Mapas de karnaugh
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Documento de mapas de Karnaugh

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Mapas de karnaugh Document Transcript

  • 1. Profesor: ............... Melvin FernándezMateria: ................ Arquitectura computacionalAlumno: ................ José Joaquín Chacón 2012
  • 2. IntroducciónEste trabajo tiene como propósito presentar uno de los métodos de simplificación defunciones booleanas que es ampliamente utilizado en la actualidad debido a su sencillez yeficacia para obtener las expresiones equivalentes: los mapas de Karnaugh.Como es conocido, la expresión que obtenemos de una tabla de verdad genera un aexpresión algebraica compleja que da origen a un circuito lógico complejo y por lo mismo,caro y energéticamente ineficiente. Haciendo uso de la simplificación por medio de losmapas de Karnaugh, se nos posibilita obtener una expresión algebraica equivalente a laoriginal, que enuncia a la tabla de verdad deseada, pero con un menor numero decomponentes, haciéndolo más económico y mas eficiente.Para poder explicar con un mejor detalle este método, se dará una explicación sobrediversos términos referidos a este, como lo son los minitérminos, subcubos, implicantesprimos y expresiones adyacentes. Para este último, se plasmará un conjunto de reglas queexplican ampliamente cuando se puede determinar la adyacencia de las celdas deldiagrama utilizado para los mapas de Karnaugh.Para poder ejemplificar todos los términos teóricos que se tratan, se incluyen ejemplosprácticosde la técnica aplicada para tres y cuatro variables, explicándose algunas de lasmaneras posibles de simplificar la expresión raíz a expresiones más sencillas. 2
  • 3. Mapas de KarnaughEl tema de simplificación de expresiones booleanas es uno de los más importantes dentro delestudio de sistemas digitales, ya que permiten obtener circuitos equivalentes al circuito originalcon una menor cantidad de componentes, ahorrándonos de esta forma dinero y electricidad.Por ejemplo, un circuito que requiere cinco compuertas AND y una OR, se podría simplificar a uncircuito en el que solo requeriríamos solo una compuerta AND y una OR.Como explicación a que se debe esto, debemos saber que una función booleana expresada enforma algebraica puede aparecer de muchas formas, sin embargo, la expresión con una tabla deverdad es única. Para obtener una expresión equivalente simplificada de una función booleanaexpresada en forma algebraica se puede utilizar los postulados de Huntington y teoremasbooleanos, sin embargo no existe un mecanismo específico utilizando este método.Un sistema que es ampliamente empleado es el conocido método de mapas. Este métodorepresenta una forma simple y directa de minimizar las funciones booleanas expresadas en sutabla de verdad. En este caso, el termino mapa se refiere a un diagrama compuesto por cuadros,cada uno de los culés representa un minitérmino.El sistema mas conocido de este método son los mapas de Karnaugh, los cuales sirvenprincipalmente para minimizar expresiones del tipo suma de productos o productos de sumas,dando como resultado otra suma de productos o productos de suma que es equivalente a la raíz,sin embargo más sencilla, obteniéndose mediante la representación de la función en elcuadriculado y obteniéndose directamente la forma canónica, considerando los unos y los cerosobtenidos del diagrama. La propiedad más importante del mapa de Karnaugh es la adyacencia de las celdas, ya que si endos celdas adyacentes existen minitérminos, o unos, se puede efectuar la operación de sacarfactor común entre celdas y eliminar una variable, es importante tomar en cuenta que dos celdasson adyacentes si no difieren en más de un bit.Las reglas de adyacencia de los mapas de Karnaugh son: 1) Una celda es adyacente a todas las que tiene al lado. 2) Una celda no es adyacente a las que están en diagonal. 3) Celdas que difieren en más de un dígito no son adyacentes. 4) Las celdas de la primera fila son adyacentes a las de la última. 5) Las celdas de la primera columna son adyacentes a las de la última. 6) Las cuatro esquinas del mapa son adyacentes, siempre que todas tengan el mismo digito. 7) Una celda puede ser adyacente a más de una celda simultáneamente. 8) Solo se pueden agrupar grupos pares de celdas adyacentes. 3
  • 4. Como ya se mencionó anteriormente, este es un método para encontrar la forma más simplificadade representar una función lógica, permitiendo una función que relacione todas las variablesempleando la mínima expresión. Para ello se deben aclarar varios términos importantes: 1) Minitérmino: se refiere a cada de las combinaciones posibles de todas las variables disponibles, por ejemplo, con 2 variables se obtienen 4 minitérminos, con 3 variables se obtienen 8 minitérminos, con 4 se obtienen 16, etc., es decir, la cantidad de minitérminos esta definido por 2n, donde n es la cantidad de variables. 2) Subcubos: son referidos a lazos de entre minitérminos de orden 2n, es decir, son grupos de 2n celdas adyacentes que comparten el resultado de la función booleana. 3) Implicantes primos: son los mayores subcubos que se pueden encontrar en un diagrama, pudiendo inclusive compartir minitérminos entre si. Están catalogados en: a. Término esencial: se da cuando por lo menos un minitérmino no se encuentra compartido por ningún subcubo y debe aparecer necesariamente en el resultado final. b. Término no esencial: cuando un implicante primo tiene todos sus minitérminos compartidos con otros implicantes primos y por ende no debe aparecer en el resultado final. 4) Numeración de un minitérmino: cada minitérmino es numerado en decimal de acuerdo con la combinación de variables, como se aprecia a continuación: El mapa de Karnaugh representa la misma tabla de la verdad por medio de una matriz, donde en la primera fila y la primera columna se indican las posibles combinaciones de variables, como se presentan en el ejemplo siguiente: 5) Valor lógico de un minitérmino: son los que están señalados en rojo en las imágenes anteriores. Estos deben de tener un valor lógico y son el resultado realizado entre las variables, siendo lógicamente 1 o 0. Para obtener el valor que corresponde a cada minitérmino, nos debemos de basar en la tabla de verdad y colocamos el valor correspondiente a cada combinación. 4
  • 5. Ahora bien, conociendo los términos fundamentales referidos a los mapas de Karnaugh, se puedeabordar con más énfasis el método.Para una simplificación mediante un mapa de Karnaugh se debe considerar dos reglas:1) Representar la función en el diagrama2) Determinar los implicantes primos, para lo cual se debe: a) Enlazar cada uno de los minitérminos aislados no adyacentes a ningún otro minitérmino. b) Enlazar los pares de unos adyacentes entre si que no puedan formar un grupo de mayor orden. c) Continuar la búsqueda de grupos de mayor orden hasta completar todos los unos de la función. d) Determinar los implicantes primos esenciales. e) Los unos de la función que no han sido enlazados por dichos términos esenciales, deben ser cubiertos con el menor número de implicantes no esenciales.3) Obtener el factor común de cada implicante primo obtenido y lograr descartar los valores posibles.Visto de una forma mas simple la ultima regla, se puede ejemplificar de la siguiente manera: M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 YZ X 00 01 10 11 0 X’Y’Z’ X’Y’Z X’YZ’ X’YZ 1 XY’Z’ XY’Z XYZ’ XYZComo se apreciar, cualquier par de celdas adyacentes tienen al menos 2 términos iguales.Mediante los postulados del álgebra booleana, podemos concluir que la suma de dos celdasadyacentes se puede simplificarse a un solo termino AND constituido por dos variables. Parademostrarlo, podemos considerar la suma de dos minitérminos adyacentes, como M5 y M1: M1 M 5 X Y Z XY Z Y Z (X X ) Y Z 5
  • 6. Para ejemplificar todo lo anterior gráficamente, usemos la siguiente tabla de verdad de tresvariables:Según los datos que nos suministra la tabla, se deduce que la forma canónica u original de lafunción booleana es: S X Y Z X YZ XY Z XY Z XYZOrdenando los datos en el mapa de Karnaugh, se obtiene un diagrama como el siguiente.Una de las simplificaciones que se pueden obtener es mediante la agrupación de todos los paresde celdas adyacentes con término 1. Podemos apreciar que existen dos grupos que compartenuna de las celdas. 6
  • 7. Por lo tanto, la expresión booleana que obtenemos con esta simplificación es: S X Z XY XZ Sin embargo, por los postulados de los mapas de Karnaugh mencionados anteriormente, podemos realizar agrupaciones de 2n términos, por lo que podemos intentar realizar una agrupación de 22 términos dentro del diagrama. De esta manera, si hacemos un grupo de cuatro términos obtenemos: Con lo que obtenemos la siguiente expresión booleana: S Z X Y Ahora bien, los mapas de Karnaugh no son exclusivos para funciones de tres variables, si no que pueden funcionar para n cantidad de variables, lo importante es su acomodo en el cuadriculado. También es importante destacar que una de las configuraciones con las que nos vamos a encontrar frecuentemente es la de cuatro variables. Para ejemplificar esta situación, usaremos la siguiente función booleana extensa:S A B C D A BC D ABC D AB C D A BC D ABC D AB C D ABCD AB CD A B CD A BCD ABCD AB CD Esta expresión, una vez la acomodamos en un mapa de Karnaugh, obtenemos el siguiente diagrama: 7
  • 8. Mediante una de las acomodaciones de grupos que son posibles en este ejemplo, podemosencontrar un agrupamiento sencillo, el que agrupa ocho de los minitérminos, como lo vemos a continuación: Con la simplificación de los implicantes primos que vimos anteriormente, en este ejemplo podemos obtener los siguientes valores: Término I: A Término II: BC’ Término III: A’CD’ Termino IV: A’B’C’DSegún todos los resultados que obtuvimos de esta simplificación, la nueva función booleana sería: S A B C D A CD BC ASin embargo, esta no es su expresión más simple. Como se explicó previamente, la primer fila esadyacente con la ultima, de la misma forma, la primer columna es adyacente con la ultima,pudiéndose expresar de una mejor manera, posee un comportamiento similar a un cilindro, segúnsu necesidad. De esta forma, se nos es posible unir los minitérminos de la fila superior con los de lafila inferior, permitiéndonos un segundo grupo de ocho valores. También es importante destacarque al agrupar, es posible agrupar todos los “unos” adyacentes, aunque estos ya hayan sidoincluidos en otros grupos. Estos dos casos los podemos apreciar en el agrupamiento que sepresenta a continuación:En este diagrama podemos apreciar que el termino III crea un grupo de ocho minitérminoshaciendo uso de la primer y ultima filas del diagrama, así como también el minitérmino 1100 estaincluido en las tres agrupaciones.La función booleana que obtenemos de esta simplificación es la siguiente: 8
  • 9. S D BC AUn aspecto que es importante destacar es el acomodo de las variables en el diagrama de cuatrovariables, el cual puede variar a gusto de quien lo utilice, respetando siempre el grupo de parejasde variables, pudiendo acomodarlos como lo se muestra a continuación: 9
  • 10. ConclusiónCon forme a lo desarrollado en el presente trabajo, podemos asegurar que el método demapas de Karnaugh son una herramienta sumamente practica durante la implementaciónde circuitos digitales, ya que al permitirnos simplificar la expresión original obtenida de latabla de verdad que deseamos alcanzar a una más sencilla que cumple el mismo objetivo,logramos una importante reducción de costos, una mejor eficiencia en el consumoenergético y un circuito final simplificado.A su vez, nos explica terminología básica para entender de una mejor manera la técnicaaplicada, así de ejemplos de aplicación con tres y cuatro variables, que nos permiten verde una manera cual es la forma en la que se aplica en cada uno de los casos para obtenerla mejor expresión equivalente que sea posible.De esta forma, con la elaboración de este trabajo, se intenta brindar un perfil que permitaexpresar de una manera eficaz y sencilla el método de simplificación mediante los mapasde Karnaugh, brindando el conocimiento para obtener la expresión más simplificada deuna función booleana extensa.Con esto, se pretende que el trabajo que se presenta sea provechoso para comprender deuna manera práctica sobre este tema. 10
  • 11. Bibliografía 1. Costantini, Sandro; Arquitectura del Computador, Guía 7: Mapas de Karnaugh; UNIMET, Caracas, Venezuela 2. Gómez, Carlos; Diagramas o Mapas de Karnaugh; InstitutoTecnológico de Computación, Cuidad de Panamá, Panamá 3. DíazGarcía, José Alberto; Simplificación de funciones lógicas utilizando Karnaugh, Escuela de IngenieríaElectrónica, InstitutoTecnológico de Costa Rica, Cartago, Costa Rica 4. Pérez, Cinthya; Simplificación de Funciones Booleanas. (Mapas de Karnaugh); Instituto Tecnológico Buenos Aires, Buenos Aires, Argentina 11