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  • 1. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba de Hip´tesis o Lic. Fernando J. Cede˜o P. n 30 de junio de 2009 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 2. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hip´tesis o Enunciado sobre par´metro desconocido θ. a Ejemplo: θ ≥ 100 En general θ ∈ Θ0 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 3. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o La hip´tesis se contrasta con una alternativa. o H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ ∈ Θ1 con Θ0 , Θ1 ⊂ Θ y Θ0 Θ1 = ∅ Elegir entre H0 y H1 la hip´tesis m´s razonable basado en o a X1 , . . . , Xn Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 4. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hip´tesis Simples: o H0 : θ = θ0 ´ H1 : θ = θ1 ; θ0 , θ1 conocidos o Hip´tesis compuesta Unilateral: o H1 : θ ≥ θ1 Hip´tesis compuesta bilateral: o H1 : θ = θ1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 5. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Errores Tabla de Errores Resultado o Decisi´n o Naturaleza H0 verdadera H1 verdadera Acepto H0 No hay error Error tipo II Acepto H1 Error tipo I No hay Error Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 6. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Regi´n de Rechazo o Muestra X = (X1 , . . . , Xn ) en espacio muestral X n , Rechazar H0 en funci´n de la muestra. o Partici´n del espacio muestral en dos regiones: o R → Regi´n rechazo. o Si X en R rechazo H0 Rc → Regi´n Aceptaci´n o o Si X en Rc no puedo rechazar H0 , debo aceptarlo Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 7. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o α = P {Cometer error Tipo I}→ Rechazar H0 cuando H0 es cierto → X en R cuando H0 es cierto β = P {Cometer error Tipo II}→ Aceptar H0 cuando H1 es cierto → X en Rc cuando H0 es falso Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 8. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Ejemplo X1 . . . , X9 ∼ N(θ, 1); θ desconocido PRUEBA: se sugiere H0 : θ = 5,5, H1 : θ = 8 R : se sugiere Rechazar H0 sii X1 > 7; es decir, R1 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x1 > 7} R : se sugiere rechazar H0 sii 1 (X1 + X2 ) > 7; es decir, 2 1 R2 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : (x1 + x2 ) > 7} 2 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 9. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o X1 . . . , X9 ∼ N(θ, 1); θ desconocido PRUEBA: se sugiere H0 : θ = 5,5, H1 : θ = 8 ¯ R : se sugiere Rechazar H0 sii X > 6; es decir, R3 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x1 > 6} ¯ ¯ R : se sugiere rechazar H0 sii X > 7,5; es decir, R4 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x > 7,5} ¯ Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 10. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Errores prueba 1 α = P(X1 > 7|θ = 5,5) X1 − θ 7−θ = P > |θ = 5,5 1 1 = P(X1 − 5,5 > 7 − 5,5) = P(Z > 1,5) = 0,06681 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 11. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o β = P(X1 ≤ 7|θ = 8) X1 − θ 7−θ = P ≤ |θ = 8 1 1 = P(X1 − 8 ≤ 7 − 8) = P(Z ≤ 1) = 0,15866 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 12. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o 2 ¯ Si Xi ∼ N(θ, 1) entonces X ∼ N θ, σ = N θ, 1 n 9 ¯ α = P(X > 6|θ = 5,5) ¯ X −θ 6−θ = P 1 > 1 |θ = 5,5 3 3 ¯ = P(3(X − 5,5) > 3(6 − 5,5)) = P(Z > 1,5) = 0,06681 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 13. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Calculo de Errores R1 R2 R3 R4 α 0.06681 0.01696 0.06681 0.00000 β 0.15866 0.07865 0.00000 0.06681 Prueba 2 mejor a Prueba 1, errores menores Prueba 3 mejor a Prueba 1, errores menores Prueba 2 mejor en tipo I a Prueba 3, pero peor en tipo II Prueba 4 mejor en tipo I a Prueba 3, pero peor en tipo II Prueba 4 mejor a Prueba 2, errores menores Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 14. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Potencia de un Prueba Q(θ) : Probabilidad de rechazar H0 cuando θ ∈ Θ es el verdadero par´metro. a Ejemplo: H0 : θ = θ0 ; H1 : θ = θ1 Por definici´n: o Q(θ0 ) = α → Probabilidad de rechazar θ = θ0 cuando θ0 es el verdadero par´metro. a Q(θ1 ) = 1 − β → Probabilidad de rechazar θ = θ0 cuando θ1 es el verdadero par´metro, es decir, aceptar θ = θ1 cuando θ1 es el a verdadero par´metro. a Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 15. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o en general, para Prueba 4 Q(θ∗ ) = P(X > 7,5|θ = θ∗ ) X −θ 7,5 − θ = P 1 > 1 |θ = θ∗ 3 3 = P(3(X − θ∗ ) > 3(7,5 − θ∗ )) = P(Z > 22,5 − 3θ∗ ) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 16. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Para Prueba 1 Q(θ∗ ) = P(X1 > 7|θ = θ∗ ) X1 − θ 7−θ = P > |θ = θ∗ 1 1 = P(X1 − θ∗ ) > (7 − θ∗ )) = P(Z > 7 − θ∗ ) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 17. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o 1.0 0.8 Prueba 1 Prueba 4 0.6 Potencia 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10 theta Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 18. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba de Mayor Potencia (PM) Prueba Uniforme de Mayor Potencia (UMP) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 19. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Funci´n Cr´ o ıtica Definici´n:(Funci´n Cr´ o o ıtica): Es la funci´n Ψ : X n → [1, 0] que o establece cual es la probabilidad para la que H0 es rechazada cuando se observa la muestra X . As´ ı, Q(θ) = E {Ψ(X )} Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 20. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Teorema de Neyman-Pearson Se considera una prueba de hip´tesis H0 vs. H1 con regi´n de o o rechazo para H0 dada por, x ∈ R si L(x; θ1 ) > kL(x; θ0 ) x ∈ Rc si L(x; θ1 ) < kL(x; θ0 ) ´ equivalentemente o Ψ(x) = 1 si L(x; θ1 ) > kL(x; θ0 ) Ψ(x) = 0 si L(x; θ1 ) < kL(x; θ0 ) donde k se determina mediante E {Ψ(X )} = α Cualquier prueba que satisfaga ambos puntos es una Prueba de Mayor Potencia (PM) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 21. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Ejemplo X1 , . . . , Xn ∼ N(µ, σ 2 ) con µ desconocido y σ conocido. Prueba: H0 : µ = µ0 ;H1 = µ = µ1 , con µ1 > µ0 n 1 1 L(x; µ) = √ exp − 2 (xi − µ)2 ( 2πσ)n 2σ i=1 n L(x; µ1 ) 1 = exp − (µ1 − µ0 ) xi exp(const) L(x; µ0 ) σ2 i=1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 22. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o L(x;µ1 ) Rechazamos H0 si L(x;µ0 ) > k, k elegido a conveniencia n 1 exp (µ1 − µ0 ) xi exp(c) > k σ2 i=1 Basta con n xi > k i=1 σ2 k donde k = (µ1 −µ0 ) log ( e c ) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 23. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prefiero, k X >k ; k = n aun mas, √ √ n n Z= (X − µ0 > k ); k = (k − µ0 ) σ σ Z ∼ N(0, 1) y P(Z > k ) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 24. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Elijo k para cola superior de la densidad dependiendo de α; k = zα entonces P(Z > zα ) = α Si encuentro zα encuentro RR Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 25. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba para una muestra Sea X1 , X2 , .., Xn una muestra aleatoria de una distribuci´n normal o con media µ desconocida. H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H1 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0 Sup´ngase que la varianza poblacional σ 2 es conocida, y el o estad´ıstico de prueba es X bajo la hip´tesis nula, tiene una o √ distribuci´n normal con media µ0 y desviaci´n est´ndar σ/ n, la o o a regi´n de rechazo de tama˜o α para la hip´tesis bilateral es de la o n o forma Rechazar H0 si X < x 1−α/2 o X > x α/2 Se tiene P(X < x 1−α/2 ) = α/2 y P(X > x α/2 ) = α/2 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 26. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o √ Dado que bajo la hip´tesis nula, X ∼ N(µ0 , σ/ n), entonces de o forma equivalente x 1−α/2 −µ0 x α/2 −µ0 P(Z > √ σ/ n ) = α/2 y P(Z < √ )= σ/ n α/2 o x 1−α/2 −µ0 x −µ z1−α/2 = √ σ/ n y zα/2 = α/2√n 0 σ/ en donde z1−α/2 y zα/2 son los correspondientes valores de los cuantiles d Z . Por lo tanto se debe rechazar H0 cuando un valor x de X es tal que σz1−α/2 σzα/2 x≥ √ n o x≤ √ n De manera equivalente se rechazar´ H0 cuando z ≥ z1−α/2 o a x−µ0 z ≤ zα/2 donde z = σ/√n Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 27. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Para la hip´tesis alternativa unilateral H1 : µ > µ0 , la regi´n de o o rechazo de tama˜o α es el extremo derecho de la distribuci´n de n o X ; esta es la forma Rechazar H0 si X ≥ x 1−α Donde x 1−α es el valor de cuantil de X tal que P(X ≥ x 1−α ) = α . En forma similar, para la hip´tesis alternativa H1 : µ < µ0 , la o regi´n de rechazo es de la forma o Rechazar H0 si X ≤ x α Donde x α es el valor de cuantil de X tal que P(X ≤ x α ) = α Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 28. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o En Resumen Hip´tesis Nula o Valor de la estad´ ıstica de prueba bajo H0 x−µ0 H0 : µ = µ0 z = σ/√n Hip´tesis Alternativa o Criterio de Rechazo H1 : µ = µ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα/2 o z ≥ z1−α/2 H1 : µ > µ0 Rechazar H0 cuando z ≥ z1−α H1 : µ < µ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 29. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Ejemplo 1 Los siguientes datos representan los tiempos de armado para 20 unidades seleccionadas aleatoriamente: 9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7 Sup´ngase que el tiempo necesario para armar una unidad es una o variable aleatoria normal con media µ y desviaci´n est´ndar o a σ = 0,6 minutos. Con base a esta muestra, ¿Existe alguna raz´n para creer, a un o nivel de 0.05, que el tiempo de armado promedio es mayor a 10 minutos? Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 30. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o H0 : µ = 10 vs. H1 = µ > 10 Rechazarse H0 con α = 0,05, entonces existe una raz´n para creer o que el tiempo necesario para armar una unidad es de 10 minutos. Dado P(Z ≥ 1,645) = 0,05, el valor cr´ ıtico en t´rminos de la e variable aleatoria normal est´ndar es z0,95 = 1,645. De los datos de a la muestra, el valor x es igual a 10.2 minutos. Entonces: ¯ x − µ0 ¯ 10,2 − 10 z= √ = √ = 1,4907 σ/ n 0,6/ 20 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 31. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Dado que z = 1,4907 < z0,95 = 1,645, no puede rechazarse la hip´tesis nula, El valor de p en este caso es la probabilidad de que o la variable aleatoria est´ndar sea mayor o igual al valor de 1.4907, a dando como resultado que H0 sea cierta, puede verse que P(Z ≥ 1,4907|µ = 10) = 0,0681 Puesto que p = 0,0681 > α = 0,05 se concluye que con base en la muestra no existe la suficiente evidencia para rechazar la hip´tesis o de que el tiempo promedio necesario para armar una unidad es de 10 minutos. Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 32. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Cuando la σ 2 es desconocida, se estima utilizando el estimador insesgado n (xi − x)2 S 2 = i=1 n−1 bajo la hip´tesis nula H0 : µ = µ0 el estad´ o ıstica de prueba es x − µ0 T = √ S/ n que tiene una distribuci´n t-student con n-1 grados de libertad. o Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 33. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hipotesis nula Valor de la estadistica de prueba bajo H0 x −µ0 ¯ √ H0 : µ = µ0 t= s/ n Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo H1 : µ = µ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,n−1 o cuando t ≥ t1−α,n−1 H1 : µ > µ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,n−1 H1 : µ < µ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,n−1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 34. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba para dos muestras Sean X1 , X2 , . . . , Xn y Y1 , Y2 , . . . , Yn muestras aleatorias provenientes de dos distribuciones normales independientes con 2 2 medias µX y µY y varianzas σX y σY , respectivamente. Supongase que se desea probar que la hip´tesis nula: o H0 = µX − µY = δ0 contra una de las siguientes alternativas: H1 : µX − µY = δ0 H1 : µX − µY > δ0 H1 : µX − µY < δ0 en donde δ0 es una cantidad que toma valores positivos o cero y la cual representa diferencia propuesta entre los valores desconocidos de las medias. Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 35. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hipotesis nula Valor de la estadistica de prueba bajo H0 H0 : µX − µY = δ0 z = x −¯−δ02 ¯ y 2 σ σ X + nY nX Y Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo H1 : µX − µY = δ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα/2 o cuando z ≥ z1−α/2 H1 : µX − µY > δ0 Rechazar H0 cuando z ≥ z1−α H1 : µX − µY < δ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 36. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o 2 2 Si las varianzas σX y σY no se conocen pero se suponen iguales, entonces para la hip´tesis nula o H0 : µX − µY = δ0 el estad´ ıstica prueba es X − Y − δ0 T = 1 1 Sp nX + nY Donde Sp = 2 2 [(nX − 1)SX + (nY − 1)SY ]/(nX + nY − 2) Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 37. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hip´tesis nula o Valor de la estad´ ıstica de prueba bajo H0 x −¯ −δ0 ¯ y H0 : µX − µY = δ0 t= 1 n + n1 X Y Hip´tesis Alternativa o Criterios de rechazo H1 : µX − µY = δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,m o cuando t ≥ t1−α/2,m en donde m=nX − nY − 2 H1 : µX − µY > δ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,m H1 : µX − µY < δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,m Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 38. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Ejemplo 2 Se ha tomado el desempe˜o a un grupo de 32 trabajadores que son n capaces de realizar la misma tarea y de manera practica al mismo tiempo. 16 fueron seleccionados al azar en un nivel modesto de ruido (Nivel1), lo 16 restantes llevaran a cabo la misma tarea bajo un ruido de nivel 2. Asumiendo que estos datos constituyen dos muestra aleatoria independientes con varianza iguales pero no conocidas.¿ Existe una raz´n para creer que le tiempo promedio para el nivel 2 es mayor o que el de nivel 1 con α = 0,01 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 39. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Nivel 1 14 12 15 15 11 16 17 12 Nivel 2 20 22 18 18 19 15 18 15 Nivel 1 14 13 18 13 18 15 16 11 Nivel 2 22 18 19 15 21 22 18 16 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 40. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o H0 : µ2 − µ1 = 0 vs. H1 = µ2 − µ1 > 0 Dado que las varianzas son desconocidas, α = 0,01,n1 = n2 = 16 el de t0,99,30 = 2,457. De los datos se tiene que x 1 = 14,375, x 2 = 18,5, s 1 = 2,27 y s2 = 2,44. (15)(2,27)2 + (15)(2,44)2 sp 2 = = 5,5917 16 + 16 − 2 sp = 2,3647 x2 − x1 − 0 T = = 4,933991 sp( (1/nx1 + 1/nx2 )) Dado que T = 4,933991 es mayor que t0,99,30 = 2,457 se rechaza H0 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 41. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Pruebas sobres las medias cuando las observaciones esta pareadas Numero de par Nivel I Nivel 2 Diferencia (Persona ) (PS antes) (PS despu´s ) e Y − X∗ 1 X1 Y1 D1 = Y1 − X1 2 X2 Y2 D2 = Y2 − X2 . . . . . . . . . . . . n Xn Yn Dn = Yn − Xn Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 42. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o H0 = µD = δD la estad´ ıstica D − δ0 T = √ SD / n tiene una distribuci´n t de Student con n − 1 grados de libertad, o en donde n D= Di /n i=1 y n 2 SD = (Di − D)2 /(n − 1) i=1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 43. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Criterios de rechazo para las prueba de hip´tesis con respecto o a las medias cuando las observaciones estan pareadas Hipotesis nula Valor de la estad´ ıstica de prueba bajo H0 d−δ0 H0 : µD = δ0 t= √ sd / n Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo H1 : µD = δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,n−1 o cuando t ≥ t1−α,n−1 H1 : µD > δ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,n−1 H1 : µD < δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,n−1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 44. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o (PS) (PS) Diferencias (Sujeto) (antes) (despu´s) e (despu´s-antes) e 1 128 134 6 2 176 174 -2 3 110 118 8 4 149 152 3 5 183 187 4 6 136 136 0 7 118 125 7 8 158 168 10 9 150 152 2 10 130 128 -2 11 126 130 4 12 162 167 5 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 45. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o ¯ En la columna de diferencia se obtiene que d = 3,75 y SD = 3,7929. De esta forma el valor del estad´ ıstico de prueba es: 3,75 − 0 T = √ = 3,425 3,7929/ 12 dado que el valor critico es t0,99,11 = 2,718 se rechaza la hip´tesis o nula de no efecto del medicamento. Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 46. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba de hip´tesis con respecto a las varianzas cuando se o muestrean distribuciones normales Prueba para una muestra: Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribuci´n normal con media µ desconocida y o varianza σ 2 desconocida. Consid´rese nula la prueba de la siguiente e hip´tesis o H0 = σ 2 = σ0 2 contra una las siguientes alternativas: H1 = σ 2 = σ0 2 H1 = σ 2 > σ0 2 H1 = σ 2 < σ0 2 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 47. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hipotesis nula Valor de la estad´ ıstica de prueba bajo H0 (n−1)s 2 H0 = σ 2 = σ0 2 χ2 = 2 σ0 Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo H1 = σ 2 = σ02 Rechazar H0 cuando χ2 ≥ χ2 1−α/2,n−1 o cuando χ2 ≤ χ2 α/2,n−1 H1 = σ 2 > σ0 2 Rechazar H0 cuando χ2 ≥ χ2 1−α,n−1 H1 = σ 2 < σ0 2 Rechazar H0 cuando χ2 ≤ χ2 α,n−1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 48. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Prueba para dos muestras: Sea X1 , X2 , . . . , Xn y Y1 , Y2 , . . . , Yn dos muestras aleatorias de dos distribuciones normales con medias 2 2 desconocidas µX y µY y varianzas σX y σY desconocidas. Consid´rese la prueba de la siguiente hip´tesis nula e o 2 2 H0 = σX = σY contra las siguientes alternativas: 2 2 2 2 2 2 H1 = σX = σY H1 = σX > σY H1 = σX < σY Las estad´ 2 2 ısticas de inter´s son las varianzas muestrales SX y SY . e Entonces S 2 /σ 2 F = X X2 2 SY /σY Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 49. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o Hipotesis nula Valor de la estad´ ıstica de prueba bajo H0 2 2 H0 = σX = σY 2 2 f = SX /SY Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo 2 H1 = σX = σY 2 Rechazar H0 cuando f ≥ f1−α/2,nX −1,nY −1 o cuando f ≤ f1−α/2,nY −1,nX −1 2 2 H1 = σX > σY Rechazar H0 cuando f ≥ f1−α,nX −1,nY −1 2 2 H1 = σX < σY Rechazar H0 cuando f ≤ f1−α,nY −1,nX −1 Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o
  • 50. Introducci´n Errores Regi´n de Rechazo Potencia de un Prueba Funci´n Cr´ o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te o En el ejemplo 2 se asumi´ que la varianza en ambos niveles eran o iguales para verificar esa suposici´n a un nivel de α = 0,1 suponga o que se prueba la hip´tesis o 2 2 H0 = σ1 = σ2 contra la alternativa 2 2 H1 = σ1 = σ2 Se observa que los valores cr´ ıticos, izquierdo y derecho, son f0,95,15,15 = 2,40 y 1/f0,95,15,15 = 1/2,40 = 0,42 respectivamente. 2 2 Con base en los datos de la muestra S1 = 5,1833 y S2 = 6,0, De esta forma el valor del estad´ ıstico de prueba es f = 5,1883/6 = 0,8639 Dado que f=0.8639 no es ni mayor ni igual a 2.4, ni menor ni igual a 0.42, no es posible rechazar la hip´tesis nula. o Lic. Fernando J. Cede˜o P.: Prueba de Hip´tesis n o

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