Sistemas de ecuaciones lineales

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  • 1. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Capítulo IV SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES4.1 DEFINICIONES:a. Espacios de Tres Dimensiones:Cuando los objetos, o sus idealizaciones, se colocan en un sistema de coordenadas quetenga 3 ejes perpendiculares entre sí, se está definiendo un Espacio de 3 Dimensiones.Se toma como base un aula de clases convencional rectangular, vista desde su interiorpor los estudiantes. Hacia el frente se tiene una pared que claramente nos define unplano al que se asignaran las coordenadas “x” y “y” (“x” es horizontal y “y” es vertical).El eje de las “x” estará ubicado en la base de esa pared, y el eje de las “y” será la líneavertical izquierda de la pared.Es importante mencionar que la representación de esos 2 ejes coincide con la formatradicional de representar los 2 primeros ejes cartesianos.Sin embargo, para representar totalmente esa aula, también existe un eje que nospermite identificar la dimensión y posición en profundidad de los objetos, el mismo quese lo ubicará sobre la pared izquierda, en su base. 212
  • 2. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorLos objetos (pizarrón, puerta, pupitres) dentro de este espacio tridimensional podrían serrepresentados de la siguiente manera:b. Funciones Lineales:El punto de partida para la definición de las funciones lineales es la ecuación de la línearecta y sus propiedades.Las siguientes expresiones constituyen ecuaciones de líneas rectas específicas, bastantecomunes:2x + 3y − 5 = 0x − 5 y = −122 x + 3y = 0x−7 = 0y = −3x =0 213
  • 3. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorTodas las ecuaciones presentadas previamente pueden ser representadas por una únicaecuación general (Ecuación General de la Recta).Ax + By + C = 0 Ecuación General de la RectaEsta ecuación también es un ejemplo de función lineal, en una de sus formasespecíficas.Ax + By + C = 0 Función Lineal para un Espacio de 2 Dimensiones (2 variables)Si se compara la Ecuación General con las expresiones de las rectas presentadaspreviamente se puede concluir que:Ø En la ecuación de la recta existen 2 variables: “x” y “y”.Ø Existen 3 constantes: § A: coeficiente de la variable “x” § B: coeficiente de la variable “y” § C: término independiente de las variables (término independiente)Ø Algunas de las constantes (A, B, C) pueden ser nulas, pero al menos uno de los coeficientes de las variables debe ser no nulo.Ø Se requieren 2 condiciones para poder definir una ecuación, pues al dividir toda la expresión para una de las constantes solamente permanecen 2 indeterminadas.Si se extienden las características menc ionadas previamente a una expresión que tenga 3variables (x, y, z), se tendría una ecuación como la siguiente:Ax + By + Cz + D = 0 Función Lineal para un Espacio de 3 Dimensiones (3variables)La ecuación previa se utiliza para describir planos dentro de un espacio tridimensional.Se puede extrapolar la expresión anterior hacia una función lineal que involucre a “n”variables, por lo que pertenecerá a un espacio n-dimensional.A1 .x 1 + A 2 .x 2 + ... + A n .x n + B = 0 Función Lineal para un Espacio de nDimensionesProblema Resuelto 1:Representar gráficamente la siguiente función lineal:x + y+ z = 6Solución:Se prepara una tabla especial en la que se pueden proporcionar diversos valores a lavariable “ (inicialmente comprendidos entre “ z” -7” y “7”), de modo que la funcióninicial se transforme en otra que contiene solamente “x” y “y”.x+ y+ z= 6 z f(x, y) -7 x + y − 7 = 6 o x + y = 13 -6 x + y − 6 = 6 o x + y = 12 -5 x + y − 5 = 6 o x + y = 11 -4 x + y − 4 = 6 o x + y = 10 214
  • 4. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador -3 x+ y−3= 6 o x+y =9 -2 x+ y−2 = 6 o x+ y =8 -1 x + y −1 = 6 o x+y =7 0 x+ y+0 = 6 o x+y =6 1 x + y +1 = 6 o x+y =5 2 x+ y+ 2= 6 o x+y =4 3 x+ y+3= 6 o x+ y = 3 4 x+ y+ 4= 6 o x+y =2 5 x+ y+5 =6 o x+ y =1 6 x+ y+6 = 6 o x+y =0 7 x+ y+0 = 7 o x + y = −1Las funciones de “x” y “y” obtenidas son rectas paralelas, pues tienen la mismapendiente.Solamente por facilidad de dibujo se toman aquellos datos en que “ x”, “ y “z” son y”todos positivos. z f(x, y) 0 x+y =6 1 x+y =5 2 x+y =4 3 x+ y = 3 4 x+y =2 5 x+ y =1 6 x+y =0Sobre un diagrama de coordenadas tridimensionales, se dibujan planos con lascoordenadas “z” de la tabla (z = 1, z = 2, z = 3, z = 4, z = 5, z = 6), pues el plano “x-y”se identifica como “z = 0”. 215
  • 5. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSobre los ejes que describen los nuevos planos se dibujan las dimensiones base a escala(la misma escala para todos los ejes), para fijar referencias para los gráficos de lafunciones.Se procede a dibujar la primera func ión, cuando “z = 0” (sobre el plano “x-y”, con suspuntos en el primer cuadrante.Sobre el gráfico anterior se dibuja la recta cuando “ = 1”, también en el primer zcuadrante. 216
  • 6. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe dibujan las restantes rectas, solamente en el primer cuadrante.Se traza n líneas rectas auxiliares adicionales (líneas entrecortadas), que unan los puntosde cruce de las rectas con sus respectivos ejes de coordenadas en 2 dimensiones, parafacilitar la visualización tridimensional de las rectas dibujadas previamente. 217
  • 7. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorPara identificar más claramente a la representación gráfica de la ecuación original, secoloca sombreado sobre la geometría (el área interior a un triángulo plano en el espacio)que se ha obtenido, lo que representará a todas las rectas intermedias que se generaríancon valores de “z” positivos y no enteros.A pesar de que solamente se ha dibujado un sector del plano obtenido, es fácil extendermentalmente esta geometría hacia la zona en que los valores de “ “y”, o “z” son x”,negativos, y esa nueva representación ampliada sería el gráfico total de la función lineal,con 3 variables, presentada previamente.NOTA: Una manera de interpretar el resultado anterior es que todos los puntos delplano señalado en el gráfico, y sus extensiones hacia valores negativos de las variables,cumplen con las condiciones fijadas por la ecuación lineal propuesta (la suma de lascoordenadas “x”, “y” y “z” tiene un valor de “6”).4.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:Cuando en un problema se deben cumplir simultáneamente las condicio nes fijadas porvarias ecuaciones lineales, se ha establecido un Sistema de Ecuaciones Lineales.Ejemplo 1:Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: x + y+ z = 2 x + 2y + 3 z = 5 x−y+ z = 4Se puede concluir que el sistema de ecuaciones es lineal, pues en todas las ecuaciones elexponente de las variables es “1”; además cada ecuación representa una condiciónindependiente.Los valores de “x”, “y” y “z”, que son solución al sistema, deben cumplirsimultáneamente con las 3 condiciones expuestas. 218
  • 8. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEjemplo 2:Dado el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: x 2 + y 2 = 13 x+y = 5El sistema de ecuaciones no es lineal por que al menos una de las incógnitas, en almenos una de las ecuaciones tiene una potencia diferente de “1”.4.3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:Existen diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Los principales seestudiarán a continuación.4.3.1 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando unade las incógnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresión en lasecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno elorden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. En este punto secalcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan losvalores de las otras incógnitas.Problema Resuelto 2:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: 2 x + 3y = 13 Ec . 1 x − y = −1 Ec . 2Solución:Debido a que la segunda ecuación es más sencilla, se despeja “x”.x = y −1 Ec . 2La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que obliga a cumplir lasmismas condiciones que la Ecuación 2, pero su presentación es diferente.Se reemplaza la Ecuación 2’ en la Ecuación 1. 2 x + 3y = 13 6x87 2( y − 1) + 3 y = 13 Se simplifica la expresión. ( 2 y − 2) + 3y = 13 2 y − 2 + 3 y = 13 5y = 15 219
  • 9. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadory = 3 Valor de la incógnita “y”El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 1 o Ecuación 2).Se reemplaza “y” en la Ecuación 2. x − y = −1 y } x − (3) = −1 Se simplifica la expresión previa:x = 2 Valor de la incógnita “x”Resumiendo los 2 resultados previos, la solución del sistema de ecuaciones es: x=2 Solución del sistema de ecuaciones y=3Con el objeto de interpretar gráficamente la solución de un sistema de ecuacionessimultáneas, se representan gráficamente las 2 ecuaciones del sistema, para lo que seidentifican las intersecciones de las ecuaciones con los ejes “x” y “y”:En el mismo gráfico se identifica el punto cuyas coordenadas son solución del sistemade ecuaciones. 220
  • 10. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorNOTA: La solución del sistema de ecuaciones, en el gráfico, es igual a las coordenadasde la intersección de la representación gráfica de las funciones lineales.No es extraño este resultado pues cada una de las líneas rectas representan gráficamenteal conjunto de coordenadas que satisfacen cada función lineal independientemente, y elpunto de intersección de las 2 rectas es el único que cumple simultáneamente con lascondiciones impuestas por las 2 funciones lineales, lo que es exactamente equivalente ala definición de sistema de ecuaciones simultáneas.Problema Resuelto 3:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: x + y+ z = 6 Ec . 1 x − y + 2z = 5 Ec . 2 x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3Solución:Se despeja “x” de la primera ecuación.x = −y − z + 6 Ec . 1La nueva expresión se ha definido como Ecuación 1’ debido a que sus condiciones sonequivalentes a las de la Ecuación 1.El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que esequivalente: x = −y − z + 6 Ec . 1 x − y + 2z = 5 Ec . 2 x + 2y + 3 z = 14 Ec . 3Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. x − y + 2z = 5 64748 x (− y − z + 6 ) − y + 2z = 5 Se simplifica la expresión previa: − y − z + 6 − y + 2z = 5− 2y + z = − 1 Ec . 4La Ecuación 4 combina las condiciones impuestas por la Ecuación 1 (o Ecuación 1’)con las condiciones de la Ecuación 2, por lo que se la identifica como una nuevacondición.Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. x + 2y + 3z = 14 221
  • 11. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 64748 x (− y − z + 6) + 2y + 3z = 14 Se simplifica la expresión anterior: − y − z + 6 + 2 y + 3z = 14y + 2z = 8 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. − 2y + z = − 1 Ec . 4 y + 2z = 8 Ec . 5Se utiliza nuevamente el método de sustitución para transformar el sistema de 2ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, pues esta última situaciónes equivalente a calcular el valor de 1 de las incógnitas.Se despeja “z” de la Ecuación 4 (se podía haber despejado “ y el procedimiento y”hubiera sido similar, al igual que los resultados finales).z = 2y − 1 Ec . 4Se reemplaza “x” de la Ecuación 4’ en la Ecuación 5. y + 2z = 8 y + 2(2 y − 1) = 8 Se simplifica la expresión anterior: y + 4y − 2 = 8 5y = 10y = 2 Valor de la incógnita “y”El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 4 o Ecuación 5).Se reemplaza “y” en la Ecuación 5. y + 2z = 8 y } ( 2) + 2z = 8 Se simplifica la expresión: 2z = 6z = 3 Valor de la incógnita “z”Los valores de “y” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).Se reemplazan los valores de “y” y “z” en la Ecuación 1. 222
  • 12. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador x+ y+ z= 6 y z } } x + ( 2) + (3) = 6 Se simplifica la expresión:x = 1 Valor de la incógnita “x”La solución total del sistema de ecuaciones es: x =1 y = 2 Solución del sistema de ecuaciones z=3Si se representara gráficamente a las 3 ecuaciones se obtendrían 3 planos en el espaciotridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único puntocuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones.Problema Resuelto 4:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x − 5 y + z = −10Ec . 1 x + 2y + 3 z = 26 Ec . 2 − 3x − 4y + 2z = 5 Ec . 3Solución:Se despeja “z” de la primera ecuación.z = −2x + 5y − 10 Ec . 1Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. x + 2y + 3z = 26 x + 2y + 3( −2 x + 5 y − 10) = 26 Se simplifica la expresión previa: x + 2y − 6 x + 15 y − 30 = 26− 5x + 17 y = 56 Ec . 4Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. − 3x − 4y + 2z = 5 − 3x − 4 y + 2( −2x + 5y − 10) = 5 Se simplifica la expresión anterior: − 3x − 4 y − 4x + 10y − 20 = 5 223
  • 13. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador− 7x + 6y = 25 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. − 5x + 17 y = 56 Ec . 4 − 7x + 6y = 25 Ec . 5Se despeja “x” de la Ecuación 4. 17 y − 56x= 5 17 56x= y− Ec . 4 5 5Se reemplaza “x” de la Ecuación 4’ en la Ecuación 5. − 7x + 6 y = 25  17 56  − 7 y −  + 6 y = 25  5 5  Se simplifica la expresión: 119 392 − y+ + 6 y = 25 5 5 89 267 − y=− 5 5 − 89 y = −267 267 y= 89y = 3 Valor de la incógnita “y”Se reemplaza “y” en la Ecuación 4. − 5x + 17 y = 56 − 5x + 17 (3) = 56 Se simplifica la expresión previa: − 5x + 51 = 56 − 5x = 5 5 x=− 5x = −1 Valor de la incógnita “x”Se reemplazan “y” y “x” en la Ecuación 1. 2( −1) − 5( 3) + z = −10 224
  • 14. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Se simplifica la expresión: − 2 − 15 + z = −10z = 7 Valor de la incógnita “z”La solución total del sistema de ecuaciones es: x = −1 y=3 Solución del sistema de ecuaciones z=7Si se representaran gráficamente a las 3 ecuaciones, se obtendrían 3 planos en el espaciotridimensional. Por analogía a la representación gráfica de la solución de un sistema de2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, la intersección de los 3 planos es un único puntocuyas coordenadas constituyen la solución del sistema de ecuaciones.4.3.2 MÉTODO DE SUMA Y RESTA:Consiste en escoger una ecuación como base y una de las incógnitas para ser eliminadapara reducir el orden del sistema de ecuaciones en una unidad. La ecuación base seempareja con cada una de las ecuaciones restantes del sistema, y multiplicando cada unade las 2 ecuaciones por constantes apropiadas, mediante una suma o una resta, miembroa miembro de las 2 ecuaciones se conforma una nueva ecuación en la que se haeliminado la incógnita escogida. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce unoa uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. Luego secalcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan losvalores de las otras incógnitas.Problema Resuelto 5:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 3y = 9 Ec . 1 x+y = 4 Ec . 2Solución:Se multiplica la segunda ecuación por “-2” para que el coeficiente que multiplica a lavariable “x” sea igual al de la primera ecuación cambiado de signo.− 2x − 2y = − 8 Ec . 2La nueva expresión se ha definido como Ecuación 2’ debido a que sus condiciones sonequivalentes a la Ecuación 2.Se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’. 2 x + 3y = 9 Ec . 1 − 2x − 2y = − 8 Ec . 2Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones: 225
  • 15. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador ( 2x + 3y ) + ( −2x − 2 y) = (9) + ( −8) Se simplifica la expresión: ( 2x − 2 x) + (3y − 2 y) = 1 y =1y = 1 Valor de la incógnita “y”El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 1 o Ecuación 2).Se reemplaza “y” en la Ecuación 1. 2x + 3y = 9 y } 2 x + 3(1) = 9 Se simplifica la expresión: 2x + 3 = 9 2x = 6 6 x= 2x = 3 Valor de la incógnita “x”La solución total del sistema de ecuaciones es: x=3 Solución del sistema de ecuaciones y=1Problema Resuelto 6:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2 x − y + 3z = 17 Ec . 1 3x + y − z = 1 Ec . 2 x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3Solución:Se toman como base para disminuir el orden del sistema de ecuaciones a la Ecuación 1y a la variable “y”.En primer lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2. 2 x − y + 3z = 17 Ec . 1 3x + y − z = 1 Ec . 2Si se suma, miembro a miembro, la Ecuación 1 con la Ecuación 2, se logra eliminar lavariable “y” de la ecuación resultado. 226
  • 16. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador (2 x − y + 3z ) + (3x + y − z ) = (17 ) + (1) Se simplifica la ecuación previa. 2 x − y + 3z + 3x + y − z = 185x + 2 z = 18 Ec . 4En segundo lugar se empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 3. 2 x − y + 3z = 17 Ec . 1 x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3Si se suma, miembro a miembro, tres veces la Ecuación 1 con la Ecuación 3, se lograeliminar la variable “y” de la ecuación resultado. 3(2 x − y + 3z ) + (x + 3y + 2 z ) = 3(17 ) + (7 ) Se simplifica la expresión. 6 x − 3y + 9z + x + 3y + 2z = 51 + 77 x + 11z = 58 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede conformar un sistema de ecuacioneslineales equivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas. 5x + 2 z = 18 Ec . 4 7 x + 11z = 58 Ec . 5Se utilizará nuevamente el método de suma y resta para transformar el sistema de 2ecuaciones con 2 incógnitas, en 1 ecuación con 1 incógnita, lo que es equivalente aencontrar el valor de 1 de las incógnitas.Se resta “11” veces la Ecuación 4 menos 2 veces la Ecuación 5, para eliminar lavariable “z” en la ecuación resultado. 11(5x + 2z ) − 2(7 x + 11z ) = 11(18) − 2(58) Se simplifica la expresión anterior: (55x + 22z ) − (14 x + 22z ) = 198 − 116 55x + 22z − 14 x − 22z = 82 41x = 82 82 x= 41x = 2 Valor de la incógnita “x”El valor obtenido para la incógnita “x” se debe reemplazar en cualquiera de lasecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 4 o Ecuación 5).Se reemplaza “x” en la Ecuación 4. 5x + 2z = 18 227
  • 17. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 5(2) + 2z = 18 10 + 2z = 18 2z = 8 8 z= 2z = 4 Valor de la incógnita “z”Los valores de “x” y de “z” se deben reemplazar en cualquiera de las ecuaciones con 3incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3).Se reemplazan los valores de “x” y “z” en la Ecuación 1. 2 x − y + 3z = 17 2( 2) − y + 3(4) = 17 4 − y + 12 = 17 − y =1y = −1 Valor de la incógnita “y”La solución total del sistema de ecuaciones es: x=2 y = −1 Solución del sistema de ecuaciones z=44.3.3 OTROS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como el Método delos Determinantes, el Método de Operaciones Matriciales o un sinnúmero de MétodosNuméricos orientados a la computación. Sin embargo, por tratarse de elementos deapoyo al manejo matemático de problemas para la administración, en el presente textono se los tratará a detalle, aunque en capítulos posteriores se hará referencia al uso dealgunas herramientas computacionales.A continuación, a modo de ejemplo, se presentará la mecánica de resolución de sistemasde 2 con 2 incógnitas, y 3 ecuaciones con 3 incógnitas respectivamente, mediante elmétodo de los determinantes.Problema Resuelto 7:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas, mediante elmétodo de los determinantes: 2 x − 3 y = −5 Ec . 1 x + 2y = 8 Ec . 2 228
  • 18. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:Cada incógnita se obtiene al realizar la división entre 2 determinantes. En eldenominador de cada expresión se coloca la matriz de coeficientes organizadosordenadamente (una tabla con lo s valores numéricos especificados) y se obtiene sudeterminante, y en el numerador se coloca la misma matriz en la que se ha reemplazadola columna de coeficientes de la incógnita que se calcula por la columna de términosindependientes.La matriz de coeficientes es: 2 − 31  2 El vector de términos independientes es: − 5  8 De acuerdo a este método, las incógnitas se calculan de la siguiente manera: −5 −3 8 2x= 2 −3 1 2 2 −5 1 8y= 2 −3 1 2Existen 3 determinantes que deben calcularse, 2 numeradores y 1 denominador: −5 −3D1 = 8 2 2 −5D2 = 1 8 2 −3Dd = 1 2El determinante de una matriz cuadrada de 2 filas por 2 columnas se obtienerestando el producto de los elementos de la diagonal principa l menos la diagonalsecundaria.a b = (a )( d) − (b )(c )c dPrimer Determinante Numerador: 229
  • 19. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador −5 − 3D1 = 8 2 −5 −3D1 = = ( −5)( 2) − ( −3)( 8) 8 2 − 5 −3D1 = = −10 + 24 8 2 −5 − 3D1 = = 14 Primer determinante numerador 8 2Segundo Determinante Numerador: 2 −5D2 = 1 8 2 −5D2 = = ( 2)(8) − ( −5)(1) 1 8 2 −5D2 = = 16 + 5 1 8 2 −5D2 = = 21 Segundo determinante numerador 1 8Determinante Denominador: 2 −3Dd = 1 2 2 −3Dd = = ( 2)( 2) − ( −3)(1) 1 2 2 −3Dd = = 4+3 1 2 2 −3Dd = = 7 Determinante deno minador 1 2Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas: D1 14x= = Dd 7x = 2 Valor de la incógnita “x” D2 21y= = Dd 7 230
  • 20. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadory = 3 Valor de la incógnita “y”La solución total del sistema de ecuaciones es: x=2 Solución del sistema de ecuaciones y=3Problema Resuelto 8:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, mediante elmétodo de los determinantes: 2 x − y + 3z = 17 Ec . 1 3x + y − z = 1 Ec . 2 x + 3y + 2 z = 7 Ec . 3Solución:La matriz de coeficientes es: 2 −1 3 3 1 − 1 1 3 2 El vector de términos independientes es: − 5  8 Las incógnitas se calculan con las siguientes expresiones: 17 − 1 3 1 1 −1 7 3 2x= 2 −1 3 3 1 −1 1 3 2 2 17 3 3 1 −1 1 7 2y= 2 −1 3 3 1 −1 1 3 2 231
  • 21. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 − 1 17 3 1 1 1 3 7z= 2 −1 3 3 1 −1 1 3 2Existen cuatro determinantes que deben calcularse, 3 numeradores y 1 denominador: 17 − 1 3D1 = 1 1 −1 7 3 2 2 17 3D2 = 3 1 −1 1 7 2 2 − 1 17D3 = 3 1 1 1 3 7 2 −1 3Dd = 3 1 −1 1 3 2El determina nte de una matriz cuadrada de 3 filas por 3 columnas se obtienerepitiendo las 2 primeras filas de la matriz y ejecutando los productos diagonalesde izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, con su propio signo, y losproductos de derecha a izquierda y de arriba hacia abajo con signo cambiado, ysumando esos productos.a b cd e fg h i → { (a)(e)(i) + (d)(h)(c) + (g)(b)(f) } – { (c)(e)(g) + (f)(h)(a) +a b cd e f(i)(b)(d) }Primer Determinante Numerador: 17 − 1 3D1 = 1 1 −1 7 3 2 232
  • 22. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador17 − 1 3 1 1 −1 7 3 2 = [(17)(1)( 2) + (1)( 3)( 3) + (7)( −1)( −1)] −17 − 1 3 1 1 −1 [(3)(1)( 7) + ( −1)(3)(17) + (2 )( −1)(1) ] 17 − 1 3D1 = − 1 1 − 1 = [34 + 9 + 7] − [21 − 51 − 2] 2 3 2 17 − 1 3D1 = − 1 1 − 1 = 50 + 32 2 3 2 17 −1 3D1 = − 1 1 − 1 = 82 Primer determinante numerador 2 3 2Segundo Determinante Numerador: 2 17 3D2 = 3 1 −1 1 7 22 17 33 1 −11 7 2 = [( 2)(1)( 2) + (3)( 7)( 3) + (1)(17)( −1)] − [(3)(1)(1) + (−1)( 7)( 2) + ( 2)(17 )(3)]2 17 33 1 −1 2 17 3D2 = 3 1 − 1 = [4 + 63 − 17] − [3 − 14 + 102] 1 7 2 2 17 3D2 = 3 1 − 1 = 50 − 91 1 7 2 2 17 3D2 = 3 1 − 1 = −41 Segundo determinante numerador 1 7 2 233
  • 23. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorTercer Determinante Numerador: 2 − 1 17D3 = 3 1 1 1 3 72 − 1 173 1 11 3 7 = [(2)(1)( 7) + (3)(3)(17) + (1)( −1)(1) ] − [(17)(1)(1) + (1)( 3)( 2) + (7 )( −1)( 3) ]2 − 1 173 1 1 2 − 1 17D3 = 3 1 1 = [14 + 153 − 1] − [ + 6 − 21] 17 1 3 7 2 − 1 17D3 = 3 1 1 = 166 − 2 1 3 7 2 − 1 17D3 = 3 1 1 = 164 Tercer determinante numerador 1 3 7Determinante Denominador: 2 −1 3Dd = 3 1 −1 1 3 22 −1 33 1 −11 3 2 = [( 2)(1)( 2) + ( 3)( 3)( 3) + (1)( −1)( −1) ] − [( 3)(1)(1) + (−1)(3)( 2) + ( 2)( −1)(3)]2 −1 33 1 −1 2 −1 3Dd = 3 1 − 1 = [4 + 27 + 1] − [3 − 6 − 6] 1 3 2 2 −1 3Dd = 3 1 − 1 = [32] − [− 9] 1 3 2 234
  • 24. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 −1 3Dd = 3 1 − 1 = 41 Determinante denominador 1 3 2Una vez calculados los determinantes se procede a calcular las incógnitas: D1 82x= = Dd 41x = 2 Valor de la incógnita “x” D2 − 41y= = Dd 41y = −1 Valor de la incógnita “y” D3 164z= = Dd 41z = 4 Valor de la incógnita “z”La solución total del sistema de ecuaciones es: x=2 y = −1 Solución del sistema de ecuaciones z=44.4 SISTEMAS DE ECUACIONES INCONSISTENTES:En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones deun sistema se contraponen con las condiciones fijadas por otra ecuación, lo quedetermina que no exista solución al sistema de ecuaciones (no existen valores de lasvariables que cumplan todas las condiciones a la vez). Ese tipo de sistemas deecuaciones se identifica como Sistemas de Ecuaciones Inconsistentes.Problema Resuelto 9:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + 2y = 7 Ec . 1 x + 2 y = −3 Ec . 2Solución:Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que en el miembro izquierdo se tieneexactamente la misma expresión en ambas ecuaciones, pero el miembro derecho esdiferente. Se puede concluir que los valores de “ y de “ que cumplen la primera x” y”condición jamás podrán cumplir con la segunda ecuación pues 2 cosas iguales a unatercera deberían ser iguales entre sí, y se llegaría a concluir el absurdo de que “ es 7”igual a “-3”. 235
  • 25. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorEl sistema de ecuaciones es inconsistente y no existe solución.Si se dibujaran las 2 líneas que representan a las ecuaciones lineales, se obtendrían 2rectas paralelas que nunca se cruzan.NOTA: No siempre es posible detectar directamente las inconsistencias de un sistemade ecuaciones (como en el ejemplo previo), pero durante el proceso de resolución sellega a expresiones inconsistentes que denotan que el sistema original tiene esacaracterística.Problema Resuelto 10:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + 2y + z = 4 Ec . 1 2 x − y + 3z = 2 Ec . 2 3 x + y + 4z = 1 Ec . 3Solución:Se despeja “x” de la primera ecuación.x = − 2y − z + 4 Ec . 1Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. 2 x − y + 3z = 2 2( − 2 y − z + 4) − y + 3z = 2 Se simplifica la expresión previa: − 4 y − 2 z + 8 − y + 3z = 2− 5y + z = − 6 Ec . 4Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. 3x + y + 4z = 1 236
  • 26. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 3( −2 y − z + 4) + y + 4 z = 1 Se simplifica la expresión: − 6 y − 3z + 12 + y + 4 z = 1− 5y + z = −11 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. − 5y + z = − 6 Ec . 4 − 5y + z = −11 Ec . 5Claramente se observa que el nuevo sistema de ecuaciones, que es equivalente al primersistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es inconsistente pues “6” no es igual a “-11”(dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí).El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución.4.5 SISTEMAS DE ECUACIONES REDUNDANTES:En algunas ocasiones, las condiciones impuestas por una o varias de las ecuaciones deun sistema se repiten con relación a las condiciones fijadas por otra ecuación, lo quedetermina que exista redundancia de condiciones. Ese tipo de ecuaciones se identificacomo Ecuaciones Redundantes.Problema Resuelto 11:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x+y= 3 Ec . 1 2 x + 2y = 6 Ec . 2Solución:Si se observan las 2 ecuaciones, se encuentra que la segunda es exactamente el doble dela primera ecuación, y que todos los valores de “ y de “ que cumplen la primera x” y”condición también cumplen con las condiciones de la segunda ecuación.En definitiva, la segunda ecuación es equivalente a la primera por lo que la primeraexpresión (una recta con infinitos puntos) es la solución del sistema de ecuacionesx + y = 3 SoluciónNOTA: A diferencia de los sistemas de ecuaciones inconsistentes, en que no existensoluciones válidas, en los sistemas de ecuaciones redundantes pueden obtenerseinfinitas soluciones que se describen mediante funciones.Problema Resuelto 12:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 237
  • 27. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2x + y − z = 1 Ec . 1 − x + 2y + 3z = 12 Ec . 2 3 x − y − 4z = −11 Ec . 3Solución:Se despeja “y” de la primera ecuación.y = − 2x + z + 1 Ec . 1Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. − x + 2y + 3z = 12 − x + 2(−2 x + z + 1) + 3z = 12 Se simplifica la expresión previa:: − x − 4 x + 2z + 2 + 3z = 12 − 5x + 5z = 10− x+ z = 2 Ec . 4Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. 3x − y − 4 z = −11 3x − ( −2x + z + 1) − 4z = −11 Se simplifica la expresión anterior: 3x + 2x − z − 1 − 4z = −11 5x − 5z = −10x − z = −2 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se puede armar un sistema de 2 ecuaciones con 2incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. − x+ z = 2 Ec . 4 x − z = −2 Ec . 5La Ecuación 5 es igual a la Ecuación 4 multiplicada por “-1”, por lo que lascondiciones de las 2 ecuaciones son redundantes, o en otras palabras ambas ecuacionesfijan una única condición.x − z = −2 SoluciónTodos los puntos que pertenecen a la recta de la ecuación anterior tienen porcoordenadas pares de soluciones que satisfacen al sistema de ecuaciones original.En el numeral siguiente se estudiará una solución parametrizada más detallada, que esapropiada para el presente problema. 238
  • 28. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador4.6 SISTEMAS CON MENOS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:Cuando se dispone de menos ecuaciones que incógnitas en un sistema de ecuaciones, encaso de que el sistema no sea inconsistente, existirán infinitas soluciones. La formageneral de esas infinitas soluciones se obtiene escogiendo las incógnitas en excesocomo parámetros, y encontrando expresiones para las restantes incógnitas en función deesos parámetros.Problema Resuelto 13:Resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: x + y− z =1 Ec . 1 x + 2y + 3 z = 3 Ec . 2Solución:En el presente caso se utiliza el método de sustitución.Se despeja “x” de la primera ecuación.x = − y + z + 1 Ec .1 ´Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. x + 2y + 3z = 3 ( − y + z + 1) + 2 y + 3z = 3 Se simplifica la expresión previa:: − y + z + 1 + 2y + 3z = 3 y + 4z = 2y + 4z = 2 Ec . 3En vista de que no se puede continuar con el proceso de simplificación, el sistema de 2ecuaciones con 3 incógnitas es reemplazado por su equivalente que es la Ecuación 3con 2 incógnitas. y + 4z = 2 Ec . 3Se escoge la variable “y” como parámetro:y = y Valor parametrizado de la incógnita “y”La interpretación de la expresión previa es que “y” puede tomar cualquier valor real.Si se asume como conocido el valor de “y”, de la Ecuación 3 se puede despejar “z”:y + 4z = 24z = −y + 2 − y+2z= 4 239
  • 29. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y 2z=− + 4 4 y 1z=− + Valor parametrizado de la incógnita “z” 4 2Si se escoge un valor específico de “y”, el valor de “z” puede calcularse con laexpresión previa.Una vez que se conoce los valores parametrizados de “y” y de “z” (los 2 en función de“y”), se pueden reemplazar estas expresiones en la Ecuación 1, para calcular “x”.x + y − z =1  y 1x + (y ) −  − +  = 1  4 2Se simplifica la expresión anterior: y 1x+ y+ − =1 4 2 5y 3x+ = 4 2Se despeja “x”: 5y 3x=− + Valor parametrizado de la incógnita “x” 4 2La solución total es: 5y 3x=− + 4 2y=y Solución parametrizada del sistema de ecuaciones y 1z=− + 4 24.7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS:Las ecuaciones lineales cuyos término s independiente son nulos se conocen comoecuaciones lineales homogéneas. Cuando todas las ecuaciones de un sistema sonhomogéneas se tiene un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas.Ejemplo 3:Las siguientes ecuaciones conforman un Sistema de Ecuaciones LinealesHomogéneas. x + 2 y + 3z = 0 Ec . 1 x − y + 2z = 0 Ec . 2 2 x − 3y + z = 0 Ec . 3 240
  • 30. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorDe la simple observación de los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, surge unasolución obvia, la misma que consiste en que todas las incógnitas tengan valor nulo. x=0 y = 0 Solución del sistema de ecuaciones z=0Ejemplo 4:El siguiente sistema de ecuaciones es un Sistema de Ecuaciones LinealesHomogéneas. 3 x + 2y + z = 0 Ec . 1 2x − y − z = 0 Ec . 2 2 x + y + 3 z = 0 Ec . 3Una de las soluciones al sistema de ecuaciones es: x=0 y = 0 Solución del sistema de ecuaciones z=0Sin embargo, bajo ciertas condiciones (cuando se manejan ecuaciones redundantes), esposible que el Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneas tenga más de unasolución.Para identificar si la solución a un sistema de ecuaciones lineales homogéneas es única,con valores nulos de todas las incógnitas, o si existen infinitas solucio nes porredundancia de condiciones, se debe resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera delos métodos tradicionales.Problema Resuelto 14:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4x − 3y + z = 0 Ec . 1 − 3x + y + 2z = 0 Ec . 2 − 2x + y + 5 z = 0 Ec . 3Solución:Se aplica el método de suma y resta.Se multiplica la Ecuación 2 por 3 para que el coeficiente que multiplica a la variable“y” sea igual al de la Ecuación 1 cambiado de signo.− 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2 241
  • 31. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe empareja la Ecuación 1 con la Ecuación 2’. 4x − 3 y + z = 0 Ec . 1 − 9x + 3y + 6z = 0 Ec . 2Se suman miembro a miembro las 2 ecuaciones:− 5x + 7z = 0 Ec . 4Se empareja la Ecuación 2 con la Ecuación 3. − 3x + y + 2z = 0 Ec . 2 − 2x + y + 5 z = 0 Ec . 3Se resta miembro a miembro la Ecuación 2 menos la Ecuación 3− x − 3z = 0 Ec . 5Con la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se conforma un sistema de ecuacio nes linealesequivalente al original pero que tiene únicamente 2 incógnitas. − 5x + 7z = 0 Ec . 4 − x − 3z = 0 Ec . 5Se resta la Ecuación 4 menos 5 veces la Ecuación 5, para eliminar la variable “x” en laecuación resultado. (− 5x + 7z ) − 5(− x − 3z ) = (0) − 5(0 ) Se simplifica la expresión anterior: − 5x + 7z + 5x + 15z = 0 22 z = 0z = 0 Valor de la incógnita “z”Se reemplaza “z” en la Ecuación 4. − 5x + 7z = 0 − 5x + 7( 0) = 0 − 5x = 0x = 0 Valor de la incógnita “x”Se reemplazan “x” y “z” en la Ecuación 1. 4 x − 3y + z = 0 4( 0) − 3y + ( 0) = 0 − 3y = 0y = 0 Valor de la incógnita “y”La solución total del sistema de ecuaciones es única: 242
  • 32. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx=0y = 0 Solución única del sistema de ecuacionesz=0Problema Resuelto 15:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 4x − 3y + z = 0 Ec . 1 − 3x + y + 2z = 0 Ec . 2 x − 2y + 3z = 0 Ec . 3Solución:Se aplica el método de sustitución.Se despeja “z” de la Ecuación 1.Se despeja “x” de la primera ecuación.z = − 4x + 3y Ec . 1El sistema de ecuaciones previo puede ser reemplazado por el siguiente, que esequivalente: z = − 4x + 3y Ec . 1 − 3x + y + 2z = 0 Ec . 2 x − 2y + 3z = 0 Ec . 3Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. − 3x + y + 2z = 0 − 3x + y + 2(− 4x + 3y ) = 0 Se simplifica la expresión: − 3x + y − 8x + 6y = 0− 11x + 7y = 0 Ec . 4Se reemplaza “z” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. x − 2 y + 3z = 0 x − 2y + 3(− 4x + 3y ) = 0 Se simplifica la expresión: x − 2 y − 12x + 9 y = 0 − 11x + 7 y = 0− 11x + 7y = 0 Ec . 5 243
  • 33. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorCon la Ecuación 4 y la Ecuación 5 se arma un sistema de 2 ecuaciones con 2incógnitas, equivalente al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. − 11x + 7y = 0 Ec . 4 − 11x + 7y = 0 Ec . 5Debido a que las 2 ecuaciones son iguales, se tiene ecuaciones redundantes, y enrealidad existe una única condición que cumplir.− 11x + 7y = 0 Ec . 6Todos los puntos pertenecientes a la recta descrita mediante la Ecuación 6 satisfacen lascondiciones impuestas por el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.En vista de que existe una sola ecuación con dos incógnitas, existe la falta de unacondición para resolver el sistema de ecuaciones original, por lo que, para encontrar lasinfinitas soluciones al sistema original de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, es necesarioescoger una de las incógnitas de la Ecuación 6 como parámetro (como si su valor seconociera pero es genérico). Por ejemplo se toma a “x” como parámetro (“x” podrátomar infinitos valores, pero las restantes incógnitas se ajustarán al valor escogido para“x”).x = x Valor parametrizado de la incógnita “x”Una vez conocido el valor de “x”, se despeja “y” de la Ecuación 6.7 y = 11x 11y= x Valor parametrizado de la incógnita “y” 7Se reemplazan “x” y “y” en la Ecuación 1.4 x − 3y + z = 0  11 4( x ) − 3 x  + z = 0 7 Se simplifica la expresión:4( x ) − 33 x+z = 0 728 33 x − x+ z= 07 7 5− x+z=0 7Se despeja “z”: 5z= x Valor parametrizado de la incógnita “z” 7La solución total del sistema de ecuaciones es: 244
  • 34. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuadorx=x 11y= x Solución parametrizada del sistema de ecuaciones 7 5z= x 7Si se da un valor arbitrario a “x” y se calcula en base a las expresiones de la solución unvalor consistente de “y” y de “z”, se obtiene una de las infinitas soluciones al sistema deecuaciones simultáneas.NOTA: Cuando por efecto del proceso de resolución de los sistemas de ecuaciones sellega a una sola ecuación con 2 o más incógnitas, se escogen las incógnitas en excesocomo parámetros (como valores conocidos pero genéricos), y se resuelve el sistemapara las restantes incógnitas en función de los parámetros escogidos previamente. Estoes válido no solamente para ecuaciones homogéneas sino para cua lquier tipo deecuaciones lineales.4.8 SISTEMAS CON MÁS ECUACIONES QUE INCÓGNITAS:La presencia de más ecuaciones que incógnitas dentro de un sistema de ecuacionessignifica que existe un exceso de condiciones que cumplir. A veces esa situación setraduce en redundancia de condiciones, y a veces es el resultado de condicionesinconsistentes.Ocasionalmente la simple observación del sistema de ecuaciones nos permite detectar elorigen del exceso de condiciones, pero generalmente se requerirá realizar el procesotradicional para resolver el sistema, y en alguna etapa de ese proceso será evidente elorigen de la redundancia.Problema Resuelto 16:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: x+y= 3 Ec . 1 x − 2y = 0 Ec . 2 2 x + 2y = 6 Ec . 3Solución:Por simple inspección se detecta que la Ecuación 3 es exactamente el doble de laEcuación 1, por lo que reflejan la misma condición (si un par de valores “ y “ x” y”cumplen con la primera ecuación, automáticamente cumplirán también con la terceraecuación). Rápidamente se puede eliminar la redundancia quitando cualquiera de las 2ecuaciones (en este caso, para conservar las expresiones más sencillas se eliminará latercera ecuación) y se obtendrá un sistema de ecuaciones equivalente al original. x+y= 3 Ec . 1 x − 2 y = 0 Ec . 2 245
  • 35. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe resta miembro a miembro las dos ecuaciones (Ecuación 1 menos Ecuación 2), paraeliminar la incógnita “x”: ( x + y) − ( x − 2y ) = (3) − (0) Se simplifica la expresión: ( x − x ) + ( y + 2 y) = 3 3y = 3y = 1 Valor de la incógnita “y”Se reemplaza “y” en la Ecuación 1. x+ y = 3 x + (1) = 3x = 2 Valor de la incógnita “x”La solución total del sistema de ecuaciones es: x=2 Solución del sistema de ecuaciones y=1Problema Resuelto 17:Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: 2 x + 3y = 7 Ec . 1 x − 2y = 2 Ec . 2 3 x − 6y = −3 Ec . 3Solución:Por simple inspección se detecta que el miembro izquierdo de la Ecuación 3 esexactamente el triple del miembro izquierdo de la Ecuación 2; sin embargo, el miembroderecho de la tercera ecuación no es el triple del miembro derecho de la ecuación 2, porlo que cualquier par de valores “x” y “y” que cumpla con la ecuación “2” no cumplirácon las condiciones de la ecuación “3”, estableciéndose una inconsistencia.El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución.Problema Resuelto 18:Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: x + y + z = −4 Ec . 1 2 x − y + 3z = 2 Ec . 2 − x + 3y + z = −6 Ec . 3 3 x − 2 y − z = −1 Ec. 4 246
  • 36. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución:Se despeja “x” de la primera ecuación.x = −y − z − 4 Ec . 1Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. 2 x − y + 3z = 2 2( − y − z − 4) − y + 3z = 2 Se simplifica la expresión: − 2 y − 2 z − 8 − y + 3z = 2 − 3y + z = 10− 3y + z = 10 Ec . 5Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. − x + 3y + z = − 6 − ( − y − z − 4) + 3y + z = − 6 Se simplifica la expresión: y + z + 4 + 3y + z = − 6 4 y + 2z = −10 2 y + z = −52 y + z = −5 Ec . 6Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 4. 3x − 2y − z = − 1 3( − y − z − 4) − 2 y − z = −1 Se simplifica la expresión previa: − 3y − 3z − 12 − 2y − z = −1− 5y − 4z = 11 Ec . 7Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3ecuaciones con 2 incógnitas (nuevamente una ecuación más que el número deincógnitas existentes), equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. − 3y + z = 10 Ec . 5 2 y + z = −5 Ec . 6 − 5y − 4z = 11 Ec . 7Se despeja “z” de la Ecuación 5.z = 3y + 10 Ec . 5 247
  • 37. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSe reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 6. 2 y + z = −5 2 y + (3y + 10) = −5 Se simplifica la expresión anterior: 2 y + 3y + 10 = −5 5 y = −15y = −3 Valor de la incógnita “y”Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solucióndefinida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7. − 5y − 4z = 11 − 5 y − 4(3y + 10) = 11 Se simplifica la expresión: − 5y − 12 y − 40 = 11 − 17 y = 51y = −3 Valor de la incógnita “y” que verifica la redundanciaDebido a que en ambos casos se obtuvo un mismo valor para “y”, el sistema deecuaciones tiene solución válida (en caso de que los valores obtenidos en los 2reemplazos fueran diferentes, el sistema de ecuaciones sería considerado comoinconsistente).El valor obtenido para la incógnita “y” se debe reemplazar en cualquie ra de lasecuaciones con 2 incógnitas (Ecuación 5, Ecuación 6 o Ecuación 7).Se reemplaza “y” en la Ecuación 5. − 3y + z = 10 − 3( −3) + z = 10z = 1 Valor de la incógnita “z”Los valores de “y” y de “z” se deben reemplaza r en cualquiera de las ecuaciones con 3incógnitas (Ecuación 1, Ecuación 2, Ecuación 3 o Ecuación 4).Se reemplaza “y” y “z” en la Ecuación 1. x + y + z = −4 x + ( −3) + (1) = −4x = −2 Valor de la incógnita “x”La solución total del sistema de ecuaciones es: 248
  • 38. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador x = −2 y = −3 Solución del sistema de ecuaciones z=1Problema Resuelto 19:Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, muy similar alproblema anterior, con un cambio en el término independiente de la Ecuación 4: x + y + z = −4 Ec . 1 2 x − y + 3z = 2 Ec . 2 − x + 3y + z = −6 Ec . 3 3 x − 2 y − z = 16 Ec. 4Solución:Se despeja “x” de la primera ecuación.x = −y − z − 4 Ec . 1Se reemplaza “x” de la Ecuación 1’ en la Ecuación 2. 2 x − y + 3z = 2 2( − y − z − 4) − y + 3z = 2 Se simplifica la expresión: − 2 y − 2 z − 8 − y + 3z = 2 − 3y + z = 10− 3y + z = 10 Ec . 5Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 3. − x + 3y + z = − 6 − ( − y − z − 4) + 3y + z = − 6 Se simplifica la expresión: y + z + 4 + 3y + z = − 6 4 y + 2z = −10 2 y + z = −52 y + z = −5 Ec . 6Se reemplaza “y” de la Ecuación 1’, en la Ecuación 4. 3x − 2 y − z = 16 3( − y − z − 4) − 2 y − z = 16 249
  • 39. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador Se simplifica la expresión: − 3y − 3z − 12 − 2 y − z = 16− 5y − 4z = 28 Ec . 7Con la Ecuación 4, la Ecuación 5 y la Ecuación 6 se puede armar un sistema de 3ecuaciones con 2 incógnitas, equivalente al sistema original de 4 ecuaciones con 3incógnitas. − 3y + z = 10 Ec . 5 2 y + z = −5 Ec . 6 − 5y − 4z = 28 Ec . 7Se despeja “z” de la Ecuación 5.z = 3y + 10 Ec . 5Se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 6. 2 y + z = −5 2 y + (3y + 10) = −5 Se simplifica la expresión anterior: 2 y + 3y + 10 = −5 5 y = −15y = −3 Valor de la incógnita “y”Para verificar si el sistema de ecuaciones es simplemente redundante con solucióndefinida o inconsistente, se reemplaza “z” de la Ecuación 5’ en la Ecuación 7. − 5y − 4z = 28 − 5y − 4(3y + 10) = 28 Se simplifica la expresión: − 5 y − 12 y − 40 = 28 − 17 y = 68y = −4 Valor inconsistente de la incógnita “y”Debido a que al reemplazar la Ecuación 5’ en la Ecuación 6 y en la Ecuación 7 (las 2ecuaciones restantes pues la Ecuación 5’ presenta condiciones equivalentes a laEcuación 5), se obtuvieron valores diferentes para “ el sistema de ecuaciones es y”,inconsistente pues “-3” no es igual a “-4”.El Sistema de Ecuaciones es Inconsistente por lo que no existe solución. 250
  • 40. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador4.9 PROBLEMAS PROPUESTOS:Problema Propuesto 1:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y+ z = 2 x + 2y + 3 z = 5 x−y+ z = 4Solución: x = 1, y = -1, z = 3Problema Propuesto 2:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 14y − 4z = −2 − 4x − 3y + z = 8 3 x − 5y + 6z = 7Solución: x = -2, y = 1, z = 3Problema Propuesto 3:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x − y + 3z = 1 x + 2y + z = 6 − x + y + z = −2Solución: x = 3, y = 2, z = -1Problema Propuesto 4:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y+ z = 2 x + 2y + 3 z = 5 3 x + 5y + 7 z = 12Solución: el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones por presentar condicionesredundantes. Si se parametriza z, la solución genérica será z = z, y = -2z + 3, x = z – 1,que se cumple para cualquier valor de z (la solución será diferente si se parametriza otravariable).Problema Propuesto 5:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y+ z = 2 x + 2y + 3 z = 5 x + 3y + 5z = 3 251
  • 41. FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc. Escuela Politécnica del Ejército - EcuadorSolución: el sistema de ecuaciones es inconsistente por presentar condicionesincompatibles. Si se elimina la variable x, tal incompatibilidad se expresa como y + 2z= 3, y + 2z = 0.5 (la expresión de incompatibilidad será diferente si se escoge otravariable de eliminación).Problema Propuesto 6:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x − z = 2 − x + 2y + z = 0 3 x − 2 y − 4z = 10Solución: x = -1, y = 1.5, z = -4Problema Propuesto 7:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x+y= 5 y+z=3 x+z= 4Solución: x = 3, y = 2, z = 1Problema Propuesto 8:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x+y+ z = 0 x + 2 y + 3z = − 4 − 2x + y − 2 z = − 6Solución: x = 3, y = -2, z = -1Problema Propuesto 9:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x − y + z = −3 2x + y + 3z = 4 x − 2 y − 2z = − 1 3 x + 2y − 3 z = 23Solución: x = 3, y = 4, z = -2 252