Nonlocal effects in models of liquid crystal materials

  • 579 views
Uploaded on

Nonlocal, differential equations, liquid crystals, bistable liquid crystal displays, modelling, theory

Nonlocal, differential equations, liquid crystals, bistable liquid crystal displays, modelling, theory

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
579
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
6
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Nonlocal  effects  in  models  of  liquid  crystal   materials   Nigel  Mo6ram   Department  of  Mathema:cs  and  Sta:s:cs   University  of  Strathclyde   (Ma6  Neilson,  Andrew  Davidson,  Michael  Grinfeld,  Fernando  Da  Costa,  Joao  Pinto)  
  • 2. Introduc:on  –  liquid  crystal  materials   The  liquid  crystalline  state  of  ma6er  is  an  intermediate  phase  between  the   isotropic  liquid  and  solid  phases.     The  material  can  flow  as  a  liquid  but  retains  some  anisotropic  features  of  a   crystalline  solid.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   1  
  • 3. Introduc:on  –  liquid  crystal  phases   The  liquid  crystal  can  exhibit  two  types  of  order:   •   Orienta:onal  order,  where  molecules  align,  on  average,  in  a  certain  direc:on     •   Posi:onal  order,  where  density  varia:ons  lead  to  a  layered  structure   The  vast  majority  of  liquid  crystal  based  technologies  use  nema:c  liquid   crystal  materials.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   2  
  • 4. Introduc:on  –  the  director   The  average  molecular  orienta:on  provides  us  with  a  macroscopic  dependent   variable  which  can  be  used  to  build  a  con:nuum  theory  of  nema:c  liquid   crystals.     The  main  dependent  variables  will  therefore  be  the  director  n  and  the  fluid   velocity  v.       Other  dependent  variables  can  include  the  electric  field  E,  the  amount  of   order  S  and  densi:es  of  ionic  impuri:es.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   3  
  • 5. Introduc:on  –  elas:city   One  of  the  main  differences  between  isotropic  fluids  and  liquid  crystals  is   their  ability  to  maintain  internal  stresses,  due  to  elas:c  distor:ons  of  the   director  structure.   The  presence  of  such  distor:ons  will  be  modelled  through  the  inclusion  of  an   elas:c  energy.     Classic  elas:c  distor:ons  include  splaying,  twis:ng  and  bending  of  the   director.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   4  
  • 6. Introduc:on  –  dielectric  effect   •  Since  each  molecules  contains  small  dipoles,  or  distributed  charges,  they  are   polarisable  in  the  presence  of  an  electric  field.     •  This  polarisability  is  different  along  the  major  and  minor  axes  of  the   molecules.     •  The  difference  in  permiYvi:es  is  measured  by  the  dielectric  anisotropy   In  order  to  minimise  the  electrosta:c  energy,  a  molecule,  or  group  of   molecules,  will  reorient  to  align  the  largest  permiYvity  along  the  field   direc:on.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   5  
  • 7. Introduc:on  –  flexoelectric  effect   •  The  dielectric  effect  can  reorient  liquid  crystal  molecules  in  one  way  only.   •  The  flexoelectric  effect  has  different  effects  depending  on  the  direc:on  of   the  electric  field.   If  molecules  contain  dipoles  and  shape  anisotropy  then  different  distor:ons   are  produced  depending  on  the  direc:on  of  the  field.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   6  
  • 8. Introduc:on  –  flow  effects   •  Director  rota:on  and  fluid  flow  are  coupled,  with  director  rota:on  inducing   flow  and  visa  versa.     •  The  viscosity  is  also  dependent  on  the  director  orienta:on.     In  total  there  are  five  independent  viscosi:es  in  a  nema:c  liquid  crystal.     (up  to  23  viscosi:es  in  a  smec:c  liquid  crystal)     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   7  
  • 9. Introduc:on  –  surface  anchoring   •  The  interac:on  between  liquid  crystal  molecules  and  the  bounding   substrates  is  an  extremely  important  aspect  of  liquid  crystal  devices.   •  Surface  treatments  (mechanical  and  chemical)  can  induce  the  liquid  crystal   molecules  to  align  parallel  or  perpendicular  to  the  substrate  normal.   The  strength  of  this  interac:on  is  measured  by  a  surface  anchoring  strength     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   8  
  • 10. Introduc:on  –  liquid  crystal  displays   Standard  liquid  crystal  displays  consist  of  liquid  crystal  material  sandwiched   between  electrodes,  treated  substrates  and  op:cal  polarisers.     The  applica:on  of  an  electric  field  across  the  liquid  crystal  causes  reorienta:on.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   9  
  • 11. Introduc:on  –  liquid  crystal  displays   •  When  a  field  is  applied  the  director  reorients  to  align  with  the  field.     •  When  the  field  is  removed  the  surface  anchoring  dominates  and  the   director  structure  relaxes  to  the  original  orienta:on.   •  This  effect  can  change  the  transmission  of  light  through  the  device.     •  When  this  effect  is  pixellated  (and  with  the  addi:on  of  colour  filters)  a   display  can  be  produced.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   10  
  • 12. Introduc:on  –  ZBD  display   •  The  Zenithal  Bistable  Device  contains  a  structured  surface  which  leads  to   two  dis:nct  director  structures,  one  of  which  contains  defects.   Ver:cal     Hybrid  Aligned  Nema:c  (HAN)   •  These  two  states  are  op:cally  dis:nct.   •  If  we  can  switch  between  these  two  states  we  can  maintain  a  sta:c  image   without  the  need  to  supply  power.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   11  
  • 13. Introduc:on  –  tV  plots   •  If  we  apply  a  voltage  pulse  of  V  volts  for  τ  milliseconds  we  can  switch   between  the  two  states.       HAN  to  Ver:cal   Ver:cal  to  HAN     •  These  plots  are  known  as  τV  plots  and  are  used  to  op:mise  the  device.         3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   12  
  • 14. A  simplified  model   •  Our  model  simplifies  the  complicated  2d  structure  and  mimics  the  bistable   surface  with  a  surface  energy  which  has  two  stable  states.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   13  
  • 15. A  simplified  model   •  We  now  have  an  evolving  1d  distor:on  structure.     •  The  director  and  electric  field  are  func:ons  of  the  distance  through  the   device  and  :me.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   14  
  • 16. Solving  Maxwell’s  equa:ons   The  electric  field  must  sa:sfy  Maxwell’s  equa:ons   The  first  of  these  introduces  the  electric  poten:al  U(z,t)     and  the  second,  with  an  appropriate  cons:tuta:ve  equa:on,  leads  to,       3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   15  
  • 17. Solving  Maxwell’s  equa:ons   The  first  term  is  the  due  to  the  dielectric  effect  and  it  is  simply  the  orienta:on   of  the  director  that  enters  this  term     the  second  is  from  the  flexoelectric  effect  where  gradients  of  the  director   orienta:on  are  important.   This  equa:on  can  be  solved  to  give,   where,   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   16  
  • 18. Director  angle  equa:on   The  director  angle  θ(z,t)  is  governed  by  the  equa:on,   where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  due  to  rota:on  of   the  director,   the  K  terms  are  due  to  elas:city   the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity   the  Δε  term  is  due  to  the  dielectric  effect   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   17  
  • 19. Boundary  condi:ons   At  the  upper  surface  (z=d)  the  director  is  (usually)  assumed  to  be  fixed,   whereas  on  the  lower  surface  (z=0)  the  director  angle  obeys,   where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  at  the  surface,     the  K  terms  are  from  elas:c  torques   the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity   the  W0  term  is  due  to  the  bistable  anchoring  (                                  and                          have  the   same  energy)     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   18  
  • 20. Constant  field  approxima:on   We  first  remove  the  nonlocal  effect  of  the  electric  field  and  consider  a  simpler   set  of  equa:ons   where  E  is  now  a  constant  electric  field  value.   The  flexoelectric  term  in  the  boundary  condi:on  at  z=0  is  simply  modifying   the  surface  poten:al.     If  E>0  this  term  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   19  
  • 21. Constant  field  approxima:on   We  now  nondimensionalise  and  rescale,   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   20  
  • 22. Constant  field  approxima:on   …leading  to  the  following  equa:ons   We  can  consider  the  linear  stability  of  the  ver:cal  solu:on  u=π/2  and  find   constraints  on  the  stability  which  depend  on  the  flexoelectric  parameter.     Perhaps  more  interes:ng  is  an  analysis  of  the  sta:onary  problem     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   21  
  • 23. Constant  field  approxima:on   We  want  to  inves:gate  the  solu:on  structure  as  we  vary  the  electric  field   parameter  η.     To  do  this  we  remove  the  field  dependence  in  the  interior  equa:on  using     so  that     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   22  
  • 24. Constant  field  approxima:on   For  σ=+1  we  consider  the  phase  plane  defined  by       and  the  intersec:on  of  the  ini:al  manifold   with  the  isochrone                  which  is  defined  by  the  set  of  points   which  sa:sfy   where                                                                              is  the  first  integral  of  the  pendulum  equa:on   above.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   23  
  • 25. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   24  
  • 26. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   25  
  • 27. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   26  
  • 28. Constant  field  approxima:on,  ………                                 For  sufficiently  large  β  and  κ     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   27  
  • 29. Nonlocal  and  dynamic  effects   We  now  numerically  solve  the  full  equa:ons,   where,   with                                                on          on  z=d   and                                on  z=0   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   28  
  • 30. Nonlocal  and  dynamic  effects   A  more  realis:c  voltage  profile  is  a  bipolar  pulse     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   29  
  • 31. Nonlocal  and  dynamic  effects   If  we  apply  such  a  pulse  we  obtain  a  more  complicated  τV  diagram   Since  Δε<0  we  would  assume  that  Ver:cal  to  HAN  switching  is  easier.     However,  if  V<0  flexo  pushes  towards  HAN  and  if  V>0  towards  Ver:cal     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   30  
  • 32. Nonlocal  and  dynamic  effects   Consider  four  different  voltage  values,  for  long  pulse  :mes,  and  look  at  the   director  profiles  at  points  A,  B,  C,  D  during  the  applica:on  of  the  voltage.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   31  
  • 33. Nonlocal  and  dynamic  effects   blue   H-­‐>V   Start  in  the  HAN  state  and  apply  pulse   green   Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.     H-­‐>V   red   for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0     black   for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2      nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   32  
  • 34. Nonlocal  and  dynamic  effects   blue   V-­‐>H   Start  in  the  Ver6cal  state  and  apply  pulse   green   Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.     red   for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0     black   for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2      nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   33  
  • 35. The  high  voltage  anomaly   blue   H-­‐>V   V-­‐>H   We  would  expect  the  80V  case  to  behave  as   green   the  50V  case.     H-­‐>V   We  think  the  difference  at  z=d  affects  the  field   red   black   at  z=0  through  the  nonlocal  terms    nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   34  
  • 36. Nonlocal  and  dynamic  effects   The  nonlocal  region  can  be  significant  when  elas:city  increases   or  when  anchoring  at  z=d  decreases   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   35  
  • 37. Nonlocal  and  dynamic  effects   Including  flow  can  lead  to  overlaps  (slower  transients)  and  gaps  (other   solu:ons)       3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   36  
  • 38. Summary   •  Liquid  crystal  devices  offer  a  rich  source  of  interes:ng  (mathema:cal  and   technological)  problems.     •  Most  of  these  stem  from  the  boundary  condi:ons…       nonlocal  terms   surface  dissipa:on   bistability   elas:c  torques   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   37