Bmath w4 Fungsi Eksponensial & Logaritma

28,606 views

Published on

Published in: Business, Sports
0 Comments
7 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
28,606
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3,918
Actions
Shares
0
Downloads
726
Comments
0
Likes
7
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bmath w4 Fungsi Eksponensial & Logaritma

  1. 1. FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA BESERTA APLIKASINYA Week 4 Prepared by Rofi & Anna | www.slideshare.net/natriumz | anna_riana@yahoo.com
  2. 2. PERBANDINGAN ANTAR JENIS FUNGSI X 0 1 2 3 4 5 y = 2x 0 2 4 6 8 10 ( y/ x) 2 2 2 2 2 ( y/ x)/y - 100% 50% 33.33% 25% y = x2 0 1 4 9 16 25 ( y/ x) 1 3 5 7 9 ( y/ x)/y - 300% 125% 77.78% 56.25% y = 2x 1 2 4 8 16 32 ( y/ x) 1 2 4 8 16 ( y/ x)/y 100% 100% 100% 100% 100% y = ex 1 2.72 7.40 20.12 54.74 148.88 ( y/ x) 1.72 4.68 12.73 34.61 94.15 ( y/ x)/y 172% 172% 172% 172% 172% 2 www.slideshare.net/natriumz
  3. 3. KESIMPULAN Fungsi linier menggambarkan fenomena pertumbuhan/peluruhan dengan tingkat perubahan konstan. Fungsi kuadrat menggambarkan fenomena pertumbuhan/peluruhan dengan tingkat perubahan yang meningkat. Fungsi eksponensial menggambarkan fenomena pertumbuhan /peluruhan dengan persentase tetap. 3 www.slideshare.net/natriumz
  4. 4. CONTOH 1. Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh dari zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 miligram zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu yang tersisa dalam darah setelah: a) 1 jam ? b) 2 jam ? c) 3 jam ? Jawab: 1 jam : A=100.(1/2) = 100.(1/2)1 =50mg 2 jam : A=100.(1/2)(1/2) = 100.(1/2)2 =25mg 3 jam : A=100.(1/2)(1/2)(1/2) = 100.(1/2)3 =12,5mg A = 100.(1/2)t 4 www.slideshare.net/natriumz
  5. 5. FUNGSI EKSPONENSIAL Fungsi yang variabel independennya (x) merupakan pangkat dari suatu konstanta. Contoh: y = 2x, y = 10x, y = 2(3x), y = 5(23x) Bentuk umum : y = a(bcx) a = intercept (titik potong dengan sumbu y) b = basis c = bagian dari basis 5 www.slideshare.net/natriumz
  6. 6. FUNGSI EKSPONENSIAL PANGKAT (-X) y = 2-x y = 3-x pangkat negatif bisa dihilangkan: x x −x −1 x 1 −x −1 x 1 y=2 = (2 ) =   y=3 = (3 ) =   2 3 Jadi : fungsi eksponensial pangkat negatif = fungsi eksponensial pangkat positif, dgn basis : 0<b<1 (basis bilangan pecahan). Aplikasi : y = bx menggambarkan pertumbuhan (growth) y = b-x menggambarkan peluruhan (decay) 6 www.slideshare.net/natriumz
  7. 7. KARAKTERISTIK FUNGSI EKSPONENSIAL m n m+n m/n n 1. b .b = b 5. b = bm 2. b b m n =b m+n b≠0 6. n m n m b = b ( ) mn 3. (b ) =b m.n 7. 0 b =1 b≠0 m m m -m 1 4. a .b = (ab ) 8. b = b≠0 bm www.slideshare.net/natriumz
  8. 8. SKETSA FUNGSI EKSPONEN f(x) f(x)=3-x f(x)=3x f(x)=2-x f(x)=2x 1 x 8 www.slideshare.net/natriumz
  9. 9. FUNGSI EKSPONEN BERBASIS e Dalam praktek ada suatu basis khusus yang sering dipergunakan yaitu basis e = 2,71828…, misal y = ex Bentuk umum: y = a.ebx Jika uang Rp. 1, didepositokan dengan bunga majemuk 100% per tahun, selama 1 tahun, dimajemukkan sebanyak m per tahun, maka: m=1 FV = (1)(1+1/1)1 = (1+1) m=2 FV = (1)(1+1/2) 2 = (1+1/2)2 m=3 FV = (1)(1+1/3) 3 = (1+1/3)3 Jadi untuk pemajemukan m kali setahun FV = (1 + 1/m)m Bila bunga dibayar setiap periode yang sangat pendek (mendekati 0) maka m menjadi mendekati ~ , sehingga : FV = lim (1 + 1/m)m = 2,71828 = e m→~ 9 www.slideshare.net/natriumz
  10. 10. PENGGUNAAN FUNGSI e Fungsi e biasanya digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan (growth) atau peluruhan (decay) yang berlangsung secara kontinyu dengan persentase perubahan konstan. Contoh: pertumbuhan penduduk, peluruhan radio aktif, pertumbuhan dana simpanan majemuk dengan bunga kontinyu dsb. 10 www.slideshare.net/natriumz
  11. 11. LOGARITMA Logaritma adalah pangkat yang harus diberikan kepada suatu angka agar didapat bilangan tertentu. “suatu angka” tersebut merupakan basis dari logaritma. Contoh: 2log 8 = ….. 2 harus diberi pangkat berapa agar hasilnya 8 ? Jawab: 3 blog y=x ↔ bx = y, dengan syarat b > 0 dan b ≠ 1 b merupakan basis logaritma sekaligus eksponen yang terkait Sebenarnya semua angka bisa dijadikan basis logaritma, tapi yang paling banyak digunakan hanya 2 angka, yaitu: Basis10 : 10log x = log x = ….. Basis 2,71828 : elog x = ln x = ….. 11 www.slideshare.net/natriumz
  12. 12. SIFAT-SIFAT LOGARITMA blog u.v = blog u + blog v blog u/v = blog u - blog v blog un = n.blog u blog b = 1 blog 1 = 0; log 1= 0; ln 1= 0 blog bx = x ln x2 + ln x = 9 Berapa x ? Jawab: 3 ln x = 9 ln x = 3 x = e3 = 2,718283 = 20,0855 e2x = 5 Berapa x ? Jawab: ln e2x = ln 5 2x ln e = 1,6094 2x = 1,6094 x = 0,8047 12 www.slideshare.net/natriumz
  13. 13. KONVERSI FUNGSI EKSPONEN MENJADI BERBASIS-e 2. Ubahlah fungsi y = f(x) = 3x menjadi fungsi berbasis e. Buktikan dengan x=2 dan x=3. Jawab: y = 3x = (en)x 3 = en (cari n) ln 3 = ln en ln 3 = n ln e 1,0986 = n → 3 = e1,0986 Jadi y = 3x → y = e1,0986x Bukti: y= 32 = 9 y = e1,0986.2 = e2,1972 =8,999 y = 33 = 27 y = e1,0986.3 = e3,2958 =26,999 13 www.slideshare.net/natriumz
  14. 14. CONTOH APLIKASI FUNGSI EKSPONEN (1) Sejumlah dana yang disimpan di Bank dengan bunga majemuk kontinyu akan tumbuh secara kontinyu sesuai fungsi Pt = P0 . eit, dengan pemisalan : Pt = Jumlah dana setelah t periode P0= Jumlah dana mula-mula i = Tingkat bunga (pertumbuhan dana) Contoh : 3. Uang $1000 disimpan di bank dgn bunga 8% per tahun selama 25 tahun, dengan bunga diperhitungkan secara kontinyu. Berapa nilai uang pada akhir tahun ke 25 ? Jawab : Pt = P0.eit = 1000.e0,08x25 = 1000 x 7,389056 = $7.389,056 14 www.slideshare.net/natriumz
  15. 15. CONTOH APLIKASI FUNGSI EKSPONEN (2) 4. Di tahun 1970 jumlah penduduk Negara X ada 100 juta orang. Bila pertambahan penduduk 4% per tahun, berapa jumlah penduduk itu pada akhir tahun 1995 ? Pt = P0.ert (pertumbuhan pend. terjadi secara kontinyu) = 100. e0,04x25 = 100 x 2,71828 = 271,828 juta orang Kelanjutan soal di atas, pada tahun berapa penduduk negara itu menjadi dua kali lipat? Jawab: P = P0.e0,04t 2P0 = P0.e0,04t 2 = e0,04t ln 2 = ln e0,04t ln 2 = 0,04 t t = ln 2 / 0,04 = 0,693147 / 0,04 = 17,32 tahun. 15 www.slideshare.net/natriumz
  16. 16. CONTOH APLIKASI FUNGSI EKSPONEN (3) 5. Mesin-mesin pada suatu industri diketahui nilainya mengikuti fungsi V(t) = 100.000.e-0,1t. a. Berapa nilai mesin itu mula-mula ? b. Berapa nilai mesin itu pada akhir tahun ke 5 ? Jawab Nilai mesin pada : t=0 V(0) = 100.000.e-0,1x0 = 100.000 t=5 V(5) = 100.000.e-0,1x5 = 100.000 x 0,606531 = $60.653 16 www.slideshare.net/natriumz
  17. 17. CONTOH APLIKASI FUNGSI EKSPONEN (4) 6. Diketahui bahwa persentase piutang yang sudah tertagih dalam waktu t bulan setelah piutang diberikan bisa dirumuskan dgn fungsi P = 0,95(1-e-0,7t), maka : a. Pada saat kredit diberikan, berapa persen yg sudah tertagih? b. Berapa persen piutang yg sudah tertagih 1 bulan setelah kredit diberikan ? c. Berapa persen piutang yg sudah tertagih 2 bulan setelah kredit diberikan ? d. Bila penagihan dilakukan terus-menerus sampai waktu tak terhingga, berapa persen piutang yang akan tertagih? 17 www.slideshare.net/natriumz
  18. 18. Jawaban No. 6 a. Pada saat kredit diberikan: t = 0 P = 0,95(1-e-0,7x0) =0,95(1-1) = 0%. Jadi ketika kredit baru diberikan tentu saja belum ada yang tertagih. b. Satu bulan setelah kredit diberikan: t = 1 P = 0,95(1-e-0,7x1) =0,95(1-e-0,7) = 0,95(1-0,496585) =0,95(0,503415) = 47,82%. c. Dua bulan setelah kredit diberikan: t = 2 P = 0,95(1-e-0,7x2) =0,95(1-e-1,4) = 0,95(1-0,246597) =0,95(0,753403)=71,57% 18 www.slideshare.net/natriumz
  19. 19. PEMBENTUKAN PERSAMAAN EKSPONENSIAL 7. Dalam percobaan terhadap suatu jenis bakteri diketahui adanya perkembangbiakan bakteri secara eksponensial dan kontinyu. Berdasarkan pengamatan diketahui bahwa pada hari ke 16 jumlah bakteri adalah 325 dan pada hari ke 25 sebanyak 800. Tentukan persamaan: Pt = f(t) = P0 . ert dimana: Pt = jumlah bakteri pada hari ke t P0 = jumlah bakteri mula-mula r = tingkat pertumbuhan jumlah bakteri per hari 19 www.slideshare.net/natriumz
  20. 20. Jawaban No. 7: Yang harus dicari adalah parameter P0 dan i. Pt = P0eit 325 = P0e16i → ln 325 = ln P0e16i = ln P0 + ln e16i ln 325 = ln P0 + 16i.ln e 5,7838 = ln P0 + 16i ………………………….. (a) 800 = P0e25i → ln 800 = ln P0e25i = ln P0 + ln e25i ln 800 = lnP0 + 25i.ln e 6,6846 = ln P0 + 25i ………………………….. (b) Eliminasi (a) & (b) → 0,9008 = 9i → i = 0,1001 325 = P0 . e16 x 0.1001 325 = 4.961P0 C0 ≈ 66 Jadi: C = 66e0,1001t 20 www.slideshare.net/natriumz
  21. 21. JUMLAH PEGAWAI OPTIMAL 8. Sebuah perusahaan asuransi sedang memikirkan jumlah pegawai yang optimal untuk memproses klaim dari para nasabah. Setelah di analisis, ternyata biaya rata-rata (C) untuk memproses klaim bergantung pada jumlah pegawai (x), yang dinyatakan dengan fungsi: C = 0,001x2 – 5 ln x + 60. Tentukan besarnya biaya rata-rata bila jumlah pegawai yang menangani: a) 20 orang; b) 50 orang; c) 70 orang d) Berapa kira-kira jumlah pegawai yang optimum ? Jawab : a) C(20) = 0,001.202 – 5 ln 20 + 60 = 45,42 b) C(50) = 0,001.502 – 5 ln 50 + 60 = 42,94 c) C(70) = 0,001.702 – 5 ln 70 + 60 = 43,66 21 www.slideshare.net/natriumz
  22. 22. Grafik C =f(x)= 0,001x2 – 5 ln x + 60 70.00 60.00 50.00 40.00 Series1 30.00 20.00 10.00 0.00 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 22 www.slideshare.net/natriumz
  23. 23. Download : www.slideshare.net/natriumz 23 www.slideshare.net/natriumz

×