математик анализ лекц№5

3,739
-1

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
3,739
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
166
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

математик анализ лекц№5

  1. 1. Лекц№5Функцыншинжилгээ, экстремум, функцийнграфикийнхотгорбагүдгэрнугаралтынцэг, асимптот<br />
  2. 2. Функцийн өсөлт ба бууралт<br />Теорем 8.4 (Функц өсөх(буурах) гарцаагүй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц (а,b) завсар дээр дифференциалчлагдах бөгөөд өсөж(буурч) байвал түүний уламжлал нь энэ завсар дээр сөрөг бус (эерэг бус), өөрөөр хэлбэл,<br />Iбайна.<br />Теорем 8.5(Функц өсөх (буурах) хурэлцээтэй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй, (а,b) дээр дифференциалчлагдахаас гадна а<х<b-ийн хувьд f '(х) > 0, (f '(x) < 0)бол уг функц [а, b] дээр өснө (буурна).<br />
  3. 3. Функцийн экстремум<br />Тодорхойлолт 9.1Хэрэв у=f(х) функцийн х=х1цэг дээрх утга нь х1цэгийн орчны бусад бүх цэгүүд дээрх утгаас их, өөрөөр хэлбэл х1цэгийн орчиндf(x1)>f(x)байвал x1-г максимумын цэг гэх ба f(х1)-г функцийн максимумын утга гэнэ. Хэрэв x2 цэгийн орчиндf(x2)<f(x) байвал х=x2-г минимумын цэг, f(x2)-г минимумын утга гэдэг. <br />Функцийн максимум ба минимумийг нийлүүлээд функцийн экстпремум гэдэг.<br />
  4. 4. Теорем 9.1(Экстремум байх гарцаагүй нөхцөл) Хэрэв дифференциалчлагдах f(x) функц х=х0цэгт экстремумтэй бол f '(х) = 0 байна.<br />Функцийн 1-р эрэмбийн уламжлалыг тэгтэй тэнцүүлдэг эсвэл 1-р уламжлал байхгүй мөн уламжлалыг ± болгодог цэгүүдийг экстремум байж болох сэжигтэй цэгүүд гэдэг.<br />1-р эрэмбийн уламжлал нь тэг байдаг цэг бүхэн дээр экстремум байх нь алба биш.<br />
  5. 5. Теорем 9.2(Экстремум оршин байх 1-р хүрэлцээтэй нөхцөл)<br />Хэрэв x0цэг y=f(x) функцийн сэжигтэй цэг бөгөөд f‘(x) нь х0цэгийг дайрч өнгөрөхдөө тэмдгээ өөрчилж байвал х=х0нь у=f (х) функцийн экстремумын цэг болно. Гэхдээ f '(х) функц х0цэгийг дайрч гарахдаа өөрийн тэмдгийг эерэгээс сөрөгт сольж байвал х0нь максимумын цэг, сөргөөс эерэгт сольж байвал минимумын цэг болно. Харин f '(х) нь тэмдгээ солихгүй байвалэкстремумын цэг болохгүй.<br />Теорем 9.3(Экстремум оршин байх 2-р хүрэлцээтэй нөхцөл) x0цэг f (х) функцийн экстремум байх сэжигтэй цэг бөгөөд түүн дээр функцийн II эрэмбийн уламжлал оршин байг. Хэрэв f '(x)  0 баf “(x)0бол х0нь экстремумын цэг болно. f"(хо) > 0 бол x0нь минимумын, f "(хо) < 0 бол максимум болно. Харин f"(хо) = 0 бол тодорхойгүй.<br />
  6. 6. Функцийн графикийн хотгор ба гүдгэр, нугаралтын цэг<br /> Хэрэв х1цэгийн орчны функцийн график нь х1абсцисстэй цэгт татсан шүргэгчийн дээд талд оршиж байвал (х1 ,f(x1)) цэгийг у=f(x)функцийн графикийн хотгор цэггэнэ.<br />Хэрэв х2цэгийн орчин дахь функцийн график шүргэгчийн доод талд оршвол (x2,f(х2)) -ийг гүдгэрийн цэг гэнэ. Функц (а,b)завсрын бүх цэг дээр гүдгэр бол түүнийг уг завсарт гүдгэр функц гэнэ.<br />
  7. 7. Теорем 9.4у=f(х)функц х=х1 цэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд II эрэмбийн уламжлал нь тасралтгүй байг. Хэрэв f’’(x1) >0, (f’’(x1)<0) бол функцийн график (х1,f(х1))цэг дээр хотгор (гүдгэр) байна.<br />Функцийн графикийн гүдгэр хэсгийг хотгороос тусгаарлаж байгаа (х0,f(хо)) цэгийг функцийн графикийн нугаралтын цэг гэдэг.<br />Теорем 9.5(Нугаралтын цэгийн зайлшгүй нөхцөл) Хэрэв у=f(х) функц х0 цэг дээр тасралтгүй 2-р эрэмбийн уламжлалтай бөгөөд х0нь нугаралтын цэг болf "(х0) = 0 байна.<br />
  8. 8. Дээрхи теоремоос үзвэл f(х) функцийн нугаралтын цэг нь эсвэл f "(х)байх цэгүүд эсвэл f "(х) оршин байхгүй цэг болно. Эдгээр цэгүүд нугаралтын хувьд сэжигтэй цэг гэдэг.<br />
  9. 9. Теорем 9.6 (Нугаралтын цэг байх хүрэлцээтэй нөхцөл) у=f(x) функц 2 дахин тасралтгүй дифференциалчлагдах бөгөөд нугаралтын хувьд сэжигтэй цэгийг дайрч өнгөрөхдөө f "(х) нь тэмдгээ өөрчилж байвал уг цэг нугаралтын цэг болно.<br />
  10. 10. Функцийн графикийн асимптот<br />Хавтгай дээр у=f(х) муруй ба L шулуун авъя. Муруй дээрээ М(х,у) цэг авч түүнийг муруйн дагуу координатын эхээс төгсгөлгүй холдуулахад М цэгээс L шулуун хүрэх зай тэг рүү тэмүүлж байвал L шулууныгу=f(x) муруйн асимптот гэнэ.<br />Босоо ба налуу гэсэн хоёр янзын асимптот байна. Эдгээр асимптотыг хэрхэн олохыг авч үзье.<br /> Босоо асимптот. х нь төгсгөлөг ба а цэг рүү тэмүүлж байхад<br /> эсвэл эсвэл<br /> байвал х=a шулууныг у=f(х) муруйн босоо асимптот гэнэ.<br />
  11. 11. Налуу асимптот.y=f(х) муруй у=кх+b гэсэн налуу асимптоттой юм гэе. Энэ үед<br /> ба <br /> гэж олдог.<br />
  12. 12. Функцийн графикийг уламжлалын тусламжтайгаар байгуулах<br />Функцийн график нь түүний өөрчлөлтийн явцын тухай хамгийн эвт-эйхэн дүрслэл, төсөөлөл өгдөг. Бид уламжлалын тусламжтайгаар функ-цийн өсөх, буурах завсар, экстремумын цэг болон функцийн графикийн хотгор, гүдгэр, нугаралтын цэг, асимптотыг олж сурсан тул функцийн графикийг нилээд нарийн байгуулах боломжтой боллоо.<br />Функцийн графикийг байгуулахдаа доорх дэс дарааллыг баримтлан ажиллавал зохимжтой.<br />
  13. 13. 1. Функцийн тодорхойлогдох мужийг олох.<br />2.Функцийн тэгш, сондгой, үетэй зэргийг судлах.<br />3.Түүний графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцсон цэгүү-дийг олох.<br />4.Функцийн тасралтын цэгийг олох, уг муруйн асимптотыг олох.<br />5.Функцийн өсөх, буурах муж, экстремумын цэгийг олох.<br />6.Муруйн гүдгэр, хотгор байх завсар, нугаралтын цэгийг олох.<br />7.Эдгээр бүх зүйлийн тусламжаар функцийн графикийг зурна.<br />
  14. 14. Анхаарал тавьсандбаярлалаа<br />

×