Métodos Numéricos 05
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Métodos Numéricos 05 Métodos Numéricos 05 Presentation Transcript

  • 5.4 Raíces de polinomios
  • Las raíces de polinomios cumplen estas reglas: En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o 1. complejas. Si n es impar hay al menos una raíz real 2. Si existen raíces complejas, éstas se encuentran por pares 3. conjugados ( es decir λ+µi y λ-µi )
  • CALCULOS CON POLINOMIOS (MATLAB) Función Descripción fzero Raíz de una sola función roots Encuentra raíces de polinomios poly Construye polinomios con raíces específicas polyval Evalúa un polinomio polyvalm Evalúa un polinomio con argumento matricial residue Expansión de la fracción parcial polyder Diferenciación polinomial conv Multiplicación de polinomios deconv División de polinomios
  • Ejercicios Evaluar las raíces de los siguientes polinomios 1. a. f(x)=x5 – 3.5x4 +2.75x3 +2.125x2 – 3.875x +1.25 b. f(x)=9.34 – 21.97x + 16.3x2 -3.704x3 Evaluar los polinomios del apartado 1, para los valores escalares 2. 1, 9 Evaluar la derivada de los polinomios del apartado 1. 3. Crear un polinomio cúbico cuyas raíces son 0.5, 1, 1-3i,1+3i 4. Multiplicar los polinomios del apartado 1. 5. Dividir los polinomios a entre b del apartado 1. 6.
  • Cuando se requiere encontrar la acidez de una solución de 7. hidróxido de magnesio en ácido clorhídrico, se obtiene la siguiente ecuación A(x)=x3+3.6x2-36.4 donde x es la concentración del ion hidrógeno. Encuéntrese la concentración del ion hidrógeno para una solución saturada (la acidez es igual a cero) empleando dos métodos diferentes en MATLAB.
  • En análisis de sistemas de control, las funciones de transferencia 8. que se desarrollan matemáticamente, relacionan la dinámica de la entrada del sistema con la salida. La función de transferencia para un sistema térmico está dada por s 3 + 9 s 2 + 26 s + 24 C (s) G ( s) = =4 N ( s ) s + 15s 3 + 77 s 2 + 153s + 90 Donde G(s) es la ganancia del sistema, C(s) es la salida del sistema, N(s) es la entrada del sistema y s = frecuencia compleja de la transformada de Laplace. Factorizar los polinomios del numerador y denominador, para que la función de transferencia pueda expresarse en la forma: ( s + a1 )( s + a 2 )( s + a3 ) G ( s) = ( s + b1 )( s + b2 )( s + b3 )( s + b4 )
  • Aplicaciones La ley de los gases ideales está dada por: pV=nRT Aunque esta ecuación se usa ampliamente por los ingenieros y científicos,
  • 6. Ecuaciones algebraicas lineales
  • 6.1 Antecedentes matemáticos
  • 6.1 Antecedentes matemáticos Notación matricial Una matriz consiste de un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. [A] es la notación breve para la matriz y aij designa un elemento individual de la matriz. El conjunto horizontal de elementos se llama un renglón (o fila) y uno vertical columna. El subíndice i denota el número de renglón en el cual se encuentra el elemento, y el subíndice j designa la columna.
  • ⎡ a11 ... a1m ⎤ a12 a13 ⎢a ... a 2 m ⎥ a 22 a 23 ⎢ 21 ⎥ [A] = ⎢ . .⎥ . ⎢ ⎥ ⎢. . .⎥ ⎢a n1 ... a nm ⎥ ⎣ ⎦ an2 a n3 La matriz en la figura tiene n renglones y m columnas, y se dice que tiene dimensión n x m. Ésta se conoce como una matriz de n x m. A las matrices con dimensión renglón n=1 como [B]=[b1 b2 … bn] se les conoce como vectores renglón Las matrices con dimensión m=1, como ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ se conocen como vectores columna. [C ] = ⎢ 2 ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎥ ⎣c n ⎦
  • A las matrices en las que n=m se les llama matrices cuadradas. Por ejemplo una matriz de 4x4 es ⎡ a11 a14 ⎤ a12 a13 ⎢ ⎥ [A] = ⎢ ⎢a12 a 22 a 23 a 24 ⎥ a34 ⎥ a13 a32 a33 ⎢ ⎥ ⎢a14 a 44 ⎥ ⎣ ⎦ a 42 a 43 A la diagonal que contiene los elementos a11, a22, a33, a44 se le llama diagonal principal de la matriz
  • Tipos especiales de matrices cuadradas Matriz identidad Matriz simétrica ⎡1 0 0 0⎤ ⎡5 1 2⎤ ⎢0 1 0 0⎥ [A] = ⎢1 3 7⎥ [I] = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢2 7 8 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ aij = a ji ⎣0 0 0 1⎦ Matriz triangular superior Matriz diagonal ⎡a11 a14 ⎤ ⎡a11 0 0⎤ a12 a13 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 a 22 0 0⎥ [A] = ⎢ ⎢0 a 22 a 23 a 24 ⎥ [A] = ⎢ ⎥ a34 ⎥ ⎢0 0 a33 0 ⎥ 0 0 a33 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 a 44 ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 ⎣ 0 a 44⎦ 0 0
  • Matriz triangular inferior Matriz bandeada ⎡ a11 ⎤ ⎡ a11 a12 0 0⎤ 0 0 0 ⎢a ⎥ ⎢a a 22 a 23 0 ⎥ a 22 0 0 [A] = ⎢ 12 ⎥ [A] = ⎢ ⎥ 12 ⎢ a13 ⎥ ⎢ 0 a32 a33 a34 ⎥ a32 a33 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a14 a 44 ⎦ a 42 a 43 ⎣ 0 a 43 a 44 ⎦ 0 La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se le da el nombre especial de matriz tridiagonal.
  • Reglas de operaciones de matrices La suma de dos matrices, por ejemplo [A] y [B], se obtiene al sumar los términos correspondientes de cada matriz. Los términos de la matriz resultante [C] son: cij = aij + bij para i=1,2,…,n, y j=1,2,…,m. De igual manera, la resta de dos matrices, por ejemplo [E] menos [F], se obtiene al restar los términos correspondientes así: dij = eij – fij para i=1,2,…,n, y j=1,2,…,m. La suma es conmutativa [A]+[B] = [B]+[A] La suma también es asociativa; es decir, ([A]+[B])+[C] = [A]+([B]+[C])
  • La multiplicación de una matriz [A] por un escalar g se obtiene al multiplicar cada elemento de [A] por g, ⎡ ga11 ga1m ⎤ ga12 . . ⎢ ga ga 2 m ⎥ ga 22 . . ⎢ 21 ⎥ [ D] = g[ A] = ⎢ . .⎥ . ⎢ ⎥ ⎢. . .⎥ ⎢ ga n1 ga nm ⎥ ⎣ ⎦ ga n 2 . . El producto de dos matrices se representa como [C]=[A][B], donde los elementos de [C] están definidos como n cij = ∑ aik bkj i =1 Donde n=la dimensión de la columna de [A] y la dimensión renglón de [B].
  • Ejemplo Obtener [Z]=[X][Y], dados ⎡3 1 ⎤ ⎡5 9 ⎤ [ X ] = ⎢8 6 ⎥ [Y ] = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣7 2 ⎦ ⎢0 4 ⎥ ⎣ ⎦ Solución. ⎡ 3 ⋅ 5 + 1 ⋅ 7 3 ⋅ 9 + 1 ⋅ 2 ⎤ ⎡22 29⎤ [Z ] = ⎢8 ⋅ 5 + 6 ⋅ 7 8 ⋅ 9 + 1 ⋅ 2 ⎥ = ⎢82 84 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢0 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 0 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2⎥ ⎢ 28 8 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
  • La multiplicación de dos matrices se puede realizar si la primera matriz tiene tantas columnas como el número de renglones en la segunda matriz. [A]n x m [B]m x l = [C] n x l Las dimensiones interiores son iguales: es posible la multiplicación Las dimensiones exteriores definen las dimensiones del resultado
  • Si las dimensiones de las matrices son adecuadas, la multiplicación matricial es asociativa ([A][B])[C] = [A]([B][C]) y distributiva, [A]([B]+[C]) = [A][B]+[A][C] Sin embargo, la multiplicación generalmente no es conmutativa: [A][B]≠[B][A] Si una matriz [A] es cuadrada y no singular, existe otra matriz [A]-1, llamada inversa de [A], para la cual [A] [A]-1=[A] -1 [A] = [I]
  • Ejercicio. Escribir un programa que permita ingresar dos matrices y multiplicarlas. Probar el programa con la siguiente operación: ⎡1 0 9 ⎤ ⎡ 3 − 2 1 2 0 ⎤ ⎢4 − 2 0⎥ ⎢2 − 7 2 0 11⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 9 − 4 1 ⎥ ⎢1 4 − 3 0 1 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
  • La transpuesta de una matriz implica transformar sus renglones en columnas y viceversa. Por ejemplo, dada la matriz de 4x4 ⎡ a11 a14 ⎤ a12 a13 ⎢ ⎥ [A] = ⎢ ⎢a12 a 22 a 23 a 24 ⎥ a34 ⎥ a13 a32 a33 ⎢ ⎥ ⎢a14 a 44 ⎥ ⎣ ⎦ a 42 a 43 La transpuesta, designada por [A]T, está definida como ⎡ a11 a 41 ⎤ a 21 a31 ⎢ ⎥ [A]T ⎢a12 a 22 a32 a 42 ⎥ = ⎢ a13 a 43 ⎥ a 23 a33 ⎢ ⎥ ⎢a14 a 44 ⎥ ⎣ ⎦ a 24 a34
  • La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal principal y se designa como tr[A] y se calcula como n tr[ A] = ∑ aii i =1 Una matriz es aumentada al agregar una columna (o columnas) a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos una matriz [A] y aumentamos la matriz identidad, resulta otra matriz de dimensiones 3x6 ⎡ a11 a14 ⎤ ⎡ a11 1 0 0 0⎤ a12 a13 a12 a13 a14 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [A] = ⎢ ⎢a12 a 22 a 23 a 24 ⎥ 0 1 0 0⎥ [A] = ⎢a12 a 22 a 23 a 24 a34 ⎥ ⎢ a13 0 0 1 0⎥ a13 a32 a33 a32 a33 a34 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢a14 a 44 ⎥ ⎢a14 0 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ a 42 a 43 ⎣ ⎦ a 42 a 43 a 44
  • Ejercicio. Escribir un programa que permita ingresar una matriz cuadrada y calcular su traza. Pruebe el programa calculando la traza de la matriz: ⎡− 2 1 −3 0 ⎤ ⎢0 2 0 − 6⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 3 0 − 9⎥ ⎢ ⎥ 4 0 − 4⎦ ⎣1
  • Representación de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 . . . . an1x1+an2x2+…+anmxn = bn El sistema de ecuaciones lineales mostrado, puede ser escrito en forma concisa mediante notación matricial [A]{X}={B}
  • Donde [A] es la matriz cuadrada n x n de coeficientes, ⎡ a11 ... a1m ⎤ a12 a13 ⎢a ... a 2 m ⎥ a 22 a 23 ⎢ 21 ⎥ [A] = ⎢ . .⎥ . ⎢ ⎥ ⎢. . .⎥ ⎢a n1 ... a nm ⎥ ⎣ ⎦ an2 a n3 {B} es el vector columna de n por 1 de las constantes, {B}T = [b1 b2 … bn] y {X} es el vector columna n por 1 de las incógnitas {X}T = [x1 x2 … xn]
  • 6.2 Eliminación de Gauss
  • 6.2.1 Solución de sistemas pequeños de ecuaciones METODO GRAFICO. Para dos ecuaciones se puede obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro a x2.
  • Ejemplo El método gráfico para dos ecuaciones Planteamiento del problema. Con el método gráfico resuelva 3x1 + 2x2 = 18 -x1 + 2x2 = 2 Solución 10 8 6 x2 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 x1
  • DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER. DETERMINANTES. Para un sistema de tres ecuaciones simultáneas [A][X]=[B], donde [A] es la matriz de coeficientes ⎡ a11 a13 ⎤ a12 [ A] = ⎢a 21 a 23 ⎥ a 22 ⎢ ⎥ ⎢ a31 a33 ⎥ ⎣ ⎦ a32 El determinante D se forma a partir de los coeficientes del sistema de la siguiente manera a11 a12 a13 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 D = a 21 a 23 = a11 − a12 + a13 a 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33
  • REGLA DE CRAMER. La regla de Cramer establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con Denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b1, b2,…, bn. Por ejemplo, x1 se calcula como b1 a12 a13 b2 a 22 a 23 b3 a32 a33 x1 = D
  • Ejercicio Regla de Cramer Planteamiento del problema. Utilice la regla de Cramer para resolver 0.3x1 + 0.52x2 + x3 = -0.01 0.5x1 + x2 +1.9x3 = 0.67 0.1x1 + 0.3x2 + 0.5x3 = -0.44
  • ELIMINACIÓN DE INCOGNITAS. Es un método algebraico. Se ilustrará con un sistema de dos ecuaciones simultáneas: a11x1 + a12x2 = b1 (1) a21x1 + a22x2 = b2 (2) Por ejemplo, la ecuación (1) se multiplica por a21 y la ecuación (2) por a11 para dar a21a11x1 + a21a12x2 = a21b1 a11a21x1 + a11a22x2 = a11b2 Restando las ecuaciones, se elimina el término x1, para obtener a22a11x2-a12a21x2 = b2a11-b1a21 Despejando x2 , y posteriormente x1, a 22 b1 − a12 b2 a11b2 − a 21b1 x2 = x1 = a11 a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21
  • 6.2.2 Eliminación de Gauss-Simple El método de eliminación de incognitas consistió de dos pasos 1. Las ecuaciones se manipularon para eliminar una de las incógnitas de las ecuaciones. El resultado de éste paso de eliminación fue el de una sola ecuación con una incógnita. 2. En consecuencia, ésta ecuación se pudo resolver directamente y el resultado sustituirse atrás, en una de las ecuaciones originales para encontrar la incógnita restante. Ésta técnica básica puede extenderse a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un algoritmo para eliminar incógnitas y sustituir hacia atrás. La eliminación de Gauss el más básico de dichos esquemas.
  • El método está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 (1) a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 (2) . . an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn (3) Eliminación hacia delante de incógnitas. La primera fase consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior. Se elimina la incógnita, x1, desde la segunda hasta la n-ésima ecuación. Para ello se multiplica la ecuación (1) por a21/a11 a 21 a 21 a 21 a 21 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a11 a11 a11
  • La última ecuación se resta de la ecuación (2), para obtener ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a a a ⎜ a 22 − 21 a12 ⎟ x 2 + ... + ⎜ a 2 n − 21 a1n ⎟ x n = b2 − 21 b1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a11 a11 a11 o a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 ' ' ' Donde el superíndice indica que los elementos han cambiado sus valores originales
  • El procedimiento se repite con las ecuaciones restantes, obteniéndose el siguiente sistema modificado a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1 a22’x2+ a23’x3+…+a2n’xn= b2’ a32’x2+ a33’x3+…+a3n’xn= b3’ . . . . an2’x2+ an3’x3+…+ann’xn= bn’
  • Se repite el procedimiento antes descrito para eliminar la segunda incógnita. Se realiza la eliminación en forma similar en las ecuaciones restantes para obtener a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1 a22’x2+ a23’x3+…+a2n’xn= b2’ a33’’x3+…+a3n’’xn= b3’’ . . . . an3’’x3+…+ann’’xn= bn’’
  • El procedimiento puede continuar usando las ecuaciones pivote restantes. La última manipulación en ésta secuencia es el uso de la (n-1) ésima ecuación para eliminar el término xn-1 de la n-ésima ecuación. a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1 a22’x2+ a23’x3+…+a2n’xn= b2’ a33’’x3+…+a3n’’xn= b3’’ . . . . ann(n-1)xn= bn(n-1)
  • Sustitución hacia atrás. Ahora se despeja xn. bnn −1) ( x n = ( n −1) a nn Ést resultado se puede sustituir hacia atrás en la (n - 1) ésima ecuación y despejar x n -1 . El procedimiento se repite para evaluar las x restantes. n ∑ ( i −1) aiji −1) x j − ( bi j =i +1 xi = para i = n - 1, n - 2,...,1 ( i −1) a ii
  • Sustitución hacia atrás Eliminación hacia delante Xn=bn / an,n DO k=1, n-1 DO i=n-1, 1,-1 DO i=k+1, n sum=0 factor=ai,k / ak,k DO j=i+1, n DO j=k+1 , n sum=sum+ai,j xj ai,j=ai,j – (factor) (ak,j) END DO END DO xi = (bi-sum)/ai,i bi=bi – (factor) (bk) END DO END DO END DO
  • Problemas 1. En la figura se muestra un sistema de reactores interconectados entre sí. Determinar las concentraciones en todas las corrientes de circulación. Q55=2 Q15=3 C5 Q15=2 Q01=5 C01=10 Q12=3 Q41=11 C1 C2 C4 Q24=1 Q25=8 Q31=1 C3 Q=[m3/min] Q34=8 Q03=5 C=[mg/m3] C03=10