Лекц № 8Тодорхойинтегралыгойролцоободохаргууд, өргөтгөсөнинтеграл<br />
[а,b]хэрчимд тасралтгүй f(х) функцийн тодорхой интегралыг олох шаардлагатай байг.Хэрэв f(х) функцийн эх функц мэдэгдэж бай...
Үүний тулд [а,b] хэрчмийг<br />(1)<br />цэгүүдээр тэнцүү урттай хэсгүүдэл хувааж, хэрчим тус бүрээс дундаж цэг <br />авч и...
N хүрэлцээтэй их үед (2) томъёоны алдаа бага байна. Энэ алдааг үнэлэхийн тулд f(х)-функц дифференциалчлагддаг байх шаардла...
	(4) томъёог тодорхой интегралыг ойролцоо бодох трапецийн томъёо гэнэ.<br />	Харин Ах + В шугаман функц байхад (4) томъёо ...
Тодорхой интегралыг ойролцоогоор бодох нилээд сайн нарийвчлалтай Симпсоны аргыг авч үзье. Үүнд:<br /> 		                  ...
[х0; х2], [х2; х4], [х4; х6] хэрчим бүрт (6) томъёог хэрэглэвэл<br />томъёог Симпсоны томъёо гэнэ.<br />	Хэрэв f(х) функц ...
Өргөтгөсөн интеграл<br />	Тодорхой интегралын ойлголтыг төгсгөлгүй завсарт эсвэл интеграл доорх зааглагдаагүй байх тохиолд...
Тодорхойлолт 8.1<br />хязгаарыг f(х)функцийг 1-р төрлийи өргөтгөсөн интеграл гэж нэрлэнэ.  Тэмдэглэхдээ<br />	Хэрэв (1) хя...
	Дээрхийн адилаар дараах өргөтгөсөн интегралуудыг тодорхойлдог.<br />	Геометрийн үүднээс нийлэх өргөтгөсөн интеграл нь зур...
	Хэрэв (2) интегралын доорх функц f(x)-ийн эх функц нь F(х) байвал өргөтгөсөн интегралын тодорхойлолт, Ньютон-Лейбницын то...
Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох шинж<br />	1- р төрлийн өргөтгөсөн интегралын нийлэх нөхцлийг томъёолсон шинжүүди...
	Теорем 8.2 (Жиших шинж)  [а,[ завсарт  тодорхойлогдсон [а,b] хэрчимд интегралчлагдах, сөрөг биш f(х) ба(х) функцууд,x...
Теорем 8.3 [а,[ завсарт тодорхойлогдсон    эерэг   функцууд f(х),(х) нь ямарч төгсгөлөг хэрчим [а,b] дээр интегралчлагда...
Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют нийлэлт<br />Тодорхойлолт 8.2<br />Хэрэв        	 нийлж байвал өргөтгөсөн 							...
 		             энэ тэнцэл бишээс            <br />	тэнцэл биелэх тул Кошийн шинжээр абсолют нийлэх интеграл бүхэн ердийн ...
Теорем8.4[а,[тодорхойлогдсонтасралтгүй f(х),(х) функцүүд өгчээ. Мөн аргумент х үед (х) тэг рүү монотон тэмүүлэх ба ’...
Өргөтгөсөн интегралд хувьсагч солих, хэсэгчлэн интегралчлах<br />	Өргөтгөсөн интегралын тодорхойлолт хязгаарын чанараас да...
Хэсэгчлэн интегралчлах томъёо хүчинтэй.<br />Энд<br />3.	Хэрэв f(х) функц [а;[ дээр тасралтгүй (t) функц [,] тасралтгү...
2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл<br />[а,b[ дээр тодорхойлогдсон,<br />	Ө.х:           үед зааглагдаагүй f(х) функц өгөгдсө...
	Тэмдэглэхдээ:<br />	Үүнтэй адилаар х = а нь f(х) функцийн онцгой цэг байвал харгалзан 2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралыг д...
	гэж тодорхойлно. (8)-(10) томъёон дахь хязгаарууд төгсгөлөг оршин байвал харгалзах <br />	2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл...
f(х)-ийн эх функц F(х), онцгой цэг х = b, (х = а) байвал(8),(9) томъёоноос өргөтгөсөн интегралыг бодох дараах томъёо гарна...
	Эндээс үзвэл F(b-0),{F(а+0)}төгсгөлөг хязгаар оршин байх тохиолдолд харгалзах өргөтгөсөн интеграл нийлдэг байна. 1-р төрл...
	Тодорхойлолт 8.4 Хэрэв              төгсгөлөг хязгаар оршин байвал өргөтгөсөн интеграл<br />	              гол утгаараа н...
гэж тодорхойлно.<br />
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

мат анализ №8

3,742

Published on

Published in: Health & Medicine, Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
3,742
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
149
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

мат анализ №8

  1. 1. Лекц № 8Тодорхойинтегралыгойролцоободохаргууд, өргөтгөсөнинтеграл<br />
  2. 2. [а,b]хэрчимд тасралтгүй f(х) функцийн тодорхой интегралыг олох шаардлагатай байг.Хэрэв f(х) функцийн эх функц мэдэгдэж байвал дээрх бодлогыг Ньютон-Лейбницын томъёогоор бодно. Гэхдээ эх функц ямагт мэдэгдсэн байх албагүй тул тодорхой интегралыг ойролцоо бодох бодлого тавигддаг.Тодорхой интегралын тодорхойлолтоос дараах хялбар аргыг томъёолж болно.<br />
  3. 3. Үүний тулд [а,b] хэрчмийг<br />(1)<br />цэгүүдээр тэнцүү урттай хэсгүүдэл хувааж, хэрчим тус бүрээс дундаж цэг <br />авч интеграл нийлбэр зохиовол:<br /> (2)<br /> (2) томъёог тодорхой интегралыг ойролцоо бодох тэгщ өнцөгтийн томъёо гэнэ. Муруй шугаман трапецийн талбай нь тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэртэй ойролцоогоор тэнцүү байна.<br />
  4. 4. N хүрэлцээтэй их үед (2) томъёоны алдаа бага байна. Энэ алдааг үнэлэхийн тулд f(х)-функц дифференциалчлагддаг байх шаардлагатай. Алдааг Rn(x)-ээр тэмдэглэе. <br />Хэрэв байвал алдааны үнэлгээбайна. Харин f(х) = Ах + В шугаман функц байхад (2) томъёоны зүүн баруун тал яг тэнцүү байна. Тодорхой интегралыг бодох хоёрдох ойролцоо арга нь трапецийн арга юм. Бид [а,b] хэрчмийн (1) хуваалтыг| авъя. Тэгвэл<br />
  5. 5. (4) томъёог тодорхой интегралыг ойролцоо бодох трапецийн томъёо гэнэ.<br /> Харин Ах + В шугаман функц байхад (4) томъёо талбайн жинхэнэ утгыг өгөх болно. Хэрэв f(х) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн зааглагладсан уламжлалтай, өөрөөр хэлбэл, |f "(х)|  М2, байвал (4) томъёоныалдаа <br /> (5)<br /> томъёогоор үнэлнэ. <br />
  6. 6. Тодорхой интегралыг ойролцоогоор бодох нилээд сайн нарийвчлалтай Симпсоны аргыг авч үзье. Үүнд:<br /> (6)<br />Энэ томъёог Симпсоны хялбар арга гэнэ. (6) томъёоны геометр утга нь f(х) функцийн графикаар тодорхойлогдсон муруй шугаман трапецийн талбайг параболын дор орших талбайгаар илэрхийлж байна. [а,b] хэрчмийг цэгүүдээр жижиг урттай 2N жижиг хэрчмүүд болгон хувааж<br />
  7. 7. [х0; х2], [х2; х4], [х4; х6] хэрчим бүрт (6) томъёог хэрэглэвэл<br />томъёог Симпсоны томъёо гэнэ.<br /> Хэрэв f(х) функц [а,b] хэрчимд хоёр удаа тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд нөхцлийг хангаж байвал Симпсоны томъёо интегралыг <br /> алдаатайгаар ойролцоогоор боддог.<br />
  8. 8. Өргөтгөсөн интеграл<br /> Тодорхой интегралын ойлголтыг төгсгөлгүй завсарт эсвэл интеграл доорх зааглагдаагүй байх тохиолдлуудад өргөтгөн тодорхойлж болно.[а,] дээр тодорхойлогдсон бөгөөд дурын төгсгөлөг [a,В], а<Вхэрчимд интегралчлагдах f(х) функц өгөгджээ.<br />
  9. 9. Тодорхойлолт 8.1<br />хязгаарыг f(х)функцийг 1-р төрлийи өргөтгөсөн интеграл гэж нэрлэнэ. Тэмдэглэхдээ<br /> Хэрэв (1) хязгаар төгсгөлөг бөгөөд харгалзах өргөтгөсөн интеграл (2)-ийг нийлэх өргөтгөсөн интеграл гэнэ. Харин (1) хязгаар төгсгөлгүй эсвэл эс орших бол харгалзах өргөтгөсөн интегралыг сарних интеграл гэнэ.<br />
  10. 10. Дээрхийн адилаар дараах өргөтгөсөн интегралуудыг тодорхойлдог.<br /> Геометрийн үүднээс нийлэх өргөтгөсөн интеграл нь зураг 1-д харлуулсан дүрсүүд төгсгөлөг талбайтай гэсэн үг юм.<br />
  11. 11.
  12. 12. Хэрэв (2) интегралын доорх функц f(x)-ийн эх функц нь F(х) байвал өргөтгөсөн интегралын тодорхойлолт, Ньютон-Лейбницын томъёоноос дараах тэнцлүүд гарна. Үүнд:<br /> Иймд (5),(6) интегралууд <br /> төгсгөлөг оршин байхад нийлэх болно.<br />
  13. 13. Өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох шинж<br /> 1- р төрлийн өргөтгөсөн интегралын нийлэх нөхцлийг томъёолсон шинжүүдийг авч үзье.<br />Теорем 8.1 (Кошийн шинж)интеграл нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь дурын >0 авахад B>0 тоо олдоод В' > В, В" > В байх В' ба В" -н хувьд<br />тэнцэл биш биелэх явдал юм.<br />
  14. 14. Теорем 8.2 (Жиших шинж) [а,[ завсарт тодорхойлогдсон [а,b] хэрчимд интегралчлагдах, сөрөг биш f(х) ба(х) функцууд,xa0a,0f (x)(x) байвал нийлэх интегралбайвал нийлэх ба харинсарних интеграл байвалсарнина.<br />Энэ теоремоос үэвэл "их" функцийн өргөтгөсөн интеграл нийлбэл "бага" функцийн өргөтгөсөн интеграл нийлэх ба харин бага функийн өргөтгөсөн интеграл сарнивал "их" функцийн өргөтгөсөн интеграл сарнина.<br /> Практикт дараах хязгаарын жиших шинжийг хэрэглэхэд дөхөмтэй.<br />
  15. 15. Теорем 8.3 [а,[ завсарт тодорхойлогдсон эерэг функцууд f(х),(х) нь ямарч төгсгөлөг хэрчим [а,b] дээр интегралчлагдаг байг. Тэгвэл төгсгөлөг хязгаар<br />оршин байвал<br /> интеграл нэгэн зэрэг нийлэх буюу эсвэл сарнина.<br />
  16. 16. Өргөтгөсөн интегралын нөхцөлт ба абсолют нийлэлт<br />Тодорхойлолт 8.2<br />Хэрэв нийлж байвал өргөтгөсөн <br />интеграл -ийг абсолют нийлэх интеграл гэнэ.<br />Харин сарниж нийлж байвал<br /> түүнийг нөхцөлт нийлэх интеграл гэнэ.<br />
  17. 17. энэ тэнцэл бишээс <br /> тэнцэл биелэх тул Кошийн шинжээр абсолют нийлэх интеграл бүхэн ердийн утгаар нийлэх интеграл байна.<br /> Иймд тодорхойлолт 8.2 ёсоор өгсөн интеграл абсолют нийлнэ. 1-р төрлийн өргөтгөсөн интегралын нийлэлтийг тогтоох хүрэлцээтэй нөхцлийг томъёолсон Абель-Дирихлегийнн шинжийг авч үзье.<br />
  18. 18. Теорем8.4[а,[тодорхойлогдсонтасралтгүй f(х),(х) функцүүд өгчээ. Мөн аргумент х үед (х) тэг рүү монотон тэмүүлэх ба ’(х) тасралтгүй, ха үед f(х) функц нь зааглагдсан эх функц F(х)-тэй бол<br /> нийлэх интеграл байна.<br />
  19. 19. Өргөтгөсөн интегралд хувьсагч солих, хэсэгчлэн интегралчлах<br /> Өргөтгөсөн интегралын тодорхойлолт хязгаарын чанараас дараахи чанарууд мөрдөн гардаг.[а;[ завсарт тодорхойлогдсон тасралтгүй функцүүд f(х) ба (х) өгөгджээ.<br />1. Өргөтгөсөн интеграл нь шугаман шинж чанартай. Ө.х:<br />
  20. 20. Хэсэгчлэн интегралчлах томъёо хүчинтэй.<br />Энд<br />3. Хэрэв f(х) функц [а;[ дээр тасралтгүй (t) функц [,] тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд () = а, бол өргөтгөсөн интегралд хувьсагч солих томъёо<br />хүчинтэй байна.<br />
  21. 21. 2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл<br />[а,b[ дээр тодорхойлогдсон,<br /> Ө.х: үед зааглагдаагүй f(х) функц өгөгдсөн байг.Энэ тохиолдолд х=b цэгийг f(х) функцийн онцгой цэг гэнэ.Мөн  > 0 авахад f(x) функц [а; b-] хэрчимд интегралчлагдана гэж үзье.<br />Тодорхойлолт 8.3 Хэрэв хязгаар төгсгөлөг оршин байвал түүнийг зааглагдаагүй функц f(х)-ийн өргөтгөсөн интеграл буюу 2-р төрлийн өргөтгөсөн интеграл гэнэ.<br />
  22. 22. Тэмдэглэхдээ:<br /> Үүнтэй адилаар х = а нь f(х) функцийн онцгой цэг байвал харгалзан 2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралыг дараах томъёогоор тодорхойлъё.<br />Хэрэв а < с < b, х = с нь f (х)-ийн онцгой цэг бол 2-р төрлийг өргөтгөсөн интегралыг<br />
  23. 23. гэж тодорхойлно. (8)-(10) томъёон дахь хязгаарууд төгсгөлөг оршин байвал харгалзах <br /> 2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралыг нийлж байна гэж хэлдэг. Нийлэх интегралыг геометрийн үүднээс дараах зургаар схемчилвэл<br />
  24. 24. f(х)-ийн эх функц F(х), онцгой цэг х = b, (х = а) байвал(8),(9) томъёоноос өргөтгөсөн интегралыг бодох дараах томъёо гарна.<br />
  25. 25. Эндээс үзвэл F(b-0),{F(а+0)}төгсгөлөг хязгаар оршин байх тохиолдолд харгалзах өргөтгөсөн интеграл нийлдэг байна. 1-р төрлийн интегралын нийлэлтийг тогтоох шинжүүд, хувьсагч солих арга, хэсэгчлэн интегралчлах аргыг 2-р төрлийн өргөтгөсөн интегралд хэрэглэж болно.<br />Өргөтгөсөн интегралын гол утга<br />]-;+[ дээр тодорхойлогдсон, [a,b]R дээр интегралчлагдах f(x) функц өгөгджээ.<br />
  26. 26. Тодорхойлолт 8.4 Хэрэв төгсгөлөг хязгаар оршин байвал өргөтгөсөн интеграл<br /> гол утгаараа нийлж байна гэнэ.<br /> Энэ хязгаарыг f(х) функцийн өргөтгөсөн интегралын гол утга гэж нэрлэнэ.<br /> Энд V.Р- valeurprincupalголутга гэсэн үгийг товчилжээ. Хэрэв а < с < b,х = с цэг f(х)-ийн онцгой цэг болинтегралын гол утгыг<br />
  27. 27. гэж тодорхойлно.<br />
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×