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Geometría analítica
 

Geometría analítica

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Es una guía práctica sobre los temas básicos de geometría analítica espero les sea de mucha utilidad.

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    Geometría analítica Geometría analítica Document Transcript

    • Trabajo Especial GEOMETRIA ANALITICA PRESENTA: José Manuel González Padilla José Enrique Romero Flores Omar Alejandro Rodríguez Cervantes Athony Gamaliel Combo Ruiz María Concepción Jiménez Ruiz Dilean Nohemí Cortes Lili PROFESORA: MTRA. TREJO GOMEZ ELIZABETH PUERTO VALLARTA, JALISCO MEXICO 07 DE MAYO DEL 2010 pág. 1
    • Temas 1. Conceptos Básicos punto, plano, función y línea recta 2. Cónica a. Circunferencia b. Elipse c. Parábola d. Hipérbola 3. Transformación de coordenadas a. Polares a rectangulares b. Rectangulares a polares 4. Ecuaciones paramétricas a. Línea recta b. Circunferencia c. Elipse d. Parábola e. Hipérbola pág. 2
    • Conceptos básicos punto, plano, función y línea recta Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremo del segmento. En el segmento se puede decir que el punto de origen es A y su punto final es B, lo cual expresa que el segmento va de A a B, aunque también puede expresar que va de B a A y en este caso el punto de origen seria B y el punto final A. Desde un el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son la mismas. En Geometría Analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto seria considerado como un segmento de longitud negativa. De acuerdo con esto si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos. pág. 3
    • Distancia entre dos puntos. Para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se utiliza la formula siguiente: Ejemplo: Encuentra la distancia que hay entre el punto A y B. Coordenadas A (2,4) B (7,4) Expresión algebraica Distancia del segmento Formula Sustitución En este paso reemplazamos los valores de la formula por los datos de las coordenadas y lo resolvemos. Respuesta: la distancia que hay del punto A al B es 5, ósea que el segmento tiene un valor de 5. pág. 4
    • Gráfica. 4.5 Y 4 3.5 3 2.5 2 1.5 Segmento AB 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X Pendiente y punto medio. Para calcular la pendiente de un segmento ó línea utilizaremos la formula siguiente: Para calcular el punto medio de un segmento ó línea utilizaremos las formulas siguientes: Ejemplo. Calcular la pendiente, el punto medio y la distancia que existen en cada una de las pendientes que se forman con los puntos . Coordenadas A (-2,-3) B (6,1) C (-2,5) pág. 5
    • Primero debemos graficar y observamos que se forman tres segmentos: AB BC CA Segmento AB Distancia Sustitución Resultado pág. 6
    • Segmento AB Pendiente Sustitución Resultado pág. 7
    • Segmento AB Punto medio Sustitución Resultado pág. 8
    • Segmento BC Distancia Sustitución Resultado pág. 9
    • Segmento BC Pendiente Sustitución Resultado pág. 10
    • Segmento BC Punto medio Sustitución Resultado pág. 11
    • Segmento CA Distancia Sustitución Resultado pág. 12
    • Segmento CA Pendiente Sustitución Resultado Nota: el segmento CA es una línea vertical por eso su pendiente es 0 pág. 13
    • Segmento CA Punto medio Sustitución Resultado Gráfica. pág. 14
    • Razón. Para calcular razón se utiliza la formula siguiente. Condición. Ejemplo Calcula la razón del segmento AB. A (-3, -4) B (6, 11) Razón Sustitución pág. 15
    • Resultado Gráfica. pág. 16
    • Otros ejemplos 1. Encuentra el valor de la pendiente y b de la ecuación siguiente Primero tenemos que hacer la ecuación de la forma , que es la ecuación ordinaria de la línea. Resolución =36-9x Resultado 2. Cuando los datos son nada más las coordenadas de un punto y la pendiente, utilizamos la siguiente formula . A (1, 3); m=2 Sustitución Resultado pág. 17
    • Gráfica. 3. Cuando los datos son nada más dos puntos utilizaremos la siguiente formula . Ejemplo A (-1, 3) B (5, -4) pág. 18
    • Sustitución 3 ( 3)(6) 18 11 Resultado Gráfica. pág. 19
    • Línea perpendicular, paralela e inclinada. Calcular el ángulo de dos líneas inclinadas. 1. 2. 3. Cuando dos líneas son inclinadas. pág. 20
    • Cuando dos líneas son inclinadas. Ejemplo. A (3, -2) B (-5, 8) C (4, 5) Segmento AC Calculamos primero las pendientes de cada segmento. Sustitución Resultado pág. 21
    • Segmento BA Resultado Segmento CB Sustitución Resultado Una vez que ya conocemos las pendientes de cada segmento podemos utilizar la formula tres ya que son líneas inclinadas. pág. 22
    • Segmento AC BA Sustitución Resultado Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento AC y BA es pág. 23
    • Segmento BA CB Sustitución pág. 24
    • Resultado Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento BA y CB es Para encontrar el valor del último ángulo que se encuentra en el cruce del segmento AC y CB, no es necesario hacer de nuevo todo ese procedimiento solo realizamos lo siguiente. Cuando dos líneas son perpendiculares. Ejemplo Para calcular en el punto A (1, 4) Sustitución pág. 25
    • Solución Ecuación para Línea 2 Sustitución Solución Ecuación para pág. 26
    • Gráfica. Recta perpendicular y paralela. Determina una recta perpendicular y paralela si conoces un punto y la ecuación de otra recta. Ejemplo (1, 4) Sustitución Solución pág. 27
    • Solución Solución Ecuación para Nota: . . pág. 28
    • En este caso buscamos que Sustitución Solución Ecuación para Nota: . Gráfica. pág. 29
    • Intersección de dos líneas inclinadas. Resolución Paso 1. ) Paso 2. Solución pág. 30
    • Paso 3. Solución Nota: la intersección de Gráfica. pág. 31
    • Ejercicio 1. Encontrar las coordenadas de los vértices de un triángulo con sus puntos medios. Coordenadas P (-2, 1) Q (5, 2) R (2, -3) Nota: para encontrar los valores de “X” usamos la formula de punto medio Resolución Para punto P Para punto Q Para punto R pág. 32
    • Nota: Ahora utilizamos la siguiente formula encontrar los valores de “Y” pág. 33
    • Resolución Para el punto P Para el punto Q Para el punto R pág. 34
    • Nota: Coordenadas de los vértices del triangulo son: A (-5, -4) B (1, 6) C (9, -2) pág. 35
    • Hoja de formulas del segmento ó línea. Distancia entre dos puntos Pendiente Punto medio Razón Líneas paralelas Líneas perpendiculares Dos líneas inclinadas Ecuación ordinaria de la recta Cuando nos dan solo dos puntos como datos Cuando nos dan solo un punto y la pendiente como datos pág. 36
    • Circunferencia Definición. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera se conserva siempre un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. Le punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Ecuación General +F=0 Ecuación Ordinaria r: radio c: centro (h, k) c Si Si Si =0 “es un punto” pág. 37
    • Ejemplo. Sustitución Resultados Gráfica. pág. 38
    • Ejemplo. Encontrar el punto medio AB, es c (h, k) Sustitución Para Para Las coordenadas del centro de la circunferencia son. pág. 39
    • Gráfica. Para calcular el radio de la circunferencia. Resolución Utilizamos las coordenadas del punto A. pág. 40
    • Sustitución Para encontrar la ecuación general de la circunferencia. Sustitución Ecuación de la circunferencia Ejemplo. Encuentra la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia. pág. 41
    • Identificamos los valores para y Sustituimos los valores de y en la siguiente formula Sustitución Ecuación ordinaria Ecuación General Gráfica. pág. 42
    • Línea tangente a la circunferencia Ejemplo. Encuentra la ecuación para y , determina el punto tangencial, el valor de y la ecuación de la circunferencia. Datos. Línea tangente 1. Encontrar el valor de . Para encontrar el valor de debemos de encontrar primero el valor de Tomamos la ecuación de la línea tangente ( ). Y la expresamos en su forma. Sustitución Resultado pág. 43
    • Ahora que conocemos el valor de podemos calcular el valor de . Utilizamos la formula siguiente ¿Por qué usamos esa formula? Por que la línea tangente es perpendicular a . Sustitución Resultado Ahora que ya encontramos el valor de la pendiente de , podemos saber cual es su ecuación. Datos. pág. 44
    • 2. Ecuación Para eso utilizamos esta formula. Sustituimos y por los valores de las coordenadas del centro y por el valor de . Sustitución Resultado 3. Determinar el punto tangencial Resolución Multiplicamos la ecuación de por 5 y la ecuación de por 12, en este caso para eliminar las “y”. Sumamos las dos ecuaciones y eliminamos las “y”. pág. 45
    • Resultado Ahora solo sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de “y”. Sustitución Multiplicamos cruzado (50)(1), (13)(-2) y por ultimo los divisores (13)(1). Resultado pág. 46
    • Punto tangencial 4. Determinar . Los valores para “k” y “h” son las coordenadas del punto C y los valores de “x” y “y” son los valores de las coordenadas del punto tangencial, utilizamos la siguiente formula. Sustitución Nos enfocamos en esta parte de la ecuación Primero los signos – nos da +2. Segundo multiplicando de forma cruzada. Nos queda la siguiente expresión y la pasamos al mismo lado de donde lo tomamos y continuamos. pág. 47
    • Resultado 5. Ecuación de la circunferencia. Sustituimos los valores del punto “C” y en la siguiente ecuación. Sustitución Resultado Gráfica. pág. 48
    • Cuando solo conocemos tres puntos sobre la circunferencia. Ejemplo. Paso No.1 Utilizamos la formula general de la circunferencia y sustituimos , por los valores de cada uno de los puntos y obtenemos tres ecuaciones. +F=0 Ecuación P Sustituimos +F=0 9+3E+F=0 Ecuación Q +F=0 9+3D+F=0 Ecuación Q +F=0 F=0 pág. 49
    • Paso No.2 Tomamos las tres ecuaciones y acomodamos sus términos. 3E+F+9=0 3D+ F+9=0 F=0 Como podemos observar ya tenemos el valor para “F” que es igual a cero, ahora solo sustituimos el valor de “F” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de “D” ó “E”. Valor de E Sustitución Valor de D Paso No.3 Sustituimos los valores que obtuvimos en a ecuación general de la circunferencia y nos queda este resultado. pág. 50
    • Nota: En este ejemplo para encontrar los valores de “D”, “E”, y “F” fue sencillo quizás en otros ejercicios tendrás que utilizar el método de gauss o determinantes para poder resolver este sistema de ecuación con tres incógnitas. Gráfica. pág. 51
    • Elipse Definición. Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. Ecuación ordinaria. O bien. Si los focos fueran los puntos de coordenadas , el eje , con la que la ecuación resulta de la forma. Ecuación General. Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo. Lado recto. Lado recto se denomina a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos. Para calcular el valor de “c” La excentricidad. pág. 52
    • Directriz. Como la elipse tiene dos focos también tendrá dos directrices. Si estuviera sobre la eje de las y Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices. Si el centro de la elipse es el punto y el eje mayor tiene dirección del eje “x” la ecuación de la elipse es de la forma. Si el eje mayor fuera paralelo o bien al eje “y”. En cualquiera de los caso la forma general de la ecuación de la elipse es. Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo. pág. 53
    • Ejemplo. Encuentra la ecuación ordinaria para la siguiente elipse, los valores de a, b, c, e, lado recto y directriz. Debemos convertir esa ecuación a esta otra expresión. Resolución Para convertir el 576 a 1 lo dividimos entre su mismo valor, después dividimos 576/ 9 y el resultado lo sustituimos en de igual forma 576/16 y el resultado lo sustituimos por . Nos queda la siguiente expresión que es la ecuación ordinaria de la elipse. Entonces: Para saber cuanto vale “a” y “b”, solo le sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los términos. pág. 54
    • Para “a” Para “b” Para “c”. Sustitución Excentricidad. Sustitución Lado recto. Sustitución pág. 55
    • Directrices. Sustitución La primera directriz toma un valor positivo. Lo mismo pero ahora con un valor negativo. pág. 56
    • Gráfica. Coordenadas. P (5.29, 4.5) Q ( 5.29, 4.5) R (5.29, 4.5) Q ( 5.29, 4.5) Vértices (a, 0) Focos (c, 0) pág. 57
    • Cuando la elipse esta a fuera del origen, los focos y los vertices se calculan igual solo por un pequeño cambio. Para los focos. F (h k) Para los vértices V (h k) Este símbolo significa que la variable va tomar dos valores uno positivo ( ) y despues uno negativo( . Ejemplo. Datos h= 8 c= 4 k=10 F (h k) Sustitución Cuando toma valor positivo. (8 10) (12 10) Cuando toma valor negativo. (8 10) (4 10) pág. 58
    • Parábola Definiciones. La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada. Definición. Una parábola es un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definici6n excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Parábola con vértice en el origen . Tabla de formulas. Vértice Foco Directriz Ecuación Abre I. Derecha II. Izquierda III. Arriba IV. Abajo LR es igual al lado recto. pág. 59
    • II. III. IV. pág. 60
    • Ejemplo: Al observar la ecuación el signo negativo nos dice que abre hacia la izquierda sobre la eje de las “x”, ya que la ecuación que la satisface es. Sabemos que el LR es 4 veces el valor de “a” Sustitución Foco. F (−4,0) Sustitución Directriz. Sustitución pág. 61
    • Parábola con vértice en el origen . Tabla de formulas. Vértice Foco Directriz Ecuación Abre I. Derecha II. Izquierda III. Arriba IV. Abajo Ejemplo. ; directriz determina ecuación de la parábola. Datos. Primero ubicamos el foco y la directriz en la grafica, si ponemos atención la directriz nos dice hacia donde se abre la parábola, en este caso la directriz , quiere decir que nuestra parábola abre hacia arriba. Resolución pág. 62
    • Sustitución Ecuación Ordinaria Ecuación General Foco. Sustitución Gráfica. pág. 63
    • Transformación de coordenadas Rectangular – Polar Polar – Rectangular Nota. El radio siempre es positivo Ejemplo de Rectangular – Polar. Q esta coordenas rectangulares ¿coordenas polar del punto Q? Resolución pág. 64
    • Debemos de observar hacia donde se abre nuestro ángulo para así saber si le vamos a sumar o restar grados. Coordenadas Polares Ejemplo de Polar – Rectangular. Encuentra las coordenadas rectangulares para el punto “R”. Resolución pág. 65
    • Coordenadas rectangulares pág. 66
    • Ecuaciones Paramétricas Línea recta. Para resolver los ejemplos necesitamos hacer una tabla en Excel y colocar las siguientes formulas en la columna y fila correspondiente, para poder obtener una línea recta con las coordenadas de los dos puntos. b3=b2-b1 c3=c2-c1 Para “t” intervalo. A7=(A6+(1/20)) Para los valores de “x”. B6=($B$1+$B$3*A6) Para los valores de “y”. C6=($C$1+$C$3*A6) En todos los ejemplos en la tablas solo se muestran tres valores iníciales y tres valores finales de la misma. Todas las tablas inician desde A6 hasta A26. pág. 67
    • Ejemplo No.1 ¿Cuál es la línea recta que forman los puntos A y B? P 8 16 Q 4 8 (Q-P) -4 -8 t x y 0 8 16 0,05 7,8 15,6 0,1 7,6 15,2 0,9 4,4 8,8 0,95 4,2 8,4 1 4 8 Gráfica. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pág. 68
    • Ejemplo No.2 ¿Cuál es la línea recta que forman los puntos C y D? P 12 6 Q 3 9 (Q-P) -9 3 t x y 0 12 6 0,05 11,55 6,15 0,1 11,1 6,3 0,9 3,9 8,7 0,95 3,45 8,85 1 3 9 Gráfica. 18 Y 16 14 12 10 8 Series1 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 X pág. 69
    • Ejemplo No.3 ¿Cuál es la línea recta que forman los puntos E y F? P 10 2 Q 15 12 (Q-P) 5 10 t x y 0 10 2 0,05 10,25 2,5 0,1 10,5 3 0,9 14,5 11 0,95 14,75 11,5 1 15 12 Gráfica. 14 Y 12 10 8 6 Series1 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 X pág. 70
    • Circunferencia. Formulas. Para intervalo “t” A7=(A6+(1/20)*2*PI()) Para los valores de “x” B6=($B$1+$B$2*COS(A6)) Para los valores de “y” C6=($C$1+$B$2*SENO(A6)) Ejemplo No.1 Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 8. c 0 0 r 8 t X Y 0 8 0 0,3 7,6 2,472135955 0,6 6,5 4,702282018 0,9 4,7 6,472135955 5,7 6,5 -4,702282018 6,0 7,6 -2,472135955 6,3 8,0 -1,96024E-15 pág. 71
    • 4.5 4 3.5 3 2.5 Y 2 Series1 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 X Ejemplo No.2 Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 4. c 8 2 r 4 t X Y 0 12 2 0,3 11,8 3,236067977 0,6 11,2 4,351141009 5,7 11,2 -0,351141009 6,0 11,8 0,763932023 6,3 12,0 2 pág. 72
    • Gráfica. 4.5 4 3.5 3 2.5 Y 2 1.5 Series1 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 X Ejemplo No.3 Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 2. c 6 2 r 2 t X Y 0 8 2 0,3 7,9 2,618033989 0,6 7,6 3,175570505 5,7 7,6 0,824429495 6,0 7,9 1,381966011 6,3 8,0 2 pág. 73
    • Gráfica. 4.5 4 3.5 3 2.5 Y 2 1.5 Series1 1 0.5 0 0 2 4 6 8 10 X Elipse. Formulas. Para intervalo “t” A7=(A6+(1/20)*2*PI()) Para valores de “x” B6=($B$1+$B$2*COS(A6) Para valores de “y” C6=($B$1+$B$3*SENO(A6)) pág. 74
    • Ejemplo No.1 Gráfica la elipse con , y 0 10 a 8 b 2 t X Y 0 18 10 0,3 17,6084521 10,618034 0,6 16,472136 11,1755705 5,7 16,472136 8,8244295 6,0 17,6084521 9,38196601 6,3 18 10 Gráfica. 14 12 10 8 Y 6 Series1 4 2 0 0 5 10 15 20 X pág. 75
    • Ejemplo No.2 Gráfica la elipse con , y . 2 5 a 36 b 2 t X Y 0 41 5 0,3 39,2380346 5,61803399 0,6 34,1246118 6,1755705 5,7 34,1246118 3,8244295 6,0 39,2380346 4,38196601 6,3 41 5 Gráfica. 70 60 50 40 30 20 Y Series1 10 0 0 5 10 15 20 25 30 -10 -20 -30 X pág. 76
    • Ejemplo No.3 Gráfica la elipse con , y . 16 20 a 6 b 42 t X Y 0 26 20 0,3 25,7063391 32,9787138 0,6 24,854102 44,6869806 5,7 24,854102 -4,6869806 6,0 25,7063391 7,02128624 6,3 26 20 Gráfica. 70 60 50 40 30 20 Y Series1 10 0 0 5 10 15 20 25 30 -10 -20 -30 X pág. 77
    • Parábola Para “t” intervalo, A7=(A6+($C$3-$B$3)/20) Para los valores de “x” B6=((A6-$C$1)^2)/(4*$B$2)+$B$1 Para los valores de “y” C6=(A6) Ejemplo No.1 Gráfica la parábola con , y v 0 0 p 1 t 2 15 t X Y -5 6,3 -5,0 -4,35 4,7 -4,35 -3,70 3,4 -3,70 6,70 11,2 6,70 7,35 13,5 7,35 8,00 16,0 8,00 pág. 78
    • Gráfica. 8.0 6.0 4.0 2.0 Y 0.0 Series1 -10.0 -5.0 0.0 5.0 -2.0 -4.0 -6.0 X Ejemplo No.2 Gráfica la parábola con , y v 5 2 p 1 t 2 20 t X Y -5 17,3 -5,0 -4,10 14,3 -4,10 -3,20 11,8 -3,20 11,20 26,2 11,20 12,10 30,5 12,10 13,00 35,3 13,00 pág. 79
    • Gráfica. 8.0 6.0 4.0 2.0 Y Series1 0.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 -2.0 -4.0 -6.0 X Ejemplo No.3 Gráfica la parábola con , y . v -9 2 p 1 t 2 14 t X Y -5 3,3 -5,0 -4,40 1,2 -4,40 -3,80 -0,6 -3,80 5,80 -5,4 5,80 6,40 -4,2 6,40 7,00 -2,8 7,00 pág. 80
    • Gráfica. 8.0 6.0 4.0 2.0 Y Series1 0.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 -2.0 -4.0 -6.0 X Hipérbola Formula. Para “t” intervalo, A7= (A6+(1/20)*2*PI()) Para los valores de “x” B6= $B$1+$B$2/COS(A6) Para los valores de “y” C6=$C$1+$B$3*TAN(A6) Para graficar la hipérbola se toma los valores siguientes. Serie 1 x= hiperbola! $B$7:$B$15 pág. 81
    • y= hiperbola! $C$7:$C$15 Serie 2 x=Hiperbola! $B$17: $B$25 y= Hiperbola! $C$17: $c$25 Ejemplo No.1 Gráfica la hipérbola con , 0 9 8 a 16 b 8 t x y -1,571 2,61193E+17 -1,30596E+17 -1,257 60,77708764 -16,6214683 -0,942 36,22082587 -3,011055364 4,084 -18,22082587 19,01105536 4,398 -42,77708764 32,6214683 4,712 -8,70643E+16 4,35321E+16 pág. 82
    • Gráfica. 4 3 2 1 0 Series1 Y -4 -2 0 2 4 Series 2 -1 -2 -3 -4 X Ejemplo No.2 Gráfica la hipérbola con , 0 5 0 a -32 b 8 t x y -1,571 -5,22386E+17 -1,30596E+17 -1,257 -98,55417528 -24,6214683 -0,942 -49,44165173 -11,01105536 4,084 59,44165173 11,01105536 4,398 108,5541753 24,6214683 4,712 1,74129E+17 4,35321E+16 pág. 83
    • Gráfica. 4 3 2 1 0 Series1 Y -4 -2 0 2 4 Series 2 -1 -2 -3 -4 X Ejemplo No.3 Gráfica la hipérbola con , 0 0 0 a 1 b 1 t x y -1,571 1,63246E+16 -1,63246E+16 -1,257 3,236067977 -3,077683537 -0,942 1,701301617 -1,37638192 4,084 -1,701301617 1,37638192 4,398 -3,236067977 3,077683537 4,712 -5,44152E+15 5,44152E+15 pág. 84
    • Gráfica. 4 3 2 1 0 Series1 Y -4 -2 0 2 4 Series 2 -1 -2 -3 -4 X Bibliografía. Geometría Analítica (Charles H. Lehmann - Limusa, 1989). Software usado para las graficas “graphmatica” Pagina web. http://www.graphmatica.com/ pág. 85