Métodos Numéricos 01.

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  • 1. Parte II. Métodos Numéricos
  • 2. 1. Modelos matemáticos
  • 3. Un modelo matemático se define como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general: ( ) ,( ) ,( ) ⎡ ⎤ ⎛ Variable ⎞ Variables f ⎜ dependiente ⎟ = ⎜ Parámetros Funciones de fuerza ⎥ ⎢ ⎟ ⎢ independientes ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
  • 4. Caída libre de un objeto FU Aplicando la segunda ley de Newton: F = m·a → a = F / m Sustituyendo: dv F = dt m La fuerza neta está dada por: FD F = FD + FU
  • 5. FD = mg FU = -cv Combinando las ecuaciones, se obtiene: dv c =g− v dt m Condicione inicial: v(0) = 0 m/s Resolviendo la ecuación diferencial: g·m -(c/m)·t v(t) = ( 1-e ) c
  • 6. Los métodos numéricos nos permiten resolver la ecuación diferencial mediante operaciones aritméticas: Pendiente verdadera dv dt v(t i+1) ∆v Pendiente aproximada v(t i+1) - v(t i) ∆v = v(t i) t i+1 - t i ∆t ti t i+1 ∆t
  • 7. Aproximando la primera derivada: v(t i+1) - v(t i) c dv ∆v = [g - m v(t i)] (t i+1 - t i ) ≈ = t i+1 - t i dt ∆t Reordenando: c v(t i+1) = v(ti) + [g - v(ti) ](t i+1 – ti) m Esta aproximación se conoce formalmente como método de Euler: Valor nuevo = Valor anterior + pendiente x tamaño de paso
  • 8. 2. Programación y Software
  • 9. Diagramas de Flujo SÍMBOLO NOMBRE FUNCIÓN Terminal Inicio o final de un programa Proceso Cálculos o manipulación de datos Entrada/Salida Entrada o salida de datos Decisión Comparación, pregunta o decisión Unión Confluencia de líneas de flujo Fin de página Interrupción Ciclo de cuenta Iteraciones Líneas de flujo Flujo de la lógica del algoritmo
  • 10. Secuencia Instrucción 1 Instrucción 1 Instrucción 2 Instrucción 2 Instrucción 3 Instrucción 4 Instrucción 3 Instrucción 4 a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 11. Selección Verdadero Condición IF condición THEN ? Bloque verdadero ENDIF Bloque verdadero a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 12. Falso Verdadero Condición IF condición THEN ? Bloque verdadero ELSE Bloque Bloque falso Bloque falso verdadero ENDIF a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 13. Falso Verdadero Condición 1 ? Falso Verdadero Condición 2 Bloque 1 ? IF condición1 THEN Bloque1 Bloque 3 Bloque 2 ELSEIF condicion2 Bloque2 ELSE Bloque3 ENDIF a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 14. Expresión de prueba SELECT CASE Expr. de prueba CASE Valor1 Bloque1 Valor1 Valor2 Otro CASE Valor2 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque2 CASE ELSE Bloque3 END SELECT a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 15. Repetición Bloque 1 DO Bloque1 IF Condición EXIT Verdadero Bloque2 Condición ENDDO ? Falso Bloque 2 a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 16. i = inicio Verdadero i > fin ? i=i + incr DO i=inicio,fin,incremento Bloque Falso ENDDO Bloque a. Diagrama de flujo b. Pseudocódigo
  • 17. MATLAB EXCEL + VBA IF / THEN If b < > 0 Then IF condicion THEN r1 = -c/b Bloque verdadero End If ENDIF IF / THEN / ELSE If a < 0 Then IF condicion THEN b = Sqr(Abs(a)) Bloque verdadero Else ELSE b = Sqr(a) Bloque falso End If ENDIF
  • 18. MATLAB EXCEL + VBA IF / THEN / ELSEIF If class = 1 Then IF condicion1 THEN x = x+8 Bloque1 ElseIf class < 1 Then ELSEIF condicion2 x = x-8 Bloque2 Else ELSE x = x-64 Bloque3 End If ENDIF
  • 19. EXCEL + VBA MATLAB CASE SELECT CASE Expresión de Select Case a+b prueba Case Is < -50 CASE Valor1 x = -5 Bloque1 Case Is < 0 CASE Valor2 x = -5 Bloque2 Case Else CASE ELSE x=5 Bloque2 End Select END SELECT
  • 20. MATLAB EXCEL + VBA DOEXIT DO Do Bloque1 i = i+1 IF Condición EXIT If i >= 10 Then Exit Do Bloque2 j = i*x ENDDO Loop DOFOR DOFOR i=inicio,fin,incremento For i=1 To 10 Step 2 Bloque x = x+i ENDDO Next i
  • 21. EXCEL + VBA MATLAB IF / THEN IF condicion THEN if b ~= 0 Bloque verdadero r1 = -c/b; ENDIF end IF / THEN / ELSE IF condicion THEN if a < 0 Bloque verdadero b = sqr(abs(a)); ELSE else Bloque falso b = sqr(a); ENDIF end
  • 22. MATLAB EXCEL + VBA IF / THEN / ELSEIF IF condicion1 THEN if class = =1 Bloque1 x = x+8; ELSEIF condicion2 elseif class < 1 Bloque2 x = x-8; ELSE else Bloque3 x = x-64; ENDIF end
  • 23. EXCEL + VBA MATLAB CASE SELECT CASE Expresión de Switch a+b prueba case 1 CASE Valor1 x = -5; Bloque1 case 2 CASE Valor2 x = -5 + (a+b)/10; Bloque2 case Else CASE ELSE x = 5; Bloque2 end END SELECT
  • 24. EXCEL + VBA MATLAB DOEXIT DO while (1) Bloque1 i = i+1; IF Condición EXIT If i >= 10, break, end Bloque2 j = i*x; ENDDO end DOFOR DOFOR i=inicio,fin,incremento for i=1 : 2 : 10 Bloque x = x+i; ENDDO end
  • 25. Problemas adicionales
  • 26. 3. Aproximaciones y errores de redondeo
  • 27. Cifras significativas Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse de forma confiable. Se trata del número de dígitos que pueden utilizarse con certeza, más uno estimado.
  • 28. Exactitud y precisión Aumenta la exactitud Aumenta la precisión (a) (b) Valor calculado o medido (c) (d) Valor verdadero
  • 29. Definiciones de error Error verdadero Et = Valor verdadero – valor aproximado Error relativo fraccional verdadero Error verdadero εt = Valor verdadero
  • 30. Ejercicio. Cálculo de errores Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 4099 y 4.9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 5000 y 5 cm respectivamente, calcule a. El error verdadero b. El error relativo porcentual verdadero en cada caso.
  • 31. Error aproximado Ea = Aproximación actual – Aproximación anterior Error relativo fraccional aproximado Error aproximado εa = Aproximación actual
  • 32. A menudo no interesa el signo del error, sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada εs. En tales casos, los cálculos se repiten hasta que | εa |< εs Si se cumple con el siguiente criterio, se tendrá la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas, εs = (0.5 x 102-n) %
  • 33. Ejercicio. Estimación del error con métodos iterativos La función exponencial se calcula utilizando la serie, x2 x3 xn e = 1+ x + + + ... + x 2! 3! n! Así cuántos más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez una mejor estimación del valor verdadero de ex. Empezando con el primer término ex = 1 y agregando término por término, calcule los errores: relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado. Estimar el valor de e0.5, hasta que el valor absoluto del error aproximado sea menor que un criterio de error preestablecido con tres cifras significativas.
  • 34. Errores de redondeo Error originado por la omisión de cifras significativas de un valor numérico. Por ejemplo, πestimado = 3.1416 πexacto = 3.1415926535…. Error de redondeo = | πestimado - πexacto |