Your SlideShare is downloading. ×
Continuity and Gauges
Continuity and Gauges
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Continuity and Gauges

226

Published on

Resume: Continuity and Gauges …

Resume: Continuity and Gauges
Analisis Real II

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
226
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
6
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  1. Resume Analisis Riil Section 5.5 Continuity and Gauges Nida Shafiyanti (3125-111-218) 2013 5.5 Continuity and Gauges Definisi 5.5.1. Sebuah partisi pada interval I := [a.b] adalah kumpulan dari P = {I1, . . . , In} dari interval tutup yang tidak overlap pada [a, b]. Biasanya di notasikan sebagai Ii := [xi−1, xi], dimana a = x0 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b Titik xi(i = 0, . . . , n) dinamakan titik partisi dari P. Jika ti terpilih pada masing-masing Ii, untuk i = 1, . . . , n, maka titik ti disebut tags dan himpunan pasangan terurut P = {(I1, t1), . . . , (In, tn)} dinamakan partisi tags pada I. Definisi 5.5.2. Sebuah gauge pada I adalah fungsi positif yang jelas terdefinisi pada I. Jika δ adalah gauge pada I, maka (tag) partisi P menjadi δ − fine jika ti ∈ Ii ⊆ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] untuk i = 1, . . . , n (5.5.1) Lemma 5.5.1. Jika partisi P pada I := [a, b] adalah δ − fine dan x ∈ I, maka terdapat tag ti pada P sehingga |x − ti| ≤ δ(ti). Bukti. Jika x ∈ I, terdapat sub interval [xi−1, xi] dari P yang memuat x. Karena P adalah δ − fine maka ti − δ(ti) ≤ xi−1 ≤ x ≤ xi ≤ ti + δ(ti) (5.5.2) Sehingga memenuhi |x − ti| ≤ δ(ti) Q.E.D 1
  2. contoh 1. Jika δ dan γ adalah gauge di I := [a, b] dan jika 0 < δ(x) ≤ γ(x) untuk semua x ∈ I, maka setiap partisi P adalah δ − fine sekaligus γ − fine. Sehingga didapatkan bentuk ti − γ(ti) ≤ ti − δ(ti) dan ti + δ(ti) ≤ ti + γ(ti) Sehingga akan didapat ti ∈ [ti − δ(ti), ti + δ(ti)] ⊆ [ti − γ(ti), ti + γ(ti)] untuk i = 1, . . . , n. contoh 2. Jika δ1 dan δ2 adalah gauge pada I := [a, b] dan jika δ(x) := min{δ1(x), δ2(x)} untuk semua x ∈ I. maka δ juga gauge pada I. Sedemikian sehingga, jika δ(x) ≤ δ1(x), maka setiap partisi δ −fine adalah δ1 −fine. Sama saja, untuk setiap partisi δ −fine adalah δ2 − fine. Eksistensi dari partisi δ − fine Teorema 5.5.1. Jika δ adalah gauge didefinisikan pada interval [ab], maka ter- dapat partisi δ − fine pada [a, b]. Bukti. Ambil himpunan E yang dinotasikan pada semua titik x ∈ [a, b] se- hingga terdapat partisi δ−fine pada interval [a, x]. Himpunan E tidak kosong, ji- ka pasangan ([a, x], a) adalah partisi δ−fine pada interval [a, x] lalu x ∈ [a, a+δ(a) dan x ≤ b. Ketika E ⊆ [a, b], maka himpunan E juga terbatas. Ambil u := supE sehingga a < u ≤ b. Akan ditunjukkan bahwa u ∈ E dan u = b. Klaim bahwa u ∈ E. u−δ(u) < u = supE, terdapat v ∈ E sehingga u−(u) < v < u. Ambil P1 partisi δ−fine pada [a, v] dan ambil P2 := P1 ∪([v, u], u). Maka P2 adalah partisi δ − fine pada [a, u], sehingga u ∈ E. Jika u < b, ambil w ∈ [a, b] sehingga u < w < u + δ(u). Jika Q1 adalah partisi δ −fine pada [a, u, ambil Q2 := Q1 ∪([u, w], u). Maka Q2 adalah partisi δ −fine pada [a, w], sedemikian sehingga w ∈ E. Kontradiksi dengan u adalah batas atas dari E. Sehingga u = b Q.E.D 2

×