1. Capítulo 1
Estimación puntual y por intervalo
1. En un experimento binomial se observan x éxitos en n ensayos
independientes. Se proponen las siguientes estadísticas como estimadores
del parámetro de proporción p: T1 = X/n y T2 = (X + 1)/(n + 2)
a ) Obtener y comparar los errores cuadráticos medios de T1 y T2 .
b ) Hacer una gráca del ECM de cada estadística como funciones de p
para n=10 yn=5. ¾ Es alguno de estos estimadores uniformemente
mejor que el otro?.
2. Sea X1 , X2 , X3 y X4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una
población cuya distribución es exponencial con parámetro θ desconocido.
De las siguientes estadísticas, ¾Cuales son estimadores insesgados?
1
T1 = 6
(X1 + X2 ) + 1 (X3 + X4 )
3
T2 = (X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 )/5
T3 = (X1 + X2 + X3 + X4 )/4
3. Demostrar que la estadística T1 del ejercicio 1, es un estimador consistente
del parámetro binomial p.
4. Mediante el uso del teorema de Tchebyshe, demostrar que la estadística
T2 , en el ejercicio 1 es un estimador consistente del parámetro binomial p.
1

2. CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
5. De los estimadores insesgados de θ dados en el ejercicio 2, determinar cual
es el que tiene varianza mas pequeña. ¾Cuales son las eciencias relativas
de los demás estimadores insesgados con respecto al que tiene varianza más
pequeña?
6. Sea X1 , X2 , X3 , X4 y X5 una muestra aleatoria de una población cuya
distribución es normal con media µ y varianza σ 2 . Considérense las
estadísticas T1 = (X1 +X2 +· · ·+X5 )/5 y T2 = (X1 +X2 +2X3 +X4 +X5 )/5
como estimadores de µ. Identicar la estadística que tiene la varianza mas
pequeña.
7. Mediante el uso de la cota inferior de Cramér-Rao determinar la varianza
del estimador insesgado de varianza mínima de cuando se muestrea
una población cuya distribución es exponencial con densidad f (x|θ) =
(1/θ) exp(−x/θ), x 0. Deducir que el estimador eciente de θ es la media
muestral.
8. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria cuya distribución es gama y
densidad f (x|θ) = θα Γ(α) xα−1 exp(−x/θ),x 0, α, θ 0 con parametro
1
de forma conocido. demostrar que el estimador de maxima verosimilitud del
parámetro de escala esta dado por:
ˆ 1
θ= X
α
9. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución
es Poisson con parámetro λ. Obtener el estimador de maxima verosimilitud
de λ.
10. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra cuya población tiene distribución es
exponencial con parámetro de escala θ. Obtener el estimador de maxima
verosimilitud de θ y demostrar que éste es un estimador suciente para θ
11. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una población cuya distribución
es la de Rayleigh, con densidad f (x|σ 2 ) = (x/σ 2 ) exp(−x2 /2σ 2 ), x 0.
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3. CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
Obtener el estimador de maxima verosimilitud de σ 2 .¾Es ésta una estadística
para σ 2 ?.
12. La Tabla 13 es una distribución de frecuencia para accidentes
automovilísticos recabada para un estudio en california. Asumiendo que el
numero de accidentes es una variable aleatoria binomial negativa, úsese el
método de los momentos para estimar los parámetros binomiales negativos k
y p. Comparar las frecuencias que se observaron con aquellas que se obtienen
mediante el empleo de los valores estimadores de k y p.
13. Los siguientes datos son una muestra aleatoria de duración en horas, que se
observaron para un determinado componente eléctrico: 142.84, 97.04, 32.46,
69.14, 85.67, 114.43, 41.76, 163.07, 108.22, 63.28. Supóngase que la duración
de un componente es una variable aleatoria de Weibull con parámetro de
forma α = 2.
a ) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de
escala θ.
b ) El método de los momentos, ¾ daría un estimador de θ diferente al que
se obtuvo en 13a ?
c ) Mediante el uso de su respuesta al inciso 13a , estimar la conabilidad
de este componente para t= 150 horas.
14. Mediante el resultado del inciso 13a del ejercicio 13, obtener el tiempo para
el cual la conabilidad es de 0.95.
15. Los siguientes son tiempos de falla, ordenados en horas de diez componentes
que fallarán de un total de 40 en una prueba de duración: 421, 436, 448, 474,
496, 499, 510, 525, 593, 675. Supóngase que el tiempo de falla es una variable
exponencialmente distribuida.
Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro θ
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4. CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
Número de accidentes Número de conductores
0 35068
1 13411
2 4013
3 1184
4 353
5 93
6 29
7 8
8 4
9 o más 2
Cuadro 1.1: Accidentes en California
Use la respuesta dada en 15 para estimar la conabilidad de este
componente en t=4000 horas.
16. Una prueba de duración termina cuando fallen m n unidades. Si el
tiempo de falla es una variable aleatoria de Weibull con parámetro de forma
conocido, obtener el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro
de escala θ.
17. Se desea obtener un indicador del éxito nanciero de ciertas tiendas que
venden artículos especiales en centros comerciales de una gran ciudad.
Se selecciona una muestra aleatoria de 30 tiendas ubicadas en distintos
centros comerciales y en donde el interes recae en el tiempo que éstas
permanecen en operación. Se tendra un dato signicativo cuando se observan
las primeras 8 tiendas que dejen de funcionar. Los siguientes datos son el
tiempo ascendente, de operación en meses: 3.2, 3.9, 5.9, 6.5, 16.5, 20.3, 40.4,
50.9. Supóngase que el tiempo en que permanece operando una tienda de
esta clase es una variable aleatoria Weibull con α=0.8.
a ) Usando el resultado del ejercicio 16, obtener el estimador de maxima
verosimilitud para θ.
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5. CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
b ) Con base a la respuesta del inciso 17a , ¾cual es la probabilidad de que
una tienda permanezca en operación después de haber transcurrido dos
años de su apertura?. ¾Después de diez años?.
18. El tiempo total de procesamiento para programas con tarjetas perforadas
de computadora se dene como el tiempo que transcurre desde que se lee la
primera tarjeta hasta que se lee se imprime la ultima linea, y está constituido
por tres componentes; el tiempo de espera de entrada, el tiempo utilizado por
el procesador central y el tiempo de espera de salida. Los siguientes datos
son los tiempos totales de procesamiento, en minutos, para una muestra
aleatoria de 15 programas similares: 15.5, 5.2, 6.8, 3.6, 10.9, 12.8, 7.8 8.6, 6.3,
6.9, 18.2, 15.4, 9.2, 10.3, 7.3. Supóngase que el tiempo total de procesamiento
está modelado, en forma adecuada por una distribución gama con α=3.
a ) Obtener un estimador de máxima verosimilitud para el parámetro de
escala θ.
b ) El método de los momentos ¾daría un estimador diferente de θ al
determinado en el inciso 18a ?
c ) Mediante la respuesta del inciso 18a , calcular la probabilidad de que el
tiempo de procesamiento sea mayor a 20min.
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