Black–Scholes formula and financial asset price process.

1. ブラック・ショールズ式 および
金融資産過程 の分析に向けて
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（****
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて

2. 目次
15/10/21
ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
2
研究の動機、目的
金融工学における用語の定義
「離散」資産過程と「連続」資産過程
ブラック・ショールズの公式
金融資産過程のさらなる分析に向けて
動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
1
2
3
4
5

3. 研究の動機、目的
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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研究の動機
研究の目的
l ブラック・ショールズ式までの、金融工学の知識を身に付ける （調べ学習）
l 価格の変動がどのような構造を持つのか、分析する （研究）
l 人間集団の合意形成とも言える金融資産の「価格」に興味がある
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4. 金融工学における用語の定義(1)
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4
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金融資産
株、銀行預金、金融派生商品など
金融資産過程
金融資産の価格の時間変動を数学的に表現したもの
確率過程 で表現する。
{S(t)}(0≤t≤T )
金融資産過程の実現値の例 （グラフで表現）
S(t)
0 T

5. 金融工学における用語の定義(2)
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（満期日Tの）
金融派生商品
株価などから「派生」した金融資産。
t時点での価格を で表す。
過程の関数 として表現できる。
Π(T) = Φ({S(t)}0≤t≤T )
動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
Π(1) = Φ({S(t)}) =
100 − S1(100 > S1)
0(100 ≤ S1)
Π(t)
時刻1で株を100円で売れる権利あげるよ！
株を買ったけど、値下がりが怖いな…
欲しい！値段いくら？
S(t)
0 1
金融派生商品の例（ヨーロピアン・プット・オプション）

6. 金融資産市場での主要な仮定
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動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
安全・危険資産の存在
l 価格がランダムに変動しない「安全な資産」が存在する （銀行預金など）
l 価格がランダムに変動する「危険な資産」が存在する （株など）
無裁定性
l 所持金0から、100%利益を得る方法は存在しない
無裁定性が成り立たない例
A銀行では金利2%でお金を借りられる。B銀行では金利3%で預金できる。

7. 価格過程の離散的な考察
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
2時点（t=0,1）における、安全資産Bと、危険資産Sの資産過程を考える。
1期間 離散時間 資産過程モデル
Π(0) =
1
1+ R
EQ
[Π(1)]=
1
1+ R
{Φ(s,su)⋅qu +Φ(s,sd)⋅qd }
S(1) =
pu
pd
su
sd
（確率 ）
（確率 ）
金融派生商品の、時点0での価格 は、
S(0) = sB(0) =1
B(1) =1×(1+ R)
Π(0)
(Qはリスク中立測度)
1 1+ R
s
su
sd
pu
pd

8. 価格過程の連続的な考察（1）
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
8
動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
時点（ ）における、安全資産Bと、危険資産Sの資産過程を考える。
連続株式・債券資産過程モデル
dBt = r(t)Btdt
dSt = µ(t,St )Stdt +σ (t,St )StdWt
Bt+Δt − Bt = r(t)BtΔt
St+Δt − St = µ(t,St )StΔt +σ (t,St )StΔWt
はウィナー過程
ΔWt ~N(0,Δt)
Wt -Ws ~N(0,t-s)
St
t t + Δt
N(µStΔt, σ 2
St
2
Δt)
W
0 ≤ t ≤1

9. なめらかな関数を用いて とできるなら、
価格過程の連続的な考察（2）
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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Ft (t,St )+rStFs (t,St )+
1
2
s2
σ 2
(t,St )Fss (t,St )−rF(t,St ) = 0
F(1,St ) = Φ(St )
Π(t) = F(t,S(t))
離散の場合
Π(0) =
1
1+ R
EQ
[Π(1)]=
1
1+ R
{Φ(s,su)⋅qu +Φ(s,sd)⋅qd }
金融派生商品の、時点0での価格 は、
Π(0)
連続の場合
Π(0) =
1
1+ R
EQ
[Π(1)]= ???
• 確率積分の定義
• 伊藤の公式
• ファインマンカッツの
表現公式…
（ブラック・ショールズ方程式）
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10. は の確率密度関数
ブラック・ショールズの公式
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
10
連続株式・債券資産過程モデル
dBt = r(t)Btdt
dSt = µ(t,St )Stdt +σ (t,St )StdWt
ブラック・ショールズモデル
dBt = rBtdt
dSt = µStdt +σStdWt
ブラック・ショールズ・モデルを仮定すると、
F(t,St ) = e−r(1−t)
Φ(SteZ
) f (z)dz
−∞
∞
∫ Z ~ N[ (r −
1
2
σ 2
)(1−t), σ 2
(1−t)]
さらに、金融派生商品がヨーロピアン・プット・オプションの場合、
F(t,St ) = −St N(−d1)+e−r(1−t)
KN(−d2 )
d1 =
1
σ T −t
{log(
St
K
)+(r +
1
2
σ 2
)(1−t)
d2 = d1 −σ 1−t
f Z
（ブラック・ショールズの公式）
は標準正規分布の分布関数
N(⋅)
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11. 結局何をやったのか
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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時刻1で株を100円で売れる権利あげるよ！
欲しい！値段いくら？
−S0 N(−d1)+100e−r(1−0)
N(−d2 )
d1 =
1
σ 1− 0
{log(
S0
100
)+(r +
1
2
σ 2
)(1− 0), d2 = d1 −σ 1− 0
円だよ。
但し、
l ヨーロピアン・プット・オプションの解析的な計算による価格付けに
成功した。 [Black
and
Scholes
(1973),
Merton
(1973)]
l まだ解析的に価格付けできていない金融派生商品も多く存在する。
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12. さらなる分析に向けて
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
連続株式・債券資産過程モデル
dBt = r(t)Btdt
dSt = µ(t,St )Stdt +σ (t,St )StdWt
ブラック・ショールズモデル
dBt = rBtdt
dSt = µStdt +σStdWt
これらのモデルに対する問題提起
Wt -Ws ~N(0,t-s) Wt -Ws ~N(0,t-s)
l は、実際どんな関数系をしている？引数はこれだけ？
l は、本当に正規分布に従うの？
µ(t,St ), σ (t,St )
Wt -Ws
実データを用いた統計的処理で検証している

13. 分析において難しい点
15/10/21
ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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ブラック・ショールズモデルシュミレーション
dSt = 0.2⋅Stdt +1⋅StdWt
(Δt = 0.001)
動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
500
600
700
800
900
1000
実際の株価
2015/10/2〜2015/10/9の各日終値
三菱ＵＦＪフィナンシャル・グループ
BSモデルはランダム項を含むため、過程が一意に定まらない

14. 参考文献
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ブラック・ショールズ式および金融資産過程の分析に向けて
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動機、目的 ＞ 用語の定義 ＞ 離散と連続 ＞ BS式 ＞ 分析に向けて
T.ビョルク著 前川功一訳
(2006)
『数理ファイナンスの基礎ー連続時間モデルー』
朝倉書店
白旗慎吾著(1992) 『統計解析入門』 共立出版