Seminario de Matemática Pura "Fractales"
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Seminario de Matemática Pura "Fractales"

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Recopilación de información sobre Fractales

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Seminario de Matemática Pura "Fractales" Document Transcript

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ ISICAS Y MATEMATICAS ´ ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA SEMINARIOS DE MATEMATICA PURA “Geometr´ Fractal” ıa Presentado por: Morales Tineo Nolbert Yonel ´ LAMBAYEQUE − PERU 2013 1
  • 2. Agradecimiento Al finalizar el presente seminario debo agradecer a nuestros profesores de la Escuela Profesional de Matem´tica en especial a mi asesora Dra. Olina da Vigo Vargas quien con mucha paciencia acepto mis errores, criticas, dando a cambio su tiempo, sus conocimientos y sobre todo su experiencia que servir´ para lograr el ´xito personal, profesional y ıa e social. Reiterar mi agradecimiento a quienes sin su ayuda hubiera sido imposible concretar este trabajo: Al divino hacedor y a mis padres. Al primero por iluminar mi mente y a los segundos por su incondicional apoyo.
  • 3. Dedicatoria Dedico el presente seminario: A Dios por ser principio de todo. A mis Padres cuyos consejos y apoyo constante en mi formaci´n personal, profesional, y social, hacen que o yo act´e con transparencia y justicia. u A mis hermanos que por su apoyo me permitieron culminar el presente seminario.
  • 4. ´ Indice general Introduccion II PRELIMINARES 1 1.1. Historia sobre los Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. ¿Qu´ son los Fractales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1. 4 FRACTALES 10 2.1. Tipos de Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Fractales Interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1. Curva de Koch y Copo de nieve de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2. Conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3. Tri´ngulo de Sierpinski a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.4. La curva de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5. La Alfombra de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.6. Conjuntos de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.7. Conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 22 APLICACIONES 27 3.1. Naturaleza Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Aplicaciones de los Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1. Modelos de Poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2. Predicciones Meteorol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 36 3.2.3. Visualizacion de Fenomenos Biologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.4. Compresion Fractal de Imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.5. M´sica Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 38 3.2.6. El Arte Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.7. Efectos Visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.8. Antenas Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 42 Conclusiones 44 Bibliografia y Webgrafia 45 I
  • 5. Introduccion La geometr´ fractal ha permitido describir forma geom´tricas que antes no era posible hacıa e erlo y, con esto explicar fen´menos naturales y relacionados con morfolog´ y propiedades. o ıa Este trabajo ha sido obtenido de fuentes confiables y ver´ ıdicas, y basado en los estudios desarrollados por personajes importantes de la ciencia de las matem´ticas, los cuales empezaron a sus estudios varios siglos antes incluso de que se conociera la palabra fractal, como se mencionara en primer cap´ ıtulo, muchos de ellos solo realizaban dichos estudios de una manera superficial y al momento de toparse con un modelo de este tipo, solo atinaban a dejarlo de lado tom´ndolo como un excepci´n de las matem´ticas convencionales, muchos personajes a o a ve´ esta rama de la investigaci´n como parte inexplicable o no matematizable, debido a ıan o sus caracter´ ısticas, y aunque muchas de estas cosas ya se daban de una manera parcial en la misma naturaleza, como se explicara en el ultimo capitulo, nadie aun se percataba de ello. El primer cap´ ıtulo aparte de brindara una breve rese˜a historia sobre el descubrimiento, y n decimos descubrimiento puesto que los fractales no fueron creados, siempre estuvieron hay esperando que al se tropiece con ellos, hasta los ultimos estudios realizados por estudiosos ´ que dedicaron gran parte de su vida a la comprensi´n y publicaci´n de este tema, que aun o o ahora es muy desconocido para muchas personas, adem´s puesto el tema es sobre fractales, a no se podr´ seguir hablado de ello sin saber realmente que es un fractal, por ellos se brindara ıa unas definiciones seg´n la perspectiva de las m´ltiples disciplinas que la estudian, y algo muy u u importante es resaltar algunas de sus caracter´ ısticas mas relevantes y que a la vez la diferencian de otras ´reas de la matem´tica, como por ejemplo su dimisi´n fraccionaria lo cual es a a o poco com´n en el estudio de figuras o estructuras matem´ticas, caracter´ u a ısticas como estas se mencionaran en la parte final de capitulo uno. Continuado con el seminario, en el segundo cap´ ıtulo se empezara a estudiar m´s a fondo los a tipos de fractales que se han descubierto hasta el d´ de hoy, y adem´s se mencionara los mas ıa a resaltantes, brindando datos importantes de cada uno de ellos, en su mayor´ explicando ıa, c´mo es la formaci´n de dichos fractales. Luego en el capitulo tres se ver´ sus aplicaciones, o o a primeramente en la naturaleza, en la cual no la podemos encontrar exactamente como su definici´n matem´tica, pero si de una manera superficial, la podemos encontrar desde los o a objetos menos relatantes como piedras, r´ ıos, olas, hojas, ramas, hasta en nuestro propio organismo, etc. Adem´s los fractales han calado fuertemente en otras disciplinas y usadas a por ellas para realizar sus estudios, como en la biolog´ en el estudio poblacional, incluso en ıa, lugares donde menos lo podr´ imaginar un matem´tico como es la m´sica, el arte, efectos ıa a u II
  • 6. visuales, claro tambi´n la encontramos en ´reas ya conocidas por su uso de matem´ticas, e a a como es la programaci´n, computaci´n. o o Finalmente para introducirnos de lleno en el mundo de los Fractales, primero citemos las palabras que dan inicio al libro ”Fractals Everywhere”(”Fractales en todos Lados”) de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y m´s importantes divulgadores e investigadores del tema: a ”La geometr´ Fractal cambiar´ a fondo su visi´n de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se ıa a o arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, monta˜as, tapices, y de muchas otras cosas. Jam´s volver´ a n a a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares.” Creen que Michael exageraba? En realidad esa pregunta no la podr´n contestar hasta que no a se haya finalizado el estudio de este trabajo. Una meta es mostrar que ese p´rrafo solo refleja a la realidad y la visi´n de miles de cient´ o ıficos sin importar en que especialidad desarrollen sus actividades. Esta visi´n se incrementar´ m´s a´n en todos aquellos que decidan utilizar o a a u programas de computadoras (Fractint por ejemplo) para comenzar a ”navegar”, crear y descubrir infinitas y hermosas estructuras matem´ticas a las cuales llamamos Fractales. a Una importante advertencia que siempre vale mencionar es la de tener un obsesivo cuidado de no ver estructuras fractales donde no las hay. Uno de los objetivos es el de reconocer tales sistemas. Como dec´ Barnsley en su impactante p´rrafo, la imagen de los objetos naturales ıa a que nos rodean cambiar´ de manera contundente, as´ que la advertencia queda hecha. a ı III
  • 7. Cap´ ıtulo 1 PRELIMINARES 1.1. Historia sobre los Fractales Los Fractales son los objetos matem´ticos que constituyen la Geometr´ de la Teor´ del Caos, a ıa ıa aunque es importante destacar que no todos los fractales son ca´ticos como veremos m´s adeo a lante. Los objetos fractales fueron creados mucho antes de haberse desarrollado formalmente la Geometr´ Fractal o la Teor´ del Caos. De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras ıa ıa con caracter´ ısticas fractales como la del tri´ngulo de Sierpinski (Figura 1) en grabados de a tela de hace varias d´cadas atr´s, hasta en los a˜os de 1400 se hallaron grabados japoneses e a n con estas estructuras. Antes de que Newton, Leibniz y colaboradores crearan en el siglo XVII lo que hoy conocemos como Calculus y estudiamos en la facultad como C´lcua lo, An´lisis Matem´tico o C´lculo Infinitesimal, se a a a conoc´ funciones con enormes irregularidades y ıan discontinuidades, pero los cient´ ıficos de aquella ´poca e supusieron que esas mismas funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgir´ en sisıan temas naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matem´tica tradicional y simplemente a las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a trav´s de redondeos, lo cual e Figura 1.1: Tri´ngulo de Sierpinski a a´n hoy en d´ se continua haciendo con ´xito en diferentes sistemas, pero dichos redondeos u ıa e se vuelven peligrosos en sistemas con una din´mica ca´tica. a o Un grupo de matem´ticos comenz´ a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy seguido a o el fen´meno de irregularidades y que no eran excepciones como se supon´ Los primeros que o ıa. comenzaron a demostrar te´ricamente esta problem´tica fueron Cantor (con su famoso y casi o a m´ ıstico conjunto de Cantor - Figura 2) y Peano. Hasta llegar a los a˜os de 1880 con Poincar´, n e al que se lo conoce como el padre de la Teor´ del Caos. ıa 1
  • 8. £   ¢2 ¡ PRELIMINARES Otra estructura matem´tica ya conocida en esa ´poca y que m´s tarde pas´ a formar parte a e a o de uno de los fractales m´s reconocidos es el de Koch Snowflake Curve, o la curva de Copo a de nieve de Helge von Koch (Figura 3) Entonces, hasta el momento vimos de manera general como los sistemas din´micos y ca´ticos se fueron a o introduciendo en el pensamiento de la comunidad cient´ ıfica y como fueron surgiendo nuevas necesidades para reformular teor´ y crear nuevas herıas ramientas que pudieran describir sistemas que hasta ese entonces eran considerados excepciones y a los cuales se les realizaban diferentes aproximaciones y se les aplicaban diversos ”trucos”matem´ticos a para ajustarlos a las herramientas disponibles en esos tiempos. M´s adelante veremos los problemas que surgen al a aplicar estos tipos de t´cnicas de aproximaci´n y e o Figura 1.3: El Copo de Nieve de Von Koch omitir variables y detalles que con el trascurso del tiempo pueden derivar en sistemas ca´ticos y totalmente impredecibles, pero no nos adelanteo mos. Hemos visto tambi´n que objetos con estructuras que hoy reconocemos como fractales e han existido durante muchos a˜os, como ser todas las figuras anteriormente mencionadas, y n es por ello que diversos libros y autores difieren al contarnos la historia de c´mo surgi´ esta o o rama de la matem´tica. a Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el franc´s Henr´ Poincar´. Sus e ı e ideas fueron extendidas m´s tarde por dos matem´ticos tambi´n franceses, Gast´n Juli´ y a a e o a Pierre Fatuo, hacia 1918.Los trabajos realizados en este campo quedaron detenidos en los a˜os 20. En el a˜o 1958, Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM n n para hacer un an´lisis del ruido y perturbaciones el´ctricas. Mientras realizaba dichos estudios a e encontr´ un patr´n en su comportamiento y comenz´ a descifrar su estructura. Algo as´ como o o o ı jerarqu´ de fluctuaciones en todas las escalas. En su estudio, se dio cuenta de que esas ıas fluctuaciones no pod´ ser descritas por la matem´tica estad´ ıan a ıstica que exist´ ıa. Mientras segu´ adelante con sus tareas empez´ a ıa o imaginar en qu´ otros sistemas podr´ encontrar e ıa patrones similares que no pudieran ser descritos con exactitud por la matem´tica existente y que se a comportasen de igual manera. Su visi´n lo llev´ a o o hacerse una pregunta que para la mayor´ de nosotros ıa puede resultar obvia y hasta para muchos otros ser trivial, o en el mejor de los casos sin sentido. Su famosa pregunta fue: ¿Cu´nto mide realmente la a costa de Inglaterra? (Mandelbrot 1977, How long is the coast of Great Britain). 2
  • 9. £   ¢3 ¡ PRELIMINARES Figura 1.4: Medida de la l´ ınea de costa con m´s y m´s detalle a a Bien, cualquiera que tome un libro de geograf´ o un mapa va a poder contestar esto sin ıa ning´n tipo de problema. Imaginemos que el dato que encontramos es de 2.000 kil´metros. u o Ahora bien, esos 2.000Km., ¿de donde provienen?, ¿c´mo se midieron? Para contestar a esta o pregunta se pueden proponer, por ejemplo, tres puntos de vista diferentes 1. Si medimos las costas de Inglaterra desde un sat´lite, vamos a ver que sus bordes son e suaves, arm´nicos, con l´ o ıneas casi rectas y ´ngulos pr´cticamente redondeados. a a 2. Probemos ahora a medir la misma distancia, pero desde un avi´n que vuela mucho o m´s bajo que el sat´lite. ¿Qu´ pasar´ en este caso? Ahora que vemos las cosas con a e e ıa m´s detalle por estar m´s pr´ximos, nos damos cuenta que los bordes no eran en a a o realidad tan suaves como se hab´ observado anteriormente, sino que notamos muchas ıa m´s rugosidades. a 3. Imaginemos por ultimo un tercer punto de partida, algo extremista, pero igualmente ´ v´lido. Esta vez no estamos ni en un sat´lite, ni en el avi´n; ahora nos encontramos a e o parados sobre la misma costa de Inglaterra con una regla como la que us´bamos en a la escuela, y nos ponemos a medir roca por roca, rugosidad por rugosidad, detalle por detalle: Como resulta evidente, podemos asegurar que los resultados de las tres mediciones ser´n en todos los casos diferentes. Cuanto mayor nivel de detalle tengamos a en cuenta a la hora de realizar la medici´n, mayor ser´ el valor num´rico obtenido. o a e Te´ricamente, si el nivel de detalle fuese infinito, el valor de la longitud tender´ a o ıa infinito. Con este ejemplo propuesto por Mandelbrot podemos extraer una importante conclusi´n: o nuestras mediciones depender´n de la escala que utilicemos para medirlas. Y no es para a nada una casualidad que estas deducciones se desprendan de los mismos patrones que encontr´ Mandelbrot en sus estudios sobre flujo electr´nico, recordemos: ”jerarqu´ de fluco o ıas tuaciones en todas las escalas”. Esas escalas como Mandelbrot reconoci´ pose´ un patr´n, o ıan o y ese patr´n las relacionaba diciendo que si bien no eran iguales a diferentes escalas, si lo o eran de manera estad´ ısticamente similar, y ´sta es una de las caracter´ e ısticas principales de los fractales que se estudiar´. a 3
  • 10. £   ¢4 ¡ PRELIMINARES A pesar de que la historia de los fractales comienza a finales del siglo XIX, gran parte del XX permanece ajena a ellos. En las ultimas d´cadas del siglo, y casi paralelamente a la evoluci´n ´ e o de la investigaci´n de los sistemas ca´ticos, los fractales van cobrando un auge creciente, o o hasta convertirse en un concepto cada vez m´s extendido en todas las ciencias. a Hoy por hoy, decir Mandelbrot, es sin´nimo de ’fractal’. Todos asociamos los fractales a este o insigne matem´tico polaco. No en vano, a ´l le debemos la creaci´n del concepto ’fractal’. a e o Mandelbrot es considerado el padre de los fractales, y en cierto modo es verdad, no ya por inventarlos, cosa totalmente incierta, sino por aglutinar ciertos estudios matem´ticos y f´ a ısicos en una rama propia de la Matem´tica y la F´ a ısica, una rama real, con forma y sentido propios: un nuevo Universo por explorar. Mandelbrot no invent´ los fractales, los fractales estuvieron siempre listos para que alguien o tropezara con ellos y diera cuenta de sus secretos. Han sido los compa˜eros invisibles del ser n humano desde el inicio de la creaci´n, como el caos, que viene a ser la mano invisible que o mece la cuna. En 1980, la publicaci´n de su libro La Geometr´ Fractal de la Naturaleza o ıa populariz´ la geometr´ fractal a nivel mundial. o ıa El doctor Mandelbrot de la Universidad de Yale, que es considerado el padre de la Geometr´ ıa Fractal, adem´s realiz´ incontables experimentos con computadoras. En su honor uno de los a o conjuntos que ´l investig´ lleva su nombre. e o Luego para seguir estudiando los fractales, es imprescindible hacerse una pregunta, sin la cual ser´ con ir de caser´ sin saber qu´ es lo que queremos atrapar, por lo tanto veamos ıa ıa e qu´ es lo que vamos a cazar por as´ decirlo. e ı 1.2. ¿Qu´ son los Fractales? e Cada vez que uno toma un libro sobre Geometr´ Fractal y busca una definici´n clara surgen ıa o por alg´n motivo diferentes enunciados. Lo cual no se trata de un problema de exactitud, u sino que se requiere de tal abstracci´n para comprender el concepto de Fractal, que los puntos o de vista var´ dr´sticamente por m´s que se est´ hablando de lo mismo, es m´s, hasta el ıan a a e a mismo Mandelbrot no est´ 100 % conforme con la definici´n. Otra consecuencia puede llegar a o a ser que la Geometr´ Fractal se ha trasformado en una herramienta multidisciplinaria ıa utilizada por cient´ ıficos, artistas, psic´logos, soci´logos, etc ..., entonces, un matem´tico no o o a va a dar una definici´n de la misma forma que la dar´ un programador de computadoras o o a un artista pl´stico. Por lo tanto, para poder decir que es un fractal, se enunciar´ un conjunto a a de definiciones y pensamientos y al final se intentar´ unirlos todos, para poder formular una a definici´n lo m´s clara y contundente posible. o a Por el momento entonces solamente se enumerar´ una serie de frases sueltas: a 1. Los Fractales son los objetos matem´ticos que conforman la Geometr´ de la Teor´ del a ıa ıa Caos. 2. La Geometr´ Fractal es tambi´n conocida como la Geometr´ de la Naturaleza. ıa e ıa 3. La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del lat´ y significa roto, queın brado. (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matem´ticas). a 4
  • 11. £   ¢5 ¡ PRELIMINARES 4. La Geometr´ Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y ıa dem´s objetos de la geometr´ tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos a ıa computacionales que permiten describir sistemas naturales, ca´ticos y din´micos. o a 5. Los Fractales son objetos cuya dimensi´n es no entera o fraccionaria. o 6. Un objeto fractal es aqu´l que su dimensi´n fractal de Hausdorff Besicovich supera a e o su dimensi´n topol´gica. o o 7. Un objeto fractal es aqu´l que posee las siguientes dos caracter´ e ısticas: a) Autosimilitud. b) Dimensi´n de Hausdorff. o 8. Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen alguna relaci´n con el todo. (esto o est´ ´ a ıntimamente ligado a la Autosimilitud) Bien, cualquiera de estas ocho definiciones es correcta. Algunas son m´s completas, otras m´s a a t´cnicas y otras aportan tan solo meros datos pero no llegan a ser definiciones con todas las e de la ley. Ahora trataremos de analizarlo desde un solo punto de vista, para eso empezaremos explicando que la palabra fractal fue acu˜ ada por Benoit Mandelbrot, quien, al tratar de encontrar n nombre para su nueva invenci´n y por casualidad, hoje´ el cuaderno de lat´ de su hijo donde o o ın encontr´ la palabra fractus, de la que se deriva la palabra frangere fracturar, romper, hacer o fragmentos irregulares. Y as´ es c´mo los fractales recibieron su nombre. ı o Hasta el momento hemos usado repetidamente la palabra fractal, y aunque ya se ha introducido una idea general sobre qu´ son los objetos fractales, con raz´n nos podemos preguntar e o acerca del significado concreto de esta. El concepto de fractal se puede abordar desde varios puntos de vista, sin embargo se acepta com´ nmente que un fractal es un objeto geom´trico u e compuesto de elementos, tambi´n geom´tricos, de tama˜o y orientaci´n variable, pero de e e n o aspecto similar. Con la particularidad que tienen muchos de los objetos fractales, es que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independientemente de cual sea la escala que utilizamos, y formando parte, como en un mosaico de los elementos mayores, es decir, estos elementos tienen una estructura geom´trica e recursiva, esta propiedad es conocida con el nombre de autosimilaridad. El que cada elemento de orden mayor est´ compuesto, a su vez, por elementos de orden menor, como sucede con e las ramas de un ´rbol es lo que da estructura recursiva a los fractales. a Para representar gr´ficamente un fractal basta por tanto encontrar la relaci´n o la ley de a o recursividad entre las formas que se repiten, es decir, encontrar el objeto elemental y la ley de formaci´n y establecer el algoritmo gr´fico. o a Las dos caracter´ ısticas fundamentales que poseen los objetos fractales son: Autosimilaridad: anteriormente hab´ ıamos definido autosimilaridad como la caracter´ ıstica que presentan determinados objetos en los cuales los detalles m´s peque˜os a n que lo componen tienen alguna relaci´n estad´ o ıstica con sus propiedades globales, repiti´ndose tales detalles de una manera infinita. Un ejemplo de esto es el conjunto de e 5
  • 12. £   ¢6 ¡ PRELIMINARES Figura 1.5: Conjunto de Mandelbrot en su estado original Mandelbrot (Figura 5), a primera de estas cuatro im´genes es el conjunto de Mandela brot en su estado original, o sea, sin ninguna iteraci´n, o para que se entienda mejor, o sin haber hecho ning´n ZOOM dentro de la imagen. Las siguientes figuras se generan u ampliando un sector del fractal y viendo que se encuentra dentro. Por ejemplo, a la segunda se le hizo un ZOOM, a la tercera cinco ampliaciones consecutivas y por ultimo ´ a la cuarta se le aplicaron 10 ZOOM. N´tese que se esta hablando de un ZOOM inicial o en un ´rea determinada, si hubiese elegido otro lugar de fractal donde comenzar a ina teractuar, hubiese generado im´genes distintas, pero al mismo tiempo estad´ a ısticamente similares, sin importar la porci´n del fractal designado o Dimensi´n Fractal o dimensi´n de Hausdorff : es considerado el concepto prino o cipal de la Geometr´ Fractal, ya que los objetos fractales se caracterizan por poseer ıa dimensi´n fraccionaria. En primer lugar, comenzaremos aclarando los conceptos de dio mensi´n topol´gica y dimensi´n fractal. o o o Desde el punto de vista topol´gico sabemos que la circunferencia y un segmento rectil´ o ıneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transforma una en la otra mediante un deformaci´n continua es decir, sin que sea preciso someter a ninguna de o las dos a manipulaciones no topol´gicas). Desde un punto de vista m´trico no son la misma o e curva ya que la circunferencia encierra un ´rea finita el c´ a ırculo, y el segmento a pesar de ser finito, no encierra con su borde un ´rea finita. Aparece aqu´ entonces, una caracter´ a ı, ıstica 6
  • 13. £   ¢7 ¡ PRELIMINARES moderna de las matem´ticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los a invariantes, y analizar, por otra parte, qu´ ocurre con lo que no se conserva, c´mo hay que e o analizarlo, qu´ hay que hacer con ello, c´mo integrarlo en el mundo de los entes matem´ticos. e o a Analicemos brevemente lo que significa la dimensi´n topol´gica, que es un t´rmino que ino o e trodujo Henri Poincar´ para discernir sobre cuestiones de este tipo. La definici´n inductiva e o dada por Poincar´ al introducir este concepto fue la siguiente: e Conjunto vac´ ⇒ ıo dimensi´n topol´gica D = −1 o o Punto ⇒ dimensi´n topol´gica D = 0 o o Segmento ⇒ dimensi´n topol´gica D = 1 o o Cuadrado ⇒ dimensi´n topol´gica D = 2 o o Cubo ⇒ dimensi´n topol´gica D = 3 o o Otra definici´n de la dimensi´n topol´gica de un objeto geom´trico la dio K. Devlin en 1988. o o o e Es la definici´n por el movimiento: o En una curva solo podemos movernos en una direcci´n, adelante o hacia atr´s. En una supero a ficie podemos ir adelante, atr´s, a derecha, a izquierda. En un volumen podemos movernos, a adem´s, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensi´n, la superficie tiene dos a o dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones. o La dimensi´n fractal (Df ) que sugiri´ Felix Hausdorff en 1919 es una propiedad de un objeto o que nos indica su capacidad para rellenar el espacio que lo contiene, y puede tomar valores continuos en el espacio de los n´meros reales, entre 0 y 3. Se define como sigue: u Df = log N l log( p ) donde: Df = Dimension Fractal N = Cantidad de unidades que forman el objeto l = Altura del objeto (preyecci´n) o p = Altura de las unidades que forman el objeto Ejemplos: i) Para una recta formada por N = 3 segmentos: l = 1 p = 1 3 N = Df = 3 log 3 ) ( 1 log 1 =1 3 Df = 1 para una linea (no es nada nuevo) ii) Para un cuadrado formado por N = 9 ”baldosas”: 7
  • 14. £   ¢8 ¡ PRELIMINARES l = 1 p = 1 3 N = Df = 9 log 9 ) ( 1 log 1 =2 3 Df = 2 para un cuadrado (no es nada nuevo) iii)Para una secci´n de la curva de von Koch (se ver´ un poco m´s adelante) despu´s de la o a a e primera iteraci´n: o l = 1 p = 1 3 N = Df = 4 log 4 ) ( log 1 1 = 1,26 3 Df = 1,26 dimecion fracional (esto es algo nuevo) Por otro lado, el per´ ımetro de cualquier secci´n de la curva de von Koch es infinito: o 8
  • 15. £   ¢9 ¡ FRACTALES Cabe se˜alar que una figura determinada puede tener una dimensi´n fractal dependiente de n o la escala o resoluci´n en la que se realiz´ el c´lculo. Por ejemplo, una l´ o o a ınea que se tom´ como o recta (D = 1) vista con m´s detalle puede presentar espesor e irregularidades (D > 1). a Los trabajos de Hausdorff fueron continuados durante la d´cada de los a˜os 20 por Besicovitch e n derivando en la teor´ geom´trica de la medida. ıa e Despu´s de presentar la definici´n de dimensi´n de Hausdorff, cualquiera podr´ e o o ıamos preguntarnos si no corresponde a un mero instrumento matem´tico, sin aplicaci´n pr´ctica en el a o a mundoreal. Pues bien, como comprobaremos m´s adelante, numerosas estructuras naturales a han evolucionado para conseguir un aprovechamiento ´ptimo del espacio que las contiene, o ejemplos de ello podr´ ser la estructura del cerebro o los alv´olos pulmonares. ıan e Una analog´ interesante a la hora de comprender el significado de la dimensi´n de Hausdorff ıa o podr´ resultar del an´lisis de una de las estructuras m´s complejas y misteriosas conocidas ıa a a por la ciencia, el ADN. Y en relaci´n a este, es inevitable preguntarse, ¿c´mo es posible o o que una estructura tan peque˜a pueda albergar absolutamente toda la informaci´n del ser n o vivo al que pertenece?, ¿C´mo es posible que toda la informaci´n que describe el objeto o o m´s complejo del universo, nosotros, pueda quedar codificado en su totalidad en tan ´ a ınfima porci´n de materia? o El grado de empaquetamiento y condensacion del ADN es asombroso. Por ejemplo, el cromosoma humano mas pequeno contiene 4, 6 × 107 pares de bases, que equivalen a 14000µm y en mitosis este cromosoma mide 2µm, es decir, condensado 7000 veces. El descubrimiento de los fractales nos ha acercado un poco m´s, no a responder las preguntas a anteriores, sino s´lo a comprender algo m´s el grado de profundidad de dichas cuestiones. o a Ya se ha comentado que un fractal, objeto aparentemente muy complejo e irregular puede quedar completamente descrito por un sencillo algoritmo de formaci´n. Pues bien, esto es en o lo que la naturaleza parece basarse para la formaci´n de m´ltiples objetos, incluidos nosotros o u mismos. 9
  • 16. Cap´ ıtulo 2 FRACTALES 2.1. Tipos de Fractales Existen dos tipos bien definidos de fractales. Los lineales y los no lineales. Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en la variaci´n de o sus escalas. Esto implica algo muy importante, los fractales lineales son exactamente id´nticos e en todas sus escalas hasta el infinito. El tri´ngulo y la alfombra de Sierpinski y la curva de a Koch son ejemplos de fractales lineales. Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de distorsiones complejas o justamente como lo dice su nombre, y usando un t´rmino proveniente de la e matem´tica Ca´tica, distorsiones no lineales. La mayor´ de los objetos fractales puramente a o ıa matem´ticos y naturales son no lineales. Ejemplos de ellos son: el s´per conocido Conjunto a u de Mandelbrot o el Conjunto de Julia. A finales del siglo pasado, el matem´tico Charles Hermite tildaba de plaga lamentable la a fascinaci´n que algunos otros matem´ticos sent´ por determinadas curvas que desafiaban o a ıan los cimientos de la geometr´ de la ´poca. Muchos como ´l consideraban patol´gicas aquel ıa e e o Figura 2.1: Conjunto de Julia 10
  • 17. £   ¢11 ¡ FRACTALES Figura 2.2: Conjunto de Mandelbrot tipo de curvas, desentendi´ndose de sus ins´litas propiedades. A este tipo de curvas se las e o conoc´ como Monstruos Matem´ticos. ıa a 2.2. Fractales Interesantes A continuaci´n pasaremos a describir algunos de los fractales m´s conocidos. o a 2.2.1. Curva de Koch y Copo de nieve de Koch Esta curva recibe su nombre en honor a su creador, el matem´tico sueco Niel Helge von Koch a (1870-1924), que public´ en 1904 el trabajo - Une m´thode g´om´trique ´l´mentaire pour o e e e ee l’´tude de certaines questions de la th´orie des courbes plane. Este monstruo matem´tico e e a posee caracter´ ısticas ciertamente desconcertantes: En esta curva no es posible trazar una tangente en ning´n punto de su per´ u ımetro. La longitud entre dos puntos de su per´ ımetro es infinita. En relaci´n al copo de nieve de Koch, comprobaremos como una curva de longitud o (per´ ımetro) infinita encierra un ´rea finita. a A continuaci´n, pasamos a describir su construcci´n: o o 1. Consideramos un segmento de recta, de longitud 1 (esto no constituye ninguna restricci´n). o 2. Reemplazamos el segmento inicial por cuatro segmentos de recta, cada uno de longitud 1/3 (longitud del segmento anterior). Formando la figura siguiente 11
  • 18. £   ¢12 ¡ FRACTALES Obtenemos as´ una poligonal ℓ1 (en azul los intervalos que permanecen y en rojo los ı nuevos segmentos agregados) formada por cuatro segmentos de longitud 1/3, por lo tanto su longitud es 4 · 1 3 = 4 3 3. Aplicamos el proceso de reemplazar cada segmento de la poligonal obtenida en la etapa anterior por cuatro segmentos, cada uno de longitud 1/3 (longitud del segmento considerado). El procedimiento se ilustra en la figura siguiente Obtenemos de este modo una poligonal ℓ2 , en la cual, cada segmento tiene longitud 1 1 3 · 3 16 9 = 1 = 9 =, hay 16 de tales segmentos, luego la longitud de la poligonal ℓ2 es igual a ( 4 )2 3 . 4. Repetimos el proceso de reemplazar cada segmento de recta de la poligonal por cuatro segmentos, como se hizo en el paso 2, cada uno de longitud 1/3 (longitud del segmento considerado, obtenemos as´ una poligonal ℓ3 que consta de 64 segmentos, cada uno de ı ( )3 1 1 1 · 9 = 27 =, por lo tanto la longitud de la poligonal ℓ3 es 64 = 4 . 3 27 3 longitud 5. Este proceso puede repetirse indefinidamente, obteniendo una curva de longitud infinita, pues en la etapa n la poligonal obtenida consta de 4n segmentos, cada uno de longitud ( 4 )n 1 que se hace grande cuando n crece. La curva 3n . Por lo tanto la longitud de ℓn es 3 l´ ımite es la llamada curva de Koch. Como puede observarse desde la construcci´n de la curva de Koch, en cada etapa agregamos o puntos esquinas (aquellos que forman el v´rtice de dos segmentos). La curva final tendr´ un e ıa punto esquina en cada punto, esto no es f´cil de imaginar, pero de hecho as´ ocurre. a ı 12
  • 19. £   ¢13 ¡ FRACTALES La construcci´n de reemplazar cada segmento por otros cuatro, cada uno de longitud 1/3 o (longitud del segmento considerando en la etapa anterior) puede aplicarse, por ejemplo, a los lados del tri´ngulo equil´tero de lado 1. Obteniendo, una sucesi´n de figuras como la que se a a o muestra abajo 13
  • 20. £   ¢14 ¡ FRACTALES En la etapa 3, obtenemos una poligonal cerrada formada por 4 × 48 = 192 lados, cada uno de ( )3 longitud 1/27, luego su longitud es 192 = 3 4 . De lo anterior vemos que en la etapa n se 27 ( 3 )n obtiene una poligonal con longitud igual a 3 4 . Por lo tanto, la longitud de la curva l´ ımite 3 crece indefinidamente, notemos que la curva l´ ımite acota una regi´n de ´rea finita en el plano. o a Esta curva l´ ımite es llamada copo de nieve de Koch. Ella hiere nuestra intuici´n, pues es una o curva de longitud infinita que delimita una regi´n de ´rea finita en el plano. Una manera o a sencilla de ver esto, es mostrar que la curva de Koch est´ contenida en la regi´n delimitada a o por el c´ ırculo circunscrito al tri´ngulo equil´tero con el cual comenzamos la construcci´n. Se a a o puede demostrar, que el ´rea que acota el copo de nieve de Koch es a √ ( ( )n−1 ) √ 3 1− 4 12 9 3 + An = 5 4 9 y como ( 4 )k 9 tiende a 0 cuando k crece indefinidamente, An se aproxima al valor 8 5 · √ 3 4 . La curva y el copo de nieve de Koch, son ejemplos de figuras geom´tricas fractales. Muchas e figuras fractales tienen la propiedad de ser autosimilares, esto quiere decir,como ya se ha explicado antes, que si tomamos una parte peque˜a de la figura, por muy peque˜a que sea, n n al aplicarle una ampliaci´n vemos nuevamente la misma configuraci´n o una muy parecida. o o La siguiente figura intenta mostrar esta propiedad 14
  • 21. £   ¢15 ¡ FRACTALES As´ esta curva tiene una dimensi´n de Hausdorff de 1.2618 lo cual indica que est´ m´s cerca ı, o a a de ser una recta (dimensi´n 1) que un ´rea (dimensi´n 2). o a o La curva de von Koch demostr´ que todas las ciencias euclideanas y cartesianas ten´ o ıan cimientos muy fr´giles y comenzaron a constatarse grietas en el edificio de la ciencia. a 2.2.2. Conjunto de Cantor Este conjunto es utilizado frecuentemente en matem´ticas para construir ejemplos y su noma bre se lo debe a su creador G. Cantor (1845-1918). Su definici´n es muy sencilla: se toma un segmento de determinada longitud (por ejemplo o el intervalo [0; 1] de la recta real) y se divide en tres subsegmentos de igual longitud, se suprime el segmento central y el proceso se repite con los dos nuevos segmentos resultantes. El resultado de iterar este proceso infinitas veces (paso al l´ ımite) es el conjunto de Cantor. 15
  • 22. £   ¢16 ¡ FRACTALES Ahora bien, ¿tiene elementos el conjunto de Cantor? Un espectador infinitesimal que contemplase la iteraci´n anterior durante una eternidad, ¿no terminar´ por ver desaparecer la o ıa totalidad de los puntos? El consolidado sistema de medidas de la ´poca daba para dicho cone junto longitud nula, y por lo tanto, tarde o temprano se tuvo que aceptar que aquel sistema de medidas era insuficiente. El conjunto de Cantor tiene una dimensi´n de Hauso dorff menor que la unidad, pues cada vez que la longitud de un segmento se reduce a su tercera parte, s´lo aparecen dos trozos m´s o a Df = log(N )/ log(l/p) = log(2)/ log(3) = 0, 630905 En otras palabras, es m´s que una colecci´n de a o puntos, pero menos que una l´ ınea Es uno de los fractales m´s famosos, a pesar de no ser tan atraca tivo visualmente. Su estructura est´ detr´s de varias cosas en el mundo real y as´ se ha a a ı utilizado como modelo para representar desde la distribuci´n nada homog´nea de los anillos o e de Saturno y las fluctuaciones en el precio del algod´n a partir del siglo pasado, hasta las o variaciones que el nivel de las aguas del r´ Nilo ha experimentado desde hace 2 000 a˜os. M´s ıo n a a´n, cuando la idea que subyace en la construcci´n de este conjunto se extiende a tres dimenu o siones, el patr´n que se genera coincide sorprendentemente con la distribuci´n de estrellas y o o galaxias en el universo. Esto es m´s que suficiente como para quedarse anonadado. a La construcci´n anterior del conjunto de Cantor es la cl´sica. Existen muchas construcciones o a de conjuntos de Cantor, es decir, de divisi´n de un segmento en segmentos (no necesariamente o en 3) y en proporciones distintas (no necesariamente 1/3), y que nos llevan a un conjunto de Cantor. Incluso se pueden construir conjuntos de Cantor con longitud positiva. En la actualidad a´n se trabaja y se publican trabajos profundos en matem´tica que tienen relaci´n u a o con este conjunto. 2.2.3. Tri´ngulo de Sierpinski a El tri´ngulo de Sierpinski fue ideado porWaclaw Sierpinski en 1915. Su construcci´n se hace a o mediante un proceso similar al de los conjuntos anteriores. Se parte de un tri´ngulo equil´tero a a de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en cuatro tri´ngulos equil´teros iguales (lo a a que se consigue uniendo los puntos medios de los lados) y eliminar el tri´ngulo central, es a decir nos quedamos con los tres tri´ngulos equil´teros de los v´rtices. El segundo paso de a a e la construcci´n consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada o uno de los tres tri´ngulos obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, a obteniendo como resultado final el tri´ngulo de Sierpinski. a 16
  • 23. £   ¢17 ¡ FRACTALES El tri´ngulo de Sierpinski se obtiene despu´s de infinitas repeticiones de un algoritmo gea e om´trico sencillo: dividir un tri´ngulo equil´tero en cuatro tri´ngulos iguales y eliminar el e a a a tri´ngulo equil´tero central, es decir quedarnos con los tres tri´ngulos de los v´rtices. Para a a a e implementar la construcci´n del tri´ngulo de Sierpinski con el software geom´trico elegido se o a e pueden seguir los siguientes pasos: 1. Construir una macro, que llamaremos sierpinski asociada al algoritmo: se dibuja un tri´ngulo equil´tero, se hallan los puntos medios de los lados y se dibujan los tres a a tri´ngulos de los v´rtices, que se rellenan decierto color. El objeto inicial de la macro a e es el tri´ngulo original y el objeto final son los tres tri´ngulos de los extremos. a a 2. Se dibuja un tri´ngulo inicial al que se aplica la macro sierpinski para obtener los a tres tri´ngulos del primer paso de la construcci´n. Aplicando repetidamente la macro a o sierpinski a estos tri´ngulos y a sus descendientes se puede avanzar tanto como se desee a en la construcci´n del tri´ngulo de Sierpinski. o a 17
  • 24. £   ¢18 ¡ FRACTALES Observaci´n: En el tri´ngulo de Sierpinski, el hecho de considerar tri´ngulos equil´teros es o a a a irrelevante. Siempre que para la construcci´n de los tri´ngulos de los extremos se utilicen o a los puntos medios de los lados, se obtienen resultados an´logos usando cualquier tipo de a tri´ngulos. a La dimensi´n de Hausdorff de este fractal es la siguiente o Df = log 3 = 1, 5849 log 2 El tri´ngulo de Sierpinski tiene ´rea cero. Para mostrar esto calcularemos el ´rea retirada en a a a la construcci´n del tri´ngulo de Sierpinski. o a ⋆ C´lculo del ´rea del tri´ngulo de Sierpinski a a a En la etapa inicial tenemos un tri´ngulo equil´tero de lado 1, luego su ´rea es A0 = a a a En la primera etapa retiramos el tri´ngulo equil´tero central de lado ℓ1 = a a quedan tres tri´ngulos equil´teros de lado ℓ1 = a a √ que resulta es A1 = 3 31 4 4 = √ 3 3 16 . 1 2 , y nos por lo tanto el ´rea de la figura a En la segunda etapa, de cada uno de los tri´ngulos a restantes retiramos un tri´ngulo equil´tero de lado ℓ2 = a a equil´teros cada uno de lado ℓ2 = a 1 2 √ 3 4 1 4, 1 4 y nos quedan 9 tri´ngulos a luego el ´rea de la figura es A2 = 9 a √ 3 1 4 16 = √ 9 3 64 , y continuando de este modo, en la etapa n de la construcci´n,el ´rea de la figura que o a √ ( 3 )n−1 3n−1 3 resulta es An = 4n−1 4 . Ahora, como 4 tiende a 0 cuando n crece indefinidamente, concluimos que el tri´ngulo de Sierpinski tiene ´rea 0 Otra manera interesante a a de obtener una imagen del tri´ngulo de Sierpinski, es considerar el tri´ngulo de Pascal a a o tri´ngulo de Tartaglia, es decir, el tri´ngulo formado por los coeficientes binomiales a a del desarrollo del binomio (x + y)n , con n = 0, 1, . . . Curiosamente, si marcamos de color negro cada n´mero impar y marcamos de color blanco cada n´mero par, la figura u u obtenida se ve como el tri´ngulo de Sierpinski. Considerando m´s filas en el tri´ngulo a a a de Pascal y consider´ndolo m´dulo 2 (colocamos un 0 donde hay un n´mero par y un 1 a o u donde hay un n´mero impar), obtenemos la siguiente figura, que es bastante semejante u al tri´ngulo de Sierpinski. a 18
  • 25. £   ¢19 ¡ FRACTALES El tri´ngulo de Sierpinski, al igual que el conjunto de Cantor y la curva de Koch, es a autosimilar. Estas tres figuras, constituyen la trilog´ de los m´s cl´sicos ejemplos de ıa a a las figuras llamadas fractales. 2.2.4. La curva de Hilbert En 1890, Peano ide´ otro de estos monstruos: una curva que rellenaba el plano ¿C´mo pod´ o o ıa una regi´n cuadrada del plano ser una curva? A˜os m´s tarde, Hilbert ide´ una curva con o n a o id´ntica propiedad pero de m´s sencilla elaboraci´n. e a o La curva de Hilbert se construye iterando mediante el procedimiento que puede observarse en la figura anterior. En cada etapa cada segmento se sustituye por otros cuatro con la mitad de longitud. La curva l´ ımite de tales poligonales llena el cuadrado unidad, por tanto, la curva de Hilbert tiene una dimensi´n de Hausdorff igual a 2. o 2.2.5. La Alfombra de Sierpinski La construcci´n de la alfombra de Sierpinski es similar a la construcci´n del tri´ngulo de o o a Sierpinski, esta vez comenzamos con un cuadrado, digamos unitario (de lado 1), el cual dividimos en 9 cuadrados peque˜os, cada uno de lado de longitud 1/3, y eliminamos en n cuadrado central. Nos quedan 8 cuadrados de lado 1/3. Repetimos el proceso de particionar cada cuadrado en 9 cuadrados peque˜os, cada uno de longitud 1/3 x (longitud del anterior), n en cada cuadrado obtenemos 9 cuadrados cada uno de longitud 1/9 y de cada uno de ellos eliminamos los cuadrados centrales. Continuando con el proceso indefinidamente obtenemos 19
  • 26. £   ¢20 ¡ FRACTALES la llamada alfombra de Sierpinski, la cual ocupa un ´rea 0 en el plano, al igual que el tri´ngulo a a del mismo nombre. En la secuencia de figuras siguientes se muestran las primeras etapas de la construcci´n de la alfombra de Sierpinski. o Otro de los ejemplos de los llamados fractales cl´sicos es la esponja de Menger, cuya cona strucci´n geom´trica es an´loga a la de la alfombra de Sierpinski, por lo tanto es una especie o e a de versi´n tridimensional de ´sta. La esponja de Menger es un fractal que tiene volumen 0 o e y ´rea infinita, la figura muestra las primeras etapas de su construcci´n, de la cual el lector a o puede deducir su proceso general de construcci´n. Conjuntos de o 2.2.6. Conjuntos de Julia Gaston Julia (1893-1978) fue uno de los grandes propulsores de la matem´tica fractal. Uno a de sus art´ ıculos m´s famosos fue el Informe sobre la iteraci´n de las funciones racionales. a o Uno de los fractales m´s estudiados corresponde al Conjunto de Julia y uno de sus elementos a se puede obtener con la siguiente f´rmula recursiva en el plano complejo: Zi+1 = Z 2 i − 1. El o 20
  • 27. £   ¢21 ¡ FRACTALES resultado depende del n´mero complejo de partida escogido. Por ejemplo, Z0 = 1, 05 + 0, 3i u produce una ´rbita finita en el plano complejo. o Podemos definir el conjunto de Julia de un polinomio de variable compleja como la frontera del conjunto de puntos que escapan al infinito al iterar dicho polinomio. Esto significa que la ´rbita de un elemento del conjunto de Julia no escapa al infinito, pero existen puntos o arbitrariamente cerca de ´l que s´ lo hacen. Vamos a ver ejemplos bas´ndonos en la funci´n e ı a o f (z) = z 2 + c 21
  • 28. £   ¢22 ¡ FRACTALES Julia prob´ que la ´rbita de z = 0 juega un papel esencial para saber si un conjunto de Julia o o es conexo. ¿Cu´ndo podemos considerar que la ´rbita de z = 0 diverge a infinito? La teor´ a o ıa de iteraciones nos asegura que la ´rbita divergir´ a infinito si en alg´n momento uno de sus o a u puntos tiene m´dulo mayor o igual a 2. o 2.2.7. Conjunto de Mandelbrot El Conjunto de Mandelbrot ha sido el estandarte ondeado al viento por los estudiosos y divulgadores de los fractales; ha sido el s´ ımbolo por antonomasia esgrimido para dar a conocer una nueva dimensi´n de la realidad... o una nueva realidad del concepto dimensi´n, seg´n se o o u vea. Publicaciones tan prestigiosas como la Scientific American han dicho de ´l que, hasta la e fecha, es el objeto matem´tico m´s complicado creado por el hombre. a a El Conjunto de Mandelbrot, al igual que los dem´s fractales no lineales tienen su origen en los a n´meros complejos. De hecho, este conjunto se genera a trav´s de iterar una cierta cantidad u e de veces la ecuaci´n compleja: zn+1 = zn 2 + c, donde z y c son n´meros complejos. o u √ Tenemos z = a + ib, donde a y b son n´meros reales e i se define como i = −1. u La cuesti´n es ahora: ¿Qu´ le pasar´ a nuestro zn para un c dado, cuando c → ∞? Cuanto o e a m´s veces se itere la f´rmula, el n´mero complejo resultante deber´ hacerse cada vez mayor, a o u ıan pero no ocurre as´ en todos los casos. El par´metro que determina su crecimiento es el m´dulo ı a o del complejo. Si el m´dulo (que no es imaginario, sino real) es 2 o mayor, est´ demostrado que o a seguir´ creciendo infinitamente. Sin embargo hay complejos que por mucho que los elevemos a al cuadrado nunca nos dar´n como resultado un n´mero complejo cuyo m´dulo sea superior a u o a 2. Este conjunto de puntos definen lo que se llama .El Lago de Mandelbrot”. Las .orillas”del Lago est´n definidas por los puntos que superan la barrera del 2 en un n´mero infinito de a u 22
  • 29. £   ¢23 ¡ FRACTALES iteraciones. Ejemplos: (Comencemos con z0 = 0 + i0) c = 0: Se comprueba que zn = 0 + i0 para todo n. c = i: Se obtienen z1 = i, z2 = −1 + i, z3 = −i, z4 = −1 + i y as´ sucesivamente, es decir, se ı generan los mismos valores de forma c´ ıclica con un periodo igual a 2. c = 1 + i: Se obtienen zn = 1 + i, −7 + i7, 1 − i97, −9407 − i193, . . .. La secuencia parece divergir. Y efectivamente, si para nuestro zn = a + ib se cumple la condici´n a2 + b2 > 4, se o puede demostrar que la secuencia obtenida siempre divergir´. a Ahora vamos a considerar el plano complejo (con los ejes imaginario y real) y usamos cada punto de ´ste (n´meros complejos) como la constante c en la f´rmula cuadr´tica. e u o a Partiendo de cada uno de estos puntos del plano complejo, procedemos a realizar muchas iteraciones con la f´rmula hasta poder decidir si la secuencia obtenida divergir´ o no. Si no lo o a hace, coloreamos el punto de color negro, y en caso contrario lo dejamos blanco. Repitiendo esto para cada punto del plano complejo se obtiene el Conjunto de Mandelbrot, representado a continuaci´n: o A continuaci´n podemos comprobar la autosimilaridad de dicho conjunto mediante una serie o de ampliaciones consecutivas: 23
  • 30. £   ¢24 ¡ FRACTALES 24
  • 31. £   ¢25 ¡ FRACTALES Otra caracter´ ıstica peculiar del conjunto de Mandelbrot es que forma una especie de ´ ındice de los conjuntos de Julia. Si la constante c fuera la misma para todos los puntos del dibujo, y no dependiera de la posici´n, obtendr´ o ıamos los llamados Conjuntos de Julia”. Hay uno diferente ¸ para cada punto del plano complejo. Estos conjuntos est´n completamente relacionados con a el Conjunto de Mandelbrot. Para cada punto de ´ste se puede decir que hay un conjunto de e Julia. 25
  • 32. £   ¢26 ¡ APLICACIONES Por tanto, los conjuntos de Mandelbrot y Julia est´n estrechamente relacionados. El conjunto a de Mandelbrot itera z = z 2 + c comenzando con z = 0 y variando el valor de c. El de Julia, por su parte, itera esa misma funci´n, pero con valores fijos para c y variando los o de z. Cada punto c en el conjunto de Mandelbrot especifica la estructura geom´trica del e conjunto de Julia correspondiente. Si c est´ en el conjunto de Mandelbrot, entonces el de a Julia ser´ conectado (cerrado). De lo contrario, el conjunto de Julia ser´ s´lo una colecci´n a a o o de puntos desconectados, trazados sobre una gr´fica. a 26
  • 33. Cap´ ıtulo 3 APLICACIONES 3.1. Naturaleza Fractal Primero, hay que remarcar que el estudio de los fractales no es algo privativo o exclusivo de las Matem´ticas. El estudio y origen de distintos fen´menos que se explican mediante a o modelos fractales corresponde determinarlo a las disciplinas cient´ ıficas donde se planteen. Tambi´n debemos se˜alar el potencial interdisciplinar de estos objetos, como elementos que e n pueden constituir el eje sobre el cual distintas disciplinas pueden trabajar coordinadamente. Los fractales, desde su primera formulaci´n tuvieron una vocaci´n pr´ctica de servir como o o a modelos para explicar la naturaleza. El propio Benoit Mandelbrot tuvo el m´rito de intuir la e potencia de los fractales para construir modelos que explicasen la realidad, esto lo hizo desde su primera formulaci´n y desde sus primeros trabajos que, con un notable af´n pr´ctico y o a a divulgador, estuvieron dedicados al problema de medir la costa de Gran Breta˜a. En su tan n citada obra The Fractal Geometry of Nature, Mandelbrot razon´ que la naturaleza entiende o mucho m´s de geometr´ fractal que de geometr´ diferenciable. A partir de ah´ muchos a ıa ıa ı, cient´ ıficos se han encontrado fractales en sus campos de estudio (el t´ ıtulo de uno de los libros sobre el tema es bastante sugerente, Fractals Everywhere). En contraste con la suavidad de muchos objetos humanos, las fronteras de formas naturales son a menudo mejor caracterizadas por la irregularidad y la rugosidad. Esta complejidad requiere el uso de elementos descriptores que son radicalmente diferentes de los de la Geometr´ Euclidiana o el C´lcuıa a lo. Mientras que las formas euclidianas est´n fora madas de l´ ıneas suaves (rectas o cur vas), muchas formas naturales exhiben autosemejanzas a trav´s e de diferentes escalas espaciales, una propiedad descrita por Mandelbrot en el marco de su nueva geometr´ Un objeto fractal natural de esta ıa. naturaleza, con modelos similares que se repiten en cada aumento m´s y m´s fino, es el ´rbol a a a mostrado m´s adelante. Los modelos obser vados en diferentes aumentos, aunque no son a 27
  • 34. £   ¢28 ¡ APLICACIONES id´nticos, son descritos por la misma estad´ e ıstica. Formalmente, no existen fractales en la Naturaleza ni producidos por el hombre. Ya que matem´ticaa mente se definen como conjuntos que cumplen cier tas condiciones, con respecto a su dimensi´n y foro ma, tales condiciones son imposibles de cumplir por un objeto del mundo real. Otra cosa que hay que se˜alar es que, por su novedad, n este dominio de las matem´ticas est´ lleno de ina a tuiciones muy acertadas, pero tambi´n de ambig¨edades e u ¿Qu´ criterios se pueden seguir para decir que un e objeto real tiene estructura de fractal? Est´ claro que un criterio puede ser el de la simple a percepci´n visual o intuici´n. A la vista de algo est´ claro que alguien exclamar´ esto es un o o a ıa fractal. Esto ya constituye un criterio bueno y que vale para trabajar a un nivel b´sico. a Por ejemplo, para que una hoja de helecho tuviera forma fractal, tendr´ que cumplir el ıa requisito de la autosemejanza (del que hablaremos m´s adelante). Tomemos la hoja completa, a al compararla con la subhoja, vemos que se parecen mucho y ahora tomemos la subsubhoja y tambi´n su apariencia es igual (o casi) a la subhoja y a la hoja completa... Hasta aqu´ todo va e ı bien, PERO, ¡Este proceso termina! Es un proceso finito ya que no podemos seguir tomando subsubsub... hojitas tan peque˜as como queramos; es aqu´ donde se rompe con la formalidad n ı matem´tica del concepto autosemejanza. En la Naturaleza solo se obser van procesos finitos a y esta es la raz´n fundamental por la que no hay estructuras fractales en ella, no obstante, o al margen de este formalismo, utilizaremos el t´rmino fractal natural. e 28
  • 35. £   ¢29 ¡ APLICACIONES No tenemos que ir muy lejos para encontrar ejemplos de fractales naturales en el ambiente diario de nuestras casas, por ejemplo. Solo el alimento proporciona ilustraciones excelentes de formas que podr´ ser clasificadas usando los conjuntos fractales identificados por Mandelıan brot, la col y la lechuga (curvas), pollo rebozado frito y pizzas (super ficies), pur´ de patatas e (nubes), br´colis (puntos desconectados)y palomitas de ma´ (formas raras no definibles). o ız Otros ejemplos de fractales naturales incluyen l´ ıneas de la costa y r´ cur vos (como apareıos cen en los mapas de enciclopedias, por ejemplo), flores como rosas o claveles, ramas de ´rboles, a formaciones de roca, sierras, algas y otras plantas acu´ticas, coral y partes de la anatom´ a ıa humana como el pelo rizado, las venas, e intestinos. A continuaci´n podr´ o ıamos investigar algo m´s, y comprobar que lo mismo que se ve a gran a escala se ve a peque˜a escala, lo cual nos da una idea de recursi´n o de autosimilitud. O n o que se parece a un ´rbol, lo cual nos da una idea de ramificaci´n. Este lenguaje que es a o 29
  • 36. £   ¢30 ¡ APLICACIONES vago e impreciso no est´ muy lejos, aunque parezca extra˜o, del significado cient´ a n ıfico que se atribuye a un objeto real o natural cuando se dice que es un fractal. Por ejemplo ¿qu´ se e quiere decir cuando se dice que una zona costera es un fractal? Desde luego no quiere decirse que haya una curva y una f´rmula matem´tica que se ajuste de forma precisa al perfil del o a litoral. Lo que quiere decirse es que puede definirse un modelo matem´tico fractal, que se a ajusta con unas cotas m´xima y m´ a ınima de error, cotas que se pueden determinar de forma precisa, al perfil de la costa. La cuesti´n que se plantea a continuaci´n es si un objeto con estas o o caracter´ ısticas, un trozo de costa, la red arterial, son realmente fractales, o dicho de otra forma si existen realmente fractales en la naturaleza. Esta pregunta, que es legitimo hacerla, e incluso responderla negativamente, es decir negando la existencia de los fractales en la naturaleza, es la misma que se hace cuando se pregunta si existen superficies planas o l´ ıneas rectas en la naturaleza, o si existen esferas. Ser´ como suponer que en la naturaleza no existen esferas ıa porque la Tierra, u otros planetas, no se ajustan con precisi´n a lo que es una esfera ideal o tal como se define en Matem´ticas. En la naturaleza los objetos fractales suelen aparecer de a varias formas. Una de ellas es en una situaci´n de frontera, y aqu´ incluimos todos los casos en o ı que entran en contacto dos medios humanos, naturales, f´ ısicos, qu´ ımicos, etc. o dos superficies diferentes: frontera entre pa´ ıses, riberas de los r´ litoral, nubes,.... Es decir aquellos casos ıos, en que se produce una ramificaci´n con autosimilitud: ´rboles, arbustos, y plantas, tejidos o a arteriales, cuencas fluviales con sistemas de r´ afluentes, barrancos, riachuelos, etc. Mientras ıos, en el cuerpo humano estan las redes capilares, redes pulmonares, y otros. Tomemos el caso de un ´rbol. Un ´rbol es de hecho un tronco que tiene ramas que crecen en a a a ´ngulos ascendentes en posiciones diferentes. Cada una de estas ramas tiene ramas (m´s finas) a que crecen en ´ngulos similares. Cada rama tiene ramitas que crecen en ´ngulos similares a a para alcanzar una hoja. Despu´s de una observaci´n m´s detenida, uno ve que las venas e o a de una hoja se bifurcan del mismo modo que las ramitas hicieron de las ramas, las ramas hicieron de los miembros y los miembros del tronco. Es interesante el hecho que antes que los fractales fueran descubiertos, los bot´nicos pod´ identificar el modelo de un ´rbol, con a ıan a sus ramas y hojas, como un patr´n fractal. o De los fractales naturales vivos podemos a˜adir que el mundo vegetal es especialmente f´rtil n e pues se incluyen br´colis, cact´ceas, la super ficie rugosa de los ´rboles, la ramificaci´n de o a a o otras especies de ´rboles, las formaciones vegetales propias de las regiones tropicales, frutas a como el anan´s, la distribuci´n de colores en una col, etc. Vayamos a una plaza con ´rboles a o a frondosos y miremos su follaje contra el azul del cielo, esa forma irregular de los bordes, no puede ser definida en t´rminos matem´ticos cl´sicos. e a a 30
  • 37. £   ¢31 ¡ APLICACIONES Otro grupo de fractales naturales est´ compuesto por las formas inanimadas de la Naturaleza, a por ejemplo los rayos, las olas, copos de nieve, los cristales, monta˜as, las costas, cascadas, n rocas, el terreno desecado y con grietas, las gala xias, etc. Algunos de estos t´picos son objeto o de atenci´n en variados campos, tomemos a modo de ejemplo el estudio de la deformaci´n o o de algunos materiales. 31
  • 38. £   ¢32 ¡ APLICACIONES Por su parte los cient´ ıficos han identificado fractales en la forma de las galaxias, las costas mar´ ıtimas, las monta˜ as y perfiles rocosos, los perfiles de los bosques, las fronteras, etc., n y en procesos f´ ısicos y qu´ ımicos, por ejemplo, la cristalizaci´n, las fracturas de materiales, o los movimientos de part´ ıculas, las descargas el´ctricas, la electr´lisis y los procesos f´ e o ısicos de ramificaci´n, agregaci´n y turbulencia. Tambi´n se relacionan con la aparici´n de ruido o o e o en se˜ales el´ctricas (precisamente una especie de conjunto de Cantor en su distribuci´n) e n e o incluso los fen´menos econ´micos o sociol´gicos. o o o En nuestro organismo tambien podemos identificar fractales, por ejemplo, el sistema circulatorio, la ramificaci´n de venas arterias, nervios, la estructura de los pulmones, ramificaci´n o o de tumores cancer´ ıgenos. El propio cuerpo humano es rico en ejemplos de objetos fractales, tomemos el caso del sistema circulatorio humano, como la sangre es una materia preciosa para los tejidos, el cuerpo humano emplea un sistema complejo para la entrega de ella en 32
  • 39. £   ¢33 ¡ APLICACIONES todas y cada una de las partes del mismo, este sistema refleja el sistema de bifurcaci´n que o presentamos antes en el caso de los ´rboles: las arterias conectan a las capilares, las cuales a conectan a las venas hasta que la sangre es distribuida equitativamente. Los pulmones son otro ejemplo anat´mico de una objeto fractal natural. o Es importante se˜ alar que aunque los fractales no permiten explicar ni dar modelos para n describir todas las formas de la naturaleza, nos encontramos frente a un planteamiento que permite describir y dar respuesta a formas geom´tricas tan distintas como las que tienen los e objetos descritos. Adem´s, el planteamiento es muy atractivo por lo menos por dos razones: a primero por su sencillez, y por su capacidad para ser computerizado en forma relativamente sencilla, y segundo por dar modelos para representar y describir algor´ ıtmicamente una gran variedad de formas de la naturaleza. Curiosamente, tambi´n se observan estructuras fractales en los registros de encefalogramas e y electrocardiogramas: 33
  • 40. £   ¢34 ¡ APLICACIONES Un ejemplo anecd´tico, ya que obviamente no forma parte de ninguna estructura natural, es o Internet. Observemos la geometr´ de la siguiente fotograf´ donde se presenta un mapa de ıa ıa, Internet aproximado. Los fractales abren la puerta a numerosas conjeturas sobre la complejidad del mundo. Las pautas de generaci´n de fractales son extremadamente sencillas si se comparan con los resulo 34
  • 41. £   ¢35 ¡ APLICACIONES tados obtenidos. Es posible que numerosos comportamientos de la naturaleza que hoy d´ se ıa nos antojan extremadamente complicados respondan de igual forma a mecanismos de enorme sencillez. La geometr´ fractal es una rama muy joven cuyos progresos deben repercutir muy ıa directamente en una creciente utilidad de la geometr´ fractal para el estudio de la realidad. ıa 3.2. Aplicaciones de los Fractales Adem´s de ser de gran utilidad en sistemas din´micos, los fractales tienen aplicaci´n en a a o muchas disciplinas. A continuaci´n se han resumido algunas de ellas. o 3.2.1. Modelos de Poblacion En los a˜os 50 se modelaron los cambios de distintas poblaciones a trav´s de ecuaciones n e matem´ticas. As´ se ve´ c´mo un cierto factor, que podr´ ser el suministro de alimentos o a ı ıa o ıa la constante de crecimiento por ejemplo, alteraba a la poblaci´n. o Estas ecuaciones son recursivas: Se parte con un valor, se introduce en la ecuaci´n para cono seguir un nuevo resultado, que entonces se usa como el valor inicial en la siguiente iteraci´n. o Implica que la poblaci´n final de un a˜o es la inicial del siguiente. o n Un sistema como este fue usado por Robert May, llamado mapeado log´ ıstico del proceso de Verhulst. yn+1 = k · yn (1 − yn ) (curva log´ ıstica) donde y es la poblaci´n (entre 0 y 1), y k representa la constante de crecimiento. Para k o entre 1 y 3, la poblaci´n se estabilizar´ en torno a un valor fijo. Cuando vale 3, el periodo o a se duplica a 2. Un a˜o la poblaci´n es muy alta, provocando una baja de poblaci´n al a˜o n o o n siguiente, que hace que el pr´ximo a˜o la poblaci´n aumente. Para k=3.45, el periodo se o n o dobla a 4, lo que significa que la poblaci´n tiene un ciclo de cuatro a˜os. Este periodo se o n duplica cada vez m´s r´pido, para 3.54 , 3.564 , 3.569 , y as´ En 3.57 ocurre el caos. La a a ı. poblaci´n nunca se fija en un periodo. Para la mayor´ de los valores de k entre 3.57 y 4, o ıa la poblaci´n es ca´tica, pero hay regiones peri´dicas. Para cualquier periodo fijo, habr´ un o o o a valor de k que produzca ese periodo. La poblaci´n total tiende a estabilizarse (no cambiar o de un periodo a otro) para ciertos valores de k. Sin embargo, al variar muy levemente este par´metro, el total de la poblaci´n puede no estabilizarse en un solo punto, sino oscilar entre a o 2, 4, 8 o incluso muchos m´s. Esta variaci´n no es lineal con respecto a k, sino que arroja la a o siguiente curva de k respecto al valor final de estabilizaci´n: o 35
  • 42. £   ¢36 ¡ APLICACIONES Si k es peque˜ a, la poblaci´n se estabiliza en torno a un punto. A medida que k aumenta, n o la poblaci´n tiende a cambiar entre dos valores espec´ o ıficos. En un cierto punto la poblaci´n o se estabiliza en torno a cuatro valores espec´ ıficos, luego r´pidamente en torno a ocho, y a as´ sucesivamente hasta que hay tantos valores distintos para la poblaci´n que pareciera ser ı o un fen´meno aleatorio. Si nos acercamos al gr´fico veremos como la estructura inicial se repite o a microsc´picamente, es decir, el diagrama presenta estructura fractal. o 3.2.2. Predicciones Meteorol´gicas o En el campo de las aplicaciones puramente meteorol´gicas, Lovejoy public´ un par de estuo o dios confirmando la sospecha de la posibilidad de modelizar nubes mediante fractales. Pocos gr´ficos de los com´nmente manejados en Meteorolog´ resultan tan ’rectos’ como la figura a u ıa siguiente en la que se muestran relaciones Area-Per´ ımetro de nubes y zonas de precipitaci´n. o Los datos provienen de observaciones Radar en zonas Atl´nticas tropicales con precipitaa ciones superiores a los 2 mm./hora, y de la banda infrarroja de sat´lites geoestacionarios e sobre el Oc´ano Indico con lecturas inferiores a los -10o . Las ´reas oscilan entre uno y un e a mill´n de Kil´metros cuadrados. La dimensi´n del per´ o o o ımetro, ajustada en un rango de seis o ´rdenes de magnitud es 4/3. 36
  • 43. £   ¢37 ¡ APLICACIONES De manera similar, hay evidencia de que la localizaci´n geogr´fica de epicentros en temblores o a exhibe un patr´n fractal, y en la actualidad la dimensi´n fraccional (dimensi´n fractal) de o o o la superficie irregular de una falla en un material ya se utiliza como medida indirecta de su resistencia y dureza. 3.2.3. Visualizacion de Fenomenos Biologicos Uno de los objetivos de las Ciencias Naturales es encontrar los principios que unifican aparentemente a diversos fen´menos. Con este objetivo en mente se han aplicado nociones y o m´todos computacionales para comprender mejor los mecanismos que gobiernan formaci´n de e o patrones en organismos vivientes. Hay mucha investigaci´n dedicada a modelar y visualizar o plantas, esponjas, y la simulaci´n de su crecimiento usando el formalismo de los Lindeno mayersystems (L-systems). Tambi´n se pueden simular gr´ficamente los modelos qu´ e a ımicos de reacci´n y difusi´n. o o Los resultados incluyen hasta ahora una recreaci´n realista de que la formaci´n de patrones o o en la pigmentaci´n de las conchas marinas. Tambi´n se han desarrollado herramientas de simo e ulaci´n basadas en la geometr´ fractal para generar ´rboles, flores, arbustos, donde algunos o ıa a de estos modelos son muy fidedignos a la realidad. Para visualizar el resultado de simulaciones se usan modelos morfogen´ticos (generadores de formas) que usan t´cnicas computacionales e e gr´ficas. Estos modelos pueden ser usados para prop´sitos de sintetizar im´genes y como a o a herramienta de investigaci´n para estudiar la morfog´nesis en la naturaleza. o e 3.2.4. Compresion Fractal de Imagenes La compresi´n fractal es una tecnolog´ bastante controvertida, con detractores y admio ıa radores. La idea b´sica detr´s de la compresi´n fractal de im´genes, es expresar que la a a o a imagen es un sistema de funciones iteradas (IFS). La imagen puede mostrarse r´pidamente, a y un zoom proporciona infinitos niveles de detalles fractales (sint´ticos). El problema es como e generar eficientemente la imagen IFS. Cosas que saber sobre compresi´n fractal: o 37
  • 44. £   ¢38 ¡ APLICACIONES Es un m´todo de compresi´n que pierde un poco de informaci´n (como JPG). e o o La resoluci´n al agrandar es poderosa, pero no una forma de comprimir 100:1. o La compresi´n es lenta, la descompresi´n es r´pida. o o a La tecnolog´ est´ patentada. ıa a Dado que los fractales matem´ticos serv´ para generar im´genes que se ve´ naturales, se a ıan a ıan pens´ que tambi´n podr´ servir en el sentido opuesto para comprimirlas. La idea es tomar o e ıa una imagen y llevarla a un sistema de funciones iterado, que podr´ generar el original. Este ıa problema aun no se ha resuelto. Fue Barnsley, quien en 1988 anuncio al mundo que si lo hab´ resuelto, patentando la tecıa nolog´ El problema fue que tomaba alrededor de 100 horas para codificar una imagen, y ıa. alrededor de 30 minutos para decodificarla, con una persona guiando el proceso. El resultado era una compresi´n 10.000:1. Poco despu´s con uno de sus alumnos de doctorado, desarrollo o e un sistema para representar im´genes llamado Sistema de Funciones Iteradas Particionado a (PIFS). Un algoritmo que comprim´ autom´ticamente la imagen en un Sistema de Funıa a ciones Iterado Particionado. El algoritmo no era sofisticado, ni r´pido, pero si autom´tico. a a El costo fue que una imagen de 24-bit colores pod´ ser comprimido de 8:1 a 50:1, lo cual ıa aun es bastante bueno. Todos los programas actuales de compresi´n de im´genes fractales o a ¨ (que no son muchos) se basan es este algoritmo. La empresa Iterated Systems”, vende el unico compresos/decompresor comercial, llamado ¨ ´ Images Incorporated”. Tambi´n hay varios e programas de acad´micos disponibles gratuitamente en Internet. e Actualmente la t´cnica de compresi´n fractal no supera el est´ndar de compresi´n de im´genes e o a o a JPEG ni el JPEG2000. 3.2.5. M´ sica Fractal u Beethoven, Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores. Pero lo que revel´ hace a˜os el estudio de los fractales es que su m´sica presenta ciertas propiedades o n u fractales. La coral situada al final de (Kunst der Fuge) (1749) de Johann Sebastian Bach es 38
  • 45. £   ¢39 ¡ APLICACIONES un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una y otra vez con distintas variaciones dentro de una regi´n mayor de la pieza. As´ por ejemplo, varias o ı, voces repiten al doble de velocidad la melod´ de la voz principal (un motivo se repite por ıa disminuci´n a escalas menores). o Hay varios trabajos que analizan la manifestaci´n de estructuras fractaliformes en composio ciones cl´sicas: por ejemplo, en algunos se estudia la analog´ entre la estructura del conjunto a ıa de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, as´ como entre el tri´ngulo de Sierpinski y ı a el tercer movimiento de la sonata para piano n´mero 15, opus 28, tambi´n de Beethoven; en u e otros se analiza la autosemejanza de las fugas de Bach. La m´sica fractal intenta establecer los potenciales usos de la recursi´n, la iteraci´n y las u o o matem´ticas complejas como una extensi´n de la composici´n musical. As´ llegamos a que los a o o ı fractales proveen una inesperada conexi´n entre las artes musicales y muchos procesos natuo rales, ya que mezclan cualidades deterministicas y estoc´sticas para producir naturalmente a un agradable y no-est´tico balance entre predecibilidad y novedad. La estructura jer´rquica e a del fractal autosimilar es an´loga a la repetici´n y desarrollo de motivos musicales usados a o para crear unidad y coherencia en la m´sica. u Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear m´sica techno con bases fractales. u Cada vez son m´s los compositores que utilizan el caos o la geometr´ fractal como apoyo a ıa en sus composiciones. Una enorme cantidad de fractales puede ser f´cilmente creado con un a computador para ser usado como fuente inagotable de ideas musicales. 39
  • 46. £   ¢40 ¡ 3.2.6. APLICACIONES El Arte Fractal Aplicando tonos de color a algunos fractales complejos como el Conjunto de Mandelbrot o el de Julia, se pueden llegar a interesantes resultados est´ticos. Las galer´ de im´genes fractales e ıas a y sus artistas inundan la red. Muchos ocupan programas de dibujo (como Photoshop o Corel) par dar un mejor acabado a sus obras. Algunos tambi´n usan algoritmos para hacer paisajes e rom´nticos con fractales, como lunas reflejadas en el agua, monta˜as y puestas de sol, etc. a n Se ha desarrollado tambi´n el campo de los fractales tridimensionales, la incidencia de la luz e sobre las monta˜as o nubes, por ejemplo. Aqu´ vemos algunos ejemplos de lo que se puede n ı hacer con ecuaciones fractales. Aqu´ tenemos dos porciones del Conjunto de Mandelbrot ı llevados a las tres dimensiones. 40
  • 47. £   ¢41 ¡ 3.2.7. APLICACIONES Efectos Visuales Los fractales han sido llevados al mundo cinematogr´fico en pel´ a ıculas como Star Wars: El Retorno del Jedi (para dibujar la Superficie de la Estrella de la Muerte y la Superficie de la Luna de Endor) y StarTrek II: La ira de Khan (para dibujar la Superficie del planeta G´nesis). e Las monta˜as ser´ n ıan, quiz´s junto con los planetas, uno de los primeros campos en los que a la geometr´ fractal pudo aplicarse en la Naturaleza. A continuaci´n se muestran algunos ıa o ejemplos de paisajes fractales. Las nubes son irregulares y la clave fractal de su generaci´n est´ en que los colores reflejados o a por la nube se funden suavemente unos con otros dando una tenue sensaci´n que se consigue o f´cilmente con el fractal a 41
  • 48. £   ¢42 ¡ 3.2.8. APLICACIONES Antenas Fractales En la pasada d´cada, los cient´ e ıficos han comenzado a aplicar los fractales a un tema algo oscuro: el dise˜ o de las antenas. n Las antenas parecen ser simples, pero la teor´ que ıa tienen detr´s, basadas en las ecuaciones de Maxwell a del electromagnetismo, son impenetrables. Como resultado, los ingenieros de antenas tienen que usar el m´todo de prueba y error. Incluso los mejores e y m´s tecnol´gicos receptores dependen habituala o mente de un hilo que no es mejor que el que us´ Maro coni para la radio hace cien a˜os. n Los fractales ayudan de dos formas. Primero, pueden mejorar el funcionamiento de los conjuntos de antenas. Muchas antenas parecen estar compuestas de una unidad independiente, incluyendo la mayor´ de antenas de radar, pero en realidad est´n compuestas de formaciones de cientos ıa a de peque˜as antenas. n Tradicionalmente, estas antenas individuales se colocan de forma aleatoria o de forma ordenada. Pero Dwight Jaggard de la Universidad de Pensilvana, junto con otras personas, han descubierto que una colocaci´n en forma de fractal puede combinar la robustez de una coloo caci´n aleatoria con le eficiencia de una ordenaci´n coherente, con una sola parte del n´mero o o u de elementos. Los fractales son el puente que llena los huecos, comenta Jaggard, tienen un desorden a corto alcance y un orden a largo alcance. Incluso las antenas independientes se benefician de tener una forma fractal. Nathan Cohen, un radio astr´nomo de la Universidad de Boston ha o experimentado con los cables fractales conocidos como curvas Koch o tri´ngulos de Sierpinski. a No s´lo se puede meter la misma longitud de antena en una sexta parte del ´rea, sino que o a las formas angulares generan capacidades el´ctricas y conductividad, eliminando que los e 42
  • 49. £   ¢43 ¡ Conclusiones componentes externos sintonicen la antena entre el rango de frecuencias a las que responden. El por qu´ de que las antenas fractales funcionen tan bien fue probado matem´ticamente e a por Cohen y Robert Hohlfeld, que dijeron que tiene que satisfacer dos condiciones: tiene que ser sim´trica con respecto a un punto, y tiene que ser similar a s´ misma (es decir, tener el e ı mismo aspecto b´sico en cada escala), para poder ser fractal. a Posiblemente, en un futuro cercano, estas antenas fractales tendr´n un uso masivo en el a nuevo sistemas da Identificaci´n por Radiofrecuencia que sustituir´ a los c´digos de barras o a o habituales. 43
  • 50. Conclusiones Luego del desarrollo de este seminario se ha podido conocer y entender nuevas teor´ ıas matem´ticas, las cuales aunque parezcan algo complicadas de entender, son de importana cia seg´n lo demuestran sus aplicaciones, por lo tanto aparte de las conclusiones que cada u lector obtenga despu´s de el an´lisis de este seminario, se dar´ algunas conclusiones, las cuales e a a como autor he podido obtener despu´s del desarrollo de este interesante tema: e ∴ Durante la realizaci´n de este trabajo se ha resaltado la importancia de los fractales, pues o su campo de acci´n no ha parado de ampliarse desde las investigaciones de Mandelbrot o en los setenta. La forma en la que los fractales parecen describir la naturaleza hace que se encuentren aplicaciones curiosas como la organizaci´n de nodos de redes de como putadores. ∴ Adem´s por m´s que se avance los fractales no dejan de tener posibilidades para el dea a sarrollo y la investigaci´n, como por ejemplo en la compresi´n de im´genes, donde el o o a concepto es excepcional, aun que todav´ no se haya dado con la forma adecuada de ıa llevarlo a cabo. ∴ Hemos observado que los fractales son una muy buena aproximacion para representar un gran numero de fonomenos naturales pues en la naturaleza la mayor parte de los elementos son irregulares y ca´ticos por lo que se aproximan mejor por caracter´ o ısticas fractales. En definitiva podemos decir que los fractales son una buena herramienta que nos ayuda y ayudar´ en muchas aplicaciones, y explicaciones de fen´menos de la vida real, y que es un a o campo de las matem´ticas muy joven que aun tiene bastante recorrido por delante. a 44
  • 51. Bibliografia y Webgrafia B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, New York, 1982. J. Barrallo Calonge, Geometr´ fractal: algor´ ıa ıtmica y representaci´n, Anaya Multimeo dia, 1993. M. Barnsley, Fractals Everywhere, Second Edition, Academic Press, 1993. M. de Guzm´n, M. A. Mart´ M. Mor´n, M. Reyes, Estructuras fractales y sus aplia ın, a caciones, Labor, 1993. @ http://www.fractal.org/ http://www.fractales.org/ http://www.fractalia.com.ar/ @ http://classes.yale.edu/fractals/ http://www.fractaltec.org/ @ http://www.geofisica.cl/English/FUM/Fractales/Fractales.htm @ http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/en/art/sommaire.html#sommaire @ http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal 45