La ing.economica

Rodolfo Enrique Sosa Gómez 1
MATEMATICASMATEMATICAS
FINANCIERASFINANCIERAS
TECNICAS FINANCIERAS CUANTITATIVAS

INGENIERÍA ECONÓMICAINGENIERÍA ECONÓMICA
 Las Matemáticas Financieras o Ingeniería
Económica tienen como objetivo
fundamental el estudio y análisis de todas
aquellas operaciones y planteamientos en
los cuales intervienen las magnitudes de:
Capital, Interés, Tiempo y Tasa.

INGENIERÍA ECONÓMICAINGENIERÍA ECONÓMICA
Variables financieras:
Capital C
Tiempo t
Tasa i
Interés I
Cuota R
Monto M

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
 NUNCA SE DEBEN
SUMAR VALORES
EN FECHAS
DIFERENTES

INTERESINTERES
 ES LO QUE SE
PAGA O SE RECIBE
POR CIERTA
CANTIDAD DE
DINERO TOMADA
O DADA EN
PRESTAMO

INTERES SIMPLEINTERES SIMPLE
Es aquel interes
que se genera
sobre un capital
que permanece
constante en el
tiempo.

Formula general de la tasa de interés:
i = I / C
Si condicionamos esta formula a la
expresión de unidades de tiempo se obtiene
la siguiente ecuación:
I = i . C . t

Clasificación del interés simple:
Interés simple comercial en forma ordinaria
Interés simple comercial en forma exacta
Interés simple exacto en forma comercial
Interes simple exacto en forma ordinaria

Clasificación del interés simple
Interés simple comercial:
360 días al año, 180 días al semestre, 90 días al
trimestre, 30 días al mes
Interés simple exacto:
365 días al año
Tabla o calculadora para las demás equivalencias

Valor futuro a interés simple:
Tambien conocido como monto. Se deduce
de la suma entre el capital y los intereses
que se generan durante determinado período
de tiempo
M = C + I
M = C + ( i . C . t ), luego por factorización
M = C ( 1 + i . t )

Conceptode Equivalencia Financiera:
Es la relación de igualdad que se establece
entre una o unas deudas y uno o unos
pagos en un momento determinado en el
tiempo denominado fecha focal (momento
de la negociación)

Equidad entre el tiempo y la tasa:
- La tasa y el tiempo siempre deben ir
expresadas en la misma unidad de base.
- La tasa es la que condiciona la expresión
del tiempo.

Series uniformes a interés simple:
Series vencidas:
Valor presente
Valor futuro
Series anticipadas
Valor presente
Valor futuro
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6
Valor presente
Valor futuro
0 1 2 3 4 5 6
Valor presente

INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTO
Concepto:
Es el interés que se genera
sobre intereses.
Los intereses que se
generan en el primer
período de capitalización
se convierten en capirtal
para generar mas intereses
para el segundo periódo
de capitalización y así
sucesivamente.

Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto
Capital 100.000$
Tasa 10% Anual
Tiempo 5 Años
Periodo Diferencia
en años Monto Interes Int. Acumul. Monto Interes Int. Acumul. en intereses
0 0 0 0 0 0
1 110.000 10.000 10.000 110.000 10.000 10.000 0
2 120.000 10.000 20.000 121.000 11.000 21.000 1.000
3 130.000 10.000 30.000 133.100 12.100 33.100 3.100
4 140.000 10.000 40.000 146.410 13.310 46.410 6.410
5 150.000 10.000 50.000 161.051 14.641 61.051 11.051
Interés simple Interés compuesto

Periodo Int. Sim. Int. Com.
en años Monto Monto
0
0,5 105.000 104.881
1 110.000 110.000
2 120.000 121.000
3 130.000 133.100
4 140.000 146.410
5 150.000 161.051
Comparativo entre el interés simple y el
interés compuesto

t
M = C ( 1 + i )
FORMULA GENERALFORMULA GENERAL

Capital o valor presente: VA
Tasa: TASA
Monto o valor futuro: VF
Tiempo: NPER
Cuota: PAGO
EXCELEXCEL

5.000
4.000
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal
10.000
Regla comercial:

5.000
4.000
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fecha
focal
10.000
Regla de saldos insolutos:

TASAS:
TASA NOMIAL
TASA EFECTIVA
TASAS EQUIVALENTES
TASAS ANTICIPADAS
TASAS VENCIDAS

Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
Tasa nominal Tasa efectiva
Periodicidad Periodicidad
Modalidad Modalidad
Tasa efectiva 0,0000% Tasa nominal 0,0000%
Anual A Vencida V
Semestral S Anticipada A
Cuatrimestral C Preparado por: Rodolfo Enrique Sosa Gómez
Trimestral T Peguntas o comentarios:
Bimestral B e-mail: rodolfososa83@hotmail.com
Mensual M Teléfonos: (5)4307551 Cel: (315) 722 7258
Diaria D Condominio Cañaveral Casa 135. Santa Marta.
Periodicidad: Modalidad
MANUAL DE INGENIERÍA ECONÓMICA
CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
SIMULADOR
Para obtener la tasa efectiva Para obtener la tasa nominal

Tabla para el calculo de las tasas de interés de equivalencia:
MANUAL DE INGENIERIA ECONOMICA
TABLA DE CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS
POR: RODOLFO SOSA GÓMEZ
J = i p . m i E.A. i p =
COMPLEMENTOS: Tasa de Interés Continua
iE.A. ó i p = Tasa efectiva o periódica / 100
J = Tasa nominal% / 100 i E.A.= e - 1
m = Número de periodos contenidos en un año
e = 2,71828182846
NOMINAL ANTICIPADA NOMINAL ANTICIPADA
PERIODICA NOMINAL VENCIDA NOMINAL VENCIDA PERIODICA
O R I G E N
C O N O C I E N D O L A T A S A:
EFECTIVA ANUAL
D E S T I N O
P A R A O B T E N E R L A T A S A:
J = 1 + i E.A.
1 / m
- 1 . m
J =
1 + i E.A.
1 / m
- 1
. m
1 + i E.A.
1 / m
- 11 +
J
m
m
i E.A. = - 11 +
J
m
J
m
1 -
1 +i E.A. =
m
- 1
J
1 -
i VENCIDA =
i ANTICIPADA
i ANTICIPADA
1 +
i ANTICIPADA =
i VENCIDA
i VENCIDA
J

FORMULASMANUAL DE INGENIERIA ECONÓMICA B = Saldo insoluto C.P.Eq. = Costo Periódico Equivalente
FORMULAS FINANCIERAS: Pc = Precio de contado R.B.C. = Relación Beneficio Costo
Rodolfo Sosa Gómez Ci = Cuota inicial T.I.R. = Tasa Interna de Retorno
C = Capital o Valor Presente R1 = Valor de la primera cuota i = Rentabilidad Real
M = Monto o Valor Futuro g = gradiente en $ o %
I = Interés V.P.N. = Valor Presente Neto F = Inflación
i = Tasa de interés V.P.I. = Valor Presente de los Ingresos D = Devaluación
t = Tiempo: número de períodos, pagos o cuotas V.P.E. = Valor Presente de los Egresos E = Tasa Extrangera
m = Periódos contenidos en un año V.P.Eq. = Valor Periódico Equivalente i = Tasa Total
R = Valor del pago o cuota I.P.Eq. = Ingreso Periódico Equivalente
INTERÉS SIMPLE: VENTAS A PLAZOS:
2 . m . I
1 i = 2 M = C + I 3 I = i.C.t 4 M = C ( 1 + i . t ) 5 i = 6 I = ( R . t ) - B 7 B = Pc - Ci
B ( t + 1 ) - I ( t - 1)
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES SIMPLE SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES SIMPLE
2t + ti . ( t - 1 ) 2t + ti . ( t + 1 )
R . R .
2t + ti . ( t - 1 ) 2 2t + ti . ( t + 1 ) 2
8 M = R . 9 C = 10 M = R . 11 C =
2 2
INTERÉS COMPUESTO
t - t Ln ( M / C ) Log ( M / C ) 1 / t
12 M = C ( 1 + i ) 13 C = M ( 1 + i ) 14 t = 15 t = 16 i = ( M / C ) - 1
Ln ( 1 + i ) Log ( 1 + i )
SERIES PERIÓDICAS VENCIDAS A INTERES COMPUESTO
t - t
( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R
17 M = R 18 C = R 19 Perpetuidad: C =
i i i
SERIES PERIÓDICAS ANTICIPADAS A INTERES COMPUESTO
t - t
( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i ) R
20 M = R ( 1 + i ) 21 C = R ( 1 + i ) 22 Perpetuidad: C = R +
i i i
También puede ser:
t + 1 - ( t - 1 )
( 1 + i ) - 1 1 - ( 1 + i )
23 M = R -1 24 C = R 1 +
i i
GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO CRECIENTE Y DECRECIENTE
Cálculo de la cuota uniforme: Infinito: Cálculo de una cuota:
1 t R1 g
25 R = R1 + / - g . 26 C = + 27 Cuota = R1 + / - ( ( t - 1 ) . g )
t i i
i ( 1 + i ) - 1
( 1 + ti ) ( 1 + ti )
I
C
-
2 t
r
T

FORMULAS
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL CRECIENTE
Si g es diferente de i: Si g es igual a i:
t t t - t
( 1 + i ) - ( 1 + g ) R1. ( 1 + g ) . ( 1 + i ) - 1 R1. t
28 C = R1. 29 C = 30 C =
t
( i - g ) . ( 1 + i )
t t t t
( 1 + i ) - ( 1 + g ) t R1. ( 1 + g ) - ( 1 + i ) t - 1
31 M = R1. ( 1 + i ) 32 M = 33 M = R1 . t . ( 1 + i )
t
( i - g ) . ( 1 + i )
Infinito, si i es mayor que g: Cálculo de una cuota en gradientes geómetricos o exponenciales, crecientes y decrecientes:
R1 t - 1
34 C = 35 Cuota = R1 . ( 1 + / - g )
i - g
GRADIENTE GEOMETRICO O EXPONENCIAL DECRECIENTE
t t t t
( 1 + i ) - ( 1 - g ) ( 1 + i ) - ( 1 - g )
36 C = R1. 37 M = R1.
t
( i + g ) . ( 1 + i )
EVALUACIÓN DE PROYECTOS:
V.P.N.
38 T.M.A.R. = T.I.O. + Spreads 39 V.P.N. = V.P.I. - V.P.E. 40 V.P.Eq. =
- t
1 - ( 1 + i )
V.P.I. V.P.E.
41 I.P.Eq. = 42 C.P.Eq. = i
- t - t
1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + i )
43 R.B.C. = V.P.I. / V.P.E.
i i Resultado ideal: R.B.C. > 1
Nota:
V.P.N. . ( i - i ) V.P.N. . ( i - i ) i Para V.P.N. > 0
44 T.I.R. = i - 45 T.I.R. = i + i > i
V.P.N. - V.P.N. V.P.N. - V.P.N. i Para V.P.N. < 0
Rentabilidad real: Rentabilidad en moneda extranjera: Suma de tasas efectivas: Resta de tasas efectivas:
i - F 1 + i Nota:
46 i = 47 i = ( 1 + i.D ) . ( 1 + i.E) - 1 48 i = ( 1 + i ) . (1 + i ) - 1 49 i = 1 i > i
1 + F 1 + i
g - i
1 + i
( i + g )
g - i
t
22
2 2 1
2 1
21
1 2 1
1 2
21 1
22 2
12
r r T 1 2 T
2
1
1 2

INFLACION - I.P.C.
DEVALUACION
TASAS COMBINADAS
TASAS DEFLACTADAS
D.T.F.
T.C.C.
T.B.S.
LIBOR
PRIME RATE
TMAR = T.I.O + Spreads

ANUALIDADESANUALIDADES
VENCIDAS
ANTICIPADAS
PERPETUAS
DIFERIDAS
PERPETUAS DIFERIDAS

Anualidad de 10 periodos ( forma vencida )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
Anualidad de 10 periodos ( forma anticipada )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Anualidad de 5 periodos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10
Anualidad diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 10 10 10 10 10 10

Anualidad perpetua
0 1 2 3 4 5
10 10 10 10 10
Anualidad perpetua diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 10 10 10

GRADIENTESGRADIENTES
LINEALES O ARITMETICAS:
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA

EXPONENCIALES O GEOMETRICAS
CRECIENTES Y DECRECIENTES
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
CALCULO DE CUOTA
GRADIENTE DIFERIDA
GRADIENTE PERPETUA
GRADIENTE PERPETUA DIFERIDA

1600
1400
1200
1000
0 1 2 3 4
1000
950
900
850
0 1 2 3 4
Gradiente lineal creciente
Gradiente lineal decreciente

Gradiente exponencial creciente
Gradiente exponencial decreciente
1.331,00
1.210,00
1.100,00
1.000,00
0 1 2 3 4
1000
950
902,5
857,38
0 1 2 3 4

R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en $) g (Gradiente en $)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0! Ru (Cuota Uniforme) #¡DIV/0!
V.F. ( Monto ) 0,00 V.F. ( Monto ) x #¡DIV/0!
V.P. ( Capital ) 0,00 V.P. ( Capital ) x #¡DIV/0!
CUOTA No. 24 CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO 0,00
R1 (1ra Cuota) R1 (1ra Cuota)
g (Gradiente en %) g (Gradiente en %)
i % (Tasa) i % (Tasa)
n (Tiempo) n (Tiempo)
V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00 V.F. ( Monto ) Si i dif.g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00 V.P. ( Capital ) Si i dif.g 0,00
V.F. ( Monto ) Si i = g 0,00
V.P. ( Capital ) Si i = g 0,00
CUOTA No. CUOTA No.
VALOR 0,00 VALOR 0,00
INFINITO Si i > g 0,00
GRADIENTE EXPONENCIAL O GEOMETRICO
CRECIENTE DECRECIENTE
GRADIENTE LINEAL O ARITMETICO
CRECIENTE DECRECIENTE

EVALUACIONESEVALUACIONES
FINANCIERASFINANCIERAS
FLUJO DE CAJA
FLUJO DE CAJA NETO
V.P.N.
T.I.R.

U.V.R.U.V.R.
t/d
UVRt =UVR 15 *(1 +i)

U.V.R.U.V.R.
Del 31 de Julio al 5 de Agosto:
El DANE pública los resultados de la inflación del mes de
Julio de 2002
Del 6 de Agosto al 15 de Agosto:
El Banco de la Republica le informa los valores de la UVR
que regirán entre el 16 de Agosto y el 15 de Septiembre.
El sistema financiero actualiza sus bases de datos
15 de Agosto:
U.V.R. $127,7596: Valor ya calculado del mes anterior
Del 16 de Agosto al 15 de Septiembre:
Nuevos valores de la U.V.R. Que aplican entre el
16 de Agosto y el 15 de Septiembre
Procedimiento para el calculo de la U.V.R.

U.V.R.U.V.R.
- UVR t = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
Del día t del período de calculo.
-UVR 15 = Valor de la moneda legal colombiana de la UVR
el día 15 de cada mes.
- i = Variación mensual del IPC durante el mes calendario
inmediatamente anterior al mes de inicio del período de calculo
-t = Número de días calendario transcurridos desde el inicio
de un período de calculo hasta el día de calculo de la UVR.
Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31 de acuerdo con el
número de días calendario del respectivo período de calculo.
- d = Número de días calendario del respectivo período de calculo

U.V.R.U.V.R.
VALORES
VALOR DE LA UVR 127,9002
FECHA DE REGISTRO 16-Nov-02 VECES QUE SE PAGO EL CREDITO 3,35
TASA DE INFLACION 6,00% SALDO EN PESOS MAS ALTO 25.561.151,08
TASA DE INFLACION MENSUAL 0,49% MES EN EL QUE SE OBTUVO EL SALDO + ALTO 66
TASA DE INTERES E.A. 12,00% FECHA DEL SALDO MAS ALTO 18-Abr-08
TASA DE INTERES MENSUAL 0,95% INTERESES PAGADOS 35.740.735,91
VALOR PRESTAMO O DEUDA 23.000.000 CAPITAL PAGADO 41.245.432,84
TIEMPO EN AÑOS 15 TOTAL PAGADO 76.986.168,74
TIEMPO EN MESES 180
PERI
ODO
FECHA VALOR UVR CUOTA EN
UVR
ABONO A
CAPITAL EN
UVR
INTERESES
EN UVR
SALDO EN UVR CUOTA EN
PESOS
ABONO A
CAPITAL EN
PESOS
INTERESES EN
PESOS
SALDO EN
PESOS
0 16-Nov-02 127,9002 179.827,7094 0,00 0,00 0,00 23.000.000,00
1 16-Dic-02 128,5228 2.087,7769 381,4290 1.706,3479 179.446,2804 268.326,86 49.022,31 219.304,54 23.062.931,35
2 15-Ene-03 129,1484 2.087,7769 385,0483 1.702,7286 179.061,2320 269.632,95 49.728,36 219.904,59 23.125.462,98
3 14-Feb-03 129,7770 2.087,7769 388,7020 1.699,0750 178.672,5300 270.945,40 50.444,57 220.500,83 23.187.582,76
4 16-Mar-03 130,4087 2.087,7769 392,3903 1.695,3866 178.280,1397 272.264,24 51.171,10 221.093,14 23.249.278,39
5 15-Abr-03 131,0435 2.087,7769 396,1136 1.691,6633 177.884,0261 273.589,50 51.908,10 221.681,41 23.310.537,33
6 15-May-03 131,6813 2.087,7769 399,8722 1.687,9047 177.484,1539 274.921,21 52.655,70 222.265,51 23.371.346,85
7 14-Jun-03 132,3223 2.087,7769 403,6666 1.684,1104 177.080,4873 276.259,41 53.414,08 222.845,33 23.431.693,98
8 14-Jul-03 132,9664 2.087,7769 407,4969 1.680,2801 176.672,9905 277.604,11 54.183,38 223.420,74 23.491.565,56
9 13-Ago-03 133,6136 2.087,7769 411,3635 1.676,4134 176.261,6270 278.955,37 54.963,75 223.991,61 23.550.948,19
10 12-Sep-03 134,2640 2.087,7769 415,2669 1.672,5101 175.846,3601 280.313,19 55.755,37 224.557,82 23.609.828,25
11 12-Oct-03 134,9175 2.087,7769 419,2072 1.668,5697 175.427,1529 281.677,63 56.558,39 225.119,24 23.668.191,89
12 11-Nov-03 135,5742 2.087,7769 423,1850 1.664,5919 175.003,9678 283.048,71 57.372,97 225.675,74 23.726.025,04
13 11-Dic-03 136,2341 2.087,7769 427,2005 1.660,5764 174.576,7673 284.426,47 58.199,29 226.227,18 23.783.313,37
14 10-Ene-04 136,8973 2.087,7769 431,2541 1.656,5228 174.145,5132 285.810,93 59.037,51 226.773,42 23.840.042,35
15 9-Feb-04 137,5636 2.087,7769 435,3462 1.652,4307 173.710,1670 287.202,13 59.887,80 227.314,33 23.896.197,16
DATOS
TABLA DE AMORTIZACION EN U.V.R. TABLA DE AMORTIZACION EN PESOSPAGO
RESUMEN DEL CREDITO

U.V.R.U.V.R.
Curva de Amortización de Créditos Hipotecarios
-5.000.000
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
Periodos (Cuotas mensuales)
$

FIN DE LA PRESENTACION
RODOLFO SOSA GOMEZ

La ing.economica

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a La ing.economica

Similar a La ing.economica (20)

Último

Último (20)

La ing.economica