Revisão de matemática
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    Revisão de matemática Revisão de matemática Document Transcript

    • Notas de Revisão de Matemática Nécio de Lima Veras - necioveras@gmail.com Potências e Raízes Potência de expoente inteiro negativo: a−n = a1 nPropriedades válidas para: a ∈ R, b ∈ R, m ∈ N, n ∈ N Propriedades da raíz enésima aritmética: se a ∈ R+ , b ∈ R+ , P1 am · an = am+n m ∈ Z, n ∈ N∗ , p ∈ N∗ √ √ m n m n·p m·p P2 a n = a m−n R1 √a = √ a √ a n P3 (a · b)n = an · bn R2 a·b= na· nb √ n n a n a P4 ( a )n = an , b = 0 b b R3 b = n b√ = 0) √ , (b √ m P5 (am )n = am·n R4 ( a) = n am n p n √ √ R5 a = p·n a p √Potência de expoente racional: a q = q ap Propriedades : se a ∈ R∗ , b ∈ R∗ , + + p r q ∈ Q, s ∈ Q P1 p r aq · as = aq+s p r Redução a uma base comum: ab = ac ⇔ (0 < a = 1)) p p Se b e c são números reais então aq −r P2 r = aq s para a > 1 tem-se: ab > ac ⇔ b > c as p p p P3 (a · b) q = aq · bq para 0 < a < 1 tem-se: ab > ac ⇔ b < c p p aq P4 (a q ) = b p p bq p r r P5 (a q ) s = a q · s LogaritmosDefinições: loga b = x ⇔ ax = b Propriedades loga b = x ⇔ b = anti loga x Do produto: loga (b · c) = loga b + loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0 b loga 1 = 0 Do quociente: loga ( c ) = loga b − loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0 loga a = 1 Cologaritmo: co loga b = loga 1 , se 0 < a = 1, b > 0 b a loga b =b De potência: loga bα = α · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, α ∈ R √ 1 loga b = loga c ⇔ b = c loga n b = loga b n = n · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, n ∈ N∗ 1 Mudança de base log b Propriedade: loga b = log c a , se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1 c Observação: loga b = logc b · loga c, se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1 1Consequências: (1) loga b = log a , se a, b ∈ R+ , a = 1, b = 1 b 1 (2) logaβ b = β · loga b, se a, b ∈ R+ , a = 1, β = 0 Progressões Geométrica Aritmética Fórmula do termo geral: an = a1 · q (n−1) n·(n−1)Fórmula do termo geral: an = a1 + (n − 1) · r) Produto: Pn = an · q 2 1 n Soma: Sn = n·(a12+an ) Soma (P.G. finita): Sn = a1 ·q −a1 , para q = 1 q−1 a1 Soma (P.G. infinita): S = limn→+∞ Sn = 1−q Crescimento de funções (notação assintótica) NotaçãoBig O: Uma função f (x) está na ordem O se existir uma constante positiva que defina um limite superior: f (x) ≤ c · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) o: Uma função f (x) está na ordem o se existir uma constante positiva que defina um limite superior: f (x) < c · g(x), ou seja, f (x) = o(g(x)) Ω: Uma função f (x) está na ordem Ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior: f (x) ≥ c · g(x), ou seja, f (x) = Ω(g(x)) ω: Uma função f (x) está na ordem ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior: f (x) > c · g(x), ou seja, f (x) = ω(g(x)) θ: Uma função f (x) está na ordem θ se existirem duas constantes positivas que definam os limites superiores e inferiores: f (x) ≤ c1 · g(x) e f (x) ≥ c2 · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) e f (x) = Ω(g(x)) Limites f (n)Se limn→∞ g(n) = 0 Então f (n) = o(g(n)) f (n)Se limn→∞ g(n) = ∞ Então f (n) = ω(g(n))Se limn→∞ f (n) = c g(n) Então f (n) = θ(g(n))