Transformações lineares

1. Algebra Linear Bibliogra

2. a Transformac~oes Lineares Naygno Barbosa Noia 13 de dezembro de 2014 1 / 23

4. a Sumario 1 Algebra Linear Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear 2 Bibliogra

5. a 2 / 23

7. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear O que e uma TRANSFORMAC ~AO? 1. Basicamente, e um tipo de depend^encia entre variaveis 2. De maneira mas simples, podemos fazer analogia de transformac~ao com ma-quinas, por exemplo, uma maquina de: 3 / 23

13. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear O que e uma TRANSFORMAC ~AO? LAVAR ROUPAS 4 / 23

15. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear TRANSFORMAC ~AO LINEAR Sejam E, B espacos vetoriais. Uma transformac~ao linear A : E ! F, e uma correspond^encia que associa a cada vetor v 2 E um vetor A(v) = A v = Av 2 F de modo que valham, para quaisquer u, v 2 E e 2 R, as relac~oes: (i) A(u + v) = Au + Av, (ii) A( v) = Av. O vetor A v chama-se imagem (ou transformado) de v pela transformac~ao A. 5 / 23

27. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Exemplo 1 1.1 Veri

28. car se as transformac~oes seguintes s~ao lineares (a) A : R2 ! R2 A(x; y) = (x + y; x y) (b) B : R2 ! R B(x; y) = xy 6 / 23

30. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Exemplo 1, veri

31. cando se a transformac~ao A e linear Devemos veri

32. car os itens (i) e (ii) da de

33. nic~ao de transformac~ao linear. Consideremos os vetores u = (a; b), v = (c; d) e o escalar 2 R. Temos que A(u + v) = A((a; b) + (c; d)) = A(a + c; b + d) = ((a + c) + (b + d); (a + c) (b + d)) = ((a + b) + (c + d); (a b) + (c d)) = (a + b; a b) + (c + d; c d) = A(a; b) + A(c; d) = A(u) + A(v) 7 / 23

81. cando se a transformac~ao A e linear Agora,considerando apenas o vetor u = (a; b) e o escalar 2 R, temos: A(u) = A((a; b)) = A(a; b) = (a + b; a b) = ((a + b); (a b) = (a + b; a b) = A(a; b) = A(u) 8 / 23

110. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Propriedades Seja A : E ! F uma transformac~ao linear: 1. A0 = 0, isto e, A leva o vetor 0 2 E no vetor 0 2 F. 2. A(u +

111. v) = A(u) + A(

112. v) = Au +

113. Av 3. A(1a1 + + mam) = 1Aa1 + + mAam 4. A(u) = Au 5. A(u v) = Au Av 9 / 23

116. v) = A(u) + A(

117. v) = Au +

121. v) = A(u) + A(

122. v) = Au +

126. v) = A(u) + A(

127. v) = Au +

131. v) = A(u) + A(

132. v) = Au +

136. v) = A(u) + A(

137. v) = Au +

141. v) = A(u) + A(

142. v) = Au +

145. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Soma e Produto por Escalar Sejam A; B : E ! F transformac~oes lineares, u 2 E e 2 R. De

146. nimos: A soma A + B : E ! F, como: (A + B)u = Au + Bu O Produto por Escalar A : E ! F, como: (A)u = Au 10 / 23

157. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Mais Sobre Transformac~oes Lineares Sejam L(E; F) o conjunto das transformac~oes lineares de E em F. O conjunto L(E; F), munido das operac~oes de soma e produto por um escalar, e um ESPACO VETORIAL. Quando, E = F usaremos a notac~ao L(E) para de

158. nir o conjunto das trans-forma c~oes lineares A : E ! E denominadas de OPERADORES LINEARES. As transformac~oes lineares : E ! R s~ao chamadas de FUNCIONAIS LINE-ARES. E seu conjunto e representado por E. O que torna as transformac~oes lineares t~ao manejaveis e que, para se conhecer A 2 L(E; F), basta que se saibam os valores A u que A assume nos vetores u 2 B, onde B e uma base de E. Por exemplo, quando E tem dimens~ao

159. nita, um numero

160. nito de valores A u1; ;A un atribudos arbitrariamente, de

161. nem uma transformac~ao linear A : E ! F. 11 / 23

199. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Teorema 1 Sejam E; F espacos vetoriais e B uma base de E. A cada vetor u 2 B, facamos corresponder (de maneira arbitraria) um vetor u0 2 F. Ent~ao existe uma unica transformac~ao linear A : E ! F tal que A u = u0 para cada u 2 B. 12 / 23

201. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Aplicac~ao do Teorema 1 Em virtude do Teorema 1, se quisermos de

202. nir uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm basta escolher, para cada j = 1; ; n, um vetor vj = (a1j ; a2j ; ; amj ) 2 Rm e dizer que vj = A ej e a imagem do j-esimo vetor da base can^onica, ej = (0; ; 1; ; 0), pela transformac~ao linear A. A partir da,

203. ca determinada a imagem A v de qualquer vetor v = (x1; ; xn) 2 Rn. 13 / 23

205. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Aplicac~ao do Teorema 1 Com efeito, tem-se v = (x1; ; xn) = x1e1 + + xnen, logo A v = A(x1e1 + + xnen) = A 0 @ Xn j=1 xj ej 1 A = Xn j=1 xjA ej , onde A ej = (a1j ; a2j ; ; amj ) = Xn j=1 (a1jxj ; a2jxj ; ; amjxj ). 14 / 23

219. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Aplicac~ao do Teorema 1 Assim, A v = 0 @ Xn j=1 a1jxj ; Xn j=1 a2jxj ; ; Xn j=1 amjxj 1 A, ou seja A(x1; x2; ; xn) = (y1; y2; ; ym), onde y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn ... ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn 15 / 23

227. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Matriz da Tranformac~ao Linear O sistema acima pode ser escrito como, 2 6664 y1 y2 ... ym 3 7775 = 2 6664 a11 a21 a1n a21 a22 a2n ... ... ... am1 am2 amn 3 7775 2 6664 x1 x2 ... xn 3 7775 Ou ainda, w = a v, onde: w = (x1; x2; ; xn) 2 Rn, v = (y1; y2; ; ym) 2 Rm a = [aij ] 2M(m n) 16 / 23

237. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Matriz da Tranformac~ao Linear Desta forma, uma transformac~ao linear A : Rn ! Rm

238. ca inteiramente determinada por uma matriz a = [aij ] 2M(m n) Diz-se que a = [aij ] e a MATRIZ DA TRANFORMAC ~AO A relativamente as bases can^onicas de Rn e Rm. Tem-se A ej = Xn j=1 aij ej (j = 1; n); onde os ej est~ao em Rn e os ei em Rm. 17 / 23

249. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario) Encontrar a transformac~ao linear da rotac~ao de um ^angulo no sentido ant-horario. 18 / 23

251. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario) Considere o comprimente do vetor v igual a r , ent~ao x0 = r cos( +

252. ) = r cos() cos() r sen() sen() Mas x = r cos() y = r sen() Ent~ao x0 = x cos() + y sen() Analogamente, y0 = x sen( + ) = r (sen() cos() + cos() sen() = y cos() + x sen() 19 / 23

278. a Transformac~oes Transformac~oes Lineares Matriz da Transformac~ao Linear Exemplo 2. Rotac~ao de um ^Angulo : (no sentido anti-horario) Assim, R(x; y) = (x cos() y sen(); y cos() + x sen() E mais, x0 y0 = cos() sen() sen() cos() x y Assim, a matriz de R relativa a base can^onica de R2 e cos() sen() sen() cos() 20 / 23

288. a Bibliogra

289. a [1] BOLDRINI, Jose Luiz et alii. Algebra Linear. 3. ed. S~ao Paulo, Harbra, 1984. [2] LIMA, E.L., Algebra Linear, IMPA/CNPq, Rio de Janeiro, RJ, 1995. [3] STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Algebra Linear. 2ed. S~ao Paulo: Pearson, 1987. 21 / 23

291. a 22 / 23

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