Ajuste de curvas

Funciones de MATLAB
Función Descripción
polyfit Ajusta polinomios a datos
interp1 Interpolación 1-D
interp2 Interpolación 2-D
spline Interpolación de datos con
segmentaria cúbica
fft Transformada discreta de
Fourier

Ejercicios
1. Explore cómo se utiliza MATLAB para ajustar curvas a
datos. Para ello, use la función seno para generar
valores regularmente espaciados f(x) de 0 a 10. Utilice
un tamaño de paso de 1, de tal forma que la
caracterización resultante de la onda sea dispersa.
Después ajústela con a) Interpolación lineal, b)
Polinomial de quinto grado y c) Segmentaria cúbica

a. Interpolación lineal
» x=0:1:10;
» y=sin(x);
» xi=0:0.25:10;
» yi=interp1(x,y,xi);
» plot(x,y,'o',xi,yi)

b. Polinomial de quinto grado
» p=polyfit(x,y,5)
p=
0.0008 -0.0290 0.3542 -1.6854 2.5860 -0.0915
» yi=polyval(p,xi);
» plot(x,y,'o',xi,yi)

c. Spline
» yi=spline(x,y,xi);
» plot(x,y,'o',xi,yi)

2. Los modelos de crecimiento poblacional son importantes en
muchos campos de la ingeniería. En muchos de los modelos es
fundamental la hipótesis de que la razón de cambio de la
población (dp/dt) es proporcional a la población existente (p) en
cualquier tiempo (t), o en forma de ecuación,
dp
= kp
dt
donde k=factor de proporcionalidad conocido como velocidda de
crecimiento específico y tiene unidades de tiempo-1. Si k es una
constante, entonces la solución de la ecuación se obtiene de la
teoría de ecuaciones diferenciales:
p (t ) = p o e kt
donde po =población cuando t=0. En la ecuación se observa que
p(t) se aproxima al infinito cuando t crece. Tal comportamiento
es claramente imposible en la realidad. Por lo tanto el modelo
debe corregirse para hacerlo más realista.

Se debe reconocer que la velocidad de crecimiento específico no es
constante conforme la población crece por lo que la velocidad de
crecimiento específico tiene la forma
f
k = k max
K+ f
Donde kmax = velocidad de crecimiento máximo obtenible para valores
grandes de alimento (f) y K=constante de saturación media. Las
constantes k y Kmax son valores empíricos obtenidos de mediciones
experimentales de k para diferentes valores de f.
Para la producción comercial de cerveza, p representa la levadura
empleada, f es la concentración de la fuente de carbono que será
fermentada. Las mediciones de k contra f se muestran en el cuadro:

f, mg/L K, día-1 1/ f, L/mg
7 0,29 0,14286
9 0,37 0,11111
15 0,48 0,06666
25 0,65 0,04000
40 0,80 0,02500
75 0,97 0,01333
100 0,99 0,01000
150 1,07 0,00666
Calcular Kmax y k a partir de estos datos empíricos

3. Usted realiza experimentos y determina los siguientes valores de
capacidad calorífica c para varias temperaturas T de un gas:
T -40 -20 10 70 100 120
c 1250 1280 1350 1480 1580 1700
Use regresión y determine un modelo para predecir c como una
función de T

4. Utilizando regresión lineal múltiple obtenga una ecuación predictiva
para la concentración de oxígeno disuelto como función de la
temperatura y del cloro, con los datos de la tabla. Use la ecuación
para estimar la concentración de oxígeno disuelto para una
concentración de cloro de 15000 mg/L, a T=12 ºC
Temperatura, Cloro=0 mg/L Cloro=10000 Cloro=20000
ºC mg/L mg/L
5 12,8 11,6 10,5
10 11,3 10,3 9,2
15 10 9,1 8,2
20 9 8,2 7,4
25 8,2 7,4 6,7
30 7,4 6,8 6,1

5. Un modelo algo más sofisticado que toma en cuenta el efecto de
la temperatura y del cloro en la saturación de oxígeno disuelto
podría suponerse que es de la forma
os=f3(t)+f1(c)
Es decir, se supone que un polinomio de tercer grado para la
temperatura y una relación lineal para el cloro podrían dar
mejores resultados. Emplee el método de mínimos cuadrados
para ajustar éste modelo a los datos del problema anterior. Con
la ecuación resultante estime la concentración de oxígeno
disuelto para una concentración de 20000 mg/L de cloro a
T=30ºC

6. Se reunieron los siguientes datos para determinar la relación entre
presión y temperatura de un volumen fijo de 1 kg de nitrógeno. El
volumen es de 10 m3.
T, ºC -20 0 20 40 50 70 100 120
P, N/m3 7500 8104 8700 9300 9620 10200 11200 11700
Emplee la ley de los gases ideales pV=nRT para determinar R,
basándose en estos datos. Observe que en esta ley, T se debe
expresar en grados Kelvin.