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Sobre números complexos

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  • 1. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013
  • 2. INTRODUCAO ¸˜ Introdu¸˜o ca Este trabalho trata de um conte´do a ser ensinada na Educa¸˜o B´sica, u ca a geralmente na terceira s´rie do Ensino M´dio: n´meros complexos. e e u Iremos iniciar esta apresenta¸˜o com uma revis˜o te´rica do tema, ca a o discorrendo sobre aquilo que o professor poder´ abordar na sala de aula. a Em seguida, algumas notas hist´ricos que podem contextualizar o o ensino. E considera¸˜es pedag´gicas sobre pr´ticas que facilitam o co o a aprendizado, enfatizando especialmente a necessidade de diversificadas abordagens did´ticas. O uso de novas Tecnologias de Informa¸˜o e a ca Comunica¸˜o est´ incluso, atrav´s da proposta de algumas atividades em ca a e ambiente computacional com suporte do software livre (GUI) Geogebra. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 2 / 77
  • 3. INTRODUCAO ¸˜ Na revis˜o te´rica, merece destaque a op¸˜o pela apresenta¸˜o do conjunto a o ca ca dos n´meros complexos a partir da conceitua¸˜o do Corpo dos N´meros u ca u Complexos. Parece-nos conveniente evitar come¸ar com a defini¸˜o arbitr´ria de c ca a ´ unidade imagin´ria, como fazem v´rios livros did´ticos e apostilas. E mais a a a interessante abordar tal classe de n´meros como uma extens˜o natural da u a constru¸˜o matem´tica de conjuntos num´ricos cada vez mais amplos. ca a e Observa¸˜o ca Muitas vezes as dificuldades sobre esse assunto surgem para o aluno logo no in´ ıcio. At´ porque a nomenclatura n˜o ajuda (n´meros complexos e a u ´ ´ devem ser ”complicados”; uma unidade imagin´ria ”n˜o deve ser a ´ a ´ e importante”; al´m do que se nega um dogma repetido desde a 5a s´rie: e ´ ao existe raiz quadrada de n´mero negativo”). E geralemnte ele ´ ´ ”n˜ u e exposto no final no ultimo ano, com pouco tempo para aprofundamento ´ do tema. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 3 / 77
  • 4. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS O corpo dos n´meros complexos u Defini¸˜o ca Definimos o corpo dos n´meros complexos como sendo o u conjunto C = {(x, y ) : x ∈ R e y ∈ R}, com as seguintes opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o: co ca ca se z = (x, y ) e w = (a, b) pertencem a C, ent˜o a z + w = (x + a, y + b) e zw = (xa − yb, xb + ya). N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 (1) 4 / 77
  • 5. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Os elementos de C s˜o denominados n´meros complexos. a u Denotaremos o n´mero complexo (0, 0) simplesmente por 0 e o n´mero u u complexo (1, 0) simplesmente por 1. Defini¸˜o ca Para cada z = (x, y ) ∈ C, definimos −z = (−x, −y ) e z −1 = x −y , x2 + y2 x2 + y2 O n´mero z −1 tamb´m ´ denotado por u e e se z = 0. (2) 1 ou 1/z. z N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 5 / 77
  • 6. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Decorrentes das opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o em C, temos o seguinte co ca ca resultado. Proposi¸˜o ca As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w , t ∈ C : (a) z + (w + t) = (z + w ) + t (associatividade da adi¸˜o). ca (b) z + w = w + z (comutatividade da adi¸˜o). ca (c) 0 + z = z (elemento neutro). (d) z + (−z) = 0 (elemento oposto). (e) z(wt) = (zw )t (associatividade da multiplica¸˜o). ca (f ) zw = wz (comutatividade da multiplica¸˜o). ca (g) 1z = z (elemento unidade). (h) zz −1 = 1 se z = 0 (elemento inverso). (i) z(w + t) = zw + zt (distributividade da multiplica¸˜o em rela¸˜o ` ca ca a adi¸˜o). ca N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 6 / 77
  • 7. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca Sejam z = (x, y ), w = (a, b) e t = (c, d). Ent˜o: a (a) Usando a associatividade da adi¸˜o de n´meros reais, temos: ca u z + (w + t) = (x, y ) + (a + c, b + d) = (x + (a + c), y + (b + d)) = ((x + a) + c, (y + b) + d) = (x + a, y + b) + (c, d) = (z + w ) + t. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 7 / 77
  • 8. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (b) Usando a comutatividade da adi¸˜o de n´meros reais, temos: ca u z +w = (x, y ) + (a, b) = (x + a, y + b) = (a + x, b + y ) = (a, b) + (x, y ) = w + z. (c) Usando o elemento neutro da adi¸˜o de n´meros reais, temos: ca u z + 0 = (x, y ) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y ) = z. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 8 / 77
  • 9. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (d) Usando a Defini¸˜o 1.2 e o elemento oposto da adi¸˜o de n´meros ca ca u reais, temos: z + (−z) = (x, y ) + (−x, −y ) = (x − x, y − y ) = (0, 0) = 0. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 9 / 77
  • 10. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (e) Como wt = (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) e zw = (x, y )(a, c) = (xa − yb, xb + ya), temos: z(wt) = (x, y )(ac − bd, ad + bc) = [x(ac − bd) − y (ad + bc), x(ad + bc) + y (ac − bd)] = (xac − xbd − yad − ybc, xad + xbc + yac − ybd) = (xac − ybc − xbd − yad, xbc + yac + xad − ybd) = [(xa − yb)c − (xb + ya)d, (xb + ya)c + (xa − by )d] = (zw )t, onde usamos a propriedade associativa da multiplica¸˜o de n´meros ca u reais. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 10 / 77
  • 11. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (f ) Usando a comutatividade da multiplica¸˜o de n´meros reais, temos: ca u zw = (x, y )(a, b) = (xa − yb, xb + ya) = (ax − by , ay + bx) = wz. (g) Usando o elemento unidade da multiplica¸˜o de n´meros reais, temos: ca u 1z = (1, 0)(x, y ) = (1x − 0y , 1y + 0x) = (1x, 1y ) = (x, y ) = z. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 11 / 77
  • 12. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (h) Como z −1 = x , −y x 2 +y 2 x 2 +y 2 se z = 0 (veja Defini¸˜o 2), temos: ca x −y , 2 x2 + y2 +y 2 x −y 2 = − 2 + y2 2 + y2 x x 2 + y 2 −xy + yx x = , x2 + y2 x2 + y2 = (1, 0) zz −1 = (x, y ) x2 , −xy x2 + y2 + yx x2 + y2 = 1. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 12 / 77
  • 13. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Demonstra¸˜o ca (i) Usando a distributividade da multiplica¸˜o em rela¸˜o ` adi¸˜o de ca ca a ca n´meros reais, temos: u z(w + t) = (x, y )[(a, b) + (c, d)] = (x, y )(a + c, b + d) = (x(a + c) − y (b + d), x(b + d) + y (a + c)) = (xa + xc − yb − yd, xb + xd + ya + yc) = [(xa − yb) + (xc − yd), (xb + ya) + (xd + yc)] = (xa − yb, xb + ya) + (xc − yd, xd + yc) = (x, y )(a, b) + (x, y )(c, d) = zw + zt. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 13 / 77
  • 14. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Observa¸˜o ca Denomina-se corpo um conjunto no qual est˜o definidas opera¸˜es de a co adi¸˜o e multiplica¸˜o que satisfazem as propriedades mencionadas na ca ca Proposi¸˜o 1.1. Por esta raz˜o ´ que chamamos C de corpo dos n´meros ca a e u complexos, assim como nos referimos a R como corpo dos n´meros reais e u a Q como corpo dos n´meros racionais. u Tendo definido as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o em C, definimos as co ca ca opera¸˜es de subtra¸˜o e divis˜o da maneira usual: co ca a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 14 / 77
  • 15. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Defini¸˜o ca Dados z, w ∈ C, z − w = z + (−w ) e z = zw −1 , se w = 0. w Al´m disso, a potencia¸˜o tamb´m ´ definida da maneira usual: e ca e e Defini¸˜o ca Dado z ∈ C, z 0 = 1, zn = z · · · z n vezes e z −n = z −1 · · · z −1 , se z = 0 (n ≥ 1). n vezes N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 15 / 77
  • 16. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Decorre da Proposi¸˜o 1.1 que diversas propriedades das opera¸˜es ca co aritm´ticas de n´meros reais s˜o v´lidas para n´meros complexos. Por e u a a u z2 z1 e de n´meros comu exemplo, a soma e o produto de duas fra¸˜es co w1 w2 plexos podem ser obtidas pelas f´rmulas: o z1 z2 z1 w2 + z2 w1 z1 z2 z1 z2 + = e = w1 w2 w1 w2 w1 w2 w1 w2 (3) Al´m disso, temos o seguinte princ´ e ıpio de inclus˜o: podemos encarar R a como um subconjunto de C, ou seja, todo n´mero real ´ considerado um u e n´mero complexo. Isto ocorre quando denotamos qualquer n´mero comu u plexo (x, 0), com x ∈ R, simplesmente por x. Ou seja, atrav´s dessa e conven¸˜o podemos dizer que todo elemento de R ´ um elemento de C da ca e forma (x, 0). Estamos estendendo, portanto, a ideia j´ exposta em rela¸˜o a ca ao elemento neutro 0 e ao elemento unidade 1. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 16 / 77
  • 17. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Observa¸˜o ca A soma dos n´meros reais x e a ou a soma dos n´meros complexos x e a u u leva ao mesmo resultado; analogamente com o produto dos n´meros reais u x e a e dos n´meros complexos x e a. u (x, 0) + (a, 0) = (x + a, 0) = x + a e (x, 0)(a, 0) = (xa − 0.0, x.0 + 0.a) = (xa, 0) = xa. Por conseguinte, n˜o existe ambiguidade nas nota¸˜es x + a e xa, com a a co ado¸˜o da inclus˜o apresentada acima. ca a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 17 / 77
  • 18. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Pela defini¸˜o inicial (0, 1)(0, 1) = (0 − 1, 0 + 0) = −1. ca Defini¸˜o ca Chamaremos de algarismo imagin´rio o n´mero complexo (0, 1) e o a u denotaremos por i. Temos, ent˜o, a propriedade b´sica do algarismo imagin´rio: a a a i 2 = −1. E, dado um n´mero complexo qualquer z = (x, y ), temos: u z = (x, y ) = (x, 0) + (0, y ) = (x, 0) + (y , 0)(0, 1), ou seja, z = x + yi. Logo, o par (x, y ) e a express˜o x + yi representam o mesmo n´mero a u complexo. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 18 / 77
  • 19. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Representa¸˜o alg´brica ca e A express˜o x + yi ´ denominada forma alg´brica de z. a e e Observa¸˜o ca Quando usamos a forma alg´brica dos n´meros complexos, as defini¸˜es e u co de z + w e zw dadas em (1) tornam-se de simples entendimento a partir de algumas das propriedades de adi¸˜o e de multiplica¸˜o em C j´ ca ca a apresentadas. Com efeito, se z = x + yi e w = a + bi forem n´meros u complexos, ent˜o a z + w = (x + yi) + (a + bi) = x + a + yi + bi = (x + a) + (y + b)i e zw = (x + yi)(a + bi) = xa + yia + xbi + ybi 2 = (xa − yb) + (xb + ya)i. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 19 / 77
  • 20. ´ CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS Defini¸˜o ca Dado um n´mero complexo z = x + yi, definimos a parte real e a parte u imagin´ria de z por a Re z = x e Im z = y , respectivamente. Quando Re z = 0, diremos que z ´ imagin´rio puro. e a Ressaltamos que, na express˜o de qualquer n´mero complexo, suas partes a u real e imagin´ria s˜o n´meros reais. a a u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 20 / 77
  • 21. ´ REPRESENTACAO GEOMETRICA DE Z ¸˜ O plano de complexo As coordenadas de um ponto de R2 , por exemplo (x, y ), constituem a parte real e a parte imagin´ria de um n´mero complexo, respectivamente. a u Portanto, podemos definir: Defini¸˜o ca A imagem do complexo z = x + yi ´ o ponto (x, y ) do plano cartesiano. e Podemos, tamb´m, chamar o segmento orientado que liga a origem do e plano ` imagem de z de vetor representativo desse n´mero complexo; a u − → vetor esse, Oz, com componentes x e y . Neste contexto, chamaremos o plano cartesiano de plano complexo, o eixo das abscissas de eixo real e o eixo das ordenadas de eixo imagin´rio. a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 21 / 77
  • 22. ´ REPRESENTACAO GEOMETRICA DE Z ¸˜ Figura : Imagem de z N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 22 / 77
  • 23. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Conjugado Defini¸˜o ca O conjugado de um n´mero complexo z = x + yi ´ o n´mero complexo u e u z = x − yi. Graficamente, z ´ o ponto do plano complexo obtido atrav´s da reflex˜o de e e a z em rela¸˜o ao eixo real. ca N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 23 / 77
  • 24. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Figura : Imagem do conjugado N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 24 / 77
  • 25. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Proposi¸˜o ca As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w ∈ C: (a) z = z, z ± w = z ± w e z w = z w . (b) z + z = 2 Re z e z − z = 2i Im z. (c) z ∈ R se, e somente se, z = z. (d) z ser´ imagin´rio puro se, e somente se, z = −z. a a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 25 / 77
  • 26. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca Sejam z = x + yi e w = a + bi. Ent˜o z = x − yi e w = a − bi. Portanto: a (a) z = x − yi = x + yi = z; z + w = (x + a) + (y + b)i = (x + a) − (y + b)i = (x − yi) + (a − bi) = z + w ; z − w = (x − a) + (y − b)i = (x − a) − (y − b)i = (x − yi) − (a − bi) = z − w ; z w = (xa − yb) + (xb − ya)i = (xa − yb) − (xb + ya)i = z w . (b) z + z = (x + yi) + (x − yi) = (x + x) + (y − y )i = 2x + 0i = 2 Re z; z − z = (x + yi) − (x − yi) = (x − x) + (y + y )i = 0x + 2yi = 2i Im z. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 26 / 77
  • 27. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca (c) se z ∈ R, ent˜o Im z = 0, ou seja, y = 0 e z = x + 0i e, portanto, a z = x = x − 0i = z. Reciprocamente, se z = z, ou seja, se x + yi = x − yi, ent˜o 2yi = 0, donde y = 0 e z = x ∈ R. a (d) se z for imagin´rio puro, ent˜o Re z = 0, ou seja, x = 0 e z = 0 + yi a a e, portanto, z = yi = −(−yi) = −z. Reciprocamente, se z = −z, ou seja, se x + yi = −(x − yi), ent˜o 2x = 0, donde x = 0 e z = yi. a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 27 / 77
  • 28. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Atrav´s da no¸˜o de conjugado, podemos deduzir a express˜o do inverso de e ca a um n´mero complexo z = x + yi = 0 da seguinte maneira: u z −1 = = = = = 1 x + yi 1 x + yi x + yi x + yi 1 x − yi x + yi x − yi x − yi x2 + y2 x −y + 2 i. 2 + y2 x x + y2 N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 28 / 77
  • 29. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Valor absoluto Defini¸˜o ca Definiremos o valor absoluto (ou m´dulo) de um n´mero complexo o u z = x + yi por |z| = x 2 + y 2 . − → Graficamente, o n´mero real |z| nos d´ o comprimento de Oz. u a Al´m disso, pode-se concluir que |z − w | ´ a distˆncia entre as imagens de e e a z e w. A figura a seguir nos mostra a interpreta¸˜o geom´trica da soma de dois ca e n´meros complexos z = x + yi e w = a + bi. O vetor sobre a diagonal do u paralelogramo representa a soma z + w N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 29 / 77
  • 30. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Figura : Soma de dois n´meros complexos u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 30 / 77
  • 31. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Proposi¸˜o ca As seguintes propriedades se verificam para quaisquer z, w ∈ C : (a) Re z ≤ |Re z| ≤ |z| e Im z ≤ |Im z| ≤ |z|. (b) |z|2 = zz, |z| = |z| e |zw | = |z||w |. (c) |z + w | ≤ |z| + |w |. (d) |z + w | ≥ ||z| − |w ||. A desigualdade (c) ´ conhecida como desigualdade triangular. e Demonstra¸˜o ca √ (a) Se z = x + yi, ent˜o |z| = x 2 + y 2 ≥ x 2 = |Re z| ≥ Re z. a Analogamente, |z| = x 2 + y 2 ≥ y 2 = |Im z| ≥ Im z. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 31 / 77
  • 32. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca (b) Se z = x + yi, e z = x − yi, temos |z|2 = ( x 2 + y 2 )2 = x 2 + y 2 . (4) zz = (x + yi)(x − yi) = x 2 + y 2 . (5) Por (4) e (5), conclu´ ımos que |z|2 = zz. Observe, tamb´m, que |z| = x 2 + (−y )2 = x 2 + y 2 = |z|. e Agora, se w = a + bi, ent˜o zw = (xa − yb) + (xb + ya)i. Portanto, a |zw | = (xa − yb)2 + (xb + ya)2 = x 2 a2 − 2xayb + y 2 b 2 + x 2 b 2 + 2xbya + y 2 a2 = x 2 a2 + y 2 b 2 + x 2 b 2 + y 2 a2 = x 2 (a2 + b 2 ) + y 2 (a2 + b 2 ) = (x 2 + y 2 )(a2 + b 2 ) = (x 2 + y 2 ) N´meros Complexos e Geogebra u (a2 + b 2 ) = |z||w |. 28 de outubro de 2013 32 / 77
  • 33. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca (c) Afirmamos que: |z + w |2 = |z|2 + 2Re zw + |w |2 . Com efeito, |z + w |2 = (z + w )(z + w ) = (z + w )(z + w ) = zz + zw + w z + w w . Temos que wz = w z = w z = z w, portanto, |z + w |2 = |z|2 + (zw + z w ) + |w |2 = |z|2 + 2Re zw + |w |2 . N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 33 / 77
  • 34. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca Como |z|2 + 2Re (zw ) + |w |2 ≤ |z|2 + 2|zw | + |w |2 = |z|2 + 2|z||w | + |w |2 = (|z| + |w |)2 , segue que |z + w |2 ≤ (|z| + |w |)2 . Extraindo as ra´ quadradas de ambos os lados da desigualdade acima, ızes obtemos a desigualdade desejada. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 34 / 77
  • 35. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Demonstra¸˜o ca (d) Usando a desigualdade triangular obtida no item (c), temos |z| = |(z+w )−w | ≤ |z+w |+|−w | = |z+w |+|w |, donde |z+w | ≥ |z|−|w Trocando os pap´is de z e w na desigualdade acima, obtemos e |z + w | ≥ |w | − |z|. Como ||z| − |w || = |z| − |w | se |z| ≥ |w | e ||z| − |w || = |w | − |z| se |w | ≥ |z|, vemos que, em qualquer caso, |z + w | ≥ ||z| − |w ||. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 35 / 77
  • 36. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Se z = 0, podemos reescrever a primeira igualdade do item (b) da seguinte forma: z |z|2 = −1 , ou seja , z z z −1 = 2 . |z| Essa identidade mostra que, representando graficamente z, z −1 aponta na dire¸˜o de z e tem valor absoluto 1/|z|. ca N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 36 / 77
  • 37. CONJUGADO E VALOR ABSOLUTO Figura : Imagem do inverso de um n´mero complexo u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 37 / 77
  • 38. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Trigonometria e n´meros complexos u Rela¸˜es trigonom´tricas elementares nos permitem estabelecer uma nova co e representa¸˜o para um n´mero complexo z. ca u Defini¸˜o ca A representa¸˜o trigonom´trica de z ´: ca e e z = |z|(cos θ + i sen θ). Se θ ∈ R satisfizer a express˜o acima, diremos que θ ´ um argumento de a e z. Consideremos um n´mero complexo z = x + yi = 0. Seja α o ˆngulo u a que o eixo real positivo forma com o vetor correspondente a z no sentido y x anti-hor´rio. Como cos α = |z| e sen α = |z| , temos: a z = |z|(cos α + i sen α). N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 38 / 77
  • 39. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Assim, ´ sempre poss´ passar da representa¸˜o alg´brica para a trigoe ıvel ca e nom´trica, e vice-versa. e Pela defini¸˜o, α ´ um argumento de z. Entretanto, qualquer α da forma ca e α + 2kπ, com k ∈ Z, tamb´m satisfaz a igualdade acima, uma que vez que e as fun¸˜es seno e cosseno s˜o b peri´dicas com per´ co a o ıodo 2π. Conclu´ ımos, ent˜o, que z possui infinitos argumentos. Por outro lado, se θ a for tal que z = |z|(cos θ + i sen θ), ent˜o cos θ = cos α e sen θ = sen α, o a que implica que θ = α + 2kπ para algum k ∈ Z. O unico argumento de z ´ que pertence ao intervalo (−π, π] ´ denominado argumento principal de e z e ´ denotado por Arg z. e b Lembramos que: uma fun¸˜o f : R → R ´ peri´dica com per´ ca e o ıodo τ se f (t + τ ) = f (τ ), para todo τ ∈ R. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 39 / 77
  • 40. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Forma polar de z Defini¸˜o ca A identidade z = |z|[cos(Arg z) + i sen (Arg z)] ´ denominada a forma polar de z. e Agora, sejam z1 = |z1 |(cos θ1 + i sen θ1 ) e z2 = |z2 |(cos θ2 + i sen θ2 ) dois n´meros complexos n˜o nulos. Vamos obter a representa¸˜o polar para u a ca z1 z2 . N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 40 / 77
  • 41. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Figura : Forma polar de n´mero complexo u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 41 / 77
  • 42. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Temos que: z1 z2 = |z1 |(cos θ1 + i sen θ1 ) |z2 |(cos θ2 + i sen θ2 ) = |z1 ||z2 |(cos θ1 + i sen θ1 )(cos θ2 + i sen θ2 ) = |z1 ||z2 |[cos θ1 (cos θ2 + i sen θ2 ) + i sen θ1 (cos θ2 + i sen θ2 )] = = |z1 ||z2 |[cos θ1 cos θ2 +cos θ1 i sen θ2 +i sen θ1 cos θ2 +i sen θ1 i sen θ2 ] = = |z1 ||z2 |[(cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 ) + i(cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2 )], de onde conclu´ ımos que z1 z2 c = |z1 ||z2 |[cos(θ1 + θ2 ) + i sen (θ1 + θ2 )]. Esta igualdade nos d´ a interpreta¸˜o gr´fica do produto de dois n´meros a ca a u complexos. c Para obter a igualdade, usamos as f´rmulas de adi¸˜o trigonom´tricas do o ca e Ensino M´dio. e N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 42 / 77
  • 43. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Figura : Produto de dois n´meros complexos u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 43 / 77
  • 44. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z z1 z2 tem valor absoluto |z1 ||z2 | e tem θ1 + θ2 como argumento Seja z = |z|[cos(θ) + i sen(θ)] um n´mero complexo n˜o nulo. Vamos, u a agora, obter a representa¸˜o polar para z −1 . ca Sabemos que cos(−θ) = cos(θ) e sen(−θ) = − sen(θ). Portanto, podemos escrever que z = |z|[cos(−θ) + i sen(−θ)]. z |z|[cos(−θ) + i sen(−θ)] Tamb´m j´ vimos que z −1 = 2 ; ent˜o: z −1 = e a a . |z| |z|2 Sendo assim, a representa¸˜o polar de z −1 ´: ca e z −1 = |z|−1 [cos(−θ) + i sen(−θ)]. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 44 / 77
  • 45. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z A partir das representa¸˜es polares encontradas anteriormente, conclu´ co ımos que −1 −1 z1 z2 = |z1 | |z2 |[cos(θ1 + (−θ2 )) + sen(θ1 + (−θ2 ))], o que nos d´ a seguinte f´rmula de divis˜o: a o a |z1 | z1 = [cos(θ1 − θ2 ) + sen(θ1 − θ2 )]. z2 |z2 | N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 45 / 77
  • 46. TRIGONOMETRIA E FORMA POLAR DE Z Figura : Quociente de dois n´meros complexos u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 46 / 77
  • 47. ´ FORMULAS DE MOIVRE Seja z ∈ C tal que |z| = ρ = 0. Para n ∈ Z, vale: z n = ρn [cos(n.θ) + i sen(n.θ)]. (6) Esta igualdade ´ conhecida como Primeira F´rmula de Moivre. Na dee o monstra¸˜o da F´rmula de Moivre, utilizaremos o Princ´ ca o ıpio de Indu¸˜o ca Matem´tica. Sendo a Indu¸˜o Matem´tica um m´todo ainda restrito ao a ca a e ensino superior de Matem´tica, informamos que apresentaremos a prova a desta f´rmula apenas para auxiliar o professor - leitor - do Ensino M´dio, j´ o e a familiarizado com tal m´todo, na revis˜o da teoria de n´meros complexos. e a u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 47 / 77
  • 48. ´ FORMULAS DE MOIVRE Figura : Potˆncias de z, |z| = 1. e N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 48 / 77
  • 49. ´ FORMULAS DE MOIVRE Demonstra¸˜o ca Vamos inicialmente provar que a igualdade (6) ´ v´lida para n ∈ N, e a usando o Princ´ de Indu¸˜o Matem´tica. ıpio ca a (I) Se n = 0, z 0 = 1 = ρ0 (cos 0 + i sen 0). (II) Admitamos que a f´rmula seja v´lida para n = k: o a z k = ρk [cos(k.θ) + i sen(k.θ)]. (III) Agora vamos provar que a igualdade ´ v´lida para n = k + 1. Com e a efeito, usando o item anterior, temos: z k .z = [ρk (cos(k.θ) + i sen(k.θ)].[ρ(cos(θ) + i sen(θ)] = (ρk .ρ)[cos(k.θ). cos(θ) + i 2 sen(k.θ) sen(θ)] +i[(cos(k.θ). sen(θ) + sen(k.θ) cos(θ)] = (ρk .ρ)[cos(kθ + θ)] + i[sen(kθ + θ)]. Ent˜o: a z k .z = ρk+1 [cos((k + 1)θ) + i sen((k + 1)θ)] = z k+1 . N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 49 / 77
  • 50. ´ FORMULAS DE MOIVRE Finalmente, vamos constatar que a igualdade (6) ´ v´lida para n ∈ Z. e a Considerando o caso de interesse n < 0, podemos tomar m = −n. Ent˜o, a 1 e z n = z −m = m . Como −n = m ∈ N, para m, a igualdade (6) ´ verdadeira, z pelo o que foi visto acima, nos levando a: 1 + i sen(m.θ)] 1 [cos(m.θ) − i sen(m.θ)] = m [cos(m.θ) + i sen(m.θ)][cos(m.θ) − i sen(m.θ)] ρ 1 [cos(m.θ) − i sen(m.θ)] = ρm cos2 (m.θ) + sen2 (m.θ) = d = ρ−m [cos(m.θ) − i sen(m.θ)] zn = ρm [(cos(m.θ) = ρ−m [cos((−m).θ) + i sen((−m).θ)] = ρn [cos(nθ) + i sen(n.θ)]. d Aqui usamos a identidade trigonom´trica fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 e para todo x ∈ R. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 50 / 77
  • 51. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES Dados um n´mero complexo w e um n´mero natural n ≥ 1, diremos que u u z ∈ C ´ uma raiz n-´sima de w se e e zn = w. Se w = 0, ´ claro que z = 0 ´ a unica solu¸˜o da equa¸˜o z n = w . Logo, e e ´ ca ca o n´mero 0 possui uma unica raiz n-´sima que ´ o pr´prio 0. A seguir, u ´ e e o veremos que se w = 0 ent˜o existir˜o exatamente n solu¸˜es distintas da a a co equa¸˜o z n = w . ca Teorema Fixe n ∈ N∗ . Todo n´mero complexo n˜o nulo w possui exatamente n u a ra´ n-´simas complexas distintas, a saber, ızes e n |w | cos Arg z + 2kπ n + i sen Arg z + 2kπ n , (7) onde k = 0, 2, . . . , n − 1. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 51 / 77
  • 52. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES Demonstra¸˜o ca Para cada k ∈ N, seja zk o n´mero complexo dado em (7). Escrevamos u w = |w |(cos ψ + i sen ψ), onde ψ = Arg z. O nosso objetivo ´ procurar e todos os n´meros complexos z = |z|(cos θ + i sen θ) para os quais ´ u e verdade que zn = w. Pela Primeira F´rmula de Moivre, a equa¸˜o acima se transforma em o ca |z|n [cos(nθ) + i sen (nθ)] = |w |(cos ψ + i sen ψ), o que equivale a dizer que |z|n = |w |, cos(nθ) = cos ψ e sen(nθ) = sen ψ. A primeira condi¸˜o ´ satisfeita precisamente quando |z| = ca e N´meros Complexos e Geogebra u n |w |. 28 de outubro de 2013 52 / 77
  • 53. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES Demonstra¸˜o ca As condi¸˜es cos(nθ) = cos ψ e sen(nθ) = sen ψ. s˜o satisfeitas co a quando nθ = ψ + 2kπ com k ∈ Z, ou seja, θ = ψ+2kπ com k ∈ Z. n Portanto, as ra´ n-´simas de w s˜o os n´meros zk para k ∈ Z. Fazendo ızes e a u k = 0, 1, . . . , n − 1, obtemos distintas ra´ n-´simas de w . Todavia, os ızes e demais valores de k nos d˜o apenas repeti¸˜es das ra´ z0 , z1 , . . . , zn−1 . a co ızes Com efeito, tomemos k ∈ Z arbitr´rio. Escrevamos a k = qn + r com z ∈ Z e 0 ≤ r < n. Como ψ + 2(qn + r )π ψ + 2r π ψ + 2kπ = = + 2qπ, n n n segue que zk = zr ∈ {z0 , z1 , . . . , zn−1 }. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 53 / 77
  • 54. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES A raiz n-´sima de w obtida fazendo k = 0 em (7) ´ denominada raiz e e √ e n-´sima principal de w . A nota¸˜o n w ´ reservada para esta raiz. Esta e ca nota¸˜o ´ coerente com a nota¸˜o n |w | que indica a unica raiz real positiva ca e ca ´ de |w |. Portanto, √ n w= n |w | cos Arg w n + i sen Arg w n . Observamos que todas as n ra´ n-´simas de z possuem o mesmo m´dulo, ızes e o a saber, n |z|. Ent˜o, elas s˜o representadas por n pontos sobre a circuna a e a ferˆncia com centro na origem e raio n |w |. Al´m disso, estes pontos est˜o e igualmente espa¸ados ao longo desta circunferˆncia devido ` rela¸˜o de seus c e a ca argumentos. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 54 / 77
  • 55. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES Como exemplo, consideremos as ra´ c´bicas de 8. Elas s˜o os n´meros ızes u a u zk = 2 cos 2kπ 2kπ + i sen 3 3 para k = 0, 1, 2. √ √ Calculando, obtemos z0 = 2, z1 = −1 + i 3 e z2 = −1 − i 3. As ra´ ızes z0 , z1 e z2 dividem a circunferˆncia de centro (0, 0) e raio 2 em e trˆs partes congruentes como mostra a figura a seguir. e N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 55 / 77
  • 56. EXTRACAO DE RA´ ¸˜ IZES Figura : Ra´ c´bicas de 8. ızes u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 56 / 77
  • 57. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO De modo geral, ´ pedagogicamente interessante, quando poss´ e ıvel, iniciar a abordagem de um t´pico de Matem´tica no ensino fundamental trazendo o a informa¸˜es hist´ricas que ajudam o aluno a perceber seu significado e co o perceber liga¸˜es entre esse assunto e outros. co No caso dos n´meros complexos temos uma hist´ria interessante, u o onde surgem personagens carism´ticos, e onde a liga¸˜o entre equa¸˜es a ca co alg´bricas e n´meros complexos surge de maneira natural, facilitando a e u contextualiza¸˜o do assunto. ca N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 57 / 77
  • 58. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Notas hist´ricas o Opera¸˜es com ra´ co ızes quadradas de n´meros negativos apareceram j´ no u a s´culo XVI em registros relacionados a resolu¸˜o de equa¸˜es de terceiro e ca co grau. Girolamo Cardano (1501-1576) e Niccolo Fontana, apelidado Tartaglia (1500-1557) dividem a autoria e divulga¸˜o da autoria de uma f´rmula ca o de resolu¸˜o de equa¸˜es do tipo ca co x 3 + px 2 + q = 0. Analisaremos a chamada f´rmula de Cardano a seguir, mas antes vamos o ressaltar um detalhe da maior importˆncia para o aluno do Ensino M´dio: a e a f´rmula n˜o nos d´ solu¸˜es complexas da equa¸˜o do terceiro grau; ela o a a co ca deve ser aplicada na busca de uma raiz real. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 58 / 77
  • 59. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Consideremos a equa¸˜o geral do terceiro grau ca ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a = 0. (8) Inicialmente, vamos anular o termo de segundo grau. Fazendo x = y + m, temos: a(y + m)3 + b(y + m)2 + c(y + m) + d = 0, ou seja, ay 3 + (3am + b)y 2 + (3am2 + 2bm + c)y + am3 + bm2 + cm + d = 0. b . Note que, com isso, 3a 2 , obtendo a equa¸˜o anulamos o termo multiplicado por y ca Agora, vamos fazer 3am = −b, isto ´, m = − e ay 3 + 3a −b 3a 2 + 2b −b 3a +c y +a −b 3a 3 +b N´meros Complexos e Geogebra u −b 3a 2 +c −b 3a + d = 0. 28 de outubro de 2013 59 / 77
  • 60. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Ent˜o, a ay 3 + 3ac − b 2 3a y+ 2b 3 − 9abc + 27a2 d = 0, 27a2 que ´ uma equa¸˜o da forma e ca y 3 + px + q = 0, (9) obtida a partir da forma geral da equa¸˜o de terceiro grau. Ent˜o, se y ca a for uma solu¸˜o para (9), x = y +m ser´ uma solu¸˜o para a equa¸˜o geral. ca a ca ca Agora vamos supor que a solu¸˜o procurada ´ composta de duas ca e parcelas: x = A + B . Os dois lados da equa¸˜o sendo iguais, seus cubos ca tamb´m o ser˜o e, por conseguinte, x 3 = (A + B)3 , ou seja, e a x 3 = A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 = A3 + B 3 + 3AB(A + B). N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 60 / 77
  • 61. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Como x = A + B, obtemos x 3 = A3 + B 3 + 3ABx, ou x 3 − 3ABx − (A3 + B 3 ) = 0. (10) Comparando as Equa¸˜es (9) e (10), conclu´ co ımos que 3AB = −p ou p3 . 27 (11) A3 + B 3 = −q. (12) A3 B 3 = − Tamb´m temos: e Assim, A3 e B 3 s˜o dois n´meros dos quais conhecemos a soma e o produto. a u Por (11) e (12), temos A3 (−q − A3 ) = − A3 2 + qA3 − p3 ⇒ 27 p3 = 0. 27 N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 61 / 77
  • 62. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Aplicando a F´rmula Bhaskara, obtemos o −q ± q2 − 4 − A3 = p3 27 2 ⇓ q A3 = − ± 2 27q 2 + 4p 3 . 108 q A3 = − + 2 27q 2 + 4p 3 . 108 (13) Escolhendo a soma: Ent˜o, a B 3 = −q − q − + 2 27q 2 + 4p 3 108 q ⇒ B3 = − − 2 N´meros Complexos e Geogebra u 27q 2 + 4p 3 . 108 28 de outubro de 2013 62 / 77
  • 63. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Finalmente, como x = A + B, temos x= 3 q − + 2 27q 2 + 4p 3 + 108 3 q − − 2 27q 2 + 4p 3 . 108 (14) Escolhendo a diferen¸a em (13), o resultado n˜o se altera. c a Para compreens˜o de um aluno do Ensino M´dio, ´ mais aconselh´vel a e e a ilustrar a t´cnica que leva ` f´rmula de Cardano (14) com um exemplo e a o num´rico. e N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 63 / 77
  • 64. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Em 1.572 Rafael Bombelli publicou um √ estudo das leis alg´bricas que e regiam o c´lculo com as quantidades a + b −1. a Foi Ren` Descartes, em 1637, com a obra La G´om´trie, quem introduziu e e e os termos parte real e parte imagin´ria. a A raiz quadrada de −1 s´ passou a ser representada pela letra i a partir de o 1777, pelo gˆnio su´co Leonhard Euler. e ı¸ A express˜o n´meros complexos foi usada pela primeira vez por Gauss em a u 1831. E Gauss definiu os n´meros complexos na forma a + bi, onde a e b u 2 = −1. s˜o n´meros reais e i a u N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 64 / 77
  • 65. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO O passo decisivo no sentido de formalizar o conceito de n´mero complexo u foi a representa¸˜o geom´trica desses n´meros como pontos do plano. ca e u Jean Robert Argand e Caspar Wessel, independentemente, motivados pela geometria e pela topografia, de maneira intuitiva e pr´tica, representaram a geometricamente os complexos como pontos (e como vetores) num plano cartesiano. O primeiro matem´tico a ter uma vis˜o clara de tal representa¸˜o e explor´a a ca a la em suas investiga¸˜es foi Gauss, conforme fica claro, embora de modo co impl´ ıcito, em sua tese escrita em 1799. Todavia, Gauss s´ expˆs ao p´blico o o u suas ideias a esse respeito em 1831, com o prop´sito de introduzir os inteiros o gaussianos. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 65 / 77
  • 66. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Deve-se a Jean-Robert Argand (1768-1822) uma publica¸˜o, em 1806, ca com a atual e definitiva interpreta¸˜o geom´trica dos n´meros complexos, ca e u conhecida como Diagrama de Argand. Gra¸as ao uso do plano de Argand-Gauss podemos ´ c ”algebrizar´ vetores ” bidimensionais, o que tem in´meras aplica¸˜es em diversos campos da u co Matem´tica, da Engenharia e da F´ a ısica. Tamb´m ´ importante do ponto e e de vista pedag´gico por fornecer um significado concreto ao tema, al´m da o e mera manipula¸˜o alg´brica. ca e O corpo dos n´meros complexos C foi finalmente definido de modo rigoroso u por Hamilton em 1837. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 66 / 77
  • 67. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Considera¸˜es pedag´gicas co o ”A aritm´tica dos n´meros complexos n˜o apresenta dificuldades. A e u a conex˜o com a Geometria, por´m ´ deficiente, o que ´ estranho pois a a e e e Geometria Anal´ ıtica acabou de ser estudada . . . . As aplica¸˜es co geom´tricas das opera¸˜es entre complexos (principalmente a e co multiplica¸˜o), t˜o belas como variadas, n˜o s˜o exploradas. Isto ´ ca a a a e imperdo´vel, pois todo matem´tico ou usu´rio da Matem´tica, ao pensar a a a a num n´mero complexo, sempre o imagina como um ponto do plano u coordenado e as opera¸˜es s˜o interpretadas como transforma¸˜es co a co geom´tricas”. (Prof. ELon Lages Lima - [7]) e N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 67 / 77
  • 68. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Uma proposta curricular A referˆncia correspondente `s cita¸˜es desta se¸˜o ´ [8]. e a co ca e Para os professores da Rede Estadual de S˜o Paulo est´ previsto no a a Curr´ ıculo de Matem´tica da Educa¸˜o B´sica o ensino dos n´meros a ca a u complexos no segundo bimestre do terceiro ano do Ensino M´dio. e As orienta¸˜es para esse prop´sito est˜o materializadas no respectivo co o a Caderno do Professor, do qual transcreveremos alguns pontos, devido a sua importˆncia para nossos docentes e a sua justeza pedag´gica. a o N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 68 / 77
  • 69. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO ´ . . . quando os n´meros complexos entram em cena, a ˆnfase n˜o ser´ ” u e a a posta nos c´lculos alg´bricos, mas sim no significado de tais n´meros, a e u de aparˆncia inicialmente estranha, mas que conduzem a uma not´vel e a expans˜o dos conjuntos num´ricos j´ conhecidos.´ a e a ” ´ ’’Essa perspectiva valoriza o ensino da Matem´tica como transmiss˜o de a a um maravilhoso patrimˆnio cultural da humanidade, que transcende as o in´meras possibilidades de sua aplica¸˜o nas demais Ciˆncias e no dia a u ca e dia.´ ” N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 69 / 77
  • 70. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Continuando as considera¸˜es do Curr´ co ıculo, vemos a ˆnfase nas ´ ultiplas e ’’m´ possibilidades da representa¸˜o geom´trica de um n´mero complexo z ... E ca e u assim, como a reta foi necess´ria e suficiente para acolher todos os n´meros a u reais, com a expans˜o do campo num´rico para incluir n´meros que possam a e u ser ra´ quadradas de negativos, ser´ necess´rio (e suficiente) todo o plano ızes a a cartesiano, que servir´ de inspira¸˜o para a constru¸˜o do plano complexo, a ca ca suporte para a representa¸˜o de todos os n´meros complexos.´ ca u ’’ N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 70 / 77
  • 71. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Para enfatizar o significado geom´trico da representa¸˜o dos complexos no e ca plano, a recomenda¸˜o ´ clara: ca e ´ ’’As aproxima¸˜es com a geometria anal´ co ıtica plana ser˜o naturais ... ´ a ’’. Seguem-se exemplos. Prosseguindo, ´ proposta a supera¸˜o de uma vis˜o estritamente alg´brica e ca a e ´ das opera¸˜es em C : ’’... as opera¸˜es com complexos correspondem ` co co a realiza¸˜o de certos movimentos no plano... ´ Seguem-se exemplos. ca ’’. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 71 / 77
  • 72. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Cabe, portanto, a todo professor da rede p´blica do estado de S˜o Paulo u a apropriar-se de tais propostas para ensinar os n´meros complexos sem trazer u dificuldades alg´bricas exageradas, mas sem subestimar a importˆncia do e a tema. Mas, indo al´m, acreditamos que tais ideias s˜o dignas de an´lise e cone a a sidera¸˜o por todo professor, respeitadas as especificidades da Proposta ca Curricular de seu Sistema de Ensino. N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 72 / 77
  • 73. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 73 / 77
  • 74. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Tendo em vista o que foi exposto acima, procuramos criar atividades que atendessem aos seguintes prop´sitos: o - ser util ` forma¸˜o matem´tica dos estudantes. ´ a ca a - ser suficientemente atraente para que o estudo dos n´meros complexos u seja motivador e n˜o sofra resistˆnncias por parecer chato ou in´til. a e u - estar dispon´ a qualquer pessoa interessada, professor ou estudante, ıvel requerendo para a realiza¸˜o das atividades unicamente o acesso ` internet. ca a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 74 / 77
  • 75. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO Com essas pretens˜es, fizemos as seguintes op¸˜es: o co (a) usar o Geogebra como plataforma para cria¸˜o de applets. ca (b) disponibilizar o material no site ”GeoGebraTube”. Trata-se de um reposit´rio de atividades de todas as ´reas da Matem´tica, de todos o a a os n´ ıveis, global, de livre acesso, para visualiza¸˜o e intera¸˜o online ca ca ou para download e modifica¸˜o quando o usu´rio achar conveniente. ca a As atividades podem ser acessadas diretamente por qualquer estudante interessado, ou podem ser sugeridas no plano de aula de qualquer professor. (c) resolver alguns exerc´ ıcios de vestibulares de importantes universidades. O tema n´meros complexos foi e continua sendo u cobrado nesses processos seletivos, n˜o podendo ser, portanto, a ignorado sob nenhum pretexto pelos estudantes com planos de acesso a tais Institui¸˜es. co N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 75 / 77
  • 76. ´ ENFOQUE PEDAGOGICO (d) usar o computador respeitando aquilo que os jovens desejam, seja num game ou num material de estudo: ter um curto texto informativo seguido de alguma a¸˜o com o mouse, realizando um ca movimento de z no plano, ou clicando numa alternativa, por exemplo. Nesse sentido, cada resolu¸˜o foi dividida em pequenas ca unidades com a intencionalidade de que o estudante leia, reflita e aja autonomamente, aprendendo de forma natural. (e) refor¸ar sempre e prioritariamente a intera¸˜o entre as propriedades c ca alg´bricas dos complexos e a vis˜o geom´trica deles. Embora nos e a e vestibulares o candidato n˜o tenha acesso a recursos tecnol´gicos, a o acreditamos que o estudo nessa perspectiva traz o aprofundamento dos conceitos e acrescenta significado `s quest˜es. a o (f ) no final de cada exerc´ ıcio, est´ feita a resolu¸˜o tradicional, alg´brica, a ca e para ser confrontada com a intui¸˜o geom´trica estimulada e para dar ca e exatid˜o formal `s respostas. a a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 76 / 77
  • 77. ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Referˆncias bibliogr´ficas e a teste N. C. Bernardes; C. S. Fernandez, Introdu¸˜o `s Fun¸˜es de uma Vari´vel Complexa, SBM ca a co a Editora, Rio de Janeiro, 2006. C. B. Boyer, Hist´ria da Matem´tica, Editora Edgard Blucher Ltda, S˜o Paulo, 1994. o a a M. P. do Carmo; A. C. Morgado; E. Wagner, Trigonometria e N´meros Complexos, SBM u Editora, Rio de Janeiro, 2005. G.G. Garbi, O Romance das Equa¸˜oes Alg´bricas, Editora Livraria da F´ ca e ısica, S˜o Paulo, a 2010. G. Iezzi, Fundamentos de Matem´tica Elementar - Volume 6, Atual Editora Ltda, S˜o a a Paulo, 1985. E.L. Lima, An´lise Real - Volume 1, SBM Editora, Rio de Janeiro, 2001. a E.L. Lima, Revista do Professor de Matem´tiva - Volume 46, SBM Editora, Rio de a Janeiro, 2001. N.J. Machado; e outros, Caderno do Professor de Matem´tica - 3a s´rie - Volume 2, SEE, a e S˜o Paulo, 2009. a N´meros Complexos e Geogebra u 28 de outubro de 2013 77 / 77