Capitulo4 centro de masa y teorema de pappus

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Capitulo4 centro de masa y teorema de pappus

  1. 1. Centro de masa y teorema de Pappus0.1. Centro de masa Definimos las cordenadas del centro de masa como (¯, y ) de tal forma que: x ¯ My x= ¯ m Mx y= ¯ mDonde Mx y My son momentos de la forma: Mx = pydA r My = pxdA rCentroideEl centroide de una regi´n es el punto que define su centro geometrico Como la masa es oel producto de la dencidad por el area( m = dA), tenemos: My xdA x= ¯ A = R A Mx ydA y= ¯ A = R AAhora bien, si x se calcula en t´rminos de y, el x esta dado por el punto medio de la regi´n ¯ e o f (y) + g(y)es decir y el area tambien en t´rminos de y: ´ e 2 d f (y) + g(y) [f (y) − g(y)]dy c 2 x= ¯ A Ahora bien, si y se calcula en t´rminos de x, el y esta dado por el punto medio de la ¯ e f (x) + g(x)regi´n es decir o y el area tambien en t´rminos de x: ´ e 2 b f (x) + g(x) [f (x) − g(x)]dx a 2 y= ¯ A 1
  2. 2. Ejemplo:Calcular el centroide de la regi´n acotada por: ox=0x=2y=0y=2 A simple vista sabemos que el centroide esta en el punto (1, 1) ahora demostremolo porintegrales:x en t´rminos de x¯ e 2 My xdA x(2)dx 2 x2 |0 4 R 0 x= ¯ = = = = =1 A 4 4 4 4En terminos de y 2 2+0 My xdA 2dy 2y|2 4 x= ¯ = R = 0 0 = 0 = =1 A 4 4 4 4y en t´rminos de y¯ e 2 Mx ydA y(2)dy 2 y 2 |0 4 R 0 y= ¯ = = = = =1 A 4 4 4 4En terminos de x 2 2+0 Mx ydA 2dx 2x|2 4 y= ¯ = R = 0 0 = 0 = =1 A 4 4 4 4comprobamos que el centroide es (1, 1) 2
  3. 3. 0.2. teorema de Papus El volumen V , de un s´lido de revoluci´n generado mediante la rotaci´n de un ´rea plana o o o aalrededor de un eje externo, es igual al producto del ´rea, A, por la distancia, d recorrida apor su centroide en una rotaci´n completa alrededor del eje. o VR = 2πdADonde:d: Distancia ade la recta de giro al centro de masa o centroide de la regi´n. o ´A: Area de la regi´n a rotar. oEjemplo:Hallar el volumen del solido de revolucion generado al rotar la regi´n limitada por (x − 5)2 + oy 2 = 16 al rededor de:a) eje yb) la recta x = −2 alrededor del eje y: En primer lugar calculamos el area de la figura, en este caso un a circuferencia de radio4. y luego obtenemos las cordenadas del centride: A = 16π x=5 ¯ y=0 ¯Ademas observamos que la distancia a la recta de giro es 5.Aplicamos la Pappus: Vy = (2π)(5)(16π) = 160π 2 u2 3
  4. 4. Al rededor de la recta x = −2calculamos la distancia del centroide a la recta de giro y luego aplicamos Pappus: Vy = (2π)7(16π) = 224π 2 u2Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun 4

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