Nonlocal	
  effects	
  in	
  models	
  of	
  liquid	
  crystal	
  
                          materials	
  

               ...
Introduc:on	
  –	
  liquid	
  crystal	
  materials	
  

The	
  liquid	
  crystalline	
  state	
  of	
  ma6er	
  is	
  an	
...
Introduc:on	
  –	
  liquid	
  crystal	
  phases	
  

The	
  liquid	
  crystal	
  can	
  exhibit	
  two	
  types	
  of	
  o...
Introduc:on	
  –	
  the	
  director	
  

The	
  average	
  molecular	
  orienta:on	
  provides	
  us	
  with	
  a	
  macro...
Introduc:on	
  –	
  elas:city	
  

One	
  of	
  the	
  main	
  differences	
  between	
  isotropic	
  fluids	
  and	
  liqui...
Introduc:on	
  –	
  dielectric	
  effect	
  

•  Since	
  each	
  molecules	
  contains	
  small	
  dipoles,	
  or	
  distr...
Introduc:on	
  –	
  flexoelectric	
  effect	
  

•  The	
  dielectric	
  effect	
  can	
  reorient	
  liquid	
  crystal	
  mo...
Introduc:on	
  –	
  flow	
  effects	
  

•  Director	
  rota:on	
  and	
  fluid	
  flow	
  are	
  coupled,	
  with	
  director...
Introduc:on	
  –	
  surface	
  anchoring	
  

•  The	
  interac:on	
  between	
  liquid	
  crystal	
  molecules	
  and	
  ...
Introduc:on	
  –	
  liquid	
  crystal	
  displays	
  

Standard	
  liquid	
  crystal	
  displays	
  consist	
  of	
  liqui...
Introduc:on	
  –	
  liquid	
  crystal	
  displays	
  

•  When	
  a	
  field	
  is	
  applied	
  the	
  director	
  reorien...
Introduc:on	
  –	
  ZBD	
  display	
  

•  The	
  Zenithal	
  Bistable	
  Device	
  contains	
  a	
  structured	
  surface...
Introduc:on	
  –	
  tV	
  plots	
  

•  If	
  we	
  apply	
  a	
  voltage	
  pulse	
  of	
  V	
  volts	
  for	
  τ	
  mill...
A	
  simplified	
  model	
  

•  Our	
  model	
  simplifies	
  the	
  complicated	
  2d	
  structure	
  and	
  mimics	
  the...
A	
  simplified	
  model	
  

•  We	
  now	
  have	
  an	
  evolving	
  1d	
  distor:on	
  structure.	
  	
  
•  The	
  dir...
Solving	
  Maxwell’s	
  equa:ons	
  

The	
  electric	
  field	
  must	
  sa:sfy	
  Maxwell’s	
  equa:ons	
  




The	
  fir...
Solving	
  Maxwell’s	
  equa:ons	
  

The	
  first	
  term	
  is	
  the	
  due	
  to	
  the	
  dielectric	
  effect	
  and	
...
Director	
  angle	
  equa:on	
  

The	
  director	
  angle	
  θ(z,t)	
  is	
  governed	
  by	
  the	
  equa:on,	
  




wh...
Boundary	
  condi:ons	
  

At	
  the	
  upper	
  surface	
  (z=d)	
  the	
  director	
  is	
  (usually)	
  assumed	
  to	
...
Constant	
  field	
  approxima:on	
  

We	
  first	
  remove	
  the	
  nonlocal	
  effect	
  of	
  the	
  electric	
  field	
 ...
Constant	
  field	
  approxima:on	
  

We	
  now	
  nondimensionalise	
  and	
  rescale,	
  




3rd	
  June	
  2010	
  EPA...
Constant	
  field	
  approxima:on	
  

…leading	
  to	
  the	
  following	
  equa:ons	
  




We	
  can	
  consider	
  the	...
Constant	
  field	
  approxima:on	
  

We	
  want	
  to	
  inves:gate	
  the	
  solu:on	
  structure	
  as	
  we	
  vary	
 ...
Constant	
  field	
  approxima:on	
  

For	
  σ=+1	
  we	
  consider	
  the	
  phase	
  plane	
  defined	
  by	
  	
  	
  

...
Constant	
  field	
  approxima:on,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  	
  	
  	
  	
  ……..	
  ...
Constant	
  field	
  approxima:on,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  	
  	
  	
  	
  ……..	
  ...
Constant	
  field	
  approxima:on,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  	
  	
  	
  	
  ……..	
  ...
Constant	
  field	
  approxima:on,	
  ………	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  

   For	
  sufficie...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  
We	
  now	
  numerically	
  solve	
  the	
  full	
  equa:ons,	
  




where,	
  
...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  

   A	
  more	
  realis:c	
  voltage	
  profile	
  is	
  a	
  bipolar	
  pulse	
  ...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  
   If	
  we	
  apply	
  such	
  a	
  pulse	
  we	
  obtain	
  a	
  more	
  compli...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  

   Consider	
  four	
  different	
  voltage	
  values,	
  for	
  long	
  pulse	
 ...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  
                                               blue	
  
                         ...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  
                                               blue	
  
          V-­‐>H	
       ...
The	
  high	
  voltage	
  anomaly	
  
                                               blue	
  
                            ...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  

   The	
  nonlocal	
  region	
  can	
  be	
  significant	
  when	
  elas:city	
  ...
Nonlocal	
  and	
  dynamic	
  effects	
  

   Including	
  flow	
  can	
  lead	
  to	
  overlaps	
  (slower	
  transients)	
...
Summary	
  

   •  Liquid	
  crystal	
  devices	
  offer	
  a	
  rich	
  source	
  of	
  interes:ng	
  (mathema:cal	
  and	...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Nonlocal effects in models of liquid crystal materials

1,054 views
939 views

Published on

Nonlocal, differential equations, liquid crystals, bistable liquid crystal displays, modelling, theory

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,054
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
15
Actions
Shares
0
Downloads
8
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Nonlocal effects in models of liquid crystal materials

  1. 1. Nonlocal  effects  in  models  of  liquid  crystal   materials   Nigel  Mo6ram   Department  of  Mathema:cs  and  Sta:s:cs   University  of  Strathclyde   (Ma6  Neilson,  Andrew  Davidson,  Michael  Grinfeld,  Fernando  Da  Costa,  Joao  Pinto)  
  2. 2. Introduc:on  –  liquid  crystal  materials   The  liquid  crystalline  state  of  ma6er  is  an  intermediate  phase  between  the   isotropic  liquid  and  solid  phases.     The  material  can  flow  as  a  liquid  but  retains  some  anisotropic  features  of  a   crystalline  solid.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   1  
  3. 3. Introduc:on  –  liquid  crystal  phases   The  liquid  crystal  can  exhibit  two  types  of  order:   •   Orienta:onal  order,  where  molecules  align,  on  average,  in  a  certain  direc:on     •   Posi:onal  order,  where  density  varia:ons  lead  to  a  layered  structure   The  vast  majority  of  liquid  crystal  based  technologies  use  nema:c  liquid   crystal  materials.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   2  
  4. 4. Introduc:on  –  the  director   The  average  molecular  orienta:on  provides  us  with  a  macroscopic  dependent   variable  which  can  be  used  to  build  a  con:nuum  theory  of  nema:c  liquid   crystals.     The  main  dependent  variables  will  therefore  be  the  director  n  and  the  fluid   velocity  v.       Other  dependent  variables  can  include  the  electric  field  E,  the  amount  of   order  S  and  densi:es  of  ionic  impuri:es.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   3  
  5. 5. Introduc:on  –  elas:city   One  of  the  main  differences  between  isotropic  fluids  and  liquid  crystals  is   their  ability  to  maintain  internal  stresses,  due  to  elas:c  distor:ons  of  the   director  structure.   The  presence  of  such  distor:ons  will  be  modelled  through  the  inclusion  of  an   elas:c  energy.     Classic  elas:c  distor:ons  include  splaying,  twis:ng  and  bending  of  the   director.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   4  
  6. 6. Introduc:on  –  dielectric  effect   •  Since  each  molecules  contains  small  dipoles,  or  distributed  charges,  they  are   polarisable  in  the  presence  of  an  electric  field.     •  This  polarisability  is  different  along  the  major  and  minor  axes  of  the   molecules.     •  The  difference  in  permiYvi:es  is  measured  by  the  dielectric  anisotropy   In  order  to  minimise  the  electrosta:c  energy,  a  molecule,  or  group  of   molecules,  will  reorient  to  align  the  largest  permiYvity  along  the  field   direc:on.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   5  
  7. 7. Introduc:on  –  flexoelectric  effect   •  The  dielectric  effect  can  reorient  liquid  crystal  molecules  in  one  way  only.   •  The  flexoelectric  effect  has  different  effects  depending  on  the  direc:on  of   the  electric  field.   If  molecules  contain  dipoles  and  shape  anisotropy  then  different  distor:ons   are  produced  depending  on  the  direc:on  of  the  field.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   6  
  8. 8. Introduc:on  –  flow  effects   •  Director  rota:on  and  fluid  flow  are  coupled,  with  director  rota:on  inducing   flow  and  visa  versa.     •  The  viscosity  is  also  dependent  on  the  director  orienta:on.     In  total  there  are  five  independent  viscosi:es  in  a  nema:c  liquid  crystal.     (up  to  23  viscosi:es  in  a  smec:c  liquid  crystal)     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   7  
  9. 9. Introduc:on  –  surface  anchoring   •  The  interac:on  between  liquid  crystal  molecules  and  the  bounding   substrates  is  an  extremely  important  aspect  of  liquid  crystal  devices.   •  Surface  treatments  (mechanical  and  chemical)  can  induce  the  liquid  crystal   molecules  to  align  parallel  or  perpendicular  to  the  substrate  normal.   The  strength  of  this  interac:on  is  measured  by  a  surface  anchoring  strength     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   8  
  10. 10. Introduc:on  –  liquid  crystal  displays   Standard  liquid  crystal  displays  consist  of  liquid  crystal  material  sandwiched   between  electrodes,  treated  substrates  and  op:cal  polarisers.     The  applica:on  of  an  electric  field  across  the  liquid  crystal  causes  reorienta:on.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   9  
  11. 11. Introduc:on  –  liquid  crystal  displays   •  When  a  field  is  applied  the  director  reorients  to  align  with  the  field.     •  When  the  field  is  removed  the  surface  anchoring  dominates  and  the   director  structure  relaxes  to  the  original  orienta:on.   •  This  effect  can  change  the  transmission  of  light  through  the  device.     •  When  this  effect  is  pixellated  (and  with  the  addi:on  of  colour  filters)  a   display  can  be  produced.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   10  
  12. 12. Introduc:on  –  ZBD  display   •  The  Zenithal  Bistable  Device  contains  a  structured  surface  which  leads  to   two  dis:nct  director  structures,  one  of  which  contains  defects.   Ver:cal     Hybrid  Aligned  Nema:c  (HAN)   •  These  two  states  are  op:cally  dis:nct.   •  If  we  can  switch  between  these  two  states  we  can  maintain  a  sta:c  image   without  the  need  to  supply  power.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   11  
  13. 13. Introduc:on  –  tV  plots   •  If  we  apply  a  voltage  pulse  of  V  volts  for  τ  milliseconds  we  can  switch   between  the  two  states.       HAN  to  Ver:cal   Ver:cal  to  HAN     •  These  plots  are  known  as  τV  plots  and  are  used  to  op:mise  the  device.         3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   12  
  14. 14. A  simplified  model   •  Our  model  simplifies  the  complicated  2d  structure  and  mimics  the  bistable   surface  with  a  surface  energy  which  has  two  stable  states.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   13  
  15. 15. A  simplified  model   •  We  now  have  an  evolving  1d  distor:on  structure.     •  The  director  and  electric  field  are  func:ons  of  the  distance  through  the   device  and  :me.     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   14  
  16. 16. Solving  Maxwell’s  equa:ons   The  electric  field  must  sa:sfy  Maxwell’s  equa:ons   The  first  of  these  introduces  the  electric  poten:al  U(z,t)     and  the  second,  with  an  appropriate  cons:tuta:ve  equa:on,  leads  to,       3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   15  
  17. 17. Solving  Maxwell’s  equa:ons   The  first  term  is  the  due  to  the  dielectric  effect  and  it  is  simply  the  orienta:on   of  the  director  that  enters  this  term     the  second  is  from  the  flexoelectric  effect  where  gradients  of  the  director   orienta:on  are  important.   This  equa:on  can  be  solved  to  give,   where,   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   16  
  18. 18. Director  angle  equa:on   The  director  angle  θ(z,t)  is  governed  by  the  equa:on,   where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  due  to  rota:on  of   the  director,   the  K  terms  are  due  to  elas:city   the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity   the  Δε  term  is  due  to  the  dielectric  effect   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   17  
  19. 19. Boundary  condi:ons   At  the  upper  surface  (z=d)  the  director  is  (usually)  assumed  to  be  fixed,   whereas  on  the  lower  surface  (z=0)  the  director  angle  obeys,   where  the  leg  hand  side  term  derives  from  the  dissipa:on  at  the  surface,     the  K  terms  are  from  elas:c  torques   the  E13  term  is  due  to  flexoelectricity   the  W0  term  is  due  to  the  bistable  anchoring  (                                  and                          have  the   same  energy)     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   18  
  20. 20. Constant  field  approxima:on   We  first  remove  the  nonlocal  effect  of  the  electric  field  and  consider  a  simpler   set  of  equa:ons   where  E  is  now  a  constant  electric  field  value.   The  flexoelectric  term  in  the  boundary  condi:on  at  z=0  is  simply  modifying   the  surface  poten:al.     If  E>0  this  term  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   19  
  21. 21. Constant  field  approxima:on   We  now  nondimensionalise  and  rescale,   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   20  
  22. 22. Constant  field  approxima:on   …leading  to  the  following  equa:ons   We  can  consider  the  linear  stability  of  the  ver:cal  solu:on  u=π/2  and  find   constraints  on  the  stability  which  depend  on  the  flexoelectric  parameter.     Perhaps  more  interes:ng  is  an  analysis  of  the  sta:onary  problem     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   21  
  23. 23. Constant  field  approxima:on   We  want  to  inves:gate  the  solu:on  structure  as  we  vary  the  electric  field   parameter  η.     To  do  this  we  remove  the  field  dependence  in  the  interior  equa:on  using     so  that     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   22  
  24. 24. Constant  field  approxima:on   For  σ=+1  we  consider  the  phase  plane  defined  by       and  the  intersec:on  of  the  ini:al  manifold   with  the  isochrone                  which  is  defined  by  the  set  of  points   which  sa:sfy   where                                                                              is  the  first  integral  of  the  pendulum  equa:on   above.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   23  
  25. 25. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   24  
  26. 26. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   25  
  27. 27. Constant  field  approxima:on,                              ,          ……..     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   26  
  28. 28. Constant  field  approxima:on,  ………                                 For  sufficiently  large  β  and  κ     (If  E>0  flexo  pushes  the  director  towards  θ=0  and  if  E<0  towards  θ=π/2)   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   27  
  29. 29. Nonlocal  and  dynamic  effects   We  now  numerically  solve  the  full  equa:ons,   where,   with                                                on          on  z=d   and                                on  z=0   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   28  
  30. 30. Nonlocal  and  dynamic  effects   A  more  realis:c  voltage  profile  is  a  bipolar  pulse     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   29  
  31. 31. Nonlocal  and  dynamic  effects   If  we  apply  such  a  pulse  we  obtain  a  more  complicated  τV  diagram   Since  Δε<0  we  would  assume  that  Ver:cal  to  HAN  switching  is  easier.     However,  if  V<0  flexo  pushes  towards  HAN  and  if  V>0  towards  Ver:cal     3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   30  
  32. 32. Nonlocal  and  dynamic  effects   Consider  four  different  voltage  values,  for  long  pulse  :mes,  and  look  at  the   director  profiles  at  points  A,  B,  C,  D  during  the  applica:on  of  the  voltage.   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   31  
  33. 33. Nonlocal  and  dynamic  effects   blue   H-­‐>V   Start  in  the  HAN  state  and  apply  pulse   green   Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.     H-­‐>V   red   for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0     black   for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2      nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   32  
  34. 34. Nonlocal  and  dynamic  effects   blue   V-­‐>H   Start  in  the  Ver6cal  state  and  apply  pulse   green   Δε<0  pushes  bulk  to  θ=0.     red   for  V<0  flexo  pushes  to  θ(0)=0     black   for  V>0  flexo  pushes  to  θ(0)=π/2      nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   33  
  35. 35. The  high  voltage  anomaly   blue   H-­‐>V   V-­‐>H   We  would  expect  the  80V  case  to  behave  as   green   the  50V  case.     H-­‐>V   We  think  the  difference  at  z=d  affects  the  field   red   black   at  z=0  through  the  nonlocal  terms    nega:ve  V  on                              posi:ve  V  on                 3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   34  
  36. 36. Nonlocal  and  dynamic  effects   The  nonlocal  region  can  be  significant  when  elas:city  increases   or  when  anchoring  at  z=d  decreases   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   35  
  37. 37. Nonlocal  and  dynamic  effects   Including  flow  can  lead  to  overlaps  (slower  transients)  and  gaps  (other   solu:ons)       3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   36  
  38. 38. Summary   •  Liquid  crystal  devices  offer  a  rich  source  of  interes:ng  (mathema:cal  and   technological)  problems.     •  Most  of  these  stem  from  the  boundary  condi:ons…       nonlocal  terms   surface  dissipa:on   bistability   elas:c  torques   3rd  June  2010  EPANADE  –  N.J.  Mo6ram,    University  of  Strathclyde   37  

×