Polinomios
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  • 1. Expresiones Algebraicas
    • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
    • Ejemplos
  • 2. Tipos de Expresiones Algebraicas
    • Expresiones Algebraicas
    • Racionales Irracionales
    • Enteras Fraccionarias
  • 3. Expresión Algebraica Racional
    • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación
    • Ejemplo
  • 4. Expresión Algebraica Irracional
    • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación
    • Ejemplo
  • 5. Expr.Algebraica Racional Entera
    • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
    • Ejemplo
  • 6. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
    • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
    • Ejemplo
  • 7. Polinomios
    • Son las expresiones algebraicas más usadas.
    • Sean a 0 , a 1 , a 2 , …, a n números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:
    • a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n
  • 8. Ejemplos de polinomios
    • A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
  • 9. Términos
    • Monomio : polinomio con un solo término.
    • Binomio : polinomio con dos términos.
    • Trinomio : polinomio con tres términos.
    • Cada monomio a i x i se llama término .
    • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es a n x n con a n  0.
    • A a 0 se lo llama término independiente .
    • A a n se lo llama término principal .
  • 10. Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2 + … +0x n se llama polinomio nulo . Lo simbolizaremos por O p (x) . No se le asigna grado.
  • 11. Ejercicio
    • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.
  • 12. Polinomios iguales
    • Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.
    • Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
  • 13. Suma de Polinomios
    • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
    • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
    • P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
    • Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2
  • 14. Propiedades de la Suma
    • Asociativa
    • Conmutativa
    • Existencia de elemento neutro
    • Existencia de elemento opuesto
  • 15. Resta de Polinomios
    • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
    • P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
    • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
    • P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
    • Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2
  • 16. Multiplicación de Polinomios
    • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.
    • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
    • P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1
    • Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x – 2
    • P(x).Q(x) = P(x) 3x 3 + P(x) (-6x 2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
  • 17. Propiedades del Producto
    • Asociativa
    • Conmutativa
    • Existencia de elemento neutro.
  • 18. Algunos productos importantes
    • (x+a) 2 =(x+a)(x+a)= x 2 + 2ax + a 2
    • (x-a) 2 =(x-a)(x-a)= x 2 - 2ax + a 2
    • (x+a) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3
    • (x-a) 3 = x 3 - 3ax 2 + 3a 2 x - a 3
    • (x+a)(x-a)= x 2 –ax +ax-a 2 = x 2 -a 2
  • 19. Ejercicio
    • Escribir los desarrollos de
  • 20. Ejercicio : Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.
  • 21. Ejercicio : La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
  • 22. División de polinomios
    • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
    • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
  • 23. División entre números enteros
    • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que
    • D = d . C + r 0 ≤ r < |d|
    • Si r=0 se dice que D es divisible por d.
  • 24. División entre números enteros
    • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:
      • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
      • 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
      • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
      • 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
    ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
  • 25. División de polinomios
    • Dados los polinomios
    • D(x) = 6x 3 – 17x 2 +15x-8
    • d(x) = 3x – 4
    • determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
    • D(x) = d(x). C(x) + r(x)
    • de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O p (x)
  • 26. Ejemplo
    • 6x 3 – 17x 2 + 15x – 8 3x – 4
    -6x 3 + 8x 2 2x 2 - 3x + 1 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -3x+1)-4 0x 3 - 9x 2 + 15x 9x 2 - 12x 0x 2 + 3x - 8 -3x + 4 0x - 4
  • 27. Ejercicios
    • D(x) = 4x 5 + 2x 3 – 24x 2 + 18x
    • d(x) = x 2 – 3x
    • D(x) = 16x 8 + 24x 6 + 9x 4
    • d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2
    • D(x) = 2x 4 – 6x 3 + 7x 2 – 3x +2
    • d(x) = x-2
  • 28. División de Polinomios
    • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que
    • D(x) = d(x) . c(x)
  • 29. Ejercicios
    • Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro
    • P(x) = x 4 -2x 3 +x 2 -5x + 1
    • Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1
    • P(x) = x 4 +2x 3 +4x 2 + 8x +16
    • Q(x) = x 5 - 32
  • 30. División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
    • 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 x – 2
    • - 3x 3 + 6x 2 3x 2 + 4x + 3
    • 4x 2 – 5x
    • - 4x 2 + 8x
    • 3x – 9
    • -3x + 6
    • -3
    3 6 4 8 3 6 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3) Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3
  • 31. División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
    • División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini
    • 3 -2 -5 -9
    • 2 6 8 6
    • 3 4 3 -3
    • 1º operación : 3.2 -2 = 4
    • 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
    • 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
    • Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) 2 -5.2 -9 = -3
  • 32. Raíces de un polinomio
    • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
    • Ejercicio:
    • Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x 2 + 2x – 5
  • 33. Raíces de un Polinomio
    • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
    • Ejercicio: Calcular las raíces de
    • P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24
  • 34. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x 2 - 16x + 24
    • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
    • Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
    2x 3 – 2x 2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x 2 + 2x -12) Ver x=2 también es raíz de 2x 2 + 2x -12 2x 2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
  • 35. Ejercicio
    • Calcular las raíces de
    • P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 + 4x + 8
    P(x) = (x-2) 2 (x+1) (x+2)
  • 36. Resolver la siguiente ecuación
  • 37. Soluciones de la Ecuación Fraccionaria