Apostila funções

224 views
131 views

Published on

Funções

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
224
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Apostila funções

  1. 1. ´ ´ UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Campus Corn´lio Proc´pio e o FUNCOES ¸˜ ARMANDO PAULO DA SILVA FERNANDO BRITO GABRIELA CASTRO SILVA CAVALHEIRO ´ MARCIA REGINA PIOVESAN THIAGO DE SOUZA PINTO Corn´lio Proc´pio - PR, 2012 e o
  2. 2. Sum´rio a 1. Fun¸oes c˜ 4 1.1. Opera¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 6 1.2. Fun¸oes especiais c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Fun¸ao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 8 1.2.2. Fun¸ao identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 8 1.2.3. Fun¸ao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 9 1.2.4. Fun¸ao m´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 10 1.2.5. Fun¸ao quadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a 10 1.2.6. Fun¸ao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 11 1.2.7. Fun¸ao racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 12 1.28. Fun¸ao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 13 1.2.9. Fun¸ao logar´ c˜ ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Fun¸oes trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 15 1.3.1. Fun¸ao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 15 1.3.2. Fun¸ao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 16 1.3.3. Fun¸ao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 17 1.3.4. Fun¸ao cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 18 1.3.5. Fun¸ao secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 19 1.3.6. Fun¸ao cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 20 1.4. Fun¸oes hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 21 1.4.1. Seno hiperb´lico e cosseno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . . o o 22 1.4.2. Fun¸oes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperb´licas . . c˜ o 22 1.5. Fun¸ao peri´dica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ o 24 2
  3. 3. 1.6. Fun¸ao par e fun¸ao ´ c˜ c˜ ımpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7. Fun¸ao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 25 1.7.1. Fun¸ao sobrejetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 26 1.7.2. Fun¸ao injetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 26 1.7.3. Fun¸ao bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 27 2. Aplica¸oes c˜ 31 Referˆncias e 35
  4. 4. 1. Fun¸oes c˜ Antes de definirmos formalmente o que ´ uma fun¸ao, podemos pensar em um valor e c˜ que depende de outro. Por exemplo: 1. Uma rela¸ao que expresse a area de um quadrado em fun¸ao do comprimento do c˜ ´ c˜ lado. 2. A area A de um c´ ´ ırculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A ´ dada pela e equa¸ao A = πr 2 . A cada n´mero real r positivo existe associado um unico valor c˜ u ´ de A, e dizemos que A ´ uma fun¸ao de r. e c˜ Defini¸˜o: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma fun¸ao f : A → B ´ uma lei ou ca c˜ e regra que a cada elemento de A faz corresponder um unico elemento de B. O conjunto ´ A ´ chamado dom´ e ınio de f e ´ denotado por D(f ). B ´ chamado de contra-dom´ e e ınio ou campo de valores de f . Escrevemos: f :A→B x → f (x) IMPORTANTE: a) n˜o deve haver exce¸oes: se f tem o conjunto A como dom´ a c˜ ınio, a regra deve fornecer f (x) para todo x ∈ A; b) n˜o deve haver ambig¨idades: a cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um unico a u ´
  5. 5. 5 f (x) ∈ B. Exemplos: 1. Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. (a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo ´ uma fun¸ao. e c˜ (b) g : A → B x→x+1 ´ uma fun¸ao de A em B. e c˜ 2. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. (a) f : A → B dada pelo diagrama abaixo n˜o ´ uma fun¸ao de A em B. a e c˜ (b) g : A → B x→x−3 N˜o ´ uma fun¸ao de A em B, pois o elemento 3 ∈ A n˜o tem correspondente a e c˜ a em B.
  6. 6. 6 Defini¸˜o: Seja f : A → B. ca i) Dado x ∈ A, o elemento f (x) ∈ B ´ chamado de valor da fun¸ao f no ponto x ou e c˜ de imagem de x por f . ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela fun¸ao ´ chamado conjunto imagem c˜ e de f e ´ denotado por Im(f ). e CUIDADO! a) N˜o se deve confundir f com f (x): f ´ a fun¸ao, enquanto que f (x) ´ a imagem que a e c˜ e a fun¸ao assume em x. c˜ b) N˜o confunir f (x) com f (A): f (x) ´ a imagem de x ∈ A por f , enquanto f (A) ´ o a e e conjunto {f (x) ∈ B|x ∈ A} que ´ a imagem direta de A por f (ou simplesmente, a imagem de f ). e Defini¸˜o: Seja f uma fun¸ao. O gr´fico de f ´ o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) ca c˜ a e de um plano coordenado, onde x pertence ao dom´ ınio de f . G(f ) = {(x, f (x)) | x ∈ D(f )}. 1.1. Opera¸oes c˜ Defini¸˜o: Dadas as fun¸oes f e g, sua soma f + g, diferen¸a f − g, produto f · g e ca c˜ c quociente f /g, s˜o definidas por: a i) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ii) (f − g)(x) = f (x) − g(x)
  7. 7. 7 iii) (f · g)(x) = f (x) · g(x) f (x) f , desde que g(x) = 0. iv) ( )(x) = g g(x) O dom´ ınio das fun¸oes f + g, f − g, f · g ´ a intersec¸ao dos dom´ c˜ e c˜ ınios de f e g. O dom´ ınio de f /g ´ a intersec¸ao dos dom´ e c˜ ınios de f e g, excluindo-se os pontos onde g(x) = 0. Defini¸˜o: Se f ´ uma fun¸ao e k ´ um n´mero real, definimos a fun¸ao kf por ca e c˜ e u c˜ (kf (x)) = kf (x). O dom´ ınio de kf coincide com o dom´ ınio de f . Defini¸˜o: Dadas duas fun¸oes f e g, a fun¸ao composta de g com f , denotada por ca c˜ c˜ g ◦ f , ´ definida por e (g ◦ f )(x) = g(f (x)). O dom´ de g ◦ f ´ o conjunto de todos os pontos x no dom´ de f tais que f (x) est´ ınio e ınio a no dom´ ınio de g. Simbolicamente, D(g ◦ f ) = {x ∈ D(f ) | f (x) ∈ D(g)}. Veja o diagrama abaixo:
  8. 8. 8 1.2. Fun¸oes especiais c˜ Veremos agora algumas fun¸oes importantes, bem como suas principais caracter´ c˜ ısticas. 1.2.1. Fun¸˜o constante ca ´ E toda fun¸ao do tipo f (x) = k, que associa a qualquer n´mero real x um mesmo c˜ u n´mero real k. A representa¸ao gr´fica ser´ sempre uma reta paralela ao eixo dos x, u c˜ a a passando por y = k. • O dom´ ınio da fun¸ao f (x) = k ´ D(f ) = R. c˜ e • O conjunto imagem ´ o conjunto unit´rio Im(f ) = {k}. e a 1.2.2. Fun¸˜o identidade ca ´ E a fun¸ao f : R → R definida por f (x) = x. c˜ • O gr´fico desta fun¸ao ´ uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. a c˜ e • O dom´ ınio de f (x) = x ´ D(f ) = R e
  9. 9. 9 • O conjunto imagem ´ Im(f ) = R. e 1.2.3. Fun¸˜o do primeiro grau ca Fun¸ao do primeiro grau ´ toda fun¸ao que associa a cada n´mero real x o n´mero c˜ e c˜ u u real ax + b, a = 0. Os n´meros reais a e b s˜o chamados, respectivamente, de coeficiente u a angular e linear. Uma fun¸ao f ´ crescente quando, a medida que x cresce, f (x) tamb´m c˜ e ` e cresce. Quando f (x) decresce a medida que x cresce, dizemos que a fun¸ao ´ ` c˜ e decrescente. Quando a > 0, a fun¸ao f (x) = ax + b ´ crescente e quando a < 0, a fun¸ao c˜ e c˜ f (x) = ax + b ´ decrescente. e A fun¸ao f (x) = ax + b, a, b ∈ R ´ chamada de fun¸ao afim por muitos autores. Os c˜ e c˜ seguintes casos s˜o casos particulares: a i) Fun¸ao do primeiro grau, quando a = 0. c˜ ii) Fun¸ao linear, quando a = 0 e b = 0. c˜ iii) Fun¸ao constante, quando a = 0. c˜
  10. 10. 10 1.2.4. Fun¸˜o m´dulo ca o A fun¸ao definida por y = |x| chama-se fun¸ao m´dulo. O seu dom´ c˜ c˜ o ınio ´ o conjunto e D(f ) = R e o conjunto imagem ´ Im(f ) = [0, +∞]. e • O gr´fico de f (x) = |x| ´ a e 1.2.5. Fun¸˜o quadr´tica ca a A fun¸ao f : A → B dada por f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, ´ chamada fun¸ao do c˜ e c˜ segundo grau ou fun¸ao quadr´tica. c˜ a • O dom´ ınio de f ´ D(f ) = R. e • O gr´fico de uma fun¸ao quadr´tica ´ uma par´bola com eixo de simetria paralelo ao a c˜ a e a eixo dos y. Se o coeficiente de x2 for positivo (a > 0), a par´bola tem a concavidade a voltada para cima. Se a < 0, a par´bola tem a concavidade voltada para baixo. a • A intersec¸ao do eixo de simetria com a par´bola ´ um ponto chamado v´rtice, o qual c˜ a e e ´ dado por e V = (− ∆ b , − ). 2a 4a
  11. 11. 11 • A intersec¸ao da par´bola com o eixo dos x define os zeros da fun¸ao. No quadro c˜ a c˜ seguinte caracterizamos as diversas possibilidades. 1.2.6. Fun¸˜o polinomial ca ´ E a fun¸ao f : R → R definida por f (x) = a0 + ax + a2 x2 + . . . + an xn , onde c˜ 1 a0 , a1 , a2 , . . . , an , a0 = 0, s˜o n´meros reais chamados coeficientes e n inteiro n˜o negativo, a u a determina o grau da fun¸ao. c˜ • O dom´ ´ sempre o conjunto dos n´meros reais. ınio e u • O gr´fico da fun¸ao polinomial ´ uma curva que pode apresentar pontos de m´ximos e a c˜ e a m´ ınimos.
  12. 12. 12 Exemplos: 1. A fun¸ao constante f (x) = k ´ uma fun¸ao polinomial de grau zero. c˜ e c˜ 2. A fun¸ao f (x) = ax + b, a = 0 ´ uma fun¸ao polinomial de 10 grau. c˜ e c˜ 3. A fun¸ao quadr´tica f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, ´ uma fun¸ao polinomial do 20 c˜ a e c˜ grau. 4. A fun¸ao f (x) = 5x2 − 6x + 7 ´ uma fun¸ao polinomial de grau 5. c˜ e c˜ 1.2.7. Fun¸˜o racional ca p(x) ´ , E a fun¸ao definida como o quociente de duas fun¸oes polinomiais, isto ´, f (x) = c˜ c˜ e q(x) onde p(x) e q(x) s˜o polinˆmios e q(x) = 0. a o • O dom´ ınio da fun¸ao racional ´ o conjunto dos n´meros reais excluindo aqueles x tais c˜ e u que q(x) = 0. Exemplos: 1. A fun¸ao f (x) = c˜ x−1 ´ fun¸ao racional de dom´ e c˜ ınio D(f ) = R − {−1}. x+1
  13. 13. 13 2. A fun¸ao f (x) = c˜ (x2 + 3x − 4)(x2 − 9) ´ racional de dom´ D(f = R−{−4, −3, 3} e ınio (x2 + x − 12)(x + 3) 1.2.8. Fun¸˜o exponencial ca Chamamos de fun¸ao exponencial de base a a fun¸ao f de R em R que associa a cada c˜ c˜ x real o n´mero real ax , sendo a um n´mero real, 0 < a = 1. u u • O dom´ ınio da fun¸ao exponencial ´ D(f ) = R. c˜ e • A imagem da fun¸ao exponencial ´ Im(f ) = (0, ∞). c˜ e • Com rela¸ao ao gr´fico da fun¸ao f (x) = ax podemos afirmar: c˜ a c˜ 1. a curva que o representa est´ toda acima do eixo das abcissas, pois y = ax > 0 para a todo x ∈ R; 2. corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1); 3. f (x) = ax ´ crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. e
  14. 14. 14 1.2.9. Fun¸˜o logar´ ca ıtmica Dado um n´mero real a (0 < a = 1), chamamos fun¸ao logar´ u c˜ ıtmica de base a a fun¸ao c˜ u de R∗ em R que se associa a cada x o n´mero loga x. + • D(f ) = R∗ e Im(f ) = R. + • Com rela¸ao ao gr´fico da fun¸ao f (x) = loga x, (0 < a = 1) podemos afirmar: c˜ a c˜ 1. est´ todo a direita do eixo y; a ` 2. corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0); 3. f (x) = loga x ´ crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1; e
  15. 15. 15 1.3. Fun¸oes trigonom´tricas c˜ e 1.3.1. Fun¸˜o seno ca Seja x um n´mero real. Marcamos um angulo com medida x radianos na circunu ˆ ferˆncia unit´ria com centro na origem. e a Seja P o ponto de intersec¸ao do lado terminal do angulo x, com essa circunferˆncia. c˜ ˆ e Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P em rela¸ao ao sistema U OV . c˜ Definimos a fun¸ao seno como a fun¸ao de R em R que a cada x ∈ R faz corresponder c˜ c˜ o n´mero real y = sen x. u • O dom´ ınio da fun¸ao seno ´ R e o conjunto imagem ´ o interevalo [−1, 1] c˜ e e • Em alguns intervalos sen x ´ crescente e em outros ´ decrescente. Por exemplo: nos e e 3π π 3π π e a e intervalos [0, ] e [ , 2π] sen x, ´ crescente. J´ no intervalo, [ , ] ela ´ decrescente. 2 2 2 2 • O gr´fico da fun¸ao f (x) = sen(x) ´ denominado sen´ide. a c˜ e o
  16. 16. 16 1.3.2. Fun¸˜o cosseno ca Seja x um n´mero real. Denominamos cosseno de x a absissa OP2 do ponto P em u rela¸ao ao sistema U OV . c˜ Definimos a fun¸ao cosseno como a fun¸ao f de R em R que a cada x ∈ R faz c˜ c˜ corresponder o n´mero real y = cos x. u • O dom´ ınio da fun¸ao cosseno ´ R e o conjunto imagem ´ o intervalo [−1, 1] c˜ e e • Em alguns intervalos cos x ´ crescente e em outros ´ decrescente. Por exemplo, no e e intervalo [0, π] a fun¸ao f (x) = cos x ´ decrescente. J´ no intervalo [π, 2π], ela ´ crescente. c˜ e a e
  17. 17. 17 • O gr´fico da fun¸ao f (x) = cos x ´ denominado cossen´ide. a c˜ e o 1.3.3. Fun¸˜o tangente ca Definimos a fun¸ao tangente como a fun¸ao f de R − { c˜ c˜ π + kπ, k ∈ Z} em R que a 2 cada x ∈ R faz corresponder o n´mero real y = tg x. u π • O dom´ da fun¸ao tangente ´ R − { + kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem ´ o conjunto ınio c˜ e e 2 R • O gr´fico da fun¸ao tg x ´ da seguinte forma: a c˜ e
  18. 18. 18 1.3.4. Fun¸˜o cotangente ca Definimos a fun¸ao cotangente como a fun¸ao f de R − {kπ, k ∈ Z} em R que a cada c˜ c˜ x ∈ R faz corresponder o n´mero real y = cotg x. u • O dom´ ınio da fun¸ao cotangente ´ R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem ´ o conjunto c˜ e e R • O gr´fico da fun¸ao cotg x ´ da seguinte forma: a c˜ e
  19. 19. 19 1.3.5. Fun¸˜o secante ca π Definimos a fun¸ao secante como a fun¸ao f de R − { + kπ, k ∈ Z} em R que a cada c˜ c˜ 2 x ∈ R faz corresponder o n´mero real y = sec x. u • O dom´ ınio da fun¸ao cotangente ´ R − { c˜ e conjunto (−∞, 1] π + kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem ´ o e 2 [1, +∞) • O gr´fico da fun¸ao sec x ´ da seguinte forma: a c˜ e
  20. 20. 20 1.3.6. Fun¸˜o cossecante ca Definimos a fun¸ao cossecante como a fun¸ao f de R − {kπ, k ∈ Z} em R que a cada c˜ c˜ x ∈ R faz corresponder o n´mero real y = cossec x. u • O dom´ ınio da fun¸ao cotangente ´ R − {kπ, k ∈ Z} e o conjunto imagem ´ o conjunto c˜ e e (−∞, 1] [1, +∞) • O gr´fico da fun¸ao cossec x ´ da seguinte forma: a c˜ e
  21. 21. 21 1.4. Fun¸oes hiperb´licas c˜ o As express˜es exponenciais o ex − e−x 2 e ex + e−x 2 ocorrem freq¨entemente na Matem´tica Aplicada. u a Estas express˜es definem, respectivamnte, as fun¸oes seno hiperb´lico de x e cosseno o c˜ o hiperb´lico de x. O comportamento dessas fun¸oes nos leva a fazer uma analogia com as o c˜ fun¸oes trigonom´tricas. c˜ e
  22. 22. 22 1.4.1. Seno hiperb´lico e cosseno hiperb´lico o o A fun¸ao seno hiperb´lico, denotada por senh, e a fun¸ao cosseno hiperb´lico, denoc˜ o c˜ o tada por cosh, s˜o definidas, respectivamente por a senh x = ex − e−x 2 e cosh x = ex + e−x . 2 O dom´ ınio e a imagem das fun¸oes senh e cosh s˜o: c˜ a D(senh) = (−∞, +∞), D(cosh) = (−∞, +∞), Im(senh) = (−∞, +∞) e Im(cosh) = [1, +∞). 1.4.2. Fun¸oes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperb´licas c˜ o As fun¸oes tangente, cotangente, secante e cossecante hiperb´licas, denotadas respecc˜ o tivamente pot tgh, cotgh, sech e cosech s˜o definidas por: a • tgh x = senh x ex − e−x , = x cosh x e + e−x
  23. 23. 23 • cotgh x = • sech x = cosh x ex + e−x = x , senh x e − e−x 1 2 , = x cosh x e + e−x
  24. 24. 24 • cosech x = 1 2 = x senh x e − e−x 1.5. Fun¸˜o peri´dica ca o Dizemos que uma fun¸ao ´ f ´ peri´dica se existe um n´mero real T = 0 tal que c˜ e e o u f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ D(f ). • O n´mero T ´ chamado per´ u e ıodo da fun¸ao f . c˜ • O gr´fico de uma fun¸ao peri´dica se repete a cada intervalo de comprimento |T |. a c˜ o Exemplos: 1. As fun¸oes trigonom´tricas s˜o peri´dicas. c˜ e a o 2. A fun¸ao constante ´ peri´dica e tem como per´ c˜ e o ıodo qualquer n´mero t = 0. u
  25. 25. 25 3. 1.6. Fun¸˜o par e fun¸˜o ´ ca ca ımpar Dizemos que uma fun¸ao f ´ par se, para todo x no dom´ c˜ e ınio de f , f (−x) = f (x). Uma fun¸ao ´ ´ c˜ e ımpar se, para todo x no dom´ ınio de f , f (−x) = −f (x). • O gr´fico de uma fun¸ao par ´ sim´trico em rela¸ao ao eixo dos y e o gr´fico de uma a c˜ e e c˜ a fun¸ao ´ c˜ ımpar ´ sim´trico em rela¸ao a origem. e e c˜ ` 1.7. Fun¸˜o inversa ca Para falarmos de fun¸ao inversa, precisamos antes estudar os conceitos de fun¸ao c˜ c˜ sobrejetora, fun¸ao injetora e fun¸ao bijetora. c˜ c˜
  26. 26. 26 1.7.1. Fun¸˜o sobrejetora ca Defini¸˜o: Uma fun¸ao f de A em B ´ sobrejetora se, e somente se, para todo y ca c˜ e pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que f (x) = y. Em s´ ımbolos: f : A → B, ´ sobrejetora ⇔ ∀y, y ∈ B, ∃x, x ∈ A|f (x) = y. e Note que f : A → B ´ sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B. e Teorema: Se duas fun¸oes f de A em B e g de B em C s˜o sobrejetoras, ent˜o a fun¸ao c˜ a a c˜ composta g ◦ f de A em C ´ tamb´m sobrejetora. e e 1.7.2. Fun¸˜o injetora ca Defini¸˜o: Uma fun¸ao f de A em B ´ injetora se, e somente se, quaisquer que sejam ca c˜ e x1 e x2 de A, se x1 = x2 , ent˜o f (x1 ) = f (x2 ). a Em s´ ımbolos: f : A → B, ´ injetora ⇒ (∀x1 , x1 ∈ A, ∀x2 , x2 ∈ A)(x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )). e Note que esta defini¸ao ´ equivalente a: uma fun¸ao f de A em B ´ injetora se, e c˜ e c˜ e somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, se f (x1 ) = f (x2 ), ent˜o x1 = x2 . a Em s´ ımbolos: f : A → B, ´ injetora ⇒ (∀x1 , x1 ∈ A, ∀x2 , x2 ∈ A)(f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ). e
  27. 27. 27 Teorema: Se duas fun¸oes f de A em B e g de B em C s˜o injetoras, ent˜o a fun¸ao c˜ a a c˜ composta g ◦ f de A em C ´ tamb´m injetora. e e 1.7.3. Fun¸˜o bijetora ca Defini¸˜o: Uma fun¸ao f de A em B ´ bijetora se, e somente se, f ´ sobrejetora e ca c˜ e e injetora. Esta defini¸ao ´ equivalente a: uma fun¸ao f de A em B ´ bijetora se, e somente se, c˜ e c˜ e para qualquer elemento y pertencente a B, existe um unico elemento x pertencente a A ´ tal que f (x) = y. Reconhecimento atrav´s do gr´fico: Pela representa¸ao cartesiana de uma fun¸ao f e a c˜ c˜ podemos verificar se f ´ injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos e o n´mero de pontos de intersec¸ao das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada u c˜ ponto (0, y) em que y ∈ B (contradom´ ınio de f ). • se nenhuma reta corta o gr´fico mais de uma vez, ent˜o f ´ injetora. a a e • se toda reta corta o gr´fico, ent˜o f ´ sobrejetora. a a e • se toda reta corta o gr´fico em um s´ ponto, ent˜o f ´ bijetora. a o a e Exemplos: 1. Dado a ∈ R, 0 < a = 1, as fun¸oes f : R → R∗ , onde f (x) = ax , e g : R∗ → R, c˜ + + onde g(x) = loga x, s˜o inversas uma da outra. a 2. Fun¸ao arco seno c˜ π π Seja f : [− , ] → [−1, 1], a fun¸ao definida por f (x) = sen x. A fun¸ao inversa c˜ c˜ 2 2 de f (x) ser´ chamada arco seno e denotada por a π π f −1 : [−1, 1] → [− , ], onde f −1 (x) = arc sen x. 2 2
  28. 28. 28 Simbolicamente, para − π π ≤y≤ , 2 2 y = arc sen x ⇔ sen y = x 3. Fun¸ao arco cosseno c˜ Seja f : [0, π] → [−1, 1], a fun¸ao definida por f (x) = cos x. A fun¸ao inversa de c˜ c˜ f (x) ser´ chamada arco cosseno e denotada por a f −1 : [−1, 1] → [0, π], onde f −1 (x) = arc cos x. Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π, y = arc cos x ⇔ sen y = x 4. Fun¸ao arco tangente c˜ A inversa da fun¸ao tangente ´ definida para todo n´mero real. c˜ e u π π c˜ c˜ Seja f : (− , ) → R, a fun¸ao definida por f (x) = tg x. A fun¸ao inversa de f (x) 2 2
  29. 29. 29 ser´ chamada arco tangente e denotada por a π π f −1 : (− , ) → R, onde f −1 (x) = arc tg x. 2 2 Simbolicamente, para − π π <y< , 2 2 y = arc tg x ⇔ tg y = x 5. Outras fun¸oes trigonom´tricas inversas c˜ e Podemos definir a fun¸ao inversa da cotangente como c˜ y = arc cotg x = π − arc tg x, 2 onde 0 < y < π. As inversas da secante e da cossecante ser˜o fun¸oes de x no dom´ |x| ≥ 1, desde a c˜ ınio que adotemos as defini¸oes: c˜ 1 y = arc sec x = arc cos ( ) x 1 y = arc cosec x = arc sen ( ) x
  30. 30. 30
  31. 31. 2. Aplica¸oes c˜ Nas mais diversas areas utilizam-se fun¸oes para a compreens˜o de fenˆmenos e re´ c˜ a o solu¸ao de problemas. Formalmente podemos dizer que estamos modelando o mundo c˜ ´ ao nosso redor. E claro que essa afirma¸ao n˜o ´ completamente verdadeira, pois o c˜ a e mundo ao nosso redor ´ altamente complexo e ao trabalharmos com um modelo fazemos e simplifica¸oes para reduzir essa complexidade. c˜ Em geral, os modelos s˜o validados para que sejam efetivamente aplic´veis como a a ferramentas para entender e analisar diferentes fenˆmenos. Os exemplos apresentados o aqui s˜o did´ticos e, portanto, n˜o foram necessariamente validados. a a a Exemplos: 1. O pre¸o de uma corrida de taxi, em geral, ´ constitu´ de uma parte fixa, chamada c e ıdo bandeirada, e de uma parte vari´vel, que depende do n´mero de quilˆmetros rodaa u o dos. Em uma cidade X a bandeirada ´ de R 10,00 e o pre¸o do quilˆmetro rodado e c o ´ de R 0,50. e (a) Determine a fun¸ao que representa o pre¸o da corrida. c˜ c (b) Se algu´m pegar um taxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa, e situada a 8 km de distˆncia, quanto pagar´ pela corrida? a a 2. Um avi˜o com 120 lugares ´ fretado para uma excurs˜o. A companhia exige de a e a cada passageiro R 900,00 mais uma taxa de R 10,00 para cada lugar vago. Qual o n´mero de passageiros que torna m´xima a receita da companhia? u a
  32. 32. 32 3. Restri¸˜o orcament´ria: Em nosso pa´ um dos problemas que os governos ca a ıs, enfretam diz respeito a aloca¸ao de verbas para programas sociais e pagamento de ` c˜ funcion´rios. Vamos supor que existe um montante fixo M, a ser repartido entre os a dois prop´sitos. Se denotarmos po x o montante a ser gasto com o pagamento de o funcion´rios e por y o montante destinado aos programas sociais, temos a M = x + y. Essa equa¸ao ´ conhecida como restri¸˜o orcament´ria. Seu gr´fico ´ uma reta. c˜ e ca a a e Como as vari´veis x e y s˜o n˜o negativas, s´ a parte do primeiro quadrante ´ de a a a o e interesse para a an´lise. a (a) Qual a leitura pr´tica que podemos fazer desse gr´fico? a a (b) Suponha que numa cidade X existam 200 funcion´rios que ganham um sal´rio a a m´dio de R 800,00 mensais e que o montante M ´ de R 300.000,00 mensais. e e Qual o montante mensal dispon´ para programas sociais? Os funcion´rios ıvel a reivindicam 13% de aumento em seus sal´rios. Qual o impacto desse aumento a sobre os programas sociais?
  33. 33. 33 4. Crescimento populacional: Para prever a popula¸ao de um dado pa´ numa c˜ ıs data futura, muitas vezes ´ usado um modelo de crescimento exponencial. e Para isso, observa-se o valor real da popula¸ao em intervalos de tempo iguais, c˜ por um dado per´ ıodo de tempo. Calcula-se, a seguir, a raz˜o entre a popula¸ao a c˜ observada em per´ ıodos consecutivos. Se a raz˜o for aproximadamente constante, a em cada observa¸ao, a popula¸ao ´ dada pela popula¸ao anterior multiplicada por c˜ c˜ e c˜ esta raz˜o, que ´ chamada fator de crescimento. a e A tabela a seguir apresenta dados da popula¸ao brasileira no per´ c˜ ıodo de 1940 a 1980. Ano Popula¸ao absoluta c˜ 1940 41.165.289 1950 51.941.767 1960 70.070.457 1970 93.139.037 1980 119.002.706 Raz˜o a 51.941.767 ∼ = 1, 26 41.165.289 70.070.457 ∼ = 1, 35 51.941.767 93.139.037 ∼ = 1, 33 70.070.457 119.002.706 ∼ = 1, 2 93.139.037 (a) Usando esses dados, obter uma previs˜o para a popula¸ao brasileira no ano a c˜ 2000. (b) Sabendo que a popula¸ao brasileira no ano 2000 era de 169.799.170, qual o c˜ erro cometido, em percentual, na previs˜o? a 5. Decaimento radioativo: A massa de materiais radioativos, tais como o r´dio, o a urˆnio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual a de expressar a taxa de decaimento da massa ´ utilizando o conceito de meia-vida e desses materiais. A meia-vida de um material radioativo ´ definida como o tempo necess´rio para e a que sua massa seja reduzida a metade. ` Denotamos por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela fun¸ao exponenc˜
  34. 34. 34 cial dada por M = M0 e−kt sendo K > 0 uma constante. A equa¸ao acima ´ conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante c˜ e K depende do material radioativo considerado e est´ relacionada com a meia-vida a dela. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 ´ de aproximadamente 5.730 anos, detere minar: (a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material; (b) a quantidade de massa presente ap´s dois per´ o ıodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0 ; (c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presen¸a do carbonoc 14 neste ´ 80% da quantidade original. e
  35. 35. Referˆncias e FLEMMING, Diva M.; GONCALVES, Mirian Buss. C´lculo A: Fun¸oes, limite, deriva¸ao ¸ a c˜ c˜ e integra¸ao. 6 ed. S˜o Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. c˜ a Apostila de Pr´-C´lculo - Unochapec´ e a o IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matem´tica Elementar. a Vol 1. S˜o Paulo: Atual, 1993. a

×