Continuity and Gauges
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Continuity and Gauges

on

  • 41 views

Resume: Continuity and Gauges

Resume: Continuity and Gauges
Analisis Real II

Statistics

Views

Total Views
41
Views on SlideShare
41
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Continuity and Gauges Continuity and Gauges Document Transcript

  • Resume Analisis Riil Section 5.5 Continuity and Gauges Nida Shafiyanti (3125-111-218) 2013 5.5 Continuity and Gauges Definisi 5.5.1. Sebuah partisi pada interval I := [a.b] adalah kumpulan dari P = {I1, . . . , In} dari interval tutup yang tidak overlap pada [a, b]. Biasanya di notasikan sebagai Ii := [xi−1, xi], dimana a = x0 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b Titik xi(i = 0, . . . , n) dinamakan titik partisi dari P. Jika ti terpilih pada masing-masing Ii, untuk i = 1, . . . , n, maka titik ti disebut tags dan himpunan pasangan terurut P = {(I1, t1), . . . , (In, tn)} dinamakan partisi tags pada I. Definisi 5.5.2. Sebuah gauge pada I adalah fungsi positif yang jelas terdefinisi pada I. Jika δ adalah gauge pada I, maka (tag) partisi P menjadi δ − fine jika ti ∈ Ii ⊆ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] untuk i = 1, . . . , n (5.5.1) Lemma 5.5.1. Jika partisi P pada I := [a, b] adalah δ − fine dan x ∈ I, maka terdapat tag ti pada P sehingga |x − ti| ≤ δ(ti). Bukti. Jika x ∈ I, terdapat sub interval [xi−1, xi] dari P yang memuat x. Karena P adalah δ − fine maka ti − δ(ti) ≤ xi−1 ≤ x ≤ xi ≤ ti + δ(ti) (5.5.2) Sehingga memenuhi |x − ti| ≤ δ(ti) Q.E.D 1
  • contoh 1. Jika δ dan γ adalah gauge di I := [a, b] dan jika 0 < δ(x) ≤ γ(x) untuk semua x ∈ I, maka setiap partisi P adalah δ − fine sekaligus γ − fine. Sehingga didapatkan bentuk ti − γ(ti) ≤ ti − δ(ti) dan ti + δ(ti) ≤ ti + γ(ti) Sehingga akan didapat ti ∈ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] ⊆ [ti − γ(ti), ti + γ(ti)] untuk i = 1, . . . , n. contoh 2. Jika δ1 dan δ2 adalah gauge pada I := [a, b] dan jika δ(x) := min{δ1(x), δ2(x)} untuk semua x ∈ I. maka δ juga gauge pada I. Sedemikian sehingga, jika δ(x) ≤ δ1(x), maka setiap partisi δ −fine adalah δ1 −fine. Sama saja, untuk setiap partisi δ −fine adalah δ2 − fine. Eksistensi dari partisi δ − fine Teorema 5.5.1. Jika δ adalah gauge didefinisikan pada interval [ab], maka ter- dapat partisi δ − fine pada [a, b]. Bukti. Ambil himpunan E yang dinotasikan pada semua titik x ∈ [a, b] se- hingga terdapat partisi δ−fine pada interval [a, x]. Himpunan E tidak kosong, ji- ka pasangan ([a, x], a) adalah partisi δ−fine pada interval [a, x] lalu x ∈ [a, a+δ(a) dan x ≤ b. Ketika E ⊆ [a, b], maka himpunan E juga terbatas. Ambil u := supE sehingga a < u ≤ b. Akan ditunjukkan bahwa u ∈ E dan u = b. Klaim bahwa u ∈ E. u−δ(u) < u = supE, terdapat v ∈ E sehingga u−(u) < v < u. Ambil P1 partisi δ−fine pada [a, v] dan ambil P2 := P1 ∪([v, u], u). Maka P2 adalah partisi δ − fine pada [a, u], sehingga u ∈ E. Jika u < b, ambil w ∈ [a, b] sehingga u < w < u + δ(u). Jika Q1 adalah partisi δ −fine pada [a, u, ambil Q2 := Q1 ∪([u, w], u). Maka Q2 adalah partisi δ −fine pada [a, w], sedemikian sehingga w ∈ E. Kontradiksi dengan u adalah batas atas dari E. Sehingga u = b Q.E.D 2