матщматик анализ 6

4,431 views
4,184 views

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,431
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
346
Actions
Shares
0
Downloads
220
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

матщматик анализ 6

  1. 1. Лекц№6 Тодорхойгүйинтеграл, тодорхойгүйинтегралынүндсэнчанар, тодорхойгүйинтегралыгбодохүндсэнарга<br />
  2. 2. Дифференциалчлах үйлдлийн урвуу үйлдэл уламжлалаар нь функцийг олох улмаар эх функц, тодорхойгүй интегралын тухай ойлголтыг авч үзнэ.<br />1. Эх функц, тодорхойгүй интеграл<br />Тодорхойлолт 1.1Хэрэв F(х) ]a,b[ завсрын цэг дээр дифференциалчлагдах бөгөөд уламжлал F‘(х) нь өгсөн f(х) функцтэй тэнцүү байвал F(х)функцийг f(х)функцийн ]а,b[ завсар дээрх эх функц гэнэ.<br />
  3. 3. ]а,b[ дээр f(х)-ийн эх функцүүдийн хоорондын холбоог дараах теорем тогтооно.<br />Теорем 1.1 Хэрэв ]а,b[ хэрчим дээрх f(х)-ийн эх функцүуд F1(x), F2(x) бол<br /> F2(x)- F1(x)=const байна .<br />Мөрдлөгөө 1.1 ]а,b[ завсар дээр f(х) функцийн ямар нэг эх функц F(х) бол f(х)-ийн дурын эх функц Ф(х)=F(х)+С хэлбэртэй байна.<br />Тодорхойлолт 1.2f(х) функцийн ]а,b[ завсар дээрх бүх эх функцүүдийн олонлогийг f(х) функцийн тодорхойгүй интеграл гэж нэрлэнэ.<br />
  4. 4. Тэмдэглэхдээ: <br /> Энд:<br />-интегралын тэмдэг<br />f(х)-интеграл доорх функц<br /> f(x)dx- интеграл доорх илэрхийлэл<br />гэж тус тус нэрлэнэ.<br />Мөрдлөгөө ёсоор<br />
  5. 5. 2 Тодорхойгүй интегралын үндсэн чанар<br /> ]а, b[ дээрх f(х) функцийн эх функц F(х) байг.Тодорхойгүй интегралын дараах чанарууд хүчинтэй.<br />1. <br />2. <br />3. , f(x) ба (x) интегралчлагдах функцүүд байг. Тэгвэл<br />4. f(х) - ийн эх функц F(х) бол<br />
  6. 6. Тодорхойгүй интегралыг бодох үндсэн арга<br /> Функцийг тодорхой дүрмээр дифференциалчилдагийн адилаар ин-тегралчлах үйлдлийг гүйцэтгэх ерөнхий дүрмийг томъёолох боломжгүй. Гэхдээ интегралчлах үйлдлийг хялбарчлахын тулд орлуулга хийх буюу хувьсагч солих, хэсэгчлэн интегралчлах зэрэг аргыг хэрэглэнэ.<br />
  7. 7. 4.1 Тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих арга<br /> Интегралчлах шинэ хувьсагч оруулан өгсөн интегралыг хялбар интегралд шилжүүлэх аргыг орлуулах буюу хувьсагч солих арга гэнэ. Энэ арга нь дараах томъёонуудад үндэслэнэ. f(t) - тасралтгүй функц ,t =(х) тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд утгын муж нь f(t) функцийн тодорхойлогдох мужид харъяалагддаг байг. Тэгвэл<br />(1)томъёо хүчинтэй.<br />
  8. 8. (1) томъёог тодорхойгүй интегралд орлуулга хийх томъёо гэнэ. (1) томъёонд х-ийг t-ээр, t-г x-ээр соливол тодорхойгүй интегралд хувьсагч солих дараах томъёо гардаг.<br />(2)<br />Иймдf(x)dxинтегралыг бодохдоо х=(t), dx='(t)dtорлуулга хийж f((t))’(t)dt интегралыг бодож, гарсан үр дүнд анхны хувь-сагч х-рүүt=-1(х) томъёогоор шилжинэ. <br />
  9. 9. Хэсэгчилэн интегралчлах арга<br />u(х),v(х) ямар нэг завсарт тасралтгүй дифференциалчлагдах функцүүд байвал<br /> буюу товчоор бичвэл<br /> томъёо хүчинтэй байна. (3),(4)-ийг хэсэгчлэнинтегралчлах томёо гэж нэрлэдэг. <br />
  10. 10. Рациональ илэрхийллийг интегралчлах.<br /> Тодорхойлолт 5.1<br /> алгебрын хоёр олон гишүүнтийн харьцаагаар тодорхойлогдох <br />функцийг рациональ функц буюу эсвэл рациональ илэрхийлэл гэнэ.<br />
  11. 11. Дараах хэлбэрийн рациональ функцийг хялбар бутархай гэнэ. Үүнд:<br /> I II<br /> III IV <br /> Энд A,M,N,a,p,qтогтмолууд, к бүхэл эерэг тоо байна. <br /> Хэрэв m  n байвал f(x) бүхэл хэсгийг ялгавал<br />
  12. 12. Теорем 5.1 Ямарч зөв рациональ бутархайг хялбар бутархайн нийлбэрээр нэг утгатайгаар илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, (1) зөв рациональ бутархайн хуваарь,<br />үржигдэхүүн болж задарч байвал (1) бутархай<br />
  13. 13.
  14. 14. .<br />.<br />.<br />
  15. 15.
  16. 16.
  17. 17.
  18. 18.
  19. 19. (3) тэнцлийг анхаарч дээрх интегралыг дахин бичвэл<br />байна. Энэ рекурент томъёогоор<br />мэдэгдэж байвал I2-ийг, гэх мэтчилэнIkинтегралыг олж болно.Эндээс үзвэл зөв рациональ бутархай, улмаар рациональ функцийн тодорхойгүй интеграл нь рациональ функц, натураль логарифм, арктангенс гэх мэт элементар функциар илэрхийлэгддэг. <br />
  20. 20. нь<br /> функцуудаас рациональ функц болно. Иррациональ илэрхийллийг агуулсан рациональ функцийг иррациональ функц гэж нэрлэдэг. Иррациональ функцийн тодорхойгүй интегралыг тохирох орлуулгаар| рациональ функцийн тодорхойгүй интегралд шилжүүлэх нь түүн бодох үндсэн арга юм. Энэ аргыг иррациональ функцийг рациональчлах арга гэдэг. Иррациональ функцийг рационалчлах дараах тохиолдлыг авч үзье.<br />
  21. 21. б) хэлбэрийн интеграл.<br />Эйлерийн орлуулгууд.<br /> хэлбэрийн интеграл зөвхөн дараах 3 тохиолдолд Эйлерийн орлуулга хэмээн нэрлэгдэх орлуулгаар рационалчладана.Үүнд:<br />Хэрэв а>0 бол <br />Хэрэв с > 0 бол<br />Хэрэв квадрат 3 гишүүнт ax2+bx+cнь x1, x2 гэсэн бодит язгууртай ө.х:бол<br /> (энд х0 нь х1 ба х2 язгуурын аль нэг). (2) - (4) орлуулгыг Эйлерийн 1,2 ба 3-р орлуулга гэж нэрлэдэг.<br />
  22. 22. Эйлерийн (2)-(4) орлуулга (+) ба(-) тэмдгийг дурын байдлаар хослуулж болох боловч энэ нь бодолтонд нөлөөлдөг. (2) орлуулгыг <br /> хэлбэртэйгээр авч өгсөн интеграл хэрхэн рационалчлагдахыг харъя.<br /> эдгээрийг өгсөн интегралд орлуулбал<br />

×