Capitulo2 area de regiones

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Capitulo2 area de regiones

  1. 1. ´Calculo de Areas0.1. ´ Area de regiones Dada una funci´n f (x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al area limitada o ´entre la gr´fica f (x), el eje X, y las rectas verticales x = a y x = b. a bLa integral definida se representa por f (x)dx a es el s´ ımbolo de la integrala Limite inferior de la integraci´n ob Limite superior de la integraci´n of (x) Funci´n a integrar odx Indica cual es la variable de la funci´n que se integra o 1
  2. 2. 0.1.1. Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los l´ ımites de integraci´n. o b b f (x)dx = − f (x)dx a a2. Si los l´ ımites que integraci´n coinciden, la integral definida vale cero. o b f (x)dx = 0 a3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como unasuma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. b c b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales b b b [f (x) + g(x)dx = f (x)dx + g(x)dx a a a5. La integral del producto de una constante por una funci´n es igual a la constante por la ointegral de la funci´n. o b b k ∗ f (x)dx = k ∗ f (x)dx a a 2
  3. 3. 0.1.2. ´ Area entre una funci´n y el eje de abscisas o 1. La funci´n es positiva oSi la funci´n es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gr´fica de la funci´n est´ por o a o aencima del eje de abscisas. El area de la funci´n viene dada por: ´ o b A= f (x)dx aPara hallar el area seguiremos los siguientes pasos: ´ Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f (x) = 0 y resolviendo la ecuaci´n. o El area es igual a la integral definida de la funci´n que tiene como l´ ´ o ımites de integraci´n o los puntos de corte.Ejemplo:Calcular el area limitada por la curva y = 9 - x2 y el eje X. ´En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva yconocer los l´ ımites de integraci´n. o 0 = 9 − x2 x = 3 x = −3Como la par´bola es sim´trica respecto al eje Y, el area ser´ igual al doble del area com- a e ´ a ´prendida entre x = 0 y x = 3. 3 3 x3 A= (9 − x2 )dx = 2 ∗ (9 − x2 )dx = 2[9x − ] = 36u2 −3 0 3 3
  4. 4. 2. La funci´n es negativa oSi la funci´n es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gr´fica de la funci´n est´ por o a o adebajo del eje de abscisas. El ´rea de la funci´n viene dada por un viene dada por: a o b b A=− f (x)dx A = f (x)dx a aEjemplo:Calcular el area limitada por la curva y = x2 - 4x y el eje X. ´ 0 = x2 − 4x x = 0 x = 4 4 x3 32 A= (x2 − 4x)dx = [ − 2x2 ]4 = − 0 0 3 3 32 2 |A| = 3 u3. La funci´n toma valores positivos y negativos oEn ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para cal-cular el area de la funci´n seguiremos los siguientes pasos: ´ o Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuaci´n. o Se ordenan de menor a mayor las ra´ ıces, que ser´n los l´ a ımites de integraci´n. o El area es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. ´ 4
  5. 5. Ejemplo: 3x−6Hallar el area limitada por la recta y = ´ 2 , el eje de abscisas y las ordenadas correspondi-entes a x = 0 y x = 4. 2 3x − 6 1 3 1 A1 = ( dx = [ x2 − 6x]2 = (6 − 12) = −3 0 0 2 2 2 2 4 3x − 6 1 3 1 A2 = ( dx = [ x2 − 6x]4 = [(24 − 24) − (6 − 12)] = 3 2 2 2 2 2 2 A = |A1 | + A2 = |−3| + 3 = 6u2 5
  6. 6. 0.2. ´ Area entre curvas Considerando dos funciones f (x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] donde f (x) > g(x)podemos calcular el ´rea entre dos curvas en t´rminos de x con la siguiente expresi´n: a e o b Ax = f (x) − g(x) aGr´ficamente el area seria: a ´ b Ax = ([farriba ] − [fabajo ])dx aGr´ficamente dos funciones f (y) y g(y) continuas en el intervalo [c, d] donde f (y) > g(y) apodemos calcular el ´rea entre dos curvas en t´rminos de y con la siguiente expresi´n: a e o d Ay = f (y) − g(y) cGr´ficamente el area seria: a ´ d Ay = ([fderecha ] − [fizquierda ])dy cconsiderando dos funciones f (y) y g(y) continuas en el intervalo [a, b] y que se interceptanentre si en el punto c podemos calcular su ´rea total con la siguiente expresi´n: a o c b AT = g(x) − f (x)dx + f (x) − g(x)dx a c 6
  7. 7. Gr´ficamente el area total seria: a ´ AT = A1 + A2Es importante notar que no importa en que cuadrante se encuentre el ´rea acotada, siempre aes la funci´n de arriba menos la de abajo en t´rminos de x y siempre la funci´n de la o e oderecha menos la de la izquierda en t´rminos de y. eEjemplo 1:calcular el area acotada por las siguientes curvas: ´ y−x−2=0 y=1 x=2Luego de gr´ficar la regi´n, expresamos el area en t´rminos de x y calculamos: a o ´ e 2 2 x2 9 Ax = [(x + 2) − 1]dx = +x = u2 −1 2 −1 2En t´rminos de y el ´rea seria: e a 4 4 y2 9 Ay = [2 − (y − 2)]dy = + 4y = u2 1 2 1 2 7
  8. 8. Ejemplo 2:Calcular el area acotada por las siguientes curvas: ´ y = x2 y = −x2 + 5En primer lugar graficamos las funciones y calculamos sus puntos de intersecci´n o x2 = −x2 + 5 2x2 = 5 5 x=± 2 Por lo tanto el area en t´rminos de x seria: ´ e √5 √5 3 2 2x 2 Ax = √ 5 (−x2 + 5) − (x2 )dx = + 5x √ 5 = 10,54u 2 − 2 3 − 2Para calcular el area en t´rminos de y debemos expresar el area en dos integrales: ´ e ´ √ √ La primera ´rea acotada en el intervalo [0, 5 ] siendo a 2 y la funci´n de la derecha y − y o la funci´n de la izquierda. o √ La segunda area acotada en el intervalo [ 5 , 5] siendo √ ´ 2 5 − x la funci´n de la derecha o y − 5 − y la funci´n de izquierda. oPor lo tanto el area en t´rminos de y seria: ´ e 5 5 5 3 2 2 √ √ 2 √ 4y 2 A1 = [ y − (− y)]dy = 2 y= = 5,27u2 0 0 3 0 3 5 5 5 4(5 − y) 2 A2 = [ 5 − y − (− 5 − y)]dy = 2 5 − ydy = − = 5,27u2 5 2 5 2 3 5 2Sumando ambas ´reas obtenemos: a AT = A1 + A2 = 10,54u2Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun 8

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