Continuity and Gauges
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Continuity and Gauges

on

  • 72 views

Resume: Continuity and Gauges

Resume: Continuity and Gauges
Analisis Real II

Statistics

Views

Total Views
72
Views on SlideShare
72
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
1
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Continuity and Gauges Document Transcript

  • 1. Resume Analisis Riil Section 5.5 Continuity and Gauges Nida Shafiyanti (3125-111-218) 2013 5.5 Continuity and Gauges Definisi 5.5.1. Sebuah partisi pada interval I := [a.b] adalah kumpulan dari P = {I1, . . . , In} dari interval tutup yang tidak overlap pada [a, b]. Biasanya di notasikan sebagai Ii := [xi−1, xi], dimana a = x0 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b Titik xi(i = 0, . . . , n) dinamakan titik partisi dari P. Jika ti terpilih pada masing-masing Ii, untuk i = 1, . . . , n, maka titik ti disebut tags dan himpunan pasangan terurut P = {(I1, t1), . . . , (In, tn)} dinamakan partisi tags pada I. Definisi 5.5.2. Sebuah gauge pada I adalah fungsi positif yang jelas terdefinisi pada I. Jika δ adalah gauge pada I, maka (tag) partisi P menjadi δ − fine jika ti ∈ Ii ⊆ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] untuk i = 1, . . . , n (5.5.1) Lemma 5.5.1. Jika partisi P pada I := [a, b] adalah δ − fine dan x ∈ I, maka terdapat tag ti pada P sehingga |x − ti| ≤ δ(ti). Bukti. Jika x ∈ I, terdapat sub interval [xi−1, xi] dari P yang memuat x. Karena P adalah δ − fine maka ti − δ(ti) ≤ xi−1 ≤ x ≤ xi ≤ ti + δ(ti) (5.5.2) Sehingga memenuhi |x − ti| ≤ δ(ti) Q.E.D 1
  • 2. contoh 1. Jika δ dan γ adalah gauge di I := [a, b] dan jika 0 < δ(x) ≤ γ(x) untuk semua x ∈ I, maka setiap partisi P adalah δ − fine sekaligus γ − fine. Sehingga didapatkan bentuk ti − γ(ti) ≤ ti − δ(ti) dan ti + δ(ti) ≤ ti + γ(ti) Sehingga akan didapat ti ∈ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] ⊆ [ti − γ(ti), ti + γ(ti)] untuk i = 1, . . . , n. contoh 2. Jika δ1 dan δ2 adalah gauge pada I := [a, b] dan jika δ(x) := min{δ1(x), δ2(x)} untuk semua x ∈ I. maka δ juga gauge pada I. Sedemikian sehingga, jika δ(x) ≤ δ1(x), maka setiap partisi δ −fine adalah δ1 −fine. Sama saja, untuk setiap partisi δ −fine adalah δ2 − fine. Eksistensi dari partisi δ − fine Teorema 5.5.1. Jika δ adalah gauge didefinisikan pada interval [ab], maka ter- dapat partisi δ − fine pada [a, b]. Bukti. Ambil himpunan E yang dinotasikan pada semua titik x ∈ [a, b] se- hingga terdapat partisi δ−fine pada interval [a, x]. Himpunan E tidak kosong, ji- ka pasangan ([a, x], a) adalah partisi δ−fine pada interval [a, x] lalu x ∈ [a, a+δ(a) dan x ≤ b. Ketika E ⊆ [a, b], maka himpunan E juga terbatas. Ambil u := supE sehingga a < u ≤ b. Akan ditunjukkan bahwa u ∈ E dan u = b. Klaim bahwa u ∈ E. u−δ(u) < u = supE, terdapat v ∈ E sehingga u−(u) < v < u. Ambil P1 partisi δ−fine pada [a, v] dan ambil P2 := P1 ∪([v, u], u). Maka P2 adalah partisi δ − fine pada [a, u], sehingga u ∈ E. Jika u < b, ambil w ∈ [a, b] sehingga u < w < u + δ(u). Jika Q1 adalah partisi δ −fine pada [a, u, ambil Q2 := Q1 ∪([u, w], u). Maka Q2 adalah partisi δ −fine pada [a, w], sedemikian sehingga w ∈ E. Kontradiksi dengan u adalah batas atas dari E. Sehingga u = b Q.E.D 2