Makalah logika matematika

3,114 views
2,996 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
3,114
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
9
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Makalah logika matematika

  1. 1. MAKALAHLOGIKA MATEMATIKAMakalah ini diajukan untuk Memenuhi Tugas Ujian Akhir Semester (UAS)Mata Kuliah: Bahasa IndonesiaDosen Pengampu: Indrya Mulyaningsih, M.Pd.Disusun Oleh :NasifahNIM: 14121520520Tarbiyah/Matematika-C/Semester IIINSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)SYEKH NURJATI CIREBON2013
  2. 2. BAB IPENDAHULUANA. Latar BelakangLogika matematika merupakan pokok bahasan yang sangat pentingkarena berhubungan dengan kemampuan berfikir secara logis. Berfikir secaralogis sangat diperlukan dalam setiap aspek kehidupan sehari-hari karenamerupakan pendukung keberhasilan suatu tindakan, misalnya dalampengambilan keputusan.Banyak hal yang perlu kita ketahu mengenai logika. Melalui logikakita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat danmengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataankedua. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataanbernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan kita dapatkan setelahmempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambilkesimpulan dengan benar atau sah.B. Rumusan MasalahAdapun masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah sebagaiberikut:1. Apa yang dimaksud dengan Logika?2. Apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran?3. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika?4. Apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingen?5. Apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers, invers, dankontraposisi?6. Apa yang dimaksud kalimat berkuantor?7. Bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikan kebenaran suatupernyataan?
  3. 3. C. TujuanAdapun tujuan dari makalah ini adalah sebagai berikut:1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan logika.2. Mengetahui apa yang dimaksud dengan pernyataan, kalimat terbuka, daningkaran.3. Mengetahui operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika.4. Mengetahui apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dankontingen5. Mengetahui apa yang dimaksud dengan ekuivalensi, implikasi, konvers,invers, dan kontraposisi.6. Mengetahui apa yang dimaksud kalimat berkuantor?7. Mengetahui bagaimana cara menarik kesimpulan dan membuktikankebenaran suatu pernyataan.
  4. 4. BAB IIPEMBAHASANA. Pengertian LogikaSecara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “logos” (Yunani)yang berarti kata, ucapan, fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandungmakna ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode danprinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yangbenar dengan penalaran yang salah.1Dalam mempelajari Logika kita akan berkenalan dengan istilahpenalaran, yang diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuahargumen. Penalaran yang sering pula diartiakan cara berfikir, merupakanpenjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebihberdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakuikebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuahkesimpulan.2Dalam logika kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaranyang kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat,logika menawarkan pada kita sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harusdiperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.“Dalam menghadapi kehidupan sehari-hari kita dituntut untukmenggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap kegiatan kita, haruspenuh pemikrian dan pertimbangan. Oleh karena itu, kita harusmempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional dan obyektifdisamping dapat berpikir kritis. Pola berpikir seperti ini adalah polaberpikir atau penalaran yang terdapat dalam Logika. Oleh karena itu,Logika sangat penting dalam setiap bidang kehidupan manusia”. (YayaS. Kusumah, 1986: 2)1Yaya S. Kusumah, Logika Matematika Elementer, (Bandung: Tarsito, 1986), h. 1.2Ibid.
  5. 5. B. Pernyataan, Kalimat Terbuka, dan IngkaranPengertian kalimat dalam kehidupan sehari-hari adalah kumpulankata, frasa, dan lambang yang mempunyai arti. Dalam matematika ada duajenis kalimat, yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan).1. PernyataanPernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai logika(kebenaran) benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.Dengan kata lain, pernyataan adalah sebuah kalimat yang sudah dapatditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah. Benar dan salahmaksudnya sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. Nama lain daripernyataan adalah kalimat deklaratif atau proposisi.3Berikut ini adalah contoh suatu pernyataan dan nilai kebenarannya:a. “Bangun datar persegi memiliki empat titik sudut”, pernyataan inibenar.b. “Nilai x yang memenuhi 2x = 10 adalah 6”, pernyataan ini salah.c. “3 adalah bilangan prima”, pernyataan ini benar.d. “7 kurang dari 6”, pernyataan ini salah.Perlu diketahui bahwa setiap pernyataan adalah kalimat, tetapitidak setiap kalimat merupakan pernyataan. Kalimat-kalimat yang bukanpernyataan ini tidak atau belum dapat ditentukan nilai kebenarannya,seperti kalimat tanya, kalimat perintah, dan kalimat seru.2. Kalimat TerbukaKalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dapat ditentukannilai kebenarannya karena masih belum memuat variabel. Variabel ataupeubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili anggotasembarang dari suatu semesta pembicaraan.43Siswanto, Theory and Application of Mathematics, (Solo: Bilingual, 2009), h. 248.4Ibid.
  6. 6. Berikut ini cuontoh kalimat terbuka:a. 3x + 3 = 7b. 2 log x = 1c. x2– 6x + 9 = 0d. y – 3 < 4Suatu kalimat terbuka dapat berubah menjadi pernyataan apabilavariabelnya diganti suatu konstanta, yaitu lambang yang mewakili anggotadari suatu semesta pembicaraan. Konstanta pengganti variabel yangmenyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benardisebut penyelesaian kalimat terbuka atau penyelesaian. Kumpulan semuapenyelesaian disebut himpunan penyelesaian. Kalimat terbuka juga dapatdiubah menjadi pernyataan dengan menggunakan kuantor.3. Kata Hubung Logika dan IngkaranJika terdapat dua pernyataan atau lebih, kita dapat membentuksebuah pernyataan baru dengan menggunakan kata hubung logika.Pernyataan-pernyataan yang dibentuk dengan menggunakan kata hubunglogika dinamakan pernyataan majemuk atau pernyataan komposisi,sedangkan pernyataan-pernyataan yang membentuk pernyataan majemukmasing-masing disebut komponen pernyataan majemuk. Nilai kebenaranpernyataan majemuk ghanya ditentukan oleh nilai kebenaran komponen-komponen pembentuknya dan tidak diharuskan adanya hubungan antarkomponen pembentuknya.5Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut:a. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”.b. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”.c. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan“→”.d. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkandengan “↔”.5Ibid., h. 250.
  7. 7. Selain menggunakan kata hubung logika, suatu pernyataan barujuga dapat dibentuk dengan menggunakan ingkaran (negasi), yaitupernyataan baru yang bernilai benar apabila pernyataan semula bernilaisalah demikian pula sebaliknya.Cara membentuk ingkaran dari suatu pernyataan yaitu denganmenambahkan kata “tidak/bukan” atau “tidak benar bahwa” sesuaiberdasarkan aturan tata bahasa yang benar.Jika suatu pernyataan ndinotasikan dengan “p” maka negasi daripernbyataan p dinotasikan dengan “~p” dibaca negasi p.p ~pBSSBKeterangan: B = BenarS = SalahBerikut ini contoh dari ingkaran:a. p : 100 habis dibagi 5.~p : Tidak benar bahwa 100 habis dibagi 5.~p : 100 tidak habis dibagi 5.b. q : Semua ikan bernafas dengan insang.~q : Tidak semua ikan bernafas dengan insang.~q : Tidak benar bahwa semua ikan bernafas dengan insang.c. r : 3 adalah faktor dari 13.~r : Tidak benar bahwa 3 adalah faktor dari 13.~r : 3 bukan faktor dari 13.C. Operasi-operasi dalam Logika Matematika1. KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan pdan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”.
  8. 8. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:p ⋀ q (dibaca: p dan q)Misalnya kita akan menyusun suatu konjungsi dari dua pernyataanberikut:p : Ada kendraan bermotor.q : Tersedia bahan bakar.Konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:p ⋀ q : Ada kendaraan bermotor dan tersedia bahan bakar.Karena konjungsi merupakan suatu pernyataan maka dapat ditentukan nilaikebenarannya, yaitu benar saja atau salah saja dan bukan keduanya.Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi.p q p ⋀ qBBSSBSBSBSSS2. DisjungsiDisjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan pdan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”.Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:p ⋁ q (dibaca: p atau q)Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi dari dua pernyataan berikut:p : Ada media elektronik.q : Ada media cetak.Disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:p ⋁ q : Ada media elektronik atau media cetak.
  9. 9. Nilai dan tabel kebenaran Konjungsi.p q p ⋁ qBBSSBSBSBBBS3. ImplikasiImplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buahpernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”.Implikasi pernyataan p dan pernyataan q dinotasikan sebagai berikut:p → q (dibaca: jika p maka q)Misalnya kita akan menyusun suatu disjungsi implikasi dari duapernyataan berikut:p : 2m× 2n= 2m + n.q : 24× 23= 27.Implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:p → q : Jika 2m× 2n= 2m + nmaka 24× 23= 27.Dari pernyataan ini, bagian “jika 2m× 2n= 2m + n” dinamakan alasan atausebaba dan bagian “maka 24× 23= 27” dinamakan kesimpulan atau akibat.Nilai dan tabel kebenaran Implikasi.p q p → qBBSSBSBSBSBB
  10. 10. 4. BiimplikasiBiimplikasi adalah pernyataan yang disusun dari dua buahpernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung“jika dan hanya jika”. Biimplikasi pernyataan p dan pernyataan qdinotasikan sebagai berikut:p ↔ q (dibaca: p jika dan hanya jika q)Misalnya kita akan menyusun suatu biimplikasi dari dua pernyataanberikut:p : Dua garis saling berpotongan tegak lurus.q : Dua garis saling membentuk sudut 900.Biimplikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut:p ↔ q : Dua garis saling berpotongan tegak lurus jika dan hanya jikakedua garis saling membentuk sudut 900.Nilai dan tabel kebenaran Biimplikasi.p q p ↔ qBBSSBSBSBSSBD. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingen1. TautologiTautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benaruntuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataankomponennya.6Untuk dapat membuktikan apakah suatu pernyataan merupakantautologi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.Contoh tautologi:6Sartono Wirodikromo, Matematika untuk SMA Kelas X, (Jakarta: Erlangga, 2004), h. 159.
  11. 11. a. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwa(p ⋀ q) → q merupakan tautologi.Penyelesaian:p q p ⋀ q (p ⋀ q) → qBBSSBSBSBSSSBBBBb. Buatlah sebuah tabel kebenaran pernyataan untuk membuktikan bahwap ⋁ ~p merupakan tautologi.Penyelesaian:p q ~p p ⋁ ~pBBSSBSBSSSBBBBBBBerdasarkan pada kolom paling kanan kedua tabel di atas, tampakbahwa (p ⋀ q) → q dan p ⋁ ~p selalu bernilai benar untuk setiap nilaikebenaran dan komponennya. . Oleh karena itu, pernyataan (p ⋀ q) → qdan p ⋁ ~p adalah suatu tautologi.2. KontradiksiKontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salahuntuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Seperti padatautologi, untuk membuktikan apakah suatu pernyataan merupakankontradiksi, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.Contoh kontradiksi:Tunjukan bahwa pernyataan majemuk q ⋀ (p ⋀ ~q) merupakansuatu kontradiksi.
  12. 12. Penyelesaian:P q ~q p ⋀ ~q q ⋀ (p ⋀ ~q)BBSSBSBSSBSBSBSSSSSSPada kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ⋀(p ⋀ ~q) selalu bernilai salah untuk setiap kebenaran dari komponennya.Oleh karena itu, pernyataan q ⋀ (p ⋀ ~q) adalah suatu kontradiksi.3. KontingenKontingen adalah pernyataan yang nilai kebenarannya merupakankumpulan dari nilai B dan S, di luar tautologi dan kontradiksi.Contoh kontingen:Tunjukan bahwa pernyataan p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] merupakan suatukontradiksi.Penyelesaian:p q p ⋁ q q ⋀ (p ˅ q) p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)]BBSSBSBSBBBSBSBSBSSSPada kolom paling kakan tabel di atas, tampak bahwa nilaikebenaran p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)] bernilai salah dan benar untuk setiapkebenaran dari komponennya. Oleh karena itu, p ⋀ [q ⋀ (p ⋁ q)]merupakan kontingen.
  13. 13. E. Ekuivalensi1. Membuktikan Pernyataan Majemuk dengan Menggunakan TabelKebenaranDua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataantersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua pernyatan p dan qyang ekuivalen dinotasikan dengan p ≡ q.7Contoh:Dengan menggunakan tabel kebenaran, selidikilah apakahpernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~qb. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r)Penyelesaian:a. ~ (p ⋁ q) dengan ~p ⋀ ~qp q ~p ~q p ⋁ q ~ (p ⋁ q) ~p ⋀ ~qBBSSBSBSSSBBSBSBBBBSSSSBSSSBDari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran ~ (p ⋁ q) samadengan nilai kebenaran ~p ⋀ ~q. Jadi, dapat disimpulkan bahwa ~ (p ⋁q) ≡ ~p ⋀ ~q.7Siswanto, op.cit., h. 282.
  14. 14. b. p ⋀ (q → r) dengan (p ⋀ q) → (p ⋀ r)p q r p⋀q p⋀r q→r p ⋀ (q→r) (p ⋀ q) → (p ⋀ r)BBBBSSSSBBSSBBSSBSBSBSBSBBSSSSSSBSBSSSSSBSBBBSBBBSBBSSSSBSBBBBBBDari tabel di atas, tampak bahwa nilai kebenaran p ⋀ (q → r)tidak sama dengan nilai kebenaran (p ⋀ q) → (p ⋀ r). Jadi, dapatdisimpulkan bahwa p ⋀ (q → r) tidak ekuivalen dengan (p ⋀ q) → (p ⋀r).2. Negasi dari Pernyataan MajemukNegasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasipernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ukuivalensi, yaituapabila permyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaranyang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen-komponennya.8Dalam hal ini, terdapat ekuivalensi sebagai berikut:a. ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~qb. ~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~qc. ~(p → q) ≡ p ⋀ ~qd. ~(p ↔ q) ≡ (p ⋀ ~q) ⋁ (q ⋀ ~p)8Ibid., h. 284.
  15. 15. Contoh:a. Buktikan bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q.Bukti:p q ~p ~q p ⋀ q ~(p ⋀ q) ~p ⋁ ~qBBSSBSBSSSBBSBSBBSSSSBBBSBBBTerbukti bahwa ~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~q.b. Tuliskan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:1) Nia adalah anak yang pandai dan pendiam.2) Jika Anik mendapat nilai bagus maka ia naik kelas.Penyelesaian:1) Nia adalah anak yang tidak pandai dan dan pendiam.2) Anik mendapat nilai bagus maka ia tidak naik kelas.3. Membuktikan Pernyataan Majemuk tanpa Menggunakan TabelKebenaranUntuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dapatdilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Akan tetapi, pembuktiandengan cara tersebut kurang efisien. Oleh karena itu, kita dapatmembuktikan kebenaran suatu pernyataan majemuk dengan menggunakansifat-sifat ekuivalensi, diantaranya sebagai berikut:a. * p ⋁ p ≡ p(p ⋁ q) ⋁ r ≡ p ⋁ (q ⋁ r)p ⋁ q ≡ q ⋁ pp ⋁ (q ⋀ r) ≡ (p ⋁ q) ⋀ (p ⋁ r)~(p ⋁ q) ≡ ~p ⋀ ~q
  16. 16. * p ⋀ p ≡ p(p ⋀ q) ⋀ r ≡ p ⋀ (q ⋀ r)p ⋀ q ≡ q ⋀ pp ⋀ (q ⋁ r) ≡ (p ⋀ q) ⋁ (p ⋀ r)~(p ⋀ q) ≡ ~p ⋁ ~qb. ~(~p) ≡ pc. ~(p → q) ≡ p ~qp → q ≡ ~p ⋁ qp → (q ⋀ r) ≡ (p → q) ⋀ ~(p → r)d. p ↔ q ≡ (p → q) ⋀ (q → p)F. Implikasi, Konvers, Invers, dan KontraposisiSeperti yang telah kita ketahui, bahwa dua buah pernyataan atau lebihdapat dibentuk menjadi suatu kalimat majemuk. Pernyataan-pernyataanmajemuk yang menggunakan kata hubung “ → “ adalah implikasi, konvers,invers, dan kontraposisi yang didefinisikan sebagai berikut.Jika p dan q adalah suatu pernyataan, maka pernyataan majemuk:1. p → q disebut implikasi (diketahui)2. q → p disebut konvers dari p → q3. ~p → ~q disebut invers dari p → q4. ~q → ~p disebut kontraposisi dari p → qDengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat nilaikebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut. Tabel kebenarannyaadalah sebagai berikut.Pernyataan Implikasi Konvers Invers Kontraposisip q ~p ~q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~pBBSSBSBSSSBBSBSBBSBBBBSBBBSBBSBB
  17. 17. Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas, dapatdisimpulkan sebagai berikut:1. Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya.p → q ≡ ~q → ~p2. Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya.q → p ≡ ~p → ~qContoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika PQRSadalah persegi, maka PQRS adalah persegi panjang”.Pentelesaian:Konvers : Jika PQRS adalah pesegi panjang, maka PQRS adalah persegi.Invers : Jika PQRS bukan persegi, maka PQRS bukan persegi panjang.Kontraposisi : Jika PQRS bukan pesegi panjang, maka PQRS bukan persegi.G. Kalimat Kuantor dan Negasinya1. Kuantor UniversalMisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggotahimpunan semesta pembicaraan S.Pernyataan:(∀x ∈ S) p(x) atau (∀x) p(x)Dibaca “untuk setiap x, berlakulah p(x) disebut kalimat berkuantoruniversal (universal quatifier). Penggunaan kata “untuk setiap” padakuantor universal senilai dengan kata “untuk semua”, “untuk tiap-tiap”,dan “untuk seluruh”.Contoh:a. Tuliskan kalimat untuk “Untuk setiap n anggota himpunan bilangna asliN, berlaku n anggota himpunan bilangna real R” dengan notasimatematika.Penyelesaian:
  18. 18. Kalimat tersebut adalah kalimat kuantor universal sehingga dengannotasi matematika dapat ditulis (∀n) n ∈ N → n ∈ .b. Jika semesta pembicaraannya bilangan real R, tentukan nilai kebenarandari (∀x) (x + 3 < 6).Penyelesaian:(∀x) (x + 3 < 6) bernilai salah. Misalkan diambil salah satu nilai x = 4.Akibatnya, 4 + 3 < 6 (bernilai salah). Dengan demikian, tidak berlakuuntuk setiap x ∈ R.2. Kuantor EksistensialMisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada suatu himpunansemesta pembicaraan S.Pernyataan:(∃x ∈ S) p(x) atau (∃x) p(x)Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat kuantor eksistensial(existential quantifier). Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”,“beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”.Contoh:Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berkuantor eksistensialberikut jika x dan y adalah anggota himpunan bilangna real R.a. (∃x) (x2– 6x + 8 = 0)b. (∃x) (x2+ 9 < 0)Penyelesaian:a. (∃x) (x2– 6x + 8 = 0) bernilai benar. Misalkan diambil x = 2 atau x = 4.b. (∃x) (x2+ 9 < 0) bernilai salah.Untuk x ∈ R, x2≥ 0, sedangkan 9 > 0. Jadi. Tidak mungkin duabilangan real positif jika dijumlahkan hasilnya bernilai negatif.
  19. 19. 3. Ingkaran (Negasi) Kalimat BerkuantorNegasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantoreksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalahkalimat berkuantor universal.9Jika terdapat kalimat berkuantor universal (∀x) p(x) dan kalimatberkuantor eksistensial (∃x) p(x), negasi dari keduanya ditulis sebagaiberikut:~[(∀x) p(x)] ≡ (∃x) ~ p(x)~[(∃x) p(x)] ≡ (∀x) ~p(x)Contoh:Tentukan negasi dari kalimat kuantor berikut jika x dan y adalahanggota himpunan bilangan real.a. (∀x) (x + 7 ≤ 9)b. (∃x) (x2= x)Penyelesaian:a. ~[(∀x) (x + 7 ≤ 9)] ≡ (∃x) ~(x + 7 ≤ 9)≡ (∃x) (x + 7 > 9)b. ~[(∃x) (x2= x)] ≡ (∀x) ~(x2= x)≡ (∀x) (x2≠ x)H. Penarikan KesimpulanUntuk membuktikan suatu sifat atau menyelidiki kebenaran dari suatukesimpulan berdasarkan kebenaran yang sudah diketahui, dapat digunakanpola argumentasi berdasarkan prinsip-prinsip logika. Kesimpulan ditarik daribeberapa pernyataan yang diasumsikan benar terjadi. Asumsi-asumsi itudisebut juga premis. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah atau validapabila implikasi dari konjungsi premis-premis dengan konklusi merupakantautologi. Sebaliknya, apabila premis-premis tidak memberikan informasi9Ibid., h. 294.
  20. 20. yang cukup untuk mendukung kesimpulan yang diambil maka dikatakanpenarikan kesimpulan tidak valid.10Prinsip-prinsi yang digunakan untuk menganbik kesimpulan, antaralain modus ponen, modus tollens, dan silogisme.1. Modus PonenPenarikan kesimpulan dengan menggunakan modus ponendidasarkan pada prinsip “Jika p → q benar maka q pasti benar”. Prinsiptersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:Premis 1 : p → qPremis 2 : pKonklusi : ∴ qTanda “∴” dibaca “maka” atau “jadi”.Prinsip di atas dibaca: Jika p → q benar dan p benar maka q benar.Sahnya modus ponen dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran pernyataanmajemuk “[(p → q) ⋀ p] → q”.p q p → q (p → q) ⋀ p (p → q) ⋀ p] → qBBSSBSBSBSBBBSSSBBBBPada tabel tersebut tampak bahwa pada kolom kelima nilaikebenarannya adalah “benar” seluruhnya. Oleh karena itu, (p → q) ⋀ p] →q merupakan suatu tautulogi.10Ibid., h. 297.
  21. 21. Contoh:Premis 1 : Jika segitiga ABC sama sisi maka AB = AC = BC.Premis 2 : Segitiga ABC sama sisi.Konklusi : Jadi, AB = AC = BC.2. Modus TollensPenarikan kesimpulan pada modus Tollens didasarkan pada prinsip“Jika p → q benar dan q tidak benar maka p pasti tidak benar”. Prinsiptersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:Premis 1 : p → qPremis 2 : ~qKonklusi : ∴ ~pPrinsip ini dibaca : Jika p → q benar dan ~q benar maka ~p benar.Kebenaran dari modus tollens dapat dibuktikan denganmenggunakan tabel kebenaran kontraposisi.Contoh:Premis 1 : Jika segitiga ABC siku-siku di titik B maka AC2= AB2+ BC2.Premis 2 : AC2≠ AB2+ BC2.Konklusi : Jadi, segitiga ABC tidak siku-siku di titik B.3. SilogismePenarikan kesimpulan dengan silogisme berdasarkan prinsip “Jikap → q benar dan q → r benar maka p → r pasti benar”. Prinsip tersebutdapat dirumuskan sebagai berikut:
  22. 22. Premis 1 : p → qPremis 2 : q → rKonklusi : ∴ p → rKebenaran dari silogisme dapat dilihat pada tabel kebenaran [(p →q) ⋀ (q → r)] → (p → r) adalah suatu tautologi.p q r p→q q→r p→r (p→q) ⋀(q→r)[(p→q) ⋀ (q→r)]→ (p→r)BBBBSSSSBBSSBBSSBSBSBSBSBBSSBBBBBSBBBSBBBSBSBBBBBSSSBSBBBBBBBBBBContoh:Premis 1 : Jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka murid-murid bercengkrama.Premis 2 : Jika murid-murid bercengkrama maka mereka bergembira.Konklusi : Jadi, jika guru Matematika tidak masuk sekolah maka merekabergembira.I. PembuktianPembuktian suatu sifat dalan matematika menunjukan kebenaran sifatdalam matematika secara logika.
  23. 23. 1. Pembuktian dengan Bukti LangsungPembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikansifat dalam matematika dengan implikasi p → q. Pembuktian inimenggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu jika diketahuip bernilai benar (anteseden benar) dan implikasi bernilai benar, kemudiandengan langkah-langkah yang benar, pasti dihasilkan q yang bernilai benar(konsekuen bernilai benar).11Contoh:Buktikan bahwa jika x + 2 = 5 maka x = 3.Bukti:Diketahui x + 2 = 5. Kemudian, akan dibuktikan bahwa x = 3. Karena x + 2= 5 maka x + 2 – 2 = 5 – 2 atau x = 3. Jadi, terbukti bahwa jika x + 2 = 5maka x = 3.2. Pembuktian dengan Bukti TerbalikPembuktian dengan bukti terbalik menggunakan prinsip modustollens. Terdapat dua cara dalam pembuktian dengan bukti terbalik, yaitukontraposisi dan kontradiksi.a. KontraposisiPembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikansifat matematika yang mempunyai implikasi p → q. Nilai kebenaransuatu implikasi sama dengan nilai kebenaran kontraposisinya. Olehkarena itu, pembuktian dengan kontraposisi dari sifat matematikadengan implikasi p → q dilakukan dengan menunjukan kebenaran sifatmatematika ~q → ~p.12Misalkan akan dibuktikan sifat matematika p →q. Pembuktiandilakukan dengan membuktikan ~q → ~p. Dalam hal ini, diketahui ~qbernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar, pasti dihasilkan ~p yang benar.11Ibid., h. 304.12Ibid., h. 305.
  24. 24. Contoh:Buktikan bahwa jika x dan y bilangan ganjil maka x + y bilangna genap.Bukti:Kontraposisi dari implikasi “Jika x dan y bilangan ganjil maka x+ y bilangna genap” adalah “Jika x + y bukan bilangan genap maka xdan y bukan bilangna genap”.Diketahui x + y bukan bilangan genap, berarti x + y bilanganganjil. Oleh karena itu, x atau y merupakan bilangna ganjil berarti x atauy bukan bilangan genap. Jadi, terbukti bahwa jika x atau y bilanganganjil maka x atau y bilangna genap.b. KontradiksiPembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untukmembuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi. Untukmembuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi p → q,diandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatuyang salah misalkan tidak p karena yang diketahui adalah p), berartipengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar. Jadi,diperoleh q. Sedangkan untuk membuktikan sifat matematika yangberupa sifat p, diandaikan tidak p. Selanjutnya, jika dihasilkankontradiksi (sesuatu yang salah misalkan 1 bilangan genap), berartipengandaian salah. Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar.13Contoh:Buktikan bahwa 2 + 4 = 6.Bukti:Andaikan 2 + 4 ≠ 6 maka 2 + 4 – 4 ≠ 6 – 4 atau 2 ≠ 2. Hal inikontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Pengandaian 2 + 4 ≠ 6 harusdiingkar sehingga 2 + 4 = 6. Jadi, terbukti 2 + 4 = 6.13Ibid., h. 306.
  25. 25. 3. Pembuktian dengan Induksi MatematikaPembuktian dengan induksi matematika digunakan untukmembuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akandibuktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, berlaku P(n). Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n = 1.b. P(n) dianggap benar untuk n = k. Selanjutnya, dibuktikan bahwa P(n)benar untuk n = k + 1.c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asliberlaku P(n).Contoh:Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan asli, 4n– 1 habis dibagi 3.Bukti:a. Untuk n = 1 maka 4n– 1 = 41– 1 = 4 – 1 = 3 habis dibagi 3.b. Dianggap benar untuk n = k, berarti 4k– 1 habis dibagi 3. Selanjutnya,untuk n = k + 1 berlaku sebagai berikut:4k + 1– 1 = (4k× 4) – 1= [4k× (3 + 1)] – 1= [(4k× 3) + (4k× 1)] – 1= (3 × 4k) + (4k– 1)Karena 3 × 4kdan 4k– 1 habis dibagi 3 maka 4k + 1– 1 =(3 × 4k) + (4k–1) habis dibagi 3.c. Dari langkah a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli,berlaku 4n-1 habis dibagi 3.
  26. 26. BAB IIIKESIMPULANLogika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkansecara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.Dalam mempelajari logika matematika pasti berhubungan dengan istilahpernyataan, kalimat majemuk dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemukdiantaranya adalah sebagai berikut:1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”.2. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”.3. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”.4. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkandengan “↔”.Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yangdigunakan, diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, danbiimplikasi.Ada tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika,diantaranya adalah sebagai berikut:1. Dengan Modus Ponen.2. Dengan Modus Tollens.3. Dengan Silogisme.Untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dapat dilakukandengan tiga cara yaitu:1. Pembuktian dengan bukti langsung.2. Pembuktian dengan bukti tidak langsung.3. Pembuktian dengan induksi matematika.
  27. 27. DAFTAR PUSTAKAKusumah, Yaya S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.Munir, Rinaldi. 2012. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika.Ruseffendi. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer. Bandung:Tarsito.Siswanto. 2009. Theory and Application of Mathematics. Solo: Bilingual.Wirodikromo, Sartono. 2001. Matematika untuk SMA kelas X. Jakarta: Erlangga.

×