Cálculo vectorial.  Coordenadas rectangulares.
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Cálculo vectorial.  Coordenadas rectangulares. Cálculo vectorial. Coordenadas rectangulares. Document Transcript

  • Universidad Técnica de Loja Escuela de Ingeniería Química Mecánica de Fluidos Resumen de Cálculo Vectorial Productos triples A · (B × C) = B · (C × A ) = C · (A × B ) A × (B × C ) = B(A · C ) − C(A · B ) Reglas de Producto ∇(f g ) = f ∇g + g ∇f ∇(A · B ) = A × (∇ × B ) + B × (∇ × A ) + (A · ∇ )B + (B · ∇ )A ∇ · (f A ) = f (∇ · A ) + A · (∇f ) Los siguientes resultados se aplican a cualquier campo escalar φ y a cualquier campo vectorial v = v x ˆ x + v y ˆ y + v z ˆ z o Ω = Ω x ˆ x + Ω y ˆ y + Ω z ˆ z i i i i i i Derivadas de un campo vectorial: ∂v y ∂v z ∂v div v = ∇ · v = x + + es un escalar. ∂x ∂x ∂x ∂v y ⎞ ⎛ ∂v ⎛ ∂v ∂v ⎞ ⎛ ∂v ∂v ⎞ rot v = ∇ × v = ˆ x ⎜ z − ⎟ + ˆ y ⎜ x − z ⎟ + ˆ z ⎜ y − x ⎟ es un vector. i⎜ ⎟ i ∂z i⎜ ∂y ⎟ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ⎠ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ ⎛ ∂φ ⎞ grad φ = ∇φ = ˆ x ⎜ ⎟ + ˆ y ⎜ ⎟ + ˆ z ⎜ ⎟ es un vector. i i⎜ ⎟ i ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠ Dos identidades: ∇ × ∇φ = 0 ∇ · (∇ × v ) = 0 Dos productos vectoriales triples: 1 v × (∇ × v ) = ∇(v · v ) − (v · ∇ )v 2 ∇ × (v × Ω ) = (Ω · ∇ )v − (v · ∇ )Ω + v (∇ · Ω ) − Ω(∇ · v ) Teorema de la divergencia (Gauss): Sea V un dominio simplemente conexo, acotado ˆ por la superficie S, con vector normal unitario n , entonces ∫∫∫ (∇ · v )dV = ∫∫ v · ndS ˆ V S ∫∫∫ (∇φ)dV = ∫∫ φndS ˆ V S Teorema de Stokes: Sea Γ una curva cerrada, limitando la superficie S, entonces ∫ v · dl = ∫∫ (∇ × v ) · ndS ˆ Γ S