1. Enedino Romero Solano
Recordemos lo que hemos aprendido…
Unidad 1. Antecedentes históricos del calculo diferencial
Unidad 2. Limites
Unidad 3. La derivada
Y el tema
También que
Ya analizamos
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
funciones…
iniciamos
limites de hoy
es….
funciones…
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
3. Enedino Romero Solano
“La pregunta del millón…”
2
Si tenemos una función definida por y x
La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
4. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos La recta secante
Que necesitamos saber. y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta tangente
Recta secante
“es una recta que “es una recta que
toca 2 puntos en toca solo un
un circulo” punto en un circulo”
5. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
6. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
7. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
8. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y2 ) y2 y1
m
y2 y1 x2 x1
( x1 , y1 )
Muy sencillo de obtener si
x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!
9. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
Función original
( x2 , y2 )
Recta secante
( x1 , y1 ) y2 y1
m
x2 x1
10. Enedino Romero Solano
Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener la pendiente de una recta
tangente si solo conoce existe un punto?
Recta tangente
y2 y1
m ?
( x1 , y1 ) x2 x1
11. Enedino Romero Solano
Algo de historia….
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo DERIVADA.
12. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Observe que si hacemos
mtan Supongamos que deseamos
diversas aproximaciones de rectas
conocer la pendiente de la
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación X=1
recta tangente en de la
Pendiente de la recta tangente
13. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
14. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
15. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
16. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
17. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
18. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
19. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
20. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
21. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
22. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
23. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan Observa que el punto
( x2 , y2 )
Cada vez se acerca
más al punto
( x1 , y1 ) Continuar
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Volver a
mostrar
Atajo
24. Enedino Romero Solano
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?
26. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
f ( x2 )
( x1 , y1 )
f ( x1 )
fy( x2 )y1 f ( x1 ) y2 y1
mtan 2
x2 x2 x1 x1
Considerando:
Procedemos y mfsec x)
(
a sustituir: x2 x1
27. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((xx2 ) f ( x( ) 1 )
2)
f 1x
mtan x2 x1
Ahora
Consideremos:
x x2 x1
28. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
29. Analiza la siguiente secuencia de graficas y
observa como la recta secante, se acerca a la
recta tangente.
33. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
34. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
Se puede observar
que el punto ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) cada vez se aproxima
más al punto ( x1 , y1 )
pero no llegará a tocarlo
x x2 x1
f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 )
( 1(
Podemos expresar lo anterior así:
mtan lim
x x x 0
Analizando dicho comportamiento,
x 0 procedemos a aplicar un límite así:
35. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ((x1 2 ) x)f ( x1() 1 )
f x f x Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
xx x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:
36. Enedino Romero Solano
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
x x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:
37. Enedino Romero Solano
La derivada.
Este límite, representa la pendiente
de las diversas rectas tangentes a la
= gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dy x)
f ( x1 Por(su )
f x1 origen basado en
mtan lim
dx x incrementos
x 0
38. Enedino Romero Solano
La derivada.
dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta
= lim x fórmula es que lo siguiente,
dx ahora si, tiene sentido:
x 0
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
39. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
2
del límite deducido para y f ( x) x
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la dy f (x x) f ( x)
derivada esta definida lim
por el límite: dx x 0 x
Iniciamos encontrando la FUNCION INCREMENTADA:
2
x (x x) (x x)
se puede observar que:
2 2
Al sustituirlo obtenemos: x 2x x x
40. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
Al sustituir en la formula f (x x) f (x)
de la derivada:
2 2 2
dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Reduciendo 2 2 2
términos: dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Factorizando dy x(2 x x)
El termino común: lim
dx x 0 x
41. Enedino Romero Solano
Aplicación del límite obtenido….
dy
lim 2 x x 2x 0
dx x 0
Al evaluar dicho límite llegamos a la conclusión que:
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
42. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan ? dy
2x
dx
Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva
en un punto previamente establecido.
43. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan
mtan ?
2 dy
2x
dx
En el punto: Al sustituir dy
en la derivada mtan 2( 1) 2
x 1 el valor de X: dx
44. Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan 2 dy
2x
dx