personas  "  52 jóvenes 4 075 ? 52 Si de 100 "t habrá 3" x = = 2 119 de C tomaré Si de 4 075 personas  "  x jóvenes 100 "  A C?t A la exposición asistieron 2 119 personas menores de 35 años. de donde: A = 100 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Carlos paga de impuestos un 22 % de su salario. 27 Carmen gasta el 26 % de su sueldo en comida Si este año sus ingresos ascienden a 25 500 €, y el 35 % en pagar el alquiler. ¿cuánto tendrá que pagar de impuestos? Si gana 1 500 € al mes, ¿cuánto se gasta ¿Qué cantidad neta ha cobrado? en cada concepto? 26 En la carta de un restaurante los precios no incluyen el 8 % de IVA. Un cliente 4 Una ciudad tenía hace dos años 135 000 ha comido una ensalada que cuesta 3,16 €, habitantes. Si en estos dos últimos años un lenguado cuyo precio es 6,25 € la ciudad ha perdido el 8 % de su población, y un postre de 4,78 €. ¿Cuánto pagará ¿cuántos habitantes tiene en la en total el cliente? actualidad? 125294758 _ 0118-0133.indd 125 13/06/12 11:22
  • 8.2  Cálculo del porcentaje, conocidos el total y la parte NO OLVIDES Para calcular el porcentaje, conociendo la cantidad total, C, y la parte, A, t resolvemos esta regla de tres simple directa: Para calcular el porcentaje: tomo Si de C "  A 3" tomo C A 100 ? A Si de C "  A tomaré 100 = x "x= C de 100 tomaré "  t de 100 "  x 100 ? A de donde: t = C EJEMPLO 16 Luisa compra un coche por 16 000 € y le hacen un descuento de 1 920 €. ¿Qué porcentaje le descuentan? Conocemos la cantidad total, C = 16 000, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular el porcentaje. le descuentan Si de 16 000 €  "  1 920 € 3" x = 100 ? 1920 le descontarán = 12 Si de 100 €  "  x € 16 000 El porcentaje de descuento ha sido del 12 %. 8.3  Cálculo del total, conocidos el porcentaje y la parte NO OLVIDES Para calcular el total, conociendo el porcentaje, t, y la parte, A, resolve- C mos esta regla de tres simple directa: Para calcular el total: tomo Si de 100 "  t 3" tomo 100 t 100 ? A Si de 100 "  t tomaré = "x= t tomaré de x "  A x A de C "  A 100 ? A de donde: C = t EJEMPLO 17 Luisa compra un coche. Si le hacen un descuento del 12 %, que equivale a 1 920 €, ¿cuál es el precio del coche? Conocemos el porcentaje, t = 12, y la parte, A = 1 920. Tenemos que calcular la cantidad total. le descuentan Si de 100 €  "  12 € 3" x = 100 ? 1920 le descontarán = 16 000 Si de x €  "   1 920 € 12 El precio del coche es de 16 000 €. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Ana trabaja desde hace 10 años en una empresa 29 ¿Cuál era el precio de un ordenador que está dedicada a la investigación. Este mes, la empresa rebajado un 18 % si me ha costado 900 €? ha decidido dar una paga complementaria a sus empleados según su antigüedad en la empresa. 6 Me han hecho un 22 % de descuento en Ana ha cobrado 235 €, lo que supone el 15 % una cámara de fotos y me he ahorrado 44 €. de su salario. ¿Cuál es el salario de Ana? ¿Cuál es el precio de la cámara? 126294758 _ 0118-0133.indd 126 13/06/12 11:22
  • 8.4  Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar una cantidad un t % equivale a calcular el (100 + t) % de •  dicha cantidad. Disminuir una cantidad un t % equivale a calcular el (100 - t) % •  de dicha cantidad. EJEMPLOS 18 El precio del gasoil ha subido un 9 %. Si costaba 0,99 €/¬, NO OLVIDES ¿cuánto costará ahora? Al aumentar un 9 %, lo que antes valía 100 céntimos de euro, ahora cuesta Si de 100 " (100 + aumento) 100 + 9 = 109 céntimos. de precio " Precio aumentado Aplicando una regla de tres simple directa: Precio Precio ? (100 + aumento) = Antes Ahora aumentado 100 100 céntimos  "  109 céntimos 3 x = 99 ? 109 = 107,91 " 100 199 céntimos  " x céntimos  El litro de gasoil cuesta ahora 107,91 céntimos de euro, es decir, 1,079 €/¬. 19 Una cámara de vídeo cuesta 650 €, pero el vendedor me hace NO OLVIDES una rebaja del 20 %. ¿Cuánto tengo que pagar? Si de 100 " (100 - disminución) Al disminuir un 20 %, lo que antes valía 100 €, ahora cuesta de precio " Precio disminuido 100 - 20 = 80 €. Precio Precio ? (100 - disminución) Aplicando una regla de tres simple directa: = disminuido 100 Antes Ahora 100 €  " 80 € 3 " x = 650 ? 80 = 520 650 €  " x € 100 Tengo que pagar 520 €. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 La paga mensual de Sara es de 50 €. 7 El precio de un videojuego ha bajado un 14 % Si sus padres le han subido la paga un 10 %, respecto al año pasado. Si costaba 67,26 €, ¿cuánto percibe ahora? ¿cuánto cuesta este año? 33 A Juan le han puesto una multa de 90 € por 8 Un ramo de flores cuesta 60 € y en Navidad exceso de velocidad. Transcurrido el período sube un 8 %. ¿Cuánto cuesta el ramo en voluntario de pago, ahora se le añade un 20 % Navidad? de recargo. ¿Cuánto tendrá que pagar? 34 Un fabricante de calzado vende sus zapatos al 120 % del precio que le cuesta fabricarlos. Si el coste de fabricación de unos zapatos es de 14 €, ¿por cuánto los venderá? 127294758 _ 0118-0133.indd 127 13/06/12 11:22
  • Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitudes directamente proporcionales Magnitudes inversamente proporcionales ?3 ?3 :2 ?2 :2 ?2 F F F F F F Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 5 10 20 30 Magnitud B 24 12 6 4 F F F F F F :2 ?2 ?2 :2 ?3 :3 1 2 4 6 = = = = 0,2 " 1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4 = 24 5 10 20 30 HAZLO DE ESTA MANERA 1. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES 2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES PROPORCIONALES Un bolígrafo cuesta 1,25 €. ¿Existe relación de Una imprenta tarda en imprimir un libro proporcionalidad directa entre el número 12 minutos. Si fueran 2 imprentas se tardaría de bolígrafos comprados y el precio total? 6 minutos… ¿Existe relación de proporcionalidad inversa? PRIMERO. Construimos una tabla con los valores de las dos magnitudes. PRIMERO. Construimos una tabla con los valores de las dos magnitudes. N.º de bolígrafos 1 2 3 4 … Precio (€) 1,25 2,50 3,75 5 … N.º de imprentas 1 2 3 4 … Tiempo (min) 12 6 4 3 … SEGUNDO. Las magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de SEGUNDO. Las magnitudes son inversamente los datos correspondientes es constante. proporcionales si el producto de 1 2 3 4 los datos correspondientes es constante. = = = = 0,8 1,25 2,50 3,75 5 1 ? 12 = 2 ? 6 = 3 ? 4 = 4 ? 3 = 12 3. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS Manuel ha tardado 2 horas en escribir 6 páginas. ¿Cuántas páginas escribirá en 6 horas? PRIMERO. Identificamos las magnitudes Las magnitudes N.° de páginas y Tiempo y averiguamos si existe relación son directamente proporcionales. de proporcionalidad directa entre ellas. ha escrito Si en 2 horas  "  6 páginas escribirá 3 SEGUNDO. Planteamos la regla de tres. en 6 horas  "  x páginas TERCERO. Resolvemos la regla de tres. 2 6 6?6 = "x= = 18 páginas 6 x 2 128294758 _ 0118-0133.indd 128 13/06/12 11:22
  • 4. RESOLVER PROBLEMAS MEDIANTE REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS Si 30 gallinas tardan 10 minutos en consumir un saco de pienso, ¿cuánto tardarán 50 gallinas? PRIMERO. Identificamos las magnitudes Las magnitudes N.° de gallinas y Tiempo y averiguamos si existe relación son inversamente proporcionales. de proporcionalidad inversa entre ellas. tardan Si 30 gallinas  "  10 min 3 tardarán SEGUNDO. Planteamos la regla de tres. 50 gallinas  "  x min 30 x 30 ? 10 TERCERO. Resolvemos la regla de tres. 50 = 10 " x = 50 = 6 min 5. HALLAR EL TÉRMINO DESCONOCIDO 6. CALCULAR AUMENTOS EN UN PROBLEMA DE PORCENTAJE Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Un jugador ha encestado 15 de 25 tiros libres. Un anillo que cuesta 80 € se ha rebajado ¿Cuál es su porcentaje de acierto? un 12 %. ¿Cuánto vale ahora? PRIMERO. Planteamos una regla de tres. PRIMERO. Determinamos el tanto por ciento. Aumentar un t % es calcular el (100 + t) %. •  3" Si de 25 tiros "  15 aciertos 25 15 = Disminuir un t % es calcular el (100 - t) %. •  de 100 tiros "  x aciertos 100 x Rebajar un 12 %  "  Calcular el (100 - 12) % SEGUNDO. Calculamos el término desconocido. SEGUNDO. Calculamos el tanto por ciento. 25 15 100 ? 15 88 100 = x " x = 25 = 60% (100 - 12) % de 80 = 100 ? 80 = 7,40 € Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras Resolver problemas mediante reglas 1. Copia y completa, decidiendo si son magnitudes de tres simples directas o inversas directa o inversamente proporcionales.  4. Con 40 vacas, Adela vende 750 ¬ de leche diariamente. Para vender 1 200 ¬, a) A 1 3 ¿cuántas vacas necesita? B 5 15 5. Para pintar un edificio en 30 días se ha previsto que se necesitarán 10 pintores. b) A 1 4 Si hubiera 15 pintores, ¿cuánto tardarían? B 160 40 Hallar el término desconocido en un problema de porcentaje Averiguar si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales 6.  1 500 alumnos, 1 200 practican deporte. De ¿Qué porcentaje de alumnos practica deporte? 2. Si con 150 g de almendras se hace un turrón de 200 g, ¿qué cantidad de almendras Calcular aumentos y disminuciones se necesita para preparar 75 g de turrón? porcentuales 3.  3 bombas de agua tardan 12 días en vaciar Si 7.  han aumentado la paga un 5 %. Si antes Me un depósito, ¿cuánto tardarán 4 bombas? me daban 15 €, ¿cuánto me darán ahora? 129294758 _ 0118-0133.indd 129 13/06/12 11:22
  • Actividades MAGNITUDES DIRECTAMENTE HAZLO ASÍ PROPORCIONALES ¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE 53. ●● Señala si son o no directamente PROPORCIONALES? proporcionales los siguientes pares de magnitudes. 11. Calcula los valores desconocidos de la siguiente a)  iempo de llenado de una botella y cantidad T tabla, sabiendo que los datos que aparecen de agua en su interior. corresponden a dos magnitudes directamente proporcionales. b)  úmero de personas que participan en N una excursión y dinero que pagan. Magnitud A 8 12 b c)  úmero de horas trabajadas y dinero cobrado. N Magnitud B 3 a 12 d) Edad y peso de una persona. e) Lado de un cuadrado y área. PRIMERO. Se establecen los cocientes entre f) Lado de un cuadrado y perímetro. cantidades correspondientes de ambas magnitudes, g)  úmero de obreros y duración de una obra. N incluyendo los valores desconocidos. h)  elocidad y tiempo en un movimiento V 8 12 8 b con velocidad constante. =       = 3 a 3 12 54. ● Comprueba si estas tablas corresponden SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos a magnitudes directamente proporcionales. despejando en la igualdad de fracciones. a)    3 9 6 30 3 ? 12 8 ? a = 3 ? 12 " a = = 4,5 5 15 10 50 8 8 ? 12 b)     1 2 4 5 8 ? 12 = 3 ? b " b = = 32 3 3 3 6 9 c) 55. ● Copia y completa la tabla, sabiendo que son 2 5 3 10 magnitudes directamente proporcionales. 4 10 6 20 a) Tiempo de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min d) 3 9 15 6 Páginas leídas 2 4 16 20 8 b) Tiempo e) 2 4 6 8 18 min 36 min 54 min 72 min de fabricación 10 30 20 10 N.º de objetos 4 fabricados 9. ●● Un coche consume 8 litros de combustible 56. ● ● Copia y completa las siguientes tablas, cada 100 kilómetros que recorre. Si las sabiendo que A y B representan magnitudes magnitudes son directamente proporcionales, directamente proporcionales. construye una tabla que relacione la cantidad de combustible que gasta y la distancia que recorre. a)    c) A 2 3 6 11 A 2 5 9 17 10. ●● Miguel lee 12 páginas de un libro al día. B 7 B 5 Si el número de páginas leídas y el tiempo son magnitudes directamente proporcionales, b)    d) A construye una tabla que relacione ambas A 5 7 9 16 3 4 10 13 magnitudes. B 4 B 9 130294758 _ 0118-0133.indd 130 13/06/12 11:22
  • MAGNITUDES INVERSAMENTE HAZLO ASÍ PROPORCIONALES ¿CÓMO SE CALCULA EL VALOR DESCONOCIDO EN DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE 57. ●● Estudia si la relación que existe entre estos PROPORCIONALES? pares de magnitudes es de proporcionalidad, y en caso de que lo sea, si es directa o inversa. 13. Calcula los valores desconocidos de esta tabla, a) Velocidad y tiempo en un movimiento sabiendo que los datos corresponden a dos con velocidad constante. magnitudes inversamente proporcionales. b) Espacio y tiempo en un movimiento Magnitud A 36 48 b con velocidad constante. Magnitud B 9 a 12 c) Número de personas que se reparten una tarta y porción que le toca a cada uno. d) Número de horas que un alumno ve PRIMERO. Se establecen los productos entre la televisión y número de horas de estudio. cantidades correspondientes de ambas magnitudes, incluyendo los valores desconocidos. e) Cantidad de dinero que ahorra una familia y cantidad de dinero que dedica a gastos 36 ? 9 = 48 ? a en comida. 36 ? 9 = b ? 12 f) Cantidad de aprobados y cantidad SEGUNDO. Se calculan los valores desconocidos de suspensos en una asignatura. despejando en la igualdad de productos. g) Número de albañiles y tiempo que tardan 36 ? 9 a= = 6,75 en construir una pared. 48 h) Número de personas que comen y cantidad 36 ? 9 de alimento. b= = 27 12 i) Número de personas que participan en la compra de un regalo y dinero que aporta 58. ● Copia y completa las siguientes tablas, cada uno. sabiendo que A y B representan magnitudes j) Número de jornaleros y tiempo que tardan inversamente proporcionales. en la recogida de aceituna. a)    b) A A 6 5 30 2 6 15 4 B 90 54 B 75 12. ● Comprueba si las siguientes tablas corresponden a valores de magnitudes inversamente proporcionales. 60. ● ● Copia y corrige estas tablas, si A y B son a) 2 magnitudes inversamente proporcionales. 1 4 8 a) 8 A 2 4 16 1,5 6,4 10 5 2,5 1,25 b) 3 B 8 4 2 0 10 2,5 1 2 4 2 4 6 8 b) A 10 15 20 25 30 35 c) 16 20 8 4 B 5 3 2,5 2 1,5 1,3 10 12,5 25 50 d) 15 5 10 20 PROBLEMAS DE 8 16 24 32 PROPORCIONALIDAD e) 8 14 10 4 61. ● En una fábrica de coches se hacen 380 unidades 5 7 8,75 17,5 cada 5 horas. ¿Cuántos coches se fabricarán en 12 horas, manteniendo el mismo ritmo? 131294758 _ 0118-0133.indd 131 13/06/12 11:22
  • 64. ● Ocho personas recogen las naranjas 72. ● ● Alicia y Antonio reparten propaganda. de un huerto en 9 horas. ¿Cuánto tardarían Los 5 paquetes de Alicia pesan 6 kilos. en hacerlo 6 personas? ¿Cuánto pesarán los 7 paquetes de Antonio? 73. ● ● La dueña de una pensión dispone de comida para alimentar a sus 18 huéspedes durante 12 días. Si vienen 6 huéspedes nuevos, ¿para cuántos días tendrán comida? 74. ● ● María escribe dos páginas en media hora. ¿Cuántas páginas escribirá en 3 horas? ¿Y cuánto tiempo tardará en escribir 84 páginas? 78. ● ● He pagado 60 € por el abono de piscina 65. ● De un manantial hemos recogido 200 litros de de este verano, pero solo puedo asistir 45 días. agua en 4 minutos. ¿Cuántos litros obtendremos Si la entrada normal cuesta 1,25 € al día, en 7 minutos? ¿me ahorraré dinero comprando el abono? 66. ● Tres caballos consumen una carga de heno 79. ● ● En la tabla se muestra la oferta en 10 días. ¿Cuánto les durará la misma cantidad de unos grandes almacenes al adquirir de heno a 5 caballos? un determinado número de litros de leche. ¿Son directamente proporcionales el obsequio 67. ● Cuatro excavadoras han levantado las aceras y la compra? de una calle en 14 días. Para hacerlo en 7 días, Litros comprados 40 55 75 100 ¿cuántas excavadoras se necesitarían? Litros obsequiados 1 2 3 5 68. ●● Para hacer dos camisas se utilizan 4,5 m de tela. 80. ● ● En la siguiente tabla se muestra la oferta de a) ¿Cuánta tela se una frutería al comprar necesita para un determinado número hacer 3 camisas? de kilos de patatas. b) ¿Y para hacer ¿Son directamente 7 camisas? proporcionales el c) ¿Cuántas camisas obsequio y la compra? se pueden hacer con 15 m de tela? Kilos comprados 20 40 60 80 Kilos obsequiados 1,5 3 4,5 6 69. ●● Con una velocidad de 20 nudos, un barco realiza una travesía en 8 horas. Halla la velocidad ¿Qué cantidad de patatas hay que comprar para de otro barco que hace la misma travesía que nos regalen 10,5 kg? en 6 horas y media. 81. ● ● Un coche de carreras ha dado 5 vueltas 70. ●● Para hacer una paella se necesitan 2 vasos a un circuito en 8 minutos y 30 segundos. de agua por cada vaso de arroz. Si echamos Si mantiene la misma velocidad, ¿cuánto tiempo 4 vasos y medio de agua, ¿cuántos vasos de arroz tardará en dar las 3 próximas vueltas? debemos añadir? 132294758 _ 0118-0133.indd 132 13/06/12 11:22
  • PROBLEMAS CON PORCENTAJES 15. ● ● En rebajas me han aplicado un 12 % de descuento al comprar un vestido. Si me ha 91. ● En un poblado africano hay 2 350 habitantes. costado 44 €, ¿cuánto costaba antes? Si el 68 % son niños, averigua el número de niños del poblado. 16. ● ● A un espectáculo han asistido 1 190 personas. Si este número es un 15 % del previsto 92. ● En una clase de 30 alumnos han faltado 6. inicialmente, ¿cuántas personas iban a asistir? ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? 93. ● De 475 personas, a 76 les gusta el fútbol. ¿A qué porcentaje de personas no le gusta HAZLO ASÍ el fútbol? ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS DE UN AUMENTO? 17. Un viaje me ha costado un 15 % más que el año pasado. Si he pagado 517,50 €, ¿cuánto me costó el año pasado? PRIMERO. Se determina el tanto por ciento de aumento. 115 Aumentar un 15 % " (100 + 15)% = 100 SEGUNDO. Se plantea la relación entre los datos. 94. ● El 18 % de una cosecha de lechugas son 115 (100 + 15)% de x = ? x = 517,50 10 800 kg. ¿Cuántos kilos tiene la cosecha? 100 95. ● Un traje cuesta 280 €. Si se aumenta su precio TERCERO. Se calcula la cantidad inicial. un 12 %, ¿cuánto costará? 115 517, 50 ? 100 ? x = 517,50 " x = = 450 € 100 115 97. ●● De los 1 200 alumnos de un instituto, el 25 % practica atletismo; el 15 %, baloncesto, y el 40 %, fútbol. Calcula el número de alumnos 98. ● ● Tres montañeros que practican cada deporte y el porcentaje se llevan alimento de los que no lo practican. para su estancia en la montaña. HAZLO ASÍ Al llegar al refugio descubren que ¿CÓMO SE CALCULA LA CANTIDAD INICIAL tienen un 15 % más SI SE CONOCE LA CANTIDAD DESPUÉS de provisiones. DE UNA DISMINUCIÓN? Si disponen de 14. Un libro me ha costado 23,75 € tras aplicarle 402,5 kg de comida, una rebaja del 5 %. ¿Cuánto costaba antes averigua cuánta tenían del descuento? al principio. PRIMERO. Sedetermina el tanto por ciento de disminución. 100. ● ● Queremos hacer la fotocopia de una lámina, 95 Rebajar un 5 %" (100 - 5) % = reduciendo 12,5 cm de altura a 6 cm. 100 ¿Qué porcentaje de reducción aplicaremos? SEGUNDO. Se plantea la relación entre los datos. 12,5 cm 95 (100 - 5) % de x = ? x = 23,75 100 TERCERO. Se calcula la cantidad inicial. 95 23, 75 ? 100 ? x = 23,75 " x = = 25 € 100 95 133294758 _ 0118-0133.indd 133 13/06/12 11:22
  • 9 Proporcionalidad geométrica La llave de la Ciudad Prohibida El misionero jesuita Matteo Ricci atravesó la puerta de la Ciudad Prohibida al encuentro del emperador chino Wan-Li. Los presentes enviados habían surtido efecto y el emperador quería conocerlo. El emperador, que esperaba curioseando el mapa del mundo incluido en los regalos, levantó la vista y le ordenó realizar una copia para él. Tras la entrevista el padre Ricci regresó a su casa, y allí otro misionero, un tanto sorprendido, dijo: –Todavía no entiendo por qué les llama tanto DESCUBRE la atención el mapa. LA HISTORIA... –Es lógico –argumentó Ricci–. Llevan miles 1. En mayo de 2010 se de años creyendo que el mundo es solo China, han cumplido 400 años que fuera viven bárbaros incapaces de aportar del fallecimiento del nada a su cultura y, de repente, les demostramos misionero Matteo que no somos bárbaros, sino que estamos más Ricci, que llegó avanzados que ellos en ciencias como a China en 1582. matemáticas, astronomía, geografía… Busca información sobre su vida. –Esa es la llave que me condujo al emperador 2. Investiga sobre de China –continuó el padre Ricci–. el mapa que presentó El mapa llamó su atención y cuando Matteo Ricci les expliqué la forma de tomar las medidas al emperador y la utilización de escalas para representarlas de China. sobre el papel, entonces vieron que podíamos 3. ¿Qué otras enseñarles muchas cosas. aportaciones a la ciencia realizó Matteo Ricci a lo largo de su vida?294758 _ 0134-0147.indd 134 13/06/12 11:24
  • Antes de empezar la unidad... RECTAS    ÁNGULOS Y • Una recta es una línea continua, formada por infinitos puntos, que no tiene principio ni final. • Una semirrecta es una recta que tiene principio, pero no tiene final. • Un segmento es una parte de una recta delimitada por dos puntos, llamados extremos. Recta Semirrecta Segmento Clasificación de ángulos Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Agudo Recto Obtuso Un ángulo recto mide 90º. Menor que 90º           Mayor que 90º Posiciones relativas de dos rectas en el plano Rectas secantes Rectas paralelas Se cortan en un punto. No se cortan. EVALUACIÓN INICIAL 1 Marca en tu cuaderno cinco puntos situados de esta manera y dibuja: PLAN DE TRABAJO En esta unidad A C D aprenderás a… E B •  Conocer el teorema Una recta que pase por A, una semirrecta con origen en B a)  de Tales. y un segmento cuyos extremos sean C y D. •  Aplicar los criterios Dos rectas que pasen por E. ¿Cómo son estas rectas? b)  de semejanza de c)  Un ángulo agudo de vértice A y un ángulo obtuso de vértice D. triángulos. •  Reconocer polígonos 4. Dibuja una recta secante a r y otra paralela a s. semejantes. a) •  Interpretar las escalas r b) s en mapas y planos. 135294758 _ 0134-0147.indd 135 13/06/12 11:24
  • Teorema 2 de Tales Si tres rectas paralelas, a, b y c, cortan a otras dos rectas, r y s, los segmen- tos que determinan son proporcionales. r s A Al a B Bl b C Cl c 4 AB BC = AlBl BlCl AB BC AC " = = Si dos rectas paralelas, AB AC AlBl BlCl AlCl = a y b, cortan a otras AlBl AlCl dos rectas, r y s, también se cumple que: Esta igualdad constituye el teorema de Tales. AB AAl = ANTES, DEBES SABER… AlBl BBl r s Cómo se calcula un término desconocido en una igualdad a c A Al a del tipo = b d a c B Bl b En una igualdad del tipo = se cumple que a ? d = b ? c. b d 3 9 5?9 = " 3 ? x= 5 ? 9 " x = = 15 5 x 3 EJEMPLO 3 A partir del teorema de Tales, calcula la longitud del segmento AlBl. Por el teorema de Tales: OA AB 1,5 3 B = " 2 = OAl AlBl AlBl m 3c " 1,5 ? AlBl = 2 ? 3 2?3 A " AlBl = 1,5 = 4 cm cm 1,5 El segmento AlBl mide 4 cm. O 2 cm Al Bl LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula la longitud del segmento OA. 5 Calcula la longitud de OA y BC. B C OA = 3 cm 5 cm A B AB = 2,25 cm m 4,7 c A O O AlBl = 1,5 cm Al 3,12 cm Bl Al BlCl = 5 cm Bl Cl 136294758 _ 0134-0147.indd 136 13/06/12 11:25
  • Semejanza 4 de triángulos 4.1  Triángulos semejantes ANTES, DEBES SABER… Qué relación cumplen los ángulos de un triángulo La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º. V B V V V A + B + C = 180° V A V C A Al Dos triángulos ABC y AlBlCl son semejantes si: V V V V V V •  Tienen sus ángulos iguales. A = Al     B = Bl     C = Cl Bl AB BC AC •  Tienen sus lados proporcionales. = = B AlBl BlCl AlCl Cl 4.2  Triángulos en posición de Tales C Decimos que dos triángulos, ABC y AFD, están en posición de Tales cuando tie- D V nen un ángulo en común, A, y los lados C opuestos a este ángulo, FD y BC, son pa- ralelos. A F B Dos triángulos en posición de Tales son siempre semejantes. EJEMPLO 6 Demuestra que los triángulos ABC y AFD son semejantes. Vamos a comprobar que dos triángulos C en posición de Tales son semejantes. •  Tienen los ángulos iguales. V A  "  Es común a los dos triángulos. D V V D = C   " Por ser ángulos agudos de lados paralelos. V = B   "  F V Por ser ángulos agudos A F B de lados paralelos. •  Tienen los lados proporcionales. AD DC AC Aplicando el teorema de Tales: = = AF FB AB LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Dibuja tres pares de triángulos en posición 12 Dibuja tres pares de triángulos semejantes de Tales. Indica cómo lo haces. que no estén en posición de Tales. 137294758 _ 0134-0147.indd 137 13/06/12 11:25
  • Criterios de semejanza 5 de triángulos ANTES, DEBES SABER… DATE CUENTA Cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos Dos triángulos que cumplan cualquier criterio de Acutángulo Rectángulo Obtusángulo semejanza se pueden poner Tres ángulos Un ángulo Un ángulo en posición de Tales, agudos recto obtuso y por tanto, son semejantes. Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados pro- porcionales. C Cl AB BC AC = = AlBl BlCl AlCl Dos triángulos rectángulos son semejantes si: A B Al Bl •  Tienen un ángulo agudo SEGUNDO CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales. igual. C V V Cl •  dos de sus lados O A = Al son proporcionales. V V B = Bl A B Al Bl TERCER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. C Cl V V A = Al AC AB = A B Al Bl AlCl AlBl EJEMPLO C 7 Determina si son semejantes Cl estos triángulos. 4 cm 5 cm •  Tienen un ángulo igual.  A 8 cm B V V A = Al Al 10 cm Bl 4 " AABl = AACl •  Los lados que forman AB 8 = = 0,8 el ángulo igual AlBl 10 son proporcionales. AC 4 lB lC = = 0,8 AlCl 5 Los triángulos son semejantes por el tercer criterio de semejanza. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14  os lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 cm, L 15 Comprueba que un triángulo rectángulo y los lados de otro, 5, 6 y 8 cm, respectivamente. de catetos de 8 cm y 6 cm es semejante Decide si son semejantes. a otro de catetos de 4 cm y 3 cm. 138294758 _ 0134-0147.indd 138 13/06/12 11:25
  • Polígonos 7 semejantes Lado ANTES, DEBES SABER… Vértice F Qué es un polígono Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Ángulo Polígono Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono. EJEMPLOS 10 Calcula DlEl sabiendo que los dos polígonos son semejantes. Dl D 14 6 cm El cm 7c E m 4 cm C Cl 8 cm 2 cm A 10 cm B 4 cm Al 20 cm Bl Como los polígonos son semejantes, sus lados serán proporcionales. AB BC CD DE EA = = = = AlBl BlCl ClDl DlEl ElAl 10 2 7 6 4 6 4 6?8 = = = = " = " DlEl = = 12 cm 20 4 14 DlEl 8 DlEl 8 4 11 Determina si estos rectángulos son semejantes. Dl Cl D C 1 cm 2 cm A 2,5 cm B Al 5 cm Bl •  Sus ángulos son iguales. V V V V V V V V A = Al = 90°    B = B l = 90°    C = Cl = 90°    D = Dl = 90° •  Sus lados son proporcionales. AB BC CD DA 2,5 1 2,5 1 = = = " 5 = 2 = 5 = 2 = 0,5 AlBl BlCl ClDl DlAl Los dos rectángulos son semejantes, con razón de semejanza 0,5. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Dados estos rectángulos, resuelve. 2 Decide si estos dos polígonos son semejantes. A B 6 cm 8 cm 6 cm 4 cm Al Bl 3 cm 20 cm 16 cm C F Fl Cl 9 cm 3 cm 24 cm 6 cm El Dl 4,5 cm 30 cm E 13 cm D 6,5 cm ¿Son semejantes? ¿Cuál es su razón? ¿Cuánto mide el lado AB? 139294758 _ 0134-0147.indd 139 13/06/12 11:25
  • Figuras 8 semejantes ANTES, DEBES SABER… Qué son magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. La razón de semejanza es el cociente que resulta al dividir una longitud de la figura transformada entre la longitud correspondiente de la figura original. EJEMPLO 12 Comprueba si estas figuras son semejantes a la figura de la derecha. a)      b)       c)  Una figura es semejante a sí misma con razón de semejanza 1. a) Esta figura es semejante porque: •  Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma. •  Sus dimensiones son el doble que las de la figura original; por tanto, son proporcionales. b) Esta figura no es semejante porque: •  Los ángulos de las dos figuras no son iguales, es decir, no se conserva la forma. c) Esta figura es semejante porque: •  Los ángulos de las dos figuras son iguales, es decir, conserva la forma. •  Sus dimensiones son las mismas que las de la figura original; por tanto, son proporcionales. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Observa las figuras y razona si son 24 Dibuja dos círculos de radio 2 y 4 cm, semejantes. respectivamente. ¿Son semejantes? 25 Dibuja un cuadrado de lado 3 cm. a) Dibuja otro cuadrado semejante a él con razón de semejanza 2. 140294758 _ 0134-0147.indd 140 13/06/12 11:25
  • 9 Escalas Llíria A-7 Una de las aplicaciones más frecuentes de la semejanza es la elaboración m Manises m Bétera m m Rafelbunyol de planos, mapas, maquetas... En ellos reducimos, de manera proporcio- A-3 Quart de Poblet m m VALENCIA nal, las dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una Silla CV-50 m representación igual en la forma, pero no en el tamaño. m A-7 N-340 Cullera m Alzira Villanueva de Castellón Xàtiva Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la Moixent A-35 CV-60 Gandia N-332 figura original. Ontinyent A-7 AP-7 Dénia A-31 Distancia en la representación Alcoy Escala = CV-80 Altea Calpe Distancia en la realidad N-340 Villajoyosa Benidorm 0 28 56 84 El Altet ALICANTE Kilómetros La escala se representa de la forma 1 : a, siendo a el número resultante de N-340 Elche la división anterior. EJEMPLOS 15 El ancho del jardín de una casa mide 37,5 m. ¿A qué escala está dibujado el plano? Medimos sobre el plano la longitud N UE T En ocasiones, la escala E F que conocemos en la realidad. se indica de forma gráfica.