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Exposicion 3 Funciones Exponenciales, Logaritmos

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Funciones Exponenciales, Logaritmos

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  • 1. Multiplicación VS Potenciación Magnitud (x) (2) 0 0 1 2 2 4 4 8 8 16 16 32 Magnitud X^2 0 0 1 1 2 4 4 16 8 64 16 256
  • 2. Comportamiento exponencial
    • En química: Algunos elementos radiactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, por lo que el elemento decrece o decae.
    • En física: Las variaciones de intensidad sonora y luminosa no siguen una escala lineal, sino exponencial.
    • En arqueología: La desintegración de isotopos como el C14 se da de manera exponencial.
    • En demografía: El crecimiento poblacional parece estar sobre curvas de característica exponencial.
    • En medicina: Muchos medicamentos que son utilizados por el cuerpo humano, siguen una ley exponencial de disminución.
  • 3. Introducción a los logaritmos Desde hace mucho tiempo el hombre ha necesitado efectuar laboriosos y precisos cálculos para resolver problemas que afectaban a su vida cotidiana ¿Cómo actuaban los técnicos y científicos cuando tenían la necesidad de realizar numerosos y complejos cálculos?
  • 4. Introducción a los logaritmos Los logaritmos se inventaron con el propósito de simplificar, en especial a los astrónomos, las engorrosas multiplicaciones, divisiones y raíces de números con muchas cifras. La idea clave: trabajar con los exponentes de potencias es más fácil. Antes de la invención de los computadores, el nivel de precisión exigido en algunas cuestiones técnicas era bastante grande, requiriéndose operar con números de 5 o más decimales.
  • 5. Introducción a los logaritmos
    • 2 0 = 1 
    • 2 1 = 2      
    • 2 2 = 4           
    • 2 3 = 8         
    • 2 4 = 16
    • 2 5 = 32      
    • 2 6 = 64     
    • 2 7 = 128       
    • 2 8 = 256      
    • 2 9 = 512
    • 2 10 = 1 024   
    2 11 = 2 048               2 12 = 4 096    2 13  = 8 192                 2 14  = 16 384             2 15 = 32 768           2 16 = 65 536                2 17 = 131 072            2 18 = 262 144   2 19 = 524 288           2 20 = 1 048 576          2 21 = 2 097 152         2 22 = 4 194 304            2 23 = 8 388 608          2 24 = 16 777 216 2 25 = 33 554 432          2 26 = 67 108 864         2 27 = 134 217 728 2 28  = 268 435 456        2 29  = 536 870 912
  • 6. Introducción a los logaritmos Ahora calculamos:    32768 · 16384 = 2 15 · 2 14 =   268435456 / 1048576 = 2 28 / 2 20 =       512 3 =  (2 9 ) 3 =  √ (67108864) =  √ 2 26 = 2 m/n =        
  • 7. Introducción a los logaritmos Ahora calculamos:    32768 · 16384 = 2 15 · 2 14 = 2 15+14 =  2 29 = 536870912   268435456 / 1048576 = 2 28 / 2 20 = 2 28-20 = 2 8 = 256       512 3 =  (2 9 ) 3 = 2 9·3 = 2 27  = 134217728   √ (67108864) =  √ 2 26 = 2 26/2 = 2 13  = 8192         
  • 8. Introducción a los logaritmos Conclusión: ¡¡¡ Es menos engorroso manejar los números por potencias!!!!   BUT
  • 9. Introducción a los logaritmos
    • 2 0 = 1 
    • 2 1 = 2      
    • 2 2 = 4           
    • 2 3 = 8         
    • 2 4 = 16
    • 2 5 = 32      
    • 2 6 = 64     
    • 2 7 = 128       
    • 2 8 = 256      
    • 2 9 = 512
    • 2 10 = 1 024   
    ¡Esos números están preparados!  2 11 = 2 048               2 12 = 4 096    2 13  = 8 192                 2 14  = 16 384             2 15 = 32 768           2 16 = 65 536                2 17 = 131 072            2 18 = 262 144   2 19 = 524 288           2 20 = 1 048 576          2 21 = 2 097 152         2 22 = 4 194 304            2 23 = 8 388 608          2 24 = 16 777 216 2 25 = 33 554 432          2 26 = 67 108 864         2 27 = 134 217 728 2 28  = 268 435 456        2 29  = 536 870 912
  • 10. Introducción a los logaritmos ¿Qué se hace?   Si los números con los que hay que operar no están entre esas potencias de 2 como:   678 314 x 15 432 099   
  • 11. Introducción a los logaritmos
    • 2 0 = 1 
    • 2 1 = 2      
    • 2 2 = 4           
    • 2 3 = 8         
    • 2 4 = 16
    • 2 5 = 32      
    • 2 6 = 64     
    • 2 7 = 128       
    • 2 8 = 256      
    • 2 9 = 512
    • 2 10 = 1 024   
    ¿Están dentro del resultado de esas potencias?  2 11 = 2 048               2 12 = 4 096    2 13  = 8 192                 2 14  = 16 384             2 15 = 32 768           2 16 = 65 536                2 17 = 131 072            2 18 = 262 144   2 19 = 524 288           2 20 = 1 048 576          2 21 = 2 097 152         2 22 = 4 194 304            2 23 = 8 388 608          2 24 = 16 777 216 2 25 = 33 554 432          2 26 = 67 108 864         2 27 = 134 217 728 2 28  = 268 435 456        2 29  = 536 870 912 678 314 15 432 099
  • 12. Introducción a los logaritmos Pues como son cantidades intermedias a los resultados de las potencias de 2, sus exponentes también deben ser intermedios, es decir deben expresarse con exponentes racionales :  678 314 =  2 19.371 594                                         15 432 099 = 2 23.879 431 678 314 x 15 432 099 =  = 2 19.371 594 x 2 23.879 431 = 2 19,371594 + 23,879431 = 2 43,251025 = 1,0467811 x 10 13
  • 13. Introducción a los logaritmos Por lo tanto cualquier número se pueda expresar como potencia de 2 ¿No? ¿Y como potencias de otra base positiva?... ¡También se puede!
  • 14. Introducción a los logaritmos Por ejemplo: 5 se puede expresar como potencia de base 10:  5 = 10 0,69897   se dice que el logaritmo de 5 en base 10 es 0,69897  y se expresa así:     log 10 5 =  0,69897  5 se puede expresar como potencia de base 2:   5 = 2 2,3219281   se dice que el logaritmo de 5 en base 2 es 2,3219281  y se expresa así:   log 2 5 =  2,3219281 
  • 15. Logaritmos DEFINICIÓN: El logaritmo en base  “a ” de un número  N   es el exponente al que hay que elevar la base  “a”  para obtener dicho número.      a x  = N log a N = x De todas las bases posibles, para los logaritmos se usa preferentemente la base 10. Así, los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se representan sin necesidad de escribir la base. log x  = log 10   x  
  • 16. Propiedades de los Logaritmos
  • 17. Logaritmos Neperianos Si se adoptó la base de logaritmos decimal fue por analogía con nuestro sistema de numeración, basado en los dedos de las manos. Pero, después de estudiar diversos fenómenos de crecimiento y decrecimiento en la Naturaleza (por ejemplo: aumento de una población de bacterias, desintegración radiactiva, etc.), se observó que una y otra vez aparecían las potencias de un número irracional al que se llamó el “ número e ”:
  • 18. Gráficas logaritmicas
  • 19. Gráficas logaritmicas
  • 20. Gráficas logaritmicas