Teori Graf - Mtk Diskrit

16,707 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
9 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
16,707
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
931
Comments
0
Likes
9
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Teori Graf - Mtk Diskrit

  1. 1. Di susun Oleh : INDAH WIJAYANTI 200813500172 Yb. Matematika T E O R I G R A F JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTA Jl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang) Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530 Februari 2011 MATEMATIKA DISKRIT
  2. 2. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 1 - BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (verticers atau node) = {v1, v2, v3,...} dan E himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul {e1, e2, e3, ...} atau dapat di tulis dengan notasi G = {V,E}. Dengan definisi demikian graf dapat digunakan untuk berbagai objek diskrit, terutama graf sering digunakan untuk memodelkan berbagai persoalan untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di selesaikan dengan perhitungan dan pertimbangan biasa. Misalnya seseorang ingin menggambarkan diagram hubungan relasi kerja seorang pimpinan dengan staf-stafnya, maka sang pimpinan dapat dijadikan suatu objek diskrit (simpul/vertex), demikian juga staf- stafnya, dan akan terdapat sisi-sisi (edges) yang menghubungkan satu dan lainnya untuk menggambarkan hubungan (relationship) antara objek-objek (simpul) tadi. Seperti terlihat pada gambar 1, dimana seorang Pimpinan membawahi Staf1, dan Staf2 dibawahi Staf 1. Dari sini dapat dilihat kekuatan graf dalam mendeskripsikan objek-objek diskrit sehingga graf sampai saat ini banyak digunakan. Dengan kekuatannya ini graf merupakan salah satu cabang penting dalam matematika yang terus dikembangkan terutama dalam ilmu komputer dimana dengan graf dapat merepresentasikan banyak sekali model persoalan. Gambar. 1 Relasi dengan Graf
  3. 3. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 2 - A. Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, graf pertama kali digunakan dalam menyelesaikan permasalahan jembatan Königsberg (1736). Masalah jembatan Königsberg ini adalah : mungkinkah melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepar satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? Kemudian tahun 1736 seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban maslah itu dengan memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan) dinyatakan sebagai titik (noktah) yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebgai garis-garis yang disebut sisi (edge). Setiap titik diberi label huruf A, B, C, dan D. Graf yang dibuat Euler seperti tampak pada gambar 2.b. Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula karena pada graf model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap (derajat sebuah simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul yang bersangkutan). Apabila sebuah graf dapat dilalui setiap sisinya masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat semula, maka graf tersebut dikatakan memiliki sirkuit Euler. Gambar 2.a Jembatan Konigsberg Gambar 2.b Graf yang merepresentasikan Jembatan Konigsberg
  4. 4. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 3 - 1.2 Tujuan Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut : Memenuhi salah satu Tugas mata kuliah Matematika Diskrit. Mahasiswa dapat menggunakan Teori Graf ini untuk memodelkan berbagai persoalan untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di selesaikan dengan perhitungan dan pertimbangan biasa Mahasiswa dapat mengembangkan serta mengaplikasikan Materi graf ini dalam kehidupan sehari-hari.
  5. 5. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 4 - BAB II PEMBAHASAN Graf di simbolkan G. Graf adalah himpunan yang terdiri dari (V,E) atau G = (V,E) dengan : V : Himpunan titik / simpul / noktah dan E : Himpunan sisi / edge yang menghubungkan 2 simpul. Contoh : Simbol 1. Simpul (V) : Huruf, angka atau gabung huruf dan angka 2. Edge (E) : e1, e2, e3, ...... n dengan : e1 : Sisi yang menghubungkan simpul 1 & 2 e2 : Sisi yang menghubungkan simpul 2 & 3. Contoh Bentuk Graf BaliJakarta Sragen Sisi / edge Simpul V = {Jakarta, Sragen, Bali} E = { (Jakarta, Sragen), (Sragen, Bali), (Jakarta, Bali)} e3 e2 e1 1 2 3 4 e1 e3 e7 e6 e4 e2 e5  5 e8 V = {1, 2, 3, 4, 5} E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} Gambar 2.1. a TEORI GRAF
  6. 6. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 5 - A. ISTILAH dalam GRAF 1. Sisi Paralel / Ganda yaitu Sisi yang terdiri 2 garis dari 2 simpul Contoh ( pada gambar 1) : e2 = ( 1, 4 ) e6 = ( 3, 4 ) e3 = ( 1, 4 ) e7 = ( 3, 4 ) 2. Loop / Gelang / Kalang yaitu Sisi yang hanya berhubungan dengan 1 simpul Contoh : e8 = { 4 } 3. Simpul / Titik terasing yaitu simpul yang tidak mempunyai sisi Contoh : { 5 } 4. Titik Ujung yaitu simpul yang mempunyai sisi dengan titik simpul lain Contoh : e1 = ( 1, 2 ) Buatlah Graf jika di ketahui : 1. V = {1, 2, 3} dan E = { (1,2), (2,2), (3,2), (1,3) } Jawab : 2. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) } 3. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (2,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4) } Jawab: 1 Titik Ujung 2 Titik terminal 2 3 1 Note : Dalam pembuatan graf letak titik simpulnya boleh di buat sembarang Contoh 1 2 4 3 Sisi Tunggal Gambar. No 2 1 2 4 3 Gambar. No 3 Sisi Ganda
  7. 7. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 6 - 4. V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3,3) } Jawab Berdasarkan Sisi ganda dan Loop jenis Graf terdiri dari : 1. Graf Sederhana adalah Graf yang tidak memiliki sisi ganda dan Loop Contoh : Gambar no. 2 2. Graf tidak Sederhana terbagi dua (2) yaitu : a. Graf Ganda yaitu graf yang memiliki sisi ganda Contoh: Gambar No 3 b. Graf Semu yaitu graf yang memiliki Loop Contoh : Gambar No 4 A. MENGGAMBAR GRAF SEDERHANA Contoh : Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik (simpul) dengan 2 garis Jawab : a. Langkah 1 : Cari banyaknya kemungkinan garis yang dapat di buat dari 4 titik dengan Combinasi: = Maka = = 6 buah garis kemungkinan. b. Langkah 2 : Cari banyak kemungkinan graf yang di buat dari 6 garis di pilih 2 garis dengan = = 15 buah kemungkinan graf 1 2 4 33 Loop Gambar. No 4 JENIS-JENIS GRAF
  8. 8. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 7 - Soal : Gambarlah graf dengan semua kemungkinan yang di buat dari 5 titik dan 4 garis Jawab : a. Langkah 1 : = = 10 Kemungkinan b. Langkah 2 : = = 210 buah kemungkinan graf Gambar graf : ... dst B. DERAJAT (Degree) Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Simbol : d (V) jika simpulnya V Contoh a. 1, 1, 3, 3 b. 1, 2, 2, 3 c. 2, 3, 3, 4 Jawab : 1 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 4 2 55 Catatan : 1. Jika pada loop maka jumlah derajat = 2 2. Total jumlah semua derajat = Genap Contoh Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik dengan derajat : d (1) = 2 4 2 1 3 d (2) = 3 d (4) = 2 d (3) = 3 a) 1 4 3 2 d (V1) = 1 d (V3) = 3 d (V2) = 1 d (V4) = 3 b) 1 2 4 3 d (V1) = 1 d (V2) = 2 d (V3) =2 d (V4) = 3
  9. 9. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 8 - Graf G ( V1, V2 ) di sebut graf bipartit jika Graf G (V,E) pada himpunan simpul G (V) dapat di bagi menjadi himpunan V1 dan V2 serta sisi E (G) dapat menghubungkan antara V1 dan V2 Syarat Umum graf Bipartit : 1. Terdapat 2 himpunan V1 dan V2 2. Masing-masing simpul pada V1 menghubungkan ke simpul pada V2 3. Tidak ada Relasi antar simpul pada suatu V1 dan V2 4. Jika setiap simpul di V1 menghubungkan semua simpul di V2 di sebut Graf Bipartit Lengkap. Simbol Bipartit lengkap : Kn, m Ket : n = banyaknya simpul pada V1 m = banyaknya simpul pada V2 Banyaknya sisi yang dapat di hubungkan = n . m c) 1 3 2 4 d (V4) = 4 d (V1) = 2 d (V2) = 3 d (V3) = 3 Contoh Tunjukkan mana yang di sebut Graf Bipartit dan Bipartit lengkap 1.) V1 V2 V4 V3 Jawab : V1 V2 V3 V4 Karena V1 = { V1, V2 } dan V2 = { V3, V4 }  Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit GRAF BIPARTIT dan SUB GRAF 2, 3, 3, 4
  10. 10. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 9 - . A. KOMPLEMEN dan SUB GRAF  Komplemen Graf artinya Selain atau kecuali  Simbol Komplemen Graf G (V,E) 2.) Karena V1 = { R1, R2 } dan V2 = { L, A, T }  Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit Lengkap dengan : Kn.m = K 2.3 = 6 sisi / garis R2 A L R1 T e4 e2 e1 e5 e3 e6 3.) b c f e d g a V1 = { a, b, d } dan V2 = { c, e, f, g }  Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit Karena tidak semua anggota V2 di pasangkan dengan V1  a  b  c  c  e  f  g Contoh 1.) V1 V3 V2 V4 V2 V1 V4 V3 G (V,E) G (V,E) 2.) V1 V2 V5 V3 V4 V3 V2 V4 V1 V5 G (V,E) G (V,E)
  11. 11. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 10 - B. SUB GRAF ( Simbol : Bagian) Misalkan G (V,E), suatu graf H di katakan Sub graf dari G { H, (V,E) } G (V,E) jika memenuhi syarat sebagai berikut : 1. V (H) V (G)  Himpunan simpul di H simpul di G 2. E (H) E (G)  Himpunan sisi pada H sisi pada G 3. Setiap sisi pada H harus mempunyai titik ujung pada graf G  Contoh Tunjukkan bentuk Sub graf dari G ! 1.) V1 V3 V2 V4 e1 e2 e5 e3 e4 G (V, E) V = { V1, V2 V3, V4 } E = { e1, e2, e3, e4, e5 } Misal a. H = (V, E) V = { V1, V2} E = { e1, e2 }V1 e1 e4 V2 e1 = Titik Ujung di H = G1 e4 = Titik Ujung di H ≠ G1  Maka Gambar di samping Bukan Sub graf e1 = Titik Ujung di H ≠ G2 e4 = Titik Ujung di H ≠ G2  Maka Gambar di samping Bukan Sub graf Graf G1 V1 e1 V2 e4 Graf G2Misal b. H = (V, E) V = { V1, V2, V4 } E = { e1, e4 } V1 e1 e4 V4  Gambar di samping merupakan Sub graf karena e1 dan e4 titik ujung di H = G
  12. 12. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 11 - C. PATH dan SIRKUIT  Path ( Lintasan) Path yang panjangnya n adalah suatu jalan dari awal V0 ke simpul akhir Vn dengan barisan berselang-seling antara simpul dan Sisi. Nama Simpul Sisi / Garis Titik Ujung Walk beda / sama Sama Ujung Beda Path Sama Beda Ujung beda Path Sederhana Sama Beda Ujung beda Sirkuit Sama Beda Ujung sama Sirkuit Sederhana Beda Beda Ujung sama Catatan : = Ada / beberapa = Semua / Setiap Syarat Suatu Path / Lintasan : 1. Ujung-ujungnya berbeda 2. Garisnya berbeda dan simpul boleh sama Jika garis dan titik simpul berbeda = Path Sederhana Jika pada Path sederhana, titik ujungnya sama maka di sebut Sirkuit Contoh V1 e5 e3 e1 e4 e2 V3 V2 Jawab: Path ( Lintasan) Sepanjang 3: V1 e1, V2 e4, V3 e5, V3 Sirkuit : V1 e1, V2 e4, V3 e3, V1 1. Tunjukkan bentuk Path dan Sirkuit dari Graf berikut !
  13. 13. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 12 - 2. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit Sederhana! a. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5 Jawab : Titik Ujung : beda (V1 dan V5 ) Sisi : Sama ( e5 yang sama) Simpul : Sama ( V2 yang sama)  Deretan baris di atas di sebut Walk b. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e6 V3 e7 V6 e8 V2 Jawab : Titik Ujung : Sama ( V2 ) Sisi : Beda ( sisi beda) Simpul : Sama ( V3 yang sama)  Deretan baris di atas di sebut Sirkuit. c. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e9 V6 e8 V2 Jawab : Titik Ujung : Sama ( V2 ) Sisi : Beda ( sisi beda) Simpul : Beda ( simpul beda kecuali V2 )  Deretan baris di atas di sebut Path Sederhana. Ingat : Cara Menentukannya : Lihat Titik Ujung Sisi / garis Simpul 3. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit Sederhana! a. V1 e1 V2 e3 V3 e4 V3 e5 V4 Jawab : Titik Ujung : beda (V1 dan V4 ) Sisi : beda ( sisi beda) Simpul : Sama ( V3 yang sama)  Deretan baris di atas di sebut Path b. V2 e3 V3 e5 V10 e6 V3 e7 V2 Jawab : Titik Ujung : Sama ( V2 ) Sisi : Beda ( sisi beda) Simpul : Sama ( V3 yang sama)  Deretan baris di atas di sebut Sirkuit
  14. 14. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 13 - 2.4 SIRKUIT EULER dan SIRKUIT HAMILTON Lintasan Euler : Path yang melalui sisi tepat 1x Sirkuit Euler : Lintasan yang ujung awal = ujung akhir c. V2 e3 V4 e4 V5 e5 V2 Jawab : Titik Ujung : Sama (V2 ) Sisi : Beda ( sisi beda) Simpul : Beda ( simpul beda)  Deretan baris di atas di sebut Sirkuit Sederhana d. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5 Jawab : Titik Ujung : Beda (V1 dan V5 ) Sisi : Sama ( e5 yang sama) Simpul : Sama ( V3 yang sama)  Deretan baris di atas di sebut Walk SIRKUIT EULER Ciri-ciri Sirkuit Euler : 1. Sirkuit yang tepat melewati sisi 1x 2. Simpul awal = Simpul akhir 3. Sisi wajib beda 4. Simpul boleh berulang 5. Graf terhubung yang setiap simpulnya memiliki derajat genap Contoh 1. Tentukan Lintasan Euler yang di awali V3 ! V1 e5 e4 V4V3 V2 e1 e2 e3 Jawab : Lintasan : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3 e4 V4 e5 V1 Sirkuit : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3
  15. 15. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 14 - Adalah Sirkuit yang melewati Simpul tepat 1x kecuali titik awal = titik akhir. 2. Tentukan Lintasan Euler dan Sirkuit Euler ! 45 6 7 32 1 Jawab : Graf di samping memiliki Sirkuit euler karena graf terhubung dan simpul berderajat genap. Sirkuit : 1 2 3 4 7 3 5 7 6 5 2 6 1 3. Tentukan bentuk Lintasan Sirkuit Euler berikut! Jawab : Sirkuit Euler : a. 1 2 6 3 2 4 1 3 5 6 4 5 1 atau b. 1 2 6 3 2 4 5 3 1 5 6 4 1 atau c. 1 2 3 6 2 4 6 5 3 1 5 4 1 1 4 2 35 6 SIRKUIT HAMILTON Ciri-ciri Sirkuit Hamilton : 1. Sirkuit yang tepat melewati simpul 1x 2. Simpul awal = Simpul akhir 3. Tidak harus melewati semua sisi Contoh 2 3 1 4 Tentukan Lintasan Hamilton dari graf di samping! Serta Sirkuit Hamilton pada graf soal no. 3! Jawab : Lintasan Hamilton : 3 1 2 4 Sirkuit Hamilton (no.3) : a. 1 2 3 6 5 4 1 atau b. 1 3 6 2 4 5 1 atau c. 4 6 2 3 1 5 4.
  16. 16. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 15 - A. REPRESENTASI GRAF dalam Matriks Istilah Graf 1. Graf Berbobot yaitu graf yang sisinya mempunyai nilai tertentu Contoh: 2. Graf Teratur yaitu graf yang setiap simpul mempunyai derajat sama Contoh : Matriks Ketetanggaan Misalkan G (V,E) dengan simpul n maka G dapat di nyatakan M = [ aij ] dengan jumlah ordo n Aturan aij = elemen Matrik a) aij = 1 jika Simpul i dan j bertetangga / terhubung b) aij = 0 jika Simpul i dan j tidak bertetangga c) aij = 1 jika ada sisi gelang pada simpul yang mengakibatkan diagonal = 1 Matriks = d) aij = 2 yaitu aij = Jumlah sisi yang berhubungan pada simpul 2 Matriks = V3 15 V5V6 V2 V1 V4 20 30 10 20 25 V2V1 V1 V3 V2 V1 V3V4 V2 1 4 2 3 Ingat : Cara Membuat Matriks di lihat dari simpulnya dan jumlah ordo sesuai dengan jumlah simpul 3 2 4 1
  17. 17. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 16 - Definisi : 2 buah Graf G1 dan G2 di katakan Isomorfik jika Korespondensi satu-satu antara simpul di G1 dan G2 dan antara sisi-sisi di G1 dan G2 Keterangan: Untuk menunjukan 2 graf Isomorfik di tunjukkan dengan: a). Simpul di G1 berkorespondensi satu-satu dengan simpul di G2 b). Sisi- sisi di G1 berkorespondensi satu-satu dengan sisi di G2 c). Jumlah derajat masing-masing simpul di G1 = G2 GRAF ISOMORFIK Syarat 2 graf Isomorfik : 1. Mempunyai Jumlah Simpul sama 2. Mempunyai Jumlah sisi sama 3. Mempunyai jumlah derajat sama Contoh Tunjukkan G1 dan G2 Isomorfik ! 1. 3 21 4 G1 G2 Jawab : A. Untuk Menentukan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan syarat 2 graf Isomorfik , yaitu : G1 : Simpul = 4 G2 : Simpul = 4 Sisi = 6 Sisi = 6 Derajat = 12 Derajat = 12  Semua syarat terpenuhi maka Kedua graf di atas Isomorfik B. Untuk Menunjukkan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan menunjukan korespondensinya sebanyak simpul, sisi dan derajatnya Simpulnya : Sisinya: Derajatnya : 1  a 2  b 3  c 4  d (1,2)  (a,b) (2,3)  (b,c) (3,1)  (c,a) (3,4)  (c,d) (4,1)  (d,a) (4,2)  (d,b) d (1) : 3 = d (a) d (2) : 3 = d (b) d (3) : 3 = d (c) d (4) : 3 = d (d) a d b c
  18. 18. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 17 - Adalah graf yang tidak berarah terhubung yang tidak memiliki sirkuit. Jadi, Ada 2 Syarat Graf Pohon : 2. e d a c b G2 2 5 4 3 1 G1 Jawab : Korespondensi satu-satu dari G1 & G2 di tulis sebanyak simpul, sisi dan derajatnya Simpulnya : Sisinya: Derajatnya : 1  a atau 2  b 3  c 4  d 5  e 1  c 2  b 3  a 4  d 5  e (1,2)  (a,b) (1,3)  (a,c) (2,3)  (b,c) (1,4)  (a,d) (3,4)  (c,d) (4,5)  (d,e) d (1) : 3 = d (a) d (2) : 2 = d (b) d (3) : 3 = d (c) d (4) : 3 = d (d) d (5) : 1 = d (e) GRAF POHON (Tree) Syarat Graf pohon : 1. Terhubung 2. Tidak memiliki Sirkuit Contoh 1. Tentukan apakah Graf berikut merupakan Graf Pohon ! Jawab : Graf di samping merupakan graf Pohon karena graf terhubung dan tidak memiliki sirkuit 2 4. 5. 3. 1. Anak (akar)
  19. 19. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 18 - A. POHON BINER Adalah pohon yang setiap titiknya hanya memiliki paling banyak 2 anak (akar). Ekspresi Aljabar dalam bentuk Pohon 2. V7 V8 V9 V6 V4 V5 V3 V2 V1 Jawab : Graf di samping bukan graf Pohon karena graf tidak terhubung (V5 dan V6) 3. 2 1 3 4 5 6 Jawab : Graf di samping bukan merupakan graf Pohon karena terdapat sirkuit yang menghubungkan V1 , V2 dan V3 Langkah-langkahnya : 1. Perhatikan Operator Utama (+, -, x, : ) sehingga operasinya membagi 2 persamaan kanan dan kiri 2. Kerjakan persamaan kiri dan kanan seperti langkah 1 Contoh Nyatakan Operasi berikut dalam bentuk pohon ! 2. 2 x 4 1. (a – b) + c 42 x c b x x a
  20. 20. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 19 - 3. (x-y) x 2 + 4. - (x+y) v v z + x y : u - x v 4 - : z x x - x v 4 + : w - 5 x y y + 5. + (5 - v) + 4
  21. 21. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 20 - BAB III Latihan Soal
  22. 22. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 21 -
  23. 23. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 22 -
  24. 24. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 23 -
  25. 25. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 24 -
  26. 26. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 25 -
  27. 27. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 26 -
  28. 28. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 27 -
  29. 29. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 28 -
  30. 30. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 29 -
  31. 31. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 30 -
  32. 32. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 31 -
  33. 33. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 32 -
  34. 34. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 33 -
  35. 35. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 34 -
  36. 36. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 35 -
  37. 37. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 36 -
  38. 38. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 37 -
  39. 39. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 38 -
  40. 40. Matematika Diskrit T E O R I G R A F - 39 -

×