La transformada de Fourier transforma una señal entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, descomponiendo la señal en sus componentes de frecuencia. La transformada de Fourier inversa permite reconstruir la señal original a partir de su espectro de frecuencias. La transformada de Fourier se utiliza ampliamente en ingeniería, procesamiento de señales y otros campos para analizar señales en el dominio de la frecuencia.

1. Transformada Inversa
Matemática IV
Daniela Salazar García.

2. Transformada de Fourier
 La transformada de Fourier (pr. fʊrieɪ), denominada así por Joseph
Fourier, es una transformación matematica empleada para transformar
señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la
frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es
reversible, siendo capaz de transformaciones de cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de
transformación como a la función que produce.
 En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido
musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada
de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de
amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de fourier. Ellos
representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo
original.
 La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a
una función de valores complejos y definida en la recta, con otra
función definida de la manera siguiente:

3.  Donde es , es decir, tiene que ser una
función integrable en el sentido de la integral de
lebesgue. El factor, que acompaña la integral en
definición facilita el enunciado de algunos de los
teoremas referentes a la transformada de
Fourier. Aunque esta forma de normalizar la
transformada de Fourier es la más comúnmente
adoptada, no es universal. En la práctica las
variables y suelen estar asociadas a
dimensiones como el tiempo —segundos— y
frecuencia —herzios— respectivamente, si se
utiliza la fórmula alternativa:

4.  la constante cancela las dimensiones asociadas a las variables obteniendo un
exponente adimensional.
 La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones
mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
 Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia e ingeniería como la física, la
teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de
señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica,
la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la
transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una
señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, corresponde
al espectro de frecuencias de la señal .
 La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus
generalizaciones es denominada análisis armónico.
 Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de . He
aquí algunas de ellas:

5. Definicion
 La transformada de Fourier es básicamente el espectro de
frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que
hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la
transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que
es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo
distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo,
la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del
tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la
transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de
frecuencias para toda la función.
 Definición formal
 Sea una función Lebesgue integrable:
 La transformada de Fourier de es la función

6.  Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable.
Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es
una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia
denominada puede demostrarse que es continua.
 La transformada de Fourier inversa de una función integrable está
definida por:
 Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la
transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del
integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica
el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.
El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de
complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser
analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

7. Propiedades Basicas
 La transformada de Fourier es una aplicación
lineal:
 Valen las siguientes propiedades para
una función absolutamente integrable :
 Cambio de escala
 Traslación:
 Traslación en la variable transformada:

8.  Transformada de la derivada: Si y su
derivada son integrables,
 Derivada de la transformada: Si y → son
integrables, la transformada de Fourier es
diferenciable
 Estas identidades se demuestran por un
cambio de variables o integración por partes.
 En lo que sigue, definimos la convolución de
dos funciones y en la recta de la manera
siguiente:

9.  Nuevamente la presencia del factor delante de la
integral simplifica el enunciado de los resultados
como el que sigue: Si y son funciones
absolutamente integrables, la convolución
también es integrable, y vale la igualdad:
 También puede enunciarse un teorema análogo
para la convolución en la variable transformada,
 pero este exige cierto cuidado con el dominio de
definición de la transformada de Fourier.

10. Tabla de transformadas
básicas
 En algunas ocasiones se define la
transformada con un factor multiplicativo
diferente de , siendo frecuente en
ingeniería el uso de un factor unidad en la
transformada directa y un factor de en la
transformada inversa. A continuación se lista
una tabla de funciones y sus transformadas
de Fourier con un factor unidad. Si se desea
utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la
segunda columna por ese factor.

12. Uso en ingeniería
 La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al
dominio de frecuencia para así obtener información que no es
evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber
sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal
analizándola en el dominio de la frecuencia.
 También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor
facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de
controladores clásicos de sistemas realimentado, si conocemos la
densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer
la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño
de filtros de radiotransistores.
 La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del
tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar
o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada
con una computadora

13. Transformada inversa de
Fourier
 LaTransformada de Fourier es una aplicación lineal
esta definida y goza de una serie de propiedades de
continuidad que garantizan que puede extenderse a
espacios de funciones mayores e incluso a espacios
de funciones generalizadas. De una función
 Se define mediante una integral, a esta integral se le
llama integral de contorno. El hecho es que las
transformadas integrales aparecen en pares de
transformadas si se transforma en mediante
una transformad integral

14.  Entonces se puede recuperar la funcion
mediante otra transformada integral
 Llamada transformada inversa a las
funciones se les llama nucleos de
sus transformadas respectivas. El teorema de
inversion de Fourier formulado abajo justifica
el nombre de transformada de Fourier inversa
dado a esta transformada.

15.  El signo negativo en el exponente del
integrado indica la traspolacion de
complementos yuxtapuestos.
 Se F(x) una funcion definida en - ∞ a ∞
entonces su transformada de Fourier no es
mas que el coeficiente cw de la integral de
Fourier en forma compleja para F(x)

16. Definición Formal
 Sea una función Lesbesgue integrable:
 La transformada de Fourier de es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrado es una función
variable. Una estimativa simple demuestra que la
transformada de Fourier F(f) es una función acotada.
Además por medio del teorema de convergencia
denominada puede demostrarse que F(f) es continua

17.  La transformada de Fourier inversa de una funcion
integrable f esta definida por :
 Nótese que la unica diferencia entre la transformada de
Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo
negativo en el exponente del integrado. El teorema de
inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de
transformada de Fourier inversa dado a esta transformada.
El signo negativo en el exponente del integrado indica la
traspolacion de complementos yuxtapuestos. Estos
complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de laVarianza para cada función

18.  Transformada de Fourier
 Transformada inversa de Fourier
 Transformada de Fourier de funciones
simples

19. Teoremas
 Teorema 1
 Teorema 2
 Teorema 3
 Teorema 4
 Teorema 5
 Teorema 6
 Teorema 7
 Teorema 8

20.  Teorema 9
 Teorema 10
 Teorema 11
 Teorema 12

21. Transformada de Fourier
 Si converge, entonces si la
transformada de Fourier se define como

22.  Teorema 1
 Teorema 2
 Teorema 3 (pulso unitario)
 Teorema 4 (corrimiento del tiempo)
 Teorema 5 (corrimiento en la frecuencia)
 Teorema 6 (cambio de escala)

23.  Teorema 7 (inversión del tiempo)
 Teorema 8 (teorema de simetria)
 Teorema 9 (teorema de modulacion)
 Teorema 10
 Teorema 11
 Teorema 12