Teorema Dasar Kalkulus
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Teorema Dasar Kalkulus

on

  • 146 views

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus
Analisis Real II

Statistics

Views

Total Views
146
Views on SlideShare
146
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
8
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus Document Transcript

  • TEOREMA DASAR KALKULUS Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Riil 2 oleh Nida Shafiyanti (3125111218) Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta 2013
  • Daftar Isi 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Teorema Dasar Kalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 PEMBAHASAN 2 2.1 Definisi Integral dan Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1.1 Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1.2 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Teorema Dasar Kalkulus I (Bentuk Pertama) . . . . . . . . . . . . 2 2.3 Teorema Dasar Kalkulus II (Bentuk Kedua) . . . . . . . . . . . . 6 3 KESIMPULAN 11 i
  • ABSTRACT Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration). Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan meng- gunakan pendiferensialan. Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu se- buah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan memper- mudah perhitungan integral tertentu. Kata kunci: diferensial, integral. ii
  • 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration). Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan meng- gunakan pendiferensialan. Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu se- buah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan memper- mudah perhitungan integral tertentu. Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari ver- si terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646-1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal. Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow. 1.2 Teorema Dasar Kalkulus Pada bahasan ini selanjutnya akan menyelidiki hubungan antara turunan dan in- tegral. Ada dua teorema yang berkaitan dengan masalah ini: yang pertama yaitu dengan mengintegralkan sebuah turunan, dan yang lainnya dengan menurunkan suatu integral. Teorema ini, biasa disebut Teorema Fundamental Kalkulus. Pada makalah ini akan dibahas Teorema Dasar Kalkulus Bentuk Pertama, dan Bentuk Kedua. 1
  • 2 PEMBAHASAN 2.1 Definisi Integral dan Turunan 2.1.1 Turunan Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f (x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Turunan fungsi f di x adalah gradien garis singgung tersebut. Secara formal Turunan fungsi f di x didefinisikan sebagai berikut: f (x) = lim h→0 f(x + h) − f(h) h 2.1.2 Integral Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F. Integral tertentu mema- sukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana mem- berikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x. Pada gambar, b a f(x)dx adalah luas daerah S, daerah yang diasir. 2.2 Teorema Dasar Kalkulus I (Bentuk Pertama) Bentuk pertama dari Teorema Fundamental memberikan sebuah dasar teoritis untuk metode penghitungan suatu integral, dimana pembaca telah mempelajari 2
  • dalam kalkulus. Sekarang dengan Teorema Dasar Kalkulus I (Bentuk pertama) akan membedakan integral yang melibatkan batas atas variabelnya. Definisi 2.2.1. Jika f ∈ R[a, b] maka fungsi yang didefenisikan sebagai F(z) := z a f untuk z ∈ [a, b] (2.2.1) ini disebut integral tak tentu dari f dengan nilai awal a. (Kadang nilai selain a dapat pula digunakan sebagai nilai awal) Teorema Adivitas Jika f ∈ R[a, b] dan jika c ∈ [a, b], fungsi yang didefinisikan oleh Fc(z) = z c f untuk z ∈ [a, b] dikatakan Intergal tak tentu dari f dengan nilai awal c. Maka terdapat hubungan antara Fa dan Fc sebagai berikut; Fa(z) = z a f untuk z ∈ [a, b] dan Fc(z) = z c f untuk c, z ∈ [a, b] maka Fa(z) = c a f + z c f = c a f + Fc(z) sehingga Fc(z) = Fa(z) − c a f Akan ditunjukkan bahwa jika f ∈ R[a, b] maka integral tak tentu F memenuhi kondisi Lipshictz maka F kontinu pada [a, b]. Definisi 2.2.2. Fungsi Lipschitz Misalkan A ⊆ R dan f : A → R. Jika terdapat konstanta K > 0 sedemikian sehingga |f(x) − f(u)| ≤ K|x − u| untuk setiap x, u ∈ A, maka f dikatakan fungsi Lipschitz. Teorema 2.2.1. Integral tak tentu F yang disefiniikan (2.1.1) adalah kontinu pa- da [a, b]. Faktanya jika |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ [a.b], maka |F(z) − F(w)| ≤ M|z − w| untuk semua z, w ∈ [a, b]. Jika z, w ∈ [a, b] dan misalkan w ≤ z, maka F(z) = z a f = w a f + z w f = F(w) + z w f 3
  • Sehingga diperoleh, F(z) − F(w) = z w f sekarang jika −M ≤ f(x) ≤ M utuk semua x ∈ [a, b], maka Teorema 2.2.2. Misalkan f dan g didalam R[a, b] jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈ [a, b], maka b a f ≤ b a g dari teorema 2.1.2 diatas diperoleh: z w −Mdx ≤ z w f(x)dx ≤ z w Mdx −Mx|z w ≤ z w f(x) ≤ Mx|z w −M(z − w) ≤ z w f(x) ≤ M(z − w) menyatakan bahwa −M(z − w) ≤ z w f(x) ≤ M(z − w) sehingga diperoleh |F(z) − F(w)| ≤ z w f ≤ M|z − w| Terbukti, Selanjutnya akan ditunjukkan integral tak tentu F adalah terdiferensial pada sembarang titik dimana f kontinu. Misalkan f ∈ R[a, b] dan f kontinu pada titik c ∈ R[a, b]. Maka integral tak tentu yang didefenisikan dari (2.1.1), adalah terdiferensial di c dan F (c) = f(c), Bukti. Andaikan c ∈ [a, b) dan mengingat turunan dari kanan F pada c. Ker- ena f kontinu pada c, diberikan > 0 terdapat n > 0 sedemikian sehingga jika c ≤ x ≤ c + n , maka f(c) − < f(x) < f(c) + (2.2.2) 4
  • Ambil h yang memenuhi 0 < h < n . Teorema Adivitas menunjukkan bahwa f adalah terintergalkan pada interval [a, c], [a, c + h] dan [c, c + h] dan F(c + h) − F(c) = c+h c f F(c + h) = h c f + c+h c f c+h c (f(c) − )dx ≤ c+h c f ≤ (f(c) + )dx x(f(c) − )|c+h c ≤ c+h c f ≤ x(f(c) + )|c+h c (c + h)(f(c) − ) − c(f(c) − ) ≤ c+h c f ≤ (c + h)(f(c) + ) − c(f(c) + ) h(f(c) − ) ≤ c+h c f ≤ h(f(c) + ) Sekarang pada interval [c, c + h] fungsi f memenuhi pertidaksamaan (2.1.2), se- hingga (dari teorema 2.1.2) diperoleh (f(c) − ).h ≤ F(c + h) − F(c) = c+h c f ≤ (f(c) + ).h Jika dibagi dengan h > 0 dan menguranginya dengan f(c) maka diperoleh F(c + h) − F(c) h − f(c) ≤ tetapi > 0 berubah-ubah, dapat disimpulkan limit kanan diberikan oleh lim h→0+ F(c + h) − F(c) h = f(c) dengan cara sama dibuktikan untuk limit kirinya juga sama dengan f(c) dimana c ∈ (a, b], sehingga pernyataan terpenuhi. Teorema 2.2.3. Jika f kontinu pada [a, b] maka integral tak tentu F, yang didefiniskan oleh persamaan (2.1.1) adalah terdiferensial di [a, b] dan F (x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b]. 5
  • Teorema 2.2.4. dapat diringkas: Jika f kontinu pada [a, b], maka integral tak tentu dari f adalah anti turunannya. Akan ditinjau bahwa secara umum, integral tak tentu tidak harus menjadi antiturunan (baik karena turunan dari integral tak tentu tidak ada atau tidak sama f(x). contoh 1. Jika f(x) = sgn(x) pada [−1, 1] maka maka f ∈ R[−1, 1] dan integral tak tentu F(x) := |x| − 1 dengan nilai awal -1. Tetapi, F (0) tidak ada, F bukan anti turunan dari f pada [−1, 1] 2.3 Teorema Dasar Kalkulus II (Bentuk Kedua) Hal ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi f adalah turunan dari suatu fungsi F, dan jika f anggota dari R[a, b] , maka integral b a f dapat dihitung dengan cara menunjukkan nilai F|b a := F(b)−F(a) . Suatu fungsi F sedemikian sehingga F (x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] disebut antiturunan atau primitive dari f pada [a, b]. Jadi, jika f memiliki suatu antiturunan, itu adalah suatu persoalan yang sederhana untuk menghitung integral. Teorema 2.3.1. Misalkan terdapat sebuah himpunan berhingga E di [a, b] dan fungsi f, F : [a, b] → R memenuhi: 1. F adalah kontinu di [a, b], 2. F (x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] E, 3. f anggota dari R[a, b]. Maka diperoleh; a b f = F(a) − F(b) (2.3.1) Bukti. E := {a, b}. Secara umum dapat diperoleh dengan mengubah interval ke dalam gabungan dari suatu interval bilangan terbatas. Diberikan > 0 , karena f ∈ R[a, b] diasumsikan ada δ > 0 sedemikian sehingga jika P adalah suatu tag partisi dengan P < δ , maka |S(f; P) − b a f| < (2.3.2) Dimana titik di atas P menunjukkan bahwa tag telah dipilih untuk setiap sub interval. P := {([xi−1, xi], ti)}n i=1 dan S(f, P) := n i=1 f(ti)(xi − x1−i), merupakan jumlah Rieman dari fungsi f : [a, b] → R Jika subinterval dalam P adalah [xi−1, xi], maka dengan menggunakan Teore- ma Nilai Rata-Rata 2.2.2 untuk F pada [xi−1, xi] menyatakan bahwa ada ui ∈ 6
  • (xi−1, xi) sedemikian sehingga F(xi) − F(xi−1) = F (ui).(xi − xi−1) untuk i = 1, . . . , n Teorema Nilai Rata-Rata Teorema 2.3.2. f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) Jika menambahkan bentuk ini, dilihat dari jumlah dan bukti yang ada bahwa F (ui) = f(ui), maka diperoleh F(b) − F(a) = n i=1 (Fxi − F(xi−1)) = n i=1 f(ui)(xi − xi−1) Sekarang, misalkan Pu := {([xi−1, xi], ui)}n i=1, jadi jumlah pada persamaan kanan S(f; Pu). Jika kita substitusi F(b) − F(a) = S(f; Pu) pada persamaan (2.2.2), dapat disim- pulkan bahwa F(b) − F(a) − b a f < Namun, karena > 0 berubah-ubah, maka dapat diambil kesimpulan bahwa per- samaan (2.2.1) berlaku. Teorema 2.3.3. Jika f : I → R mempunyai sebuah turunan di c ∈ I, maka f kontinu di c. Keterangan Jika suatu F terdiferensial pada setiap interval dari [a, b] maka (dengan Teorema 2.2.3) hipotesis (1) secara otomatis memenuhi. Jika f tidak terdefinisi untuk beberapa titik c ∈ E, kita mengambil f(c) := 0. Namun jika F terdiferensial pada setiap interval dari [a, b], kondisi (3) tidak secara otomatis memenuhi, karena ada fungsi F sedemikian sehingga F bukan terintegral secara Riemann. contoh 2. Jika F(x) := 1 2 x2 untuk semua x ∈ [a, b], maka F (x) = x untuk semua x ∈ [a, b]. Selanjutnya, f = F adalah kontinu di R[a, b]. Oleh karena itu, Teorema Fundamental (dengan E = ∅) menyatakan bahwa b a xdx = F(b) − F(a) = 1 2 (b2 − a2 ) contoh 3. Misalkan K(x) := x2 cos( 1 x2 ) untuk x ∈ (0, 1] dan misalkan K(0) := 0. Dengan mengikuti Aturan Produk dan Aturan Rantai, didapat bahwa K (x) = 2x cos 1 x2 + 2 x sin 1 x2 untuk x ∈ (0, 1] 7
  • Aturan Produk fungsi fg terdiferensialkan di c dan (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c) Aturan Rantai Diberikan I, J interval di R , g : I → R dan f : J → R adalah fungsi sedemikian sehingga f(J) ⊆ I dan c ∈ J . Jika f terdiferensialkan di c dan jika g terdiferensialkan di f(c) , maka fungsi komposit g ◦ f terdiferensialkan di c dan (g ◦ f) (c) = g (f(c)).f (c) Turunan K pada x = 0, diperoleh dengan menggunakan defenisi dari turunan. Diperoleh K (0) = lim x→0 K(x) − K(0) x − 0 = lim x→0 x2 cos( 1 x2 ) x = lim x→0 x cos( 1 x2 ) = 0 Sehingga turunan K dari K ada untuk x ∈ [0, 1]. Jadi K kontinu dan terdifer- ensial pada [0, 1]. Karena itu dapat dilihat bahwa fungsi K tidak terbatas pada [0, 1] sehingga bukan bagian/anggota R[0, 1] dan Teorema Fundamental 2.2.1 tidak berlaku untuk K . Teorema 2.3.4. Teorema Subtitusi Misalkan J := [α, β] dan misalkan ϕ : J → R memiliki turunan di J. Jika f : I → R adalah kontinu pada interval I yang terdapat pada ϕ(J), maka β α f(ϕ(t)).ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx (2.3.3) Hipotesis bahwa f dan ϕ adalah kontinu yang membatasi, tetapi digunakan untuk memastikan adanya integral Riemann pada sisi kiri (2.2.3) Bukti: Misalkan F(x) adalah primitive (anti turunan) dari f(x) dan x = ϕ(t) maka F(ϕ(t)) merupakan primitive dari f(ϕ(t)).ϕ (t). dengan menggunakan aturan rantai dapat diperoleh (F(ϕ(t))) = F (ϕ(t)).ϕ (t) = f(ϕ(t)).ϕ (t) sehingga ϕ(β) ϕ(α) f(x)dx = F(x) + c = F(ϕ(t)) + c = β α f(ϕ(t)).ϕ (t)dt contoh 4. Anggap 4 1 sin √ t√ t dt. Subtitusikan ϕ(t) = √ t untuk t ∈ [1, 4] sehingga ϕ (t) = 1 2 √ t adalah kontinu pada [1, 4]. Misalkan f(x) = 2 sin x, maka intergradnya memiliki bentuk (f ◦ ϕ).ϕ dan teorema subtitusi menyatakan bahwa persamaan integral 2 1 2 sin xdx = −2 cos x|2 1 = 2(cos 1 − cos 2) 8
  • contoh 5. Anggap 4 0 sin √ t√ t dt. Karena ϕ(t) = √ t tidak meiliki turunan kontinu pada [0, 4], teorema subtitusi tidak dapat digunakan, paling tidak pada subtitusi ini. 9
  • Latihan 1. Gunakan teorema Subtitusi untuk menyelesaikan integral 3 1 1 t √ t + 1 dt = ln(3 + 2 √ 2) − ln3 subtitusikan ϕ(t) = √ t + 1 untuk t ∈ [1, 3] sehingga ϕ (t) = 1 2 √ t+1 adalah kontinu pada [1, 3]. Dengan memisalkan f(x) = 2 x2−1 dx dan ϕ(1) = √ 2, ϕ(3) = √ 4 sebagai batas bawah dan atas √ 4 √ 2 2 x2−1 dx, diperoleh √ 4 √ 2 2 x2 − 1 dx = 2 √ 4 √ 2 1 x2 − 1 dx = 2 √ 4 √ 2 1 (x + 1)(x − 1) dx dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional 2 √ 4 √ 2 1 (x + 1)(x − 1) dx = 2 √ 4 √ 2 A (x + 1) + √ 4 √ 2 B (x − 1) dengan A = −1 2 dan B = 1 2 , sehingga 2 √ 4 √ 2 1 (x + 1)(x − 1) dx = 2 √ 4 √ 2 −1 2(x + 1) + √ 4 √ 2 1 2(x − 1) dx 2 √ 4 √ 2 1 2(x − 1) − 1 2(x + 1) dx = √ 4 √ 2 1 (x − 1) − 1 (x + 1) dx = [ln(x − 1) − ln(x + 1)]| √ 4√ 2 = ln( √ 4 − 1) − ln( √ 4 + 1) − ln( √ 2 − 1) + ln( √ 2 + 1) = ln √ 4 − 1 √ 4 + 1 + ln √ 2 + 1 √ 2 − 1 = ln 1 3 + ln(3 + 2 √ 2) = ln(3 + 2 √ 2) − ln3 10
  • 3 KESIMPULAN Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration). Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan meng- gunakan pendiferensialan. a) Teorema dasar Kalkulus I Jika f kontinu pada selang [a, b], maka F(x) = x a f(t)dt, x ∈ [a, b] mempunyai turunan pada selang [a, b] dengan F (x) = f(x)∀x ∈ [a, b] Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. b) Teorema dasar Kalkulus II Jika fungsi f kontinu pada selang [a, b] dan F adalah anti turunan dari f pada selang [a, b], maka b a f(x)dx = F(b) − F(a) 11
  • Pustaka [1] Wono Setya Budhi. Kuliah Kalkulus (http://wonosb.wordpress.com/kuliah-kalkulus/) [2] Bartle, Robert G. (1927). Introduction to Real Analysis. Wiley) [3] Helmer Aslaksen. Why Calculus? National University of Singapore.. [4] http://calculusmind.blogspot.com/2012/03/7-teorema-dasar-kalkulus.html. [5] http://kalkulusdasar.blogspot.com/2011/10/pengaruh-penting.html 12