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Pdf para ejercitar en el área de algebra

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  1. 1. CAPÍTULO 3 Límite de una función 13.2 Álgebra de límitesEs bastante claro intuitivamente lo siguiente:Si existen lím f .x/ y lím g.x/ entonces: x!x0 x!x0 lím Œf .x/ C g.x/ D lím f .x/ C lím g.x/. x!x0 x!x0 x!x0 lím Œf .x/ g.x/ D lím f .x/ lím g.x/. x!x0 x!x0 x!x0 lím Œf .x/ g.x/ D lím f .x/ lím g.x/. x!x0 x!x0 x!x0 lím Œf .x/=g.x/ D lím f .x/= lím g.x/ si lím g.x/ ¤ 0. x!x0 x!x0 x!x0 x!x0Esto es, que si f .x/ y también g.x/ están tan cerca de ˛ y ˇ, respectivamente, como queramos paravalores de x próximos a x0 , entonces: f .x/ C g.x/ está tan próximo a ˛ Cˇ como queramos con tal de que x esté su- ficientemente próximo a x0 ; f .x/ g.x/ " ˛ ˇ idem. f .x/ g.x/ " ˛ ˇ idem. f .x/=g.x/ " ˛=ˇ idem.Este hecho se puede extender para sumas y productos de más de dos funciones.En el caso del cociente ˇ tiene que ser ¤ 0. Si ˇ D 0, la afirmación no tiene sentido. 1 canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008 1
  2. 2. 2 Cálculo Diferencial e Integral IEjemplo 3.2.1 Considerando que lím f .x/ D 4; lím g.x/ D 2 & lím h.x/ D 0; x! 3 x! 3 x! 3calcular los límites que existan de la siguiente lista. Si el límite no existe argumentar por qué. 1. lím Œf .x/ C g.x/; g.x/ x! 3 4. lím ; x! 3 h.x/ f .x/ 2. lím ; x! 3 g.x/ h.x/ 3. lím Œg.x/h.x/; 5. lím . x! 3 x! 3 g.x/ f .x/H 1. lím Œf .x/ C g.x/ D lím f .x/ C lím g.x/ D 4 C . 2/ D 4 2 D 2. x! 3 x! 3 x! 3 f .x/ lím f .x/ 4 2. lím D x! 3 D D 2. x! 3 g.x/ lím g.x/ 2 x! 3 3. lím Œg.x/h.x/ D Œ lím g.x/Œ lím h.x/ D . 2/.0/ D 0. x! 3 x! 3 x! 3 g.x/ “ 2 ” g.x/ 4. lím D 62 R . lím no existe como veremos más adelante. x! 3 h.x/ 0 x! 3 h.x/ h.x/ lím h.x/ lím h.x/ 0 0 x! 3 x! 3 5. lím D D D D D 0. x! 3 g.x/ f .x/ lím Œg.x/ f .x/ lím g.x/ lím f .x/ 2 4 6 x! 3 x! 3 x! 3 Tambié es cierto que si lím g.x/ D L y L ¤ 0, entonces “cerca" de x0 las imágenes g.x/ tienen x!x0 el mismo signo que L. y y g.x/ mismo signo que L x0 x cerca de x0 ¨© x L>0 y D g.x/  ¡ ¤¥ L<0 y D g.x/ ¦§ g.x/ mismo signo que L ¢£ x x0 x cerca de x02
  3. 3. 3.2 Álgebra de límites 3 Uno de los casos más simples en el calculo de límites es el de una función constante f .x/ D en el que para cualquier x0 2 R , lím f .x/ D lím D : x!x0 x!x0Ejemplo 3.2.2 Tenemos que:H 1. lím 5 D 5; 2. lím 8 D 8; 3. lím 2 D 2. x!4 x! 7 x!3Entonces: lím Œˇ f .x/ D ˇ lím f .x/. x!x0 x!x0 En particular de ˇ D 1, tenemos lím Œ f .x/ D lím f .x/. x!x0 x!x0Otro caso muy simple es el de la función identidad f .x/ D x; aquí evidentemente lím f .x/ D lím x D x0 para cualquier x0 2 R. x!x0 x!x0 y x0 y D f .x/ D x x x0Y en consecuencia: Si g.x/ D mx C n, entonces lím g.x/ D mx0 C n para cualquier x0 2 R. x!x0 Si h.x/ D x n con n 2 N, entonces lím h.x/ D x0 , para cualquier x0 2 R. n x!x0Además: Si lím f .x/ D ˛, entonces lím Œf .x/n D ˛ n , para cualquier n 2 N. x!x0 x!x0Dos resultados muy importantes son: Si f .x/ es una función polinomial y además x0 2 R , entonces lím f .x/ D f .x0 /. x!x0 Si f .x/ es una función racional y además x0 2 Df , entonces lím f .x/ D f .x0 /. x!x0Ejemplo 3.2.3 Dada la función f .x/ D 2x 3 C 3x 2 4x 5, calcular los límites siguientes: 3
  4. 4. 4 Cálculo Diferencial e Integral I 1. lím f .x/; 4. lím f .x/; x! 1 1 x! 2 2. lím f .x/; 5. lím f .x/; 3 x!2 x! 2 3. lím f .x/; 6. lím f .x/. 2 x!0 x! 3H Por ser f una función polinomial: 1. lím f .x/ D f . 1/ D 2. 1/3 C 3. 1/2 4. 1/ 5 D 2C3C4 5 D 0. x! 1 2. lím f .x/ D f .2/ D 2.2/3 C 3.2/2 4.2/ 5 D 16 C 12 8 5 D 15. x!2 3. lím f .x/ D f .0/ D 2.0/3 C 3.0/2 4.0/ 5D0C0 0 5 D 5. x!0 3 2 1 1 1 1 1 3 4. lím f .x/ D f D2 C3 4 5D C 2 5 D 6. 1 x! 2 2 2 2 2 4 4 5. 3 2 3 3 3 3 lím f .x/ D f D2 C3 4 5D x! 3 2 2 2 2 2 27 9 D2 C3 C6 5D 8 4 27 27 D C C6 5 D 1: 4 4 6. 3 2 2 2 2 2 lím f .x/ D f D2 C3 4 5D x! 2 3 3 3 3 3 8 4 8 16 4 8 16 43 D2 C3 C 5D C C 5D C4 5D : 27 9 3 27 3 3 27 27 4x 2 1Ejemplo 3.2.4 Dada la función g.x/ D , calcular: x2 4 1. lím g.x/; 4. lím g.x/; x!0 1 x! 2 2. lím g.x/; 5. lím g.x/; 2 x! 1 x! 3 3. lím g.x/; 6. lím g.x/. 1 x!3 x! 2
  5. 5. 3.2 Álgebra de límites 5H La función g es racional y su dominio es Dg D R f 2; 2 g. 1 2 1Por estar los números 0; 1; 3; ; y en el dominio de la función g: 2 3 2 4.0/2 1 1 1 1. lím g.x/ D g.0/ D D D . x!0 02 4 4 4 4. 1/2 1 4 1 3 2. lím g.x/ D g. 1/ D D D D 1. x! 1 . 1/2 4 1 4 3 4.3/2 1 36 1 35 3. lím g.x/ D g.3/ D 2 D D D 7. x!3 .3/ 4 9 4 5 2 1 4 1 1 2 1 1 0 4. lím g.x/ D g D 2 D D D 0. 1 x! 2 2 1 1 15 4 4 2 4 4 2 2 16 7 4 1 1 2 3 7 5. lím g.x/ D g D 2 D 9 D 9 D . x! 2 3 2 4 32 32 3 4 4 3 9 9 2 1 4 1 1 2 1 1 0 6. lím g.x/ D g D 2 D D D 0. x! 1 2 1 1 15 2 4 4 2 4 4De 4. y de 6. se desprende que lím g.x/ D lím g.x/, lo cual es consistente pues g.x/ es par. 1 1 x! 2 x! 2Otro resultado también importante es f .x/ Si lím g.x/ D 0 y si lím existe, entonces lím f .x/ D 0. x!x0 x!x0 g.x/ x!x0Este resultado usualmente se aplica de la siguiente forma: f .x/ Si lím g.x/ D 0 y si lím f .x/ ¤ 0, entonces lím no existe. x!x0 x!x0 x!x0 g.x/ 4xEjemplo 3.2.5 Dada la función f .x/ D , calcular lím f .x/. 2x 1 x! 1 2
  6. 6. 6 Cálculo Diferencial e Integral I 1 1H Notamos primero que lím .2x 1/ D 2 1D1 1 D 0 y luego que lím .4x/ D 4 D 1 x! 2 2 1 x! 2 22 ¤ 0.Podemos afirmar entonces que lím f .x/ no existe. 1 x! 2 f .x/Próximamente diremos algo más del lím , cuando lím g.x/ D 0 y lím f .x/ ¤ 0 al ver límites x!x0 g.x/ x!x0 x!x0infinitos. f .x/ Si lím g.x/ D 0 y si lím f .x/ D 0, entonces lím puede o no existir. x!x0 x!x0 x!x0 g.x/ “ 0 ”A este resultado algunos autores le llaman indeterminación cero sobre cero: . 0 x2 x 6Ejemplo 3.2.6 Dada la función f .x/ D , calcular lím f .x/. x2 4 x! 2H Primero notamos que lím .x 2 4/ D . 2/2 4D4 4 D 0. x! 2Luego notamos que lím .x 2 x 6/ D . 2/2 . 2/ 6 D 4C2 6 D 0: x! 2Entonces, puede ser que exista lím f .x/. x! 2Como x D 2 anula tanto a x 2 4 como a x 2 x 6, entonces x . 2/ D x C 2 es factor de ambospolinomios por el teorema del Residuo. Por lo tanto, después de factorizar, x2 x 6 .x C 2/.x 3/ x 3 lím f .x/ D lím D lím D lím D x! 2 x! 2 x2 4 x! 2 .x C 2/.x 2/ x! 2 x 2 lím .x 3/ 2 3 5 5 x! 2 D D D D : lím .x 2/ 2 2 4 4 x! 2Pudimos cancelar el factor x C 2 en numerador y en denominador pues al calcular el límite hallamosque x C 2 ¤ 0 al ser x ¤ 2. 5Comentario: puesto que f . 2/ no existe y que lím f .x/ D , entonces podemos visualizar que la x! 2 4 5gráfica de f tiene un orificio en el punto A 2; . 4
  7. 7. 3.2 Álgebra de límites 7 y „ « 5 3 A 2; 4 2 x 2 2 3 y D f .x/ 2x 2 C 5x 7Ejemplo 3.2.7 Dada la función g.x/ D , calcular lím g.x/. x3 1 x!1H Primero notamos que lím .x 3 1/ D 13 1 D 0 y luego que lím .2x 2 C 5x 7/ D 2 C 5 7 D 0. x!1 x!1Entonces puede ser que exista lím g.x/. x!1Como x D 1 anula tanto a 2x 2 C 5x 7 como a x 3 1, entonces x 1 es factor de ambos polinomios.Por lo tanto, 2x 2 C 5x 7 .x 1/.2x C 7/ lím g.x/ D lím D lím D x!1 x!1 x3 1 x!1 .x 1/.x 2 C x C 1/ 2x C 7 lím .2x C 7/ 2C7 9 x!1 D lím 2 D D D D 3: x!1 x C x C 1 lím .x 2 C x C 1/ 1C1C1 3 x!1Comentario: como g.1/ no existe y lím g.x/ D 3, entonces podemos concluir que la gráfica de g tiene x!1un orificio en el punto B.1; 3/. y y D g.x/ ! B.1; 3/ x 1 x 3 C 5x 2 C 3x 9Ejemplo 3.2.8 Dada h.x/ D , calcular lím h.x/. x 3 C 27 x! 3
  8. 8. 8 Cálculo Diferencial e Integral IH Notamos primero que lím .x 3 C 27/ D . 3/3 C 27 D 27 C 27 D 0 x! 3y luego que lím .x 3 C 5x 2 C 3x 9/ D . 3/3 C 5. 3/2 C 3. 3/ 9D 27 C 45 9 9 D 0: x! 3Puede suceder entonces que exista lím h.x/. x! 3Como x D 3 anula tanto al numerador como al denominador, entonces x C 3 es factor de ambospolinomios. Recuérdese que, en cada caso, el otro factor se puede obtener dividiendo el polinomioentre el factor x C 3.Por lo tanto, x 3 C 5x 2 C 3x 9 .x C 3/.x 2 C 2x 3/ lím h.x/ D lím D lím D x! 3 x! 3 x 3 C 27 x! 3 .x C 3/.x 2 3x C 9/ x 2 C 2x 3 lím .x 2 C 2x 3/ . 3/2 C 2. 3/ 3 x! 3 D lím 2 D D D x! 3 x 3x C 9 lím .x 2 3x C 9/ . 3/2 3. 3/ C 9 x! 3 9 6 3 0 D D D 0: 9C9C9 27Comentario: ya que h. 3/ no existe y que lím h.x/ D 0, entonces se puede afirmar que la curva x! 3y D h.x/ tiene un orificio en el punto C. 3; 0/. y y D h.x/ C. 3; 0/ #$ x 3 x2 1Ejemplo 3.2.9 Dada g.x/ D 2 , calcular lím g.x/. x C 2x C 1 x! 1H Notamos primero que lím .x 2 C 2x C 1/ D . 1/2 C 2. 1/ C 1 D 1 2C1D0 x! 1y luego que lím .x 2 1/ D . 1/2 1D1 1 D 0: x! 1
  9. 9. 3.2 Álgebra de límites 9Entonces puede ser que exista lím g.x/. x! 1Factorizando numerador y denominador: x2 1 .x C 1/.x 1/ x 1 lím g.x/ D lím 2 D lím D lím : x! 1 x! 1 x C 2x C 1 x! 1 .x C 1/.x C 1/ x! 1 x C 1Ahora notamos que lím .x C 1/ D 1C1 D 0 x! 1y que lím .x 1/ D 1 1 D 2 ¤ 0: x! 1 x 1Entonces sucede que lím no existe. x! 1 x C 1Por lo tanto lím g.x/ no existe. x! 1 1 3Ejemplo 3.2.10 Calcular lím . x!1 1 x 1 x3H Ya que lím .1 x/ D 0 y que lím .1 x 3 / D 0 y también que tanto lím 1 D 1 como lím 3 D 3 son x!1 x!1 x!1 x!1distintos de cero, no podemos expresar el límite pedido como la diferencia de límites: 1 3 1 3 lím D lím lím ; x!1 1 x 1 x3 x!1 1 x x!1 1 x3pues estos últimos no existen. Entonces, procedemos algebraicamente. Primero sumamos las frac-ciones y luego simplificamos. 1 3 1 3 D D 1 x 1 x3 1 x .1 x/.1 C x C x 2 / .1 C x C x 2 / 3 x2 C x 2 D D D .1 x/.1 C x C x 2 / .1 x/.1 C x C x 2 / .x 1/.x C 2/ D D .x 1/.1 C x C x 2 / xC2 D si x 1 ¤ 0, es decir, si x ¤ 1: .1 C x C x 2 /Luego 1 3 xC2 lím .x C 2/ x!1 lím D lím D D x!1 1 x 1 x3 x!1 .1 C x C x 2 / lím Œ .1 C x C x 2 / x!1 lím .x C 2/ 1C2 3 x!1 D D D D 1: lím .1 C x C x2 / .1 C 1 C 1/ 3 x!1Otras reglas importantes para el cálculo de límites son las siguientes:
  10. 10. 10 Cálculo Diferencial e Integral I p p f .x/ D n x ) lím f .x/ D n x0 . x!x0 Si n es par se requiere que x0 0. m m m 2 Q y f .x/ D x n ) lím f .x/ D x n . 0 n x!x0 Si n es par se requiere que x0 0. Si n 2 N es impar o bien lím f .x/ 0 cuando n 2 N sea par, entonces x!x0 lím n f .x/ D n lím f .x/: x!x0 x!x0 Si n es par se requiere que lím f .x/ 0. x!x0 Si f .x/ Ä h.x/ Ä g.x/ para x en un intervalo abierto que contiene a x0 y lím f .x/ D lím g.x/ D ˛ ) lím h.x/ D ˛: x!x0 x!x0 x!x0 p pEjemplo 3.2.11 Dadas las funciones f .x/ D x 3 C 1 g.x/ D 3x 2 , calcular 3 4 1. lím f .x/; 4. lím g.x/; x!2 x! 1 2. lím g.x/; 5. lím Œf .x/ g.x/; x!2 x!0 3. lím f .x/; 6. lím Œf .x/g.x/. x! 2 x! 3H 1. lím f .x/ D lím x 3 C 1 D lím .x 3 C 1/ D .2/3 C 1 D x!2 x!2 x!2 p p D 8 C 1 D 9 D 3: p 2. lím g.x/ D lím 3 4 3x 2 D 3 lím .4 3x 2 / D 3 4 3.2/2 D x!2 x!2 x!2 p3 p3 D 4 12 D 8 D 2: 3. Notamos primero que lím .x 3 C 1/ D . 2/3 C 1 D 8C1 D 7 0 y afirmamos luego que x! 2 lím f .x/ no tiene sentido pues x! 2 Df D x 2 R x3 C 1 0 D x 2 R x3 1 D Œ 1; C1/ y no contiene intervalos abiertos que contengan a 2.
  11. 11. 3.2 Álgebra de límites 11 p 4. lím g.x/ D lím 3 3x 2 D 3 lím .4 3x 2 / D 4 x! 1 x! 1 x! 1 3 p3 p3 D 4 3. 1/2 D 4 3 D 1 D 1: p p p 5. lím f .x/ D lím x3 C 1 D lím .x 3 C 1/ D 03 C 1 D 1 D 1. x!0 x!0 x!0 Por otra parte p 3 p 3 p 3 lím g.x/ D lím 4 3x 2 D 3 lím .4 3x 2 / D 3 4 3.0/2 D 4 0D 4: x!0 x!0 x!0 Luego p 3 lím Œf .x/ g.x/ D lím f .x/ lím g.x/ D 1 4: x!0 x!0 x!0 6. Observamos que Df g D Df Dg D Œ 1; C1/ R D Œ 1; C1/ y entonces calcular lím f .x/g.x/ x! 3 no tiene sentido puesto que la función f g no está definida cerca de 3. 4 xEjemplo 3.2.12 Calcular lím p . x!4 2 x p pH Notamos primero que lím .2 x/ D 2 4D2 2 D 0 y luego que lím .4 x/ D 4 4 D 0. x!4 x!4Observamos que podemos factorizar el numerador y entonces p p p 4 x 22 . x/2 .2 x/.2 C x/ lím p D lím p D lím p D x!4 2 x x!4 2 x x!4 .2 x/ p p D lím .2 C x/ D 2 C 4 D 2 C 2 D 4: x!4 p p 3 x 3Ejemplo 3.2.13 Calcular lím . x!0 x p p p pH Vemos primero que lím x D 0 y luego que lím . 3 x 3/ D 3 3 D 0: x!0 x!0Usemos un artificio algebraico: racionalizamos al numerador para generar una diferencia de cuadra-dos (multiplicamos al numerador y al denominador por el “binomio conjugado del numerador que
  12. 12. 12 Cálculo Diferencial e Integral Ies ¤ 0): p p p p p p 3 x 3 x 3 3 3 xC 3 lím D lím p p D x!0 x x!0 x 3 xC 3 p p . 3 x/2 . 3/2 .3 x/ 3 D lím p p D lím p p D x!0 x. 3 x C 3/ x!0 x. 3 x C 3/ x D lím p p D x!0 x. 3 x C 3/ 1 lím . 1/ x!0 D lím p p D p p D x!0 3 xC 3 lím . 3 x C 3/ x!0 1 1 1 1 Dp p Dp p D p D p : 3 0C 3 3C 3 2 3 2 3 p p x2 2x C 6 x 2 C 2x 6Ejemplo 3.2.14 Calcular lím . x!3 x 2 4x C 3H Notemos primero que lím .x 2 4x C 3/ D 32 4.3/ C 3 D 9 12 C 3 D 0: x!3Y luego observemos que p p lím x2 2x C 6 x 2 C 2x 6 D 9 6C6 9C6 6D3 3 D 0: x!3Procedemos analogamente al ejemplo anterior racionalizando al numerador. Se multiplica y divide p ppor x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6 que es una cantidad ¤ 0 si consideramos que x ¤ 3. p p x 2 2x C 6 x 2 C 2x 6 lím D x!3 x 2 4x C 3 p p p p x 2 2x C 6 x 2 C 2x 6 x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6 D lím p p D x!3 x 2 4x C 3 x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6 p p . x 2 2x C 6/2 . x 2 C 2x 6/2 D lím p p D x!3 .x 2 4x C 3/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ .x 2 2x C 6/ .x 2 C 2x 6/ D lím p p D x!3 .x 2 4x C 3/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ 4x C 12 D lím p p D x!3 .x 2 4x C 3/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ 4.x 3/ D lím p p D x!3 .x 3/.x 1/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ 4 D lím p p D x!3 .x 1/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ lím 4 x!3 D p p D lím Œ.x 1/. x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ x!3
  13. 13. 3.2 Álgebra de límites 13 4 D p p D lím .x 1/ lím . x 2 2x C 6 C x 2 C 2x 6/ x!3 x!3 4 D p p D 2 lím x2 2x C 6 C lím x 2 C 2x 6 x!3 x!3 4 4 1 D D D : 2.3 C 3/ 12 3Ejercicios 3.2.1 Soluciones en la página 16I. Considerando que lím f .x/ D 8; lím g.x/ D 4; lím h.x/ D 0 y que lím .x/ no existe, calcu- x!2 x!2 x!2 x!2lar los siguientes límites: 1. lím Œg.x/ f .x/. g.x/ x!2 7. lím . x!2 h.x/ 2. lím Œf .x/ g.x/. x!2 3. lím Œf .x/ C .x/. 8. lím g.x/ C 3 f .x/ . x!2 x!2 g.x/ 4. lím . 5 x!2 f .x/ f .x/ 9. lím . x!2 g.x/ 5. lím f 2 .x/ g 3 .x/ . x!2 f .x/h.x/ 6. lím . 10. lím h.x/ f .x/ . x!2 g.x/ x!2II. Calcular los límites siguientes: 1. lím . x 2 9x 8/. 7. lím .x 3 x2 x C 1/. x!4 1 x! 2 p 2. lím x4 2x C 1. 8. lím .3 4x C 5x 2 /. 2 x! 2 x! 3 x 2 3x C 1 9. lím .3x 2 2/5 . x!0 3. lím . 1 x 2 C 8x 3 x! 2 10. lím .6 x 2 /4 . x! 3 p 1 5 3x 2 4x C 5 4. lím xCp . 11. lím . x!1 x x!0 6x 2 7x C 8 3x C 2 5. lím .x C 4/3 .x 5/2 . 12. lím . x!6 x! 2 x2 C 4 x3 C 1 6. lím .4x 3 C 3x 2 2x 1/. 13. lím . x! 1 x! 1 x2 C 1
  14. 14. 14 Cálculo Diferencial e Integral I .2x 1/3 14. lím . x! 1 2 .4x 2 C 1/5III. Calcular los límites siguientes: p x2 1 3 x 1 1. lím 2 . 17. lím p . x! 1 x C 3x C 2 x!1 4 x 1 x 2 4x C 4 p 2. lím . 3x C 1 2x x!2 x 2 2x 18. lím 2 . x!1 x C 2x 3 x2 7x C 10 3. lím . x3 3x 2 5x x!5 x 2 25 19. lím . x!0 x 2 7x x3 8 p p 4. lím . xC2 6 x x!2 6x 2 3x 3 20. lím : x!2 x 2 x2 .a C 1/x C a 5. lím . 1 3 x!a x 3 a3 21. lím . x!1 x 1 x3 1 x 4 3x 2 C 2 6. lím . p x!1 x 4 C 2x 2 3 2x 12x C 40 22. lím . x4 1 x!2 3x 2 C x 14 7. lím . p x!1 x 3 1 hC1 1 p p 23. lím : x 2 h!0 h 8. lím . p x!2 x 2 xC1 2 p p 24. lím . 1Cx 1 x x!3 x 3 9. lím . x!0 x 1 12 p 25. lím . 2 x 3 x!2 x 2 x3 8 10. lím 2 . x!7 x 49 p 2x 3 16 3 5Cx 26. lím . x!2 3x 2 C 8x 4 11. lím p . x!4 1 5 x p p p p 2Cx 2 3 xCh 3 x 27. lím : 12. lím . x!0 x h!0 h p p p 9x C 19 6x 1 x 2 2x C 6 x 2 C 2x 6 28. lím : 13. lím . x! 2 6x 2 19x C 10 x!3 x 2 4x C 3 3 p x 8 4 x C 15 14. lím p . 29. lím : x!8 3 x 2 x!1 x2 1 p x 1 x3 C 8 15. lím . 30. lím : x!1 x 1 x! 2 x 2 C 5x C 6 p x 8 2x 2 C 5x 3 16. lím p 3 . 31. lím : x!64 x 4 x! 3 x2 2x 15
  15. 15. 3.2 Álgebra de límites 15 p p xCh x x3 2x 2 C 2x 1 32. lím . 36. lím : h!0 h x!1 x 1 x2 x 33. lím : x!1 x 2 1 4 37. lím 3 x. 3x 2 C 4x 7 x!0 x 34. lím : x!1 x2 1 p xC1 1 x3 35. lím p . 38. lím p : x!0 xC4C2 x!0 x 2 C 25 5 p 13 x 2 x 1 39. Considere la función f .x/ D : x 2 5x C 6 a. Viendo la tabla de imágenes de f , calcule lím f .x/ con dos cifras decimales exactas: x!2 x f .x/ 1:997 1:66096 1:998 1:66286 1:999 1:66476 2 Indeterminado 2:001 1:66858 2:002 1:67049 2:003 1:67241 b. Calcule exactamente lím f .x/ usando la expresión algebraica de la función. x!2 ¿Cuál es la tercera cifra decimal exacta del valor del límite?
  16. 16. 16 Cálculo Diferencial e Integral IEjercicios 3.2.1 Álgebra de límites, página 13I. 1. 12 . 6. 0 . 2. 32 . 7. No existe. 3. No existe. 8. 0 . 1 4. . 9. 32 . 2 5. 0 . 10. No existe.II. 1. lím . x 2 9x 8/ D 60 . 23 x!4 8. lím .3 4x C 5x 2 / D . 2 x! 3 9 p p 2. lím x4 2x C 1 D 21 . x! 2 9. lím .3x 2 2/5 D 32 . x!0 x 2 3x C 1 1 10. lím .6 x 2 /4 D 81 . 3. lím D . x! 3 1 x! 2 x 2 C 8x 3 3 3x 2 4x C 5 5 p 1 5 11. lím D . x!0 6x 2 7x C 8 8 4. lím xCp D 32 . x!1 x 3x C 2 1 12. lím D . 5. lím .x C 4/ .x 3 5/ 2 D 1 000 . x! 2 x2 C 4 2 x!6 x3 C 1 6. lím .4x 3 C 3x 2 2x 1/ D 0 . 13. lím D 0. x! 1 x! 1 x2 C 1 3 .2x 1/3 1 7. lím .x 3 x2 x C 1/ D . 14. lím D . 1 x! 2 8 x! 1 2 .4x 2 C 1/5 4III. x2 1 x2 .a C 1/x C a a 1 1. lím D 2. 5. lím D . x! 1 x 2 C 3x C 2 x!a x 3 a 3 3a2 x 2 4x C 4 x 4 3x 2 C 2 1 2. lím D 0. 6. lím D . x!2 x 2 2x x!1 x 4 C 2x 2 3 4 x2 7x C 10 3 x4 1 4 3. lím D . 7. lím 3 D . x!5 x 2 25 10 x!1 x 1 3 p p x3 8 x 2 1 4. lím D 1. 8. lím D p . x!2 6x 2 3x 3 x!2 x 2 2 2
  17. 17. 3.2 Álgebra de límites 17 p p 1Cx 1 x 1 12 1 9. lím D 1. 25. lím D . x!0 x x!2 x 2 x3 8 2 p 2 x 3 1 2x 3 16 10. lím D . 26. lím D 6. x!7 x2 49 56 x!2 3x 2 C 8x 4 p p p 3 5Cx 1 2Cx 2 1 11. lím p D . 27. lím D p . x!4 1 5 x 3 x!0 x 2 2 p 3 p p xCh 3 x 1 9x C 19 6x 1 51 12. lím D p . 28. lím D . h!0 h 3 3 x2 2 x! 3 6x 2 19x C 10 110 p p p x 2 2x C 6 x 2 C 2x 6 1 4 x C 15 1 13. lím D 29. lím D . x!3 x 2 4x C 3 3 x!1 x2 1 16 x 8 x3 C 8 14. lím p3 D 12 . 30. lím D 12 . x!8 x 2 x! 2 x 2 C 5x C 6 p x 1 1 2x 2 C 5x 3 7 15. lím D . 31. lím D . x!1 x 1 2 x! 3 x 2 2x 15 8 p p p x 8 x Ch x 1 16. lím p 3 D 3. 32. lím D p . x!64 x 4 h!0 h 2 x p3 x 1 4 x2 x 1 17. lím p4 D . 33. lím D . x!1 x 1 3 x!1 x 2 1 2 p 3x C 1 2x 5 3x 2 C 4x 7 18. lím 2 D . 34. lím D 5. x!1 x C 2x 3 16 x!1 x2 1 p x3 3x 2 5x 5 xC1 1 19. lím 2 D . 35. lím p D 2. x!0 x 7x 7 x!0 x C4C2 p p xC2 6 x 1 20. lím D . x3 2x 2 C 2x 1 x!2 x 2 2 36. lím D 1. x!1 x 1 1 3 21. lím D 1. 4 x!1 x 1 x3 1 37. lím 3 x D 4. x!0 x p 2x 12x C 40 7 22. lím D . x3 x!2 3x 2 C x 14 26 38. lím p D 0. p x!0 x 2 C 25 5 hC1 1 1 23. lím D . 39. a. Se comprueba que lím f .x/ D 1:66; h!0 h 2 x!2 p b. lím f .x/ D 1:6667; xC1 2 1 x!2 24. lím D . 6 es la tercera cifra decimal del límite . x!3 x 3 4

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