матщматик анализ 6

  • 3,332 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
3,332
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
161
Comments
0
Likes
2

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Лекц№6 Тодорхойгүйинтеграл, тодорхойгүйинтегралынүндсэнчанар, тодорхойгүйинтегралыгбодохүндсэнарга
  • 2. Дифференциалчлах үйлдлийн урвуу үйлдэл уламжлалаар нь функцийг олох улмаар эх функц, тодорхойгүй интегралын тухай ойлголтыг авч үзнэ.
    1. Эх функц, тодорхойгүй интеграл
    Тодорхойлолт 1.1Хэрэв F(х) ]a,b[ завсрын цэг дээр дифференциалчлагдах бөгөөд уламжлал F‘(х) нь өгсөн f(х) функцтэй тэнцүү байвал F(х)функцийг f(х)функцийн ]а,b[ завсар дээрх эх функц гэнэ.
  • 3. ]а,b[ дээр f(х)-ийн эх функцүүдийн хоорондын холбоог дараах теорем тогтооно.
    Теорем 1.1 Хэрэв ]а,b[ хэрчим дээрх f(х)-ийн эх функцүуд F1(x), F2(x) бол
    F2(x)- F1(x)=const байна .
    Мөрдлөгөө 1.1 ]а,b[ завсар дээр f(х) функцийн ямар нэг эх функц F(х) бол f(х)-ийн дурын эх функц Ф(х)=F(х)+С хэлбэртэй байна.
    Тодорхойлолт 1.2f(х) функцийн ]а,b[ завсар дээрх бүх эх функцүүдийн олонлогийг f(х) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэнэ.
  • 4. Тэмдэглэхдээ:
    Энд:
    -интегралын тэмдэг
    f(х)-интеграл доорх функц
    f(x)dx- интеграл доорх илэрхийлэл
    гэж тус тус нэрлэнэ.
    Мөрдлөгөө ёсоор
  • 5. 2 Тодорхойгүй интегралын үндсэн чанар
    ]а, b[ дээрх f(х) функцийн эх функц F(х) байг.Тодорхойгүй интегралын дараах чанарууд хүчинтэй.
    1.
    2.
    3. , f(x) ба (x) интегралчлагдах функцүүд байг. Тэгвэл
    4. f(х) - ийн эх функц F(х) бол
  • 6. Тодорхойгүй интегралыг бодох үндсэн арга
    Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар ин-тегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох боломжгүй. Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд орлуулга хийх буюу хувьсагч солих, хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.
  • 7. 4.1 Тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих арга
    Интегралчлах шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга гэнэ. Энэ арга нь дараах томъёонуудад үндэслэнэ. f(t) - тасралтгүй функц ,t =(х) тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь f(t) функцийн тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл
    (1)томъёо хүчинтэй.
  • 8. (1) томъёог тодорхойгүй интегралд орлуулга хийх томъёо гэнэ. (1) томъёонд х-ийг t-ээр, t-г x-ээр соливол тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих дараах томъёо гардаг.
    (2)
    Иймдf(x)dxинтегралыг бодохдоо х=(t), dx='(t)dtорлуулга хийж f((t))’(t)dt интегралыг бодож, гарсан үр дүнд анхны хувь-сагч х-рүүt=-1(х) томъёогоор шилжинэ.
  • 9. Хэсэгчилэн интегралчлах арга
    u(х),v(х) ямар нэг завсарт тасралтгүй дифференциалчлагдах функцүүд байвал
    буюу товчоор бичвэл
    томъёо хүчинтэй байна. (3),(4)-ийг хэсэгчлэнинтегралчлах томёо гэж нэрлэдэг.
  • 10. Рациональ илэрхийллийг интегралчлах.
    Тодорхойлолт 5.1
    алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох
    функцийг рациональ функц буюу эсвэл рациональ илэрхийлэл гэнэ.
  • 11. Дараах хэлбэрийн рациональ функцийг хялбар бутархай гэнэ. Үүнд:
    I II
    III IV
    Энд A,M,N,a,p,qтогтмолууд, к бүхэл эерэг тоо байна.
    Хэрэв m  n байвал f(x) бүхэл хэсгийг ялгавал
  • 12. Теорем 5.1 Ямарч зөв рациональ бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг утгатайгаар илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, (1) зөв рациональ бутархайн хуваарь,
    үржигдэхүүн болж задарч байвал (1) бутархай
  • 13.
  • 14. .
    .
    .
  • 15.
  • 16.
  • 17.
  • 18.
  • 19. (3) тэнцлийг анхаарч дээрх интегралыг дахин бичвэл
    байна. Энэ рекурент томъёогоор
    мэдэгдэж байвал I2-ийг, гэх мэтчилэнIkинтегралыг олж болно.Эндээс үзвэл зөв рациональ бутархай, улмаар рациональ функцийн тодорхойгүй интеграл нь рациональ функц, натураль логарифм, арктангенс гэх мэт элементар функциар илэрхийлэгддэг.
  • 20. нь
    функцуудаас рациональ функц болно. Иррациональ илэрхийллийг агуулсан рациональ функцийг иррациональ функц гэж нэрлэдэг. Иррациональ функцийн тодорхойгүй интегралыг тохирох орлуулгаар| рациональ функцийн тодорхойгүй интегралд шилжүүлэх нь түүн бодох үндсэн арга юм. Энэ аргыг иррациональ функцийг рациональчлах арга гэдэг. Иррациональ функцийг рационалчлах дараах тохиолдлыг авч үзье.
  • 21. б) хэлбэрийн интеграл.
    Эйлерийн орлуулгууд.
    хэлбэрийн интеграл зөвхөн дараах 3 тохиолдолд Эйлерийн орлуулга хэмээн нэрлэгдэх орлуулгаар рационалчладана.Үүнд:
    Хэрэв а>0 бол
    Хэрэв с > 0 бол
    Хэрэв квадрат 3 гишүүнт ax2+bx+cнь x1, x2 гэсэн бодит язгууртай ө.х:бол
    (энд х0 нь х1 ба х2 язгуурын аль нэг). (2) - (4) орлуулгыг Эйлерийн 1,2 ба 3-р орлуулга гэж нэрлэдэг.
  • 22. Эйлерийн (2)-(4) орлуулга (+) ба(-) тэмдгийг дурын байдлаар хослуулж болох боловч энэ нь бодолтонд нөлөөлдөг. (2) орлуулгыг
    хэлбэртэйгээр авч өгсөн интеграл хэрхэн рационалчлагдахыг харъя.
    эдгээрийг өгсөн интегралд орлуулбал