CURSO DE MATEVOCA4
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GENERALIDADES DE MATE

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CURSO DE MATEVOCA4 CURSO DE MATEVOCA4 Presentation Transcript

    • La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos
  • NUMEROS NATURALES (N)
    • Es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
    • N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
    • PROPIEDADES DE LA ADICION :
    • Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que:
    • (a + b) + c = a + (b + c)
    • EJEMPLO:
    • (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
    • 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
    •  
    • Conmutativa: Si a, b son números naturales cualquiera se cumple que:
    • a + b = b + a
    • EJEMPLO:
    • 7 + 4 = 4 + 7
    • Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
    • a + 0 = a
    • PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION:
    • Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que:
    • (a · b) · c = a · (b · c)
    • (3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
    • 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
    • Conmutativa: Si a, b son números naturales cualquiera se cumple que:
    • a · b = b · a
    • EJEMPLO:
    • 5 · 8 = 8 · 5 = 40
    • Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
    • a · 1 = a
    • Distributiva del producto respecto de la suma: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
    • a · (b + c) = a · b + a · c
    • EJEMPLO:
    • 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
    • 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
    • Sustracción de Números Naturales: La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a).
    • División de Números Naturales: Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.
    • La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
  • NUMEROS ENTEROS (Z)
    • Indica si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia.
    • Se indica con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si se ubica hacia la izquierda.
    • El Número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
    • Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
    • Suma: Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
    • - Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos.
    • 7 + 11 = 18 -7 - 11 = -18
    • Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor.
    • 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 14 + (-14) = 0
    • Propiedades Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
    • Conmutativa: a + b = b + a
    • Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a
    • Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0
    • Resta: Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b)
    • EJEMPLO:
    • 5 - (-3) = 5 + 3 = 8
    • -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
    • Multiplicación : se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos.
    • + (-) = - ; - (+) = - ; + (+)= + ; -(-)= +.
    • Asociativa:
    • (a · b) · c = a · (b · c)
    • Conmutativa: a · b = b · a
    • Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, es decir
    • a · 1 = a
    • Distributiva de la multiplicación respecto de la suma:
    • a · (b + c) = a · b + a · c
  • MINIMO COMUN MULTIPLO (mcm)
    • De dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para calcularlo:
    • Factorizamos los números.
    • Tomamos todos los factores (comunes y no comunes) elevados a los mayores exponentes .
    • -Los factores son elevados a los mayores exponentes y se multiplican.
    • El m.c.m. es el producto de los factores anteriores.
    • Calcula el mcm de: 24, 36, 40.
    • Los factores son: 2 3 , 3 2 y 5. entonces:
    • 8 X 9 X 5 = 360
  • MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)
    • De dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo:
    • -Factorizamos los números.
    • -Se obtienen todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el MCD.
  • FRACCIONES
    • Son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a , y denominador, b , que ha de ser b ≠ 0.
    • Suma: Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador.
    • Por ejemplo:
    • 2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
    • Resta : Para restar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se aplican la regla de los signos y se mantiene su denominador.
    • Multiplicación: Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
    • División: En esta operación se multiplica de forma cruzada, es decir el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera con el numerador de la segunda. 
  • DECIMALES
    • Las fracciones pueden expresarse en otra forma llamada número decimal. Las fracciones impropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, las fracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero.
    FRACCION DECIMAL 3/10 0.3
    • Suma y resta: Anotar los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que los puntos queden en la misma columna .
    • SUMA RESTA
    • 3.721 2.083
    •   + 2.867 - 1.344
    •   6.588 0.739
    • Multiplicación: Se resuelve la multiplicación sin considerar el punto, se  cuentan cuantos espacios después del punto (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca el punto.
    • 1.322 x 2 = 2644, entonces: 2.644
    • La división proviene de las fracciones.
    • Cuando se obtiene un numero sumamente pequeño, se utiliza el exponente de base 10, y cada número se expresa en unidades negativas.
    • 0.0000005 = 5X10 -7 ; 0.00356 = 3.56x10 -3
    • Cuando de trata de números mas grandes se hace lo
    • siguiente: 1 000 = 10 3 ; 10 000 = 10 4 ; 100 000 = 10 5 .
  • RELACIONES DE ORDEN
    • En las operaciones aritméticas hay muchos casos que intervienen mas de una sola operación, en esos casos se aplican ciertas reglas para la correcta resolución.
    • Estas reglas se les conoce como relaciones de orden y se resuelven de la siguiente forma:
    • Primero las raíces
    • Segundo las potencias
    • Tercero las divisiones
    • Cuarto las multiplicaciones
    • Quinto las sumas
    • Por último las restas
    • 15 ÷ 3 – 1 = 4
    • 50 – 20 ÷ 2 = 40
    • 40 ÷ 2 2 x 5 = 50
    • 7 + 36 ÷ 4 – 3= 13
    • 5 2 – 8 x 3 + √4 = 3
    • 18 ÷2 + 3 3 – 4= 16
    • 6 2 x2 – 18 ÷ 3 √8 + 7 = 70
    • 45 – 5 x 2 √49 ÷ 7 + 6 = 41
  • PROPORCIONALIDAD
    • Es una forma de hacer relaciones entre ciertas cantidades para una incógnita a partir de tres cantidades dadas, a este tipo de operaciones e les ha llamado reglas de tres directas, pero también existen las reglas de tres inversas y las compuestas , cada una de ellas con su específica aplicación.
    • Se puede expresar de manera general como sigue:
  • DIRECTA
    • Un automóvil utiliza 8Lt De gasolina cada 96 Km. Si quedan en el tanque únicamente 10 Lt Cuantos Km Podrá recorrer el automóvil?
    • Si una caja de 24 refrescos cuesta $120, que precio tendrán únicamente 7 refrescos?
    • Un granjero obtiene $780 por la venta de 40 Lt de leche. Cuántos litros de leche necesita para obtener un ingreso de $994.5 ?
    • Un profesor gana $4657 por 76 horas de trabajo al mes. Cuanto recibirá por solo 19 horas de trabajo?
  • INVERSA
    • Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
    • Se puede expresar de la siguiente manera:
    • -Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
    • Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.
    • 18 l/min 14 h
    • 7 l/min       x h
  • COMPUESTAS
    • La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes , de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.
    • Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.
    • Nueve llaves abiertas durante 10 horas al día han consumido una cantidad de agua por valor de 20 pesos. Averiguar el precio del vertido de 15 llaves abiertas 12 horas durante el mismo tiempo.
    • 9 llaves   10 horas 20
    • 15 llaves 12 horas    x
  • ALGEBRA
    • Es una rama de las Matemáticas que estudia la forma
    • de resolver las ecuaciones.
    • Una de las características del álgebra es que utiliza
    • símbolos para representar números.
    • El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas).
    • SE PUEDEN CLASIFICAR EN:
    • Por el número de incógnitas: numero de incógnitas que tenga la ecuación.
    • B) Por el grado de la incógnita: de acuerdo al grado del exponente de la incógnita.
    • C) Por el número de términos:
    • C1) Ecuaciones binómicas: puede tener dos terminos diferentes esta ecuación
    • C2) Ecuaciones polinómicas: Tiene más de dos términos en la ecuación .
    • MONOMIOS: Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
    • - El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
    • - La parte literal (X 3 ) está constituida por las letras y sus exponentes.
    • - El grado (3) de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. O el exponente mayor si es una sola variable.
    • No importa que la literal no tenga exponente, aún así se considera de grado 1.
    • Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
    • Pues la parte literal de todos ellos es:
    • Polinomio: Se le denomina así a la suma de varios monomios. Expresión algebraica constituida por un número finito de variables y constantes, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potencia con exponentes de números naturales .
    • Binomio (dos términos): 6 x 7 - 2
    • Trinomio (tres términos): 3 x 5 + 4 x 3 - x 2
    • Si hay más de una variable en el polinomio, tienes que
    • observar cada término . Calcula el grado de cada término
    • haciendo la suma de los exponentes de las variables . El
    • Que tenga el mayor de esos grados es el grado del
    • polinomio.
    • - 5xy 2 :grado 3 ( x tiene exponente 1, y tiene 2, y 1+2=3)
    • - 3x tiene grado 1 ( x tiene exponente 1)
    • - 5y 3 tiene grado 3 ( y tiene exponente 3)
    • - 3 tiene grado 0 (no hay variables)
    • -El mayor es 3, así que el polinomio tiene grado 3
    • SUMA:
    • 3a + b - 2a + 6b - 7a - 3b; Esto se puede escribir de la siguiente forma:
    • = (3-2-7)a + (1+6-3)b, entonces: = -6a + 4b
    • RESTA:
    • 5x de - 3x; entonces : (- 3x) - (5x) = - 3x - 5x = ; (- 3 - 5)x= ; -8x
    • 2a + b - 3c    -3a - 2b - 4c  
    • 2x + 3x 2 + 5x 3 + 4x 2 + 6x 3 - 4x - 6x 2 + 3x 3
    • 6p 2 q 2 - 5pq 2 - 12pq - 6p 2 q 2 + 7pq 2 + 13pq
    • 75x 2    menos  - 25x 2
    • 18a 2 b 3    menos   8a 2 b 3
    • -60x 2 y 3 z 4   menos  30x 2 y 4 z 3
    • Multiplicación
    • Se hace lo mismo para monomios y polinomios, se multiplican los coeficientes y se suman los grados de las letras que son iguales.
    • P(x)= 2x 5 +3x 4 -2x 3 -x 2 +2x *(2x 3 )
    • P(x)=4x 5+3 + 6x 4+3 – 4x 3+3 - 2x 2+3 + 4x 1+3
    • P(x)=4x 8 + 6x 7 – 4x 6 – 2x 5 + 4x 4
    • (2x3 – 3x2 + 4x) * (2x3 – 3)=
    • (3x 4 + 5x 3 − 2x + 3 ) * (2x 2 − x + 3)=
    • (3x 5 + 2x 3 - 5x 2 + 6) * (8x 3 + 3x 2 - x – 4)=
    • (-3x4 – 6x3 – 7x2 + 5x -7) * (5x2 – 6x + 6)=