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Enedino Romero Solano


Recordemos lo que hemos aprendido…

Unidad 1. Antecedentes históricos del calculo diferencial

Unidad 2. Limites

Unidad 3. La derivada

                                                         Y el tema
                                                         También que
                                                         Ya analizamos
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
                                                         funciones…
                                                         iniciamos
                                                         limites de hoy
                                                         es….
                                                         funciones…


   Pero, antes de iniciar veamos una
   simple pregunta…
Enedino Romero Solano


“La pregunta del millón…”




                            ( un minuto de silencio…)
Enedino Romero Solano


“La pregunta del millón…”
                                                              2
  Si tenemos una función definida por             y       x
 La mayoría contestaría: “su derivada es:             y           2x   ”


           MUY BIEN!! ….. Pero……..




“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

         “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Enedino Romero Solano


  Algunos conceptos básicos    La recta secante
  Que necesitamos saber.      y la recta tangente
                                  en términos
                                  geométricos

                                   Recta tangente
  Recta secante

“es una recta que                 “es una recta que
toca 2 puntos en                   toca solo un
un circulo”                        punto en un circulo”
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.    La recta secante
                             y la recta tangente
                               en una función
 Función original
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.     La recta secante
                              y la recta tangente
                                en una función
 Función original




                             Recta secante
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.          La recta secante
                                   y la recta tangente
                                     en una función
 Función original


                      Recta tangente
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)


      En términos muy simples la pendiente de una recta es
      un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta




                      ( x2 , y2 )                           y2     y1
                                                     m
                                    y2   y1                 x2     x1
  ( x1 , y1 )
                                              Muy sencillo de obtener si
                 x2      x1                   tienes dos puntos sobre una recta!
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:

 Función original



                                      ( x2 , y2 )
                                                    Recta secante


                       ( x1 , y1 )                                  y2    y1
                                                          m
                                                                    x2    x1
Enedino Romero Solano


Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener la pendiente de una recta
            tangente si solo conoce existe un punto?



                                 Recta tangente



                                                          y2     y1
                                                  m                      ?
                   ( x1 , y1 )                            x2     x1
Enedino Romero Solano


Algo de historia….
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :




     Pierre de Fermat      Rene Descartes       Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo DERIVADA.
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

                                        Observe que si hacemos
                mtan                         Supongamos que deseamos
                                        diversas aproximaciones de rectas
                                             conocer la pendiente de la
                                        secantes, podemos hacer una
                                        muy buena estimación X=1
                                             recta tangente en de la
                                        Pendiente de la recta tangente
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan


                                            ( x2 , y2 )
                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan

                                        ( x2 , y2 )


                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan
                                  ( x2 , y2 )



                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan
                                  ( x2 , y2 )



                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan
                           ( x2 , y2 )



                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan
                    ( x2 , y2 )



                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                mtan

                  ( x2 , y2 )


                    ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                 mtan

              ( x2 , y2 )

                     ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                 mtan


             ( x2 , y2 )
                      ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                  mtan


            ( x2 , y2 )
                          ( x1 , y1 )
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE


                  mtan                    Observa que el punto
                                                ( x2 , y2 )
                                           Cada vez se acerca
                                             más al punto
                                                ( x1 , y1 )          Continuar

           ( x2 , y2 )
                         ( x1 , y1 )
                                                                     Volver a
                                                                     mostrar




                                                                      Atajo
Enedino Romero Solano


La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE




                                        Ahora, como expresar el
                                        comportamiento anterior
                                        en términos matemáticos?
Enedino Romero Solano


La derivada.
                 mtan
                         ( x2 , y2 )


           ( x1 , y1 )




         y2 y1                                      y2      y1
 mtan    Aprox. msec       Procedemos     msec
         x2 x1             a sustituir:             x2      x1
Enedino Romero Solano


La derivada.
                  mtan
                                      ( x2 , y2 )

                                                     f ( x2 )
            ( x1 , y1 )
                               f ( x1 )




         fy( x2 )y1 f ( x1 )                                   y2          y1
 mtan      2

          x2 x2 x1 x1
                               Considerando:
                                     Procedemos     y mfsec x)
                                                          (
                                     a sustituir:              x2          x1
Enedino Romero Solano


La derivada.
                  mtan
                                      ( x2 , y2 )


            ( x1 , y1 )

                                  x     x2      x1



         f ((xx2 ) f ( x( ) 1 )
              2)
                     f 1x
 mtan         x2 x1
                                      Ahora
                                      Consideremos:
                                                      x     x2     x1
Enedino Romero Solano


La derivada.
                 mtan
                                          ( x2 , y2 )


           ( x1 , y1 )

                                    x       x2        x1



                                           Ahora recordemos el comportamiento
         f ( x2 )        f ( x1 )
 mtan               x
                                           de las rectas secantes y podemos ver
                                           que     x tiende a disminuir
                                        Presiona para observar nuevamente el comportamiento
                                        (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Analiza la siguiente secuencia de graficas y
observa como la recta secante, se acerca a la
                 recta tangente.
Concepto_Geometrico_de_Derivada_(Enedino Romero)
Concepto_Geometrico_de_Derivada_(Enedino Romero)
Concepto_Geometrico_de_Derivada_(Enedino Romero)
Enedino Romero Solano


La derivada.
                 mtan
                                          ( x2 , y2 )


           ( x1 , y1 )

                                    x       x2        x1



                                           Ahora recordemos el comportamiento
         f ( x2 )        f ( x1 )
 mtan               x
                                           de las rectas secantes y podemos ver
                                           que     x tiende a disminuir
                                        Presiona para observar nuevamente el comportamiento
                                        (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Enedino Romero Solano


La derivada.
                    mtan
                                        ( x2 , y2 )
                                                           Se puede observar
                                                           que el punto ( x2 , y2 )
              ( x1 , y1 )                                  cada vez se aproxima
                                                           más al punto ( x1 , y1 )
                                                           pero no llegará a tocarlo
                                   x     x2       x1



          f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 )
                  (          1(
                                        Podemos expresar lo anterior así:
 mtan   lim
                     x x                               x     0
                                         Analizando dicho comportamiento,
          x        0                     procedemos a aplicar un límite así:
Enedino Romero Solano


La derivada.
                    mtan
                                        ( x2 , y2 )


              ( x1 , y1 )

                                x        x2       x1



            f ((x1 2 ) x)f ( x1() 1 )
            f x              f x           Finalmente considerando lo siguiente:
 mtan   lim
                       xx                             x2   x1    x
          x        0                         La expresión nos queda así:
Enedino Romero Solano


La derivada.
                    mtan
                                            ( x2 , y2 )


              ( x1 , y1 )

                                   x         x2       x1



                f ( x1      x)   f ( x1 )      Finalmente considerando lo siguiente:
 mtan   lim
                             x                            x2   x1    x
          x        0                             La expresión nos queda así:
Enedino Romero Solano


La derivada.

                                        Este límite, representa la pendiente
                                        de las diversas rectas tangentes a la
        =                               gráfica de una función…..
                                        Y se le conoce comúnmente como:




        Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

                     dy x)
                f ( x1       Por(su )
                               f x1 origen basado en
 mtan       lim
                     dx x    incrementos
             x    0
Enedino Romero Solano


La derivada.
   dy       f ( x1        x)    f ( x1 )    Y precisamente por esta
      = lim                x                fórmula es que lo siguiente,
   dx                                       ahora si, tiene sentido:
             x    0
                                                                      2
       Si tenemos una función definida por                 y      x
                                                dy
          Entonces su derivada es:                      2x
                                                dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Enedino Romero Solano


Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
                                                                           2
del límite deducido para                         y      f ( x)         x
obtener la derivada de la función:



Recordemos que la           dy                   f (x     x)         f ( x)
derivada esta definida               lim
por el límite:              dx           x   0             x

Iniciamos encontrando la FUNCION INCREMENTADA:
                                     2
   x     (x     x)            (x             x)
se puede observar que:
                                     2                           2
Al sustituirlo obtenemos:        x           2x x           x
Enedino Romero Solano


  Aplicación del límite obtenido….
 Al sustituir en la formula                          f (x         x)              f (x)
 de la derivada:
                                                 2                           2          2
                          dy                 x       2x x                x        x
                                   lim
                          dx       x    0                          x
  Reduciendo                                     2                            2         2
  términos:                   dy             x       2x x                 x        x
                                   lim
                              dx   x    0                           x

Factorizando                  dy                 x(2 x             x)
El termino común:                  lim
                              dx    x    0                  x
Enedino Romero Solano


Aplicación del límite obtenido….
       dy
               lim 2 x        x     2x 0
       dx       x   0


  Al evaluar dicho límite llegamos a la conclusión que:
                                                              2
    Si tenemos una función definida por          y        x
                                        dy
      Entonces su derivada es:                 2x
                                        dx
Representación
                                    gráfica de:
                                                 2
                                       y     x
                                     La función que
                                     representa su
                                     derivada es:

mtan   ?                              dy
                                              2x
                                      dx

   Geométricamente la derivada se define como
   la pendiente de la recta tangente a la curva
   en un punto previamente establecido.
Representación
                                       gráfica de:
                                                      2
                                            y     x
                                        La función que
                                        representa su
                                        derivada es:

 mtan
  mtan     ?
           2                                dy
                                                   2x
                                            dx


En el punto:   Al sustituir            dy
               en la derivada   mtan            2( 1)     2
  x      1     el valor de X:          dx
Representación
           gráfica de:
                       2
             y     x
           La función que
           representa su
           derivada es:

mtan   2     dy
                    2x
             dx
Representación
gráfica de:
            2
  y     x
La función que
representa su
derivada es:

  dy
         2x
  dx
Enedino Romero Solano




Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva
en un punto previamente establecido.

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  • 1. Enedino Romero Solano Recordemos lo que hemos aprendido… Unidad 1. Antecedentes históricos del calculo diferencial Unidad 2. Limites Unidad 3. La derivada Y el tema También que Ya analizamos Unidad 4. Aplicaciones de la derivada funciones… iniciamos limites de hoy es…. funciones… Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
  • 2. Enedino Romero Solano “La pregunta del millón…” ( un minuto de silencio…)
  • 3. Enedino Romero Solano “La pregunta del millón…” 2 Si tenemos una función definida por y x La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
  • 4. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos La recta secante Que necesitamos saber. y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente Recta secante “es una recta que “es una recta que toca 2 puntos en toca solo un un circulo” punto en un circulo”
  • 5. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original
  • 6. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante
  • 7. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente
  • 8. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta ( x2 , y2 ) y2 y1 m y2 y1 x2 x1 ( x1 , y1 ) Muy sencillo de obtener si x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!
  • 9. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original ( x2 , y2 ) Recta secante ( x1 , y1 ) y2 y1 m x2 x1
  • 10. Enedino Romero Solano Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener la pendiente de una recta tangente si solo conoce existe un punto? Recta tangente y2 y1 m ? ( x1 , y1 ) x2 x1
  • 11. Enedino Romero Solano Algo de historia…. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo DERIVADA.
  • 12. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Observe que si hacemos mtan Supongamos que deseamos diversas aproximaciones de rectas conocer la pendiente de la secantes, podemos hacer una muy buena estimación X=1 recta tangente en de la Pendiente de la recta tangente
  • 13. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 14. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 15. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 16. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 17. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 18. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 19. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 20. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 21. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 22. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
  • 23. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE mtan Observa que el punto ( x2 , y2 ) Cada vez se acerca más al punto ( x1 , y1 ) Continuar ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) Volver a mostrar Atajo
  • 24. Enedino Romero Solano La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?
  • 25. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) y2 y1 y2 y1 mtan Aprox. msec Procedemos msec x2 x1 a sustituir: x2 x1
  • 26. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) f ( x2 ) ( x1 , y1 ) f ( x1 ) fy( x2 )y1 f ( x1 ) y2 y1 mtan 2 x2 x2 x1 x1 Considerando: Procedemos y mfsec x) ( a sustituir: x2 x1
  • 27. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ((xx2 ) f ( x( ) 1 ) 2) f 1x mtan x2 x1 Ahora Consideremos: x x2 x1
  • 28. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 Ahora recordemos el comportamiento f ( x2 ) f ( x1 ) mtan x de las rectas secantes y podemos ver que x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
  • 29. Analiza la siguiente secuencia de graficas y observa como la recta secante, se acerca a la recta tangente.
  • 33. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 Ahora recordemos el comportamiento f ( x2 ) f ( x1 ) mtan x de las rectas secantes y podemos ver que x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
  • 34. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) Se puede observar que el punto ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) cada vez se aproxima más al punto ( x1 , y1 ) pero no llegará a tocarlo x x2 x1 f ( xf2 ) x2 )f ( xf ) x1 ) ( 1( Podemos expresar lo anterior así: mtan lim x x x 0 Analizando dicho comportamiento, x 0 procedemos a aplicar un límite así:
  • 35. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ((x1 2 ) x)f ( x1() 1 ) f x f x Finalmente considerando lo siguiente: mtan lim xx x2 x1 x x 0 La expresión nos queda así:
  • 36. Enedino Romero Solano La derivada. mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) x x2 x1 f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente: mtan lim x x2 x1 x x 0 La expresión nos queda así:
  • 37. Enedino Romero Solano La derivada. Este límite, representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la = gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: dy x) f ( x1 Por(su ) f x1 origen basado en mtan lim dx x incrementos x 0
  • 38. Enedino Romero Solano La derivada. dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta = lim x fórmula es que lo siguiente, dx ahora si, tiene sentido: x 0 2 Si tenemos una función definida por y x dy Entonces su derivada es: 2x dx Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
  • 39. Enedino Romero Solano Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación 2 del límite deducido para y f ( x) x obtener la derivada de la función: Recordemos que la dy f (x x) f ( x) derivada esta definida lim por el límite: dx x 0 x Iniciamos encontrando la FUNCION INCREMENTADA: 2 x (x x) (x x) se puede observar que: 2 2 Al sustituirlo obtenemos: x 2x x x
  • 40. Enedino Romero Solano Aplicación del límite obtenido…. Al sustituir en la formula f (x x) f (x) de la derivada: 2 2 2 dy x 2x x x x lim dx x 0 x Reduciendo 2 2 2 términos: dy x 2x x x x lim dx x 0 x Factorizando dy x(2 x x) El termino común: lim dx x 0 x
  • 41. Enedino Romero Solano Aplicación del límite obtenido…. dy lim 2 x x 2x 0 dx x 0 Al evaluar dicho límite llegamos a la conclusión que: 2 Si tenemos una función definida por y x dy Entonces su derivada es: 2x dx
  • 42. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: mtan ? dy 2x dx Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido.
  • 43. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: mtan mtan ? 2 dy 2x dx En el punto: Al sustituir dy en la derivada mtan 2( 1) 2 x 1 el valor de X: dx
  • 44. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: mtan 2 dy 2x dx
  • 45. Representación gráfica de: 2 y x La función que representa su derivada es: dy 2x dx
  • 46. Enedino Romero Solano Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido.