• Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
5,682
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
58
Comments
0
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Operasi Relasi BINER Kelompok 5 Nama Anggota Kelompok SURYANINGSIH : 122.21.012 HANJAIRIN : 122.21.022 NUR EFRIANI : 122.21.026 Bq. FITRIA ULFA : 122.21.028 JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN IKIP MATARAM 2013
  • 2. KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena berkat rahmat dan karunia-Nya kepada kita semua, sehingga kita dapat terus beraktivitas dan berkarya apa yang telah kita rencanakan dapat berhasil sesuai dengan rencana. Rasa bahagia kami yang tak terhingga karena kami telah dapat menyelesaikan tugas yang diberikan dosen untuk makalah kami yang berjudul “RELASI BINER”. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Aamiin.
  • 3. DAFTAR ISI Halaman Judul ........................................................................................................... Kata Pengantar ........................................................................................................... Daftar Isi ................................................................................................................... Bab I Pendahuluan ..................................................................................................... A. Latar belakang ................................................................................................. B. Rumusan masalah ........................................................................................... Bab II Pembahasan .................................................................................................... 2.1 Pengertian Relasi Biner................................................................................... 2.11 Representasi Relasi dengan Diagram Panah .......................................... 2.12 Representasi Relasi dengan Tabel ......................................................... 2.2 Operasi pada Relasi Biner ............................................................................... a. Invers Relasi ............................................................................................. b. Kombinasi Relasi. ..................................................................................... c. Komposisi Relasi. ..................................................................................... Bab III Penutup .......................................................................................................... A. Kesimpulan ..................................................................................................... Daftar Pustaka
  • 4. BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Konsep relasi sebenarnya adalah konsep yang tidak asing bagi kita, karena kita alami secara langsung dalam kehidupan sehari-hari sehingga secara intuitif dapat dengan mudah kita pahami maknanya. Dua hal atau lebih dapat dikatakan berelasi apabila terdapat suatu hubungan atau keterkaitan di antara mereka. Hubungan atau keterkaitan itu dapat terjadi dalam berbagai macam bentuk, misalnya hubungan kesamaan (sifat, bentuk, profesi, kegemaran, dsb), hubungan kekerabata, hubungan pertemanan, hubungan kerjasama, dll. Dalam pergaulan hidup sehari-hari kita mempunyai berbagai macam hubungan atau relasi, misalnya relasi dengan anggota-anggota keluarga kita, relasi dengan teman-teman kita, relasi dengan rekan-rekan kerja kita, dst. Dalam matematika juga kita menjumpai berbagai macam relasi antara entitas-entitas matematika, kesebangunan antara bangun-bangun geometri, relasi ketermuatan antara himpunan-himpunan, dst. B. Rumusan Masalah a. Apa pengertian relasi biner? b. Bagaimana operasi-operasi pada relasi biner?
  • 5. BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Relasi Biner Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu relasi (Biner) R dari A ke B adalah himpunan bagian dari A x B. Jika (a,b) dan a berelasi dengan b, dituliskan a R b. Jika a tidak berelasi b, maka dituliskan a R b. Jadi : Relasi antara himpunan A dan B disebut Relasi Biner Definisi : Relasi Biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B Op Notasi : Jika kita gunakan notasi R, dan jika yang artinya a dihubungkan dengan b oleh jika gunakan notasi a R yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau codomain) dari R. Contoh : Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. • Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p, q) R jika p habis membagi q maka diperoleh: • R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)} Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) • Jika x adalah faktor prima dari y. Maka: • R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9) R
  • 6. 2.11 Representasi Relasi dengan Diagram Panah Q A P A 2 2 2 4 3 3 8 4 4 9 8 8 15 9 9 2 3 4 R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)} R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)} 2.12 Representasi Relasi dengan Tabel Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil A 2 2 2 2 4 2 4 4 2 8 8 3 3 4 Operasi Operasi pada Relasi. A 2 2.2 Operasi pada Relasi Biner Q 4 R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)} P 2 R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)} 8 3 3 3 9 3 15 a. Invers Relasi (R-1) Bila pada relasi R dari A ke B dibalik seluruh pasangan berurutan, komponen pertama menjadi komponen kedua begitu juga sebaliknya, maka terbentuklah sebuah relasi dari B ke A yang merupakan Invers dari R. Jadi, Bila R =
  • 7. Maka, Inversnya R-1= Contoh 1: - Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh : R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R } Contoh 2: Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. • Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu : (p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q • maka kita peroleh : R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) • R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk : (q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p • sehingga diperoleh : R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) } contoh 3: Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R 1 1 1 0 0 M 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0
  • 8. Matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M 1 0 0 N M T 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 b. Kombinasi Relasi Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 – R2, dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B. Contoh : Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} • R1 R2 = {(a, a)} • R1 R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} • R1 R2 = {(b, b), (c, c)} • R2 R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} • R1 R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah
  • 9. MR1 R2 = MR1 MR2 dan MR1 R2 = MR1 MR2 Contoh : Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 A dinyatakan oleh matriks 1 0 0 R1 = 1 0 1 dan R2 = 1 1 0 MR1 MR1 R2 R2 pada himpunan 0 0 1 MR2 MR2 = MR1 = MR1 1 1 = 1 1 1 1 0 = 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 c. Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S R = {(a, c) c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, S } Contoh 1: Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Komposisi relasi R dan S adalah S R = {(1, u),(1, t),(2, s),(2, t),(3, s),(3, t),(3, u)} Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah: 2 1 4 2 3 6 8 s t u
  • 10. Contoh 2: Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR2 R1 = MR1 MR2 Dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “ ” dan tanda tambah dengan “ ”. Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks 0 1 0 1 0 1 R1 R2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 Matriks yang menyatakan R2 MR2 R1 R1 adalah = MR1 . MR2 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 M R1oR2 0 0 1 1 0 1 (1 0) (0 0) (1 1) (1 1) (0 0) (1 0) (1 0) (0 1) (1 1) (1 0) (1 0) (0 1) (1 1) (1 0) (0 0) (1 0) (1 1) (0 1) (0 0) (0 0) (0 1) (0 1) (0 0) (0 0) (0 0) (0 1) (0 1) 1 1 1 0 1 1 0 0 0
  • 11. BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Dari pembahasan makalah diatas, maka dapat kami simpulkan bahwa Untuk menggambarkan hubungan antara dua anggota himpunan, misalnya A dengan B, kita bisa menggunakan pasangan berurut (ordered pairs). Elemen pertama adalah anggota dari A dan yang kedua dari B. Relasi antara dua himpunan yang demikian ini disebut sebagai relasi biner. Macam-macam operasi yang digunakan pada relasi biner adalah Invers Relasi, Kombinasi Relasi (R1 ∩ R2 (union atau gabungan), R1 ∪ R2, (irisan atau intersection), R1 – R2, (selisih atau diference), R1 R2 ), serta Komposisi Relasi.
  • 12. DAFTAR PUSTAKA Theresia, 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Yunus, Muhammad. 2007. Logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta: Graha Ilmu. Susilo, Frans. 2012.Landasan Matematika.Yogyakarta:Graha Ilmu.