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INTRODUCCION: Líneas y Superficies Curvas Entrada:  Conjunto de Funciones Matemáticas curvas superficies Trazado de pixeles
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SUPERCUADRICOS Concepto parámetros adicionales
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Representaciones de Spline Continuidad Reglas: R1.   C 1      G 1  pero no al revés: R2.  Si  n > m  entonces  C n     ...
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1. Spline Cúbicas Naturales 2. Hermite 3. Splines Cardinales 4. Splines de Kochanek-Bartels Splines Cúbicas
Splines Cúbicas Definición del Pb. en el caso de polinomios cúbicos Para cada  sección  de la Spline: P( u ) = ( x( u ), y...
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Splines de Hermite Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3  u 2   u   1 ]    [ a   b   c   d ] T  =  U      M    G P'( u ) = [ ...
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Superficies de Hermite Splines Cúbicas G H x ' =  x( 0 ,  0 ) x( 0 ,  1 )  /  u  x( 0 ,  0 )  /  u x( 0 ,  1 ) x( 1 ,...
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Splines Cardinales Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3  u 2   u   1 ]    [ a   b   c   d ] T  =  U      M    G P'( u ) = [ ...
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Splines Kochanek-Bartels Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3  u 2   u   1 ]    [ a   b   c   d ] T  =  U      M    G P'( u ...
1. Curvas de Pierre Bezier 2. Propiedades 3. Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier 4. Curvas Cúbicas de Bezier 5. Superfi...
Curvas de Pierre Bezier Curvas y Superficies de Bezier Especificación con  funciones de combinación: P( u ) = ( x( u ), y(...
Propiedades Curvas y Superficies de Bezier P( u ) =     p k   BEZ k,n ( u ) ,  k=0,1,2...n, 0    u    1 Tenemos n+1  ...
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1. Curvas de B-Spline 2. Uniformes y Periódicas 3. Cúbicas y periódicas 4. Uniformes y Abiertas 5. No Uniformes 6. Superfi...
Curvas de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline Ventajas respecto de las curvas de Bezier:  1. El grado del polinomio ...
Especificación con  funciones de combinación (Cox-deBoor): P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T 0    u    1 Tenemos n...
Propiedades Curvas y Superficies de B-Spline 1. La curva resultante es un polinomio de grado  d -1 y continuidad C d -2 2....
Especificación Curvas y Superficies de B-Spline 1) puntos de control 2) Funciones de Combinación -  d -  Vector de Nudo
Uniformes y Periódicas /  Definición, Propiedades y Ejemplo Curvas y Superficies de B-Spline Definición:  El espaciado ent...
Curvas y Superficies de B-Spline u B 0,3 ( u ) 1  2   3   4   5   6 u B 3,3 ( u ) 1  2   3   4   5   6 u B 2,3 ( u ) 1  2 ...
Cúbicas y periódicas Curvas y Superficies de B-Spline P( u ) = [ u 3  u 2   u   1 ]    [ a   b   c   d ] T P'( u ) = [ 3u...
Cúbicas y periódicas Curvas y Superficies de B-Spline P( u ) = [ u 3  u 2   u   1 ]    [ a   b   c   d ] T P'( u ) = [ 3u...
Uniformes y Abiertas /  Definición, Propiedades y Ejemplos Curvas y Superficies de B-Spline Definición:  El espaciado entr...
No Uniformes /  Definición, Propiedades y Ejemplos Curvas y Superficies de B-Spline Definición: El espaciado entre los  va...
No Uniformes Racionales Cúbicas /  Definición, Propiedades Curvas y Superficies de B-Spline x( u ) = X( u ) / W( u ),  y( ...
Conversión entre representaciones de Spline Curvas y Superficies de B-Spline Curva 1 G 1 M 1 Curva 2 G 2  = ? M 2 U    G...
Superficies de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline x( s,u ) =  S      M BS    G' BS x    M T BS  U T y( s,u ) =...
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  1. 1. 1. Introducción 2. Superficies Cuádricas 3. Supercuádricos 4. Representaciones de Spline 5. Métodos de Interpolación de Spline 6. Splines Racionales 7. Conversión entre representaciones de Spline 8. Despliegue de curvas y superficies de Spline INDICE
  2. 2. INTRODUCCION: Líneas y Superficies Curvas Entrada: Conjunto de Funciones Matemáticas curvas superficies Trazado de pixeles
  3. 3. INTRODUCCION: Líneas y Superficies Curvas Entrada: Conjunto de Puntos de Coordenadas curvas superficies
  4. 4. SUPERFICIES CUADRICAS Esfera Representación Cartesiana Representación paramétrica Parámetros: 1. r x 2 + y 2 + z 2 = r 2 2.  3. j x = r cos j cos  -  /2  j   /2 y = r cos j sen  -      z = r sen j y z x P =(x,y,z) r
  5. 5. SUPERFICIES CUADRICAS Elipsoide No olvidar el toro y z x Representación Cartesiana Representación paramétrica (x/ r x ) 2 + (y/ r y ) 2 + (z/ r z ) 2 = 1 x = r x cos j cos  -  /2  j  /2 y = r y cos j sen  -     z = r z sen j r x r y r z
  6. 6. SUPERCUADRICOS Concepto parámetros adicionales
  7. 7. SUPERCUADRICOS Superelipse Representación Cartesiana Representación paramétrica (x/ r x ) 2/ S + (y/ r y ) 2/ S = 1 x = r x cos S  y = r y sen S  -     con S =1 obtenemos una elipse ordinaria
  8. 8. SUPERCUADRICOS Superelipsoide Representación Cartesiana Representación paramétrica ((x/ r x ) 2/ S2 + (y/ r y ) 2/ S2 ) S2/S1 + (z/ r z ) 2/ S1 = 1 con S1 = S2 =1 obtenemos una elipsoide ordinaria x = r x cos S1 j cos S2  -  /2  j  /2 y = r y cos S1 j sen S2  -     z = r z sen S1 j
  9. 9. 1. Introducción 2. Definición del Problema 3. Continuidad 4. Modos de Especificación Representaciones de Spline
  10. 10. Representaciones de Spline Introducción Usos: 1. Digitalización de trazos (Curvas de interpolación) 2. Especificación de trayectorias de animación (Curvas de interpolación) 3. Herramienta de diseño para superficies de los objetos. CAD (Curvas de aproximación) Ventaja La curva se modifica y manipula (trasladar, girar y escalar) solo en los puntos de control Conjunto de Puntos de Coordenadas Puntos de Control Ajuste mediante funciones polinómicas de cualquier grado Cúbicas curvas superficies
  11. 11. Representaciones de Spline Introducción 1. La curva realiza la interpolación 2. La curva aproxima la interpolación 3. Casco convexo 4. Gráfica de control
  12. 12. Representaciones de Spline Definición del Problema Se puede tener 1 o varias secciones de spline. Cada sección de la Spline se puede definir paramétricamente así: P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T u 1  u  u 2 La derivada de P( u ) es el vector tangente paramétrico de la curva: P'( u ) = ( x'( u ), y'( u ), z'( u ) ) T u 1  u  u 2 P 0 P 1 P n condiciones de continuidad
  13. 13. Representaciones de Spline Continuidad Continuidad Geométrica G 0 : Si los segmentos se unen G 1 : Si (además de G 0 ) las direcciones de los vectores tangentes, aunque no necesariamente las magnitudes, son iguales Continuidad Paramétrica C n : Si d n /d u n (P( u )), son iguales (la enésima derivada en magnitud y dirección) Cada sección: P( u ) = (x( u ), y( u ), z( u )) T u 1  u  u 2 P'( u ) = ( x'( u ), y'( u ), z'( u ) ) T u 1  u  u 2 Cada sección:
  14. 14. Representaciones de Spline Continuidad Reglas: R1. C 1  G 1 pero no al revés: R2. Si n > m entonces C n   C m Excepción de la R1 : y(t) x(t) t x(t) y(t) dy/dt = dx/dt =0
  15. 15. Modos de Especificación Representaciones de Spline Existen 3 modos equivalentes : 1. Conjunto de condiciones de frontera 2. Matriz característica de la Spline 3. Funciones de combinación
  16. 16. 1. Splines Cúbicas 2. Curvas y Superficies de Bezier 3. Curvas y Superficies de B-Spline Tipos de Interpolación de Spline
  17. 17. 1. Spline Cúbicas Naturales 2. Hermite 3. Splines Cardinales 4. Splines de Kochanek-Bartels Splines Cúbicas
  18. 18. Splines Cúbicas Definición del Pb. en el caso de polinomios cúbicos Para cada sección de la Spline: P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T u 1  u  u 2 Vectorialmente tenemos: P( u ) = a u 3 + b u 2 + c u + d , 0  u  x( u ) = a x u 3 + b x u 2 + c x u + d x y( u ) = a y u 3 + b y u 2 + c y u + d y z( u ) = a z u 3 + b z u 2 + c z u + d z 0  u  P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  C P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T 0  u  Entonces  Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n
  19. 19. Splines Cúbicas Definición del Pb. en el caso de polinomios cúbicos P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T 0  u  Ahora: C = M  G Donde: P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  C P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T 0  u  Tanto M como G varían para cada tipo de curva. M es la matriz básica y G es la matriz de restricciones o condiciones geométricas. Se tiene entonces: P( u ) = U  M  G m 11 m 12 m 13 m 14 m 21 m 22 m 23 m 24 m 31 m 32 m 33 m 34 m 41 m 42 m 43 m 44 M = g 1x g 1y g 1z g 2x g 2y g 2z g 3x g 3y g 3z g 4x g 4y g 4z G = G x G y G z G 1 G 2 G 3 G 4
  20. 20. Splines Cúbicas Superficies paramétricas bicúbicas Generalización de la curva: P( u ) = U  M  G (donde el vector geométrico G es una constante) i) Tomemos s por u , P( s ) = S  M  G ii) Dejemos variar los puntos en G en 3D a lo largo de un camino parametrizado en u : Para un valor fijo u 1 , P( s, u 1 ) , es una curva porque G( u 1 ) es constante. Haciendo 0  u  1 se obtiene la familia de curvas que conforman la superficie. P( s,u ) = S  M  G( u ) , donde G( u ) = G 1 ( u ) G 2 ( u ) G 3 ( u ) G 4 ( u ) (1)
  21. 21. Tomando el caso en el que G i ( u ) son cúbicas, se tiene que cada una puede ser representada como: G i ( u ) = U  M  G' i , donde G' i = [ g' i1 g' i2 g' i3 g' i4 ] T , trasponiendo y reemplazando en (1) , se obtiene: Splines Cúbicas Superficies paramétricas bicúbicas = S  M  G'  M T  U T , 0  s , u  1 Escrito separadamente para cada coordenada se tiene: x( s,u ) = S  M  G' x  M T  U T , y( s,u ) = S  M  G' y  M T  U T , z( s,u ) = S  M  G' z  M T  U T . P( s,u ) = S  M  g' 11 g' 12 g' 13 g' 14 g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 g' 31 g' 32 g' 33 g' 34 g' 41 g' 42 g' 43 g' 44  M T  U T
  22. 22. Splines Cúbicas Naturales Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T 0  u  Especificación con condiciones de frontera: C 2 Si se tienen n+1 puntos de control n secciones curvas a ajustar 4n coeficientes polinómicos (incógnitas) 4n-4 ecuaciones (las 2 secciones a cada lado de un punto de control deben tener la 1a. y 2a. derivadas iguales: para n-1 puntos, 4 ecuaciones por punto) Las posiciones de p 0 y p n nos dan 2 ecuaciones más Las otras 2 ecuaciones se pueden establecer al definir como 0 las segundas derivadas en p 0 y p n p 0 p 1 p n
  23. 23. Splines de Hermite Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  M  G P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T [ 3u 2 2u 1 0 ]  M  G 0  u  Especificación con condiciones de frontera: P( 0 ) = p k P( 1 ) = p k+1 P'( 0 ) = Dp k (derivada en el punto p k ) P'( 1 ) = Dp k+1 (derivada en el punto p k+1 ) p k = P( 0 ) = d p k+1 = P( 1 ) = a + b + c + d Dp k = P'( 0 ) = c Dp k+1 = P'( 1 ) = 3a + 2b + c P(u) u 1 0 = p k p k+1 Dp k Dp k+1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 2 1 0 a b c d G H M H  G H p k p k+1 Dp k+1 Dp k
  24. 24. Splines de Hermite Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  M  G P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T [ 3u 2 2u 1 0 ]  M  G 0  u  P( u ) = p k (2 u 3  u 2  1 )  p k  (-2 u 3 +3 u 2 )  Dp k ( u 3 -2 u 2 + u )  Dp k+1 ( u 3 - u 2 ) = p k H 0 ( u )  p k  H 1 ( u )  Dp k H 2 ( u )  Dp k+1 H 3 ( u ) Los polinomios H k ( u ) para k =0,1,2,3 son las funciones de combinación = p k p k+1 Dp k Dp k+1 2 -2 1 1 -3 3 -2 -1 0 0 1 0 1 0 0 0 a b c d matriz de Hermite M H p k p k+1 Dp k Dp k+1 P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  M H 
  25. 25. Splines de Hermite / ejemplos / continuidad entre secciones Splines Cúbicas P( 0 ) P( 1 ) P'( 0 ) P'( 1 ) continuidad entre curvas: P( 1 ) P( 2 ) k P'( 1 ) P'( 2 ) curva 1 curva 2 Si k > 0  G 1 Si K =1  C 1 y(t) x(t) P( 0 ) P( 1 ) P'( 0 ) P'( 1 ) familia de curvas:
  26. 26. Superficies de Hermite Splines Cúbicas El parche cúbico es una interpolación cúbica entre p k ( u ) = P( 0, u ) y p k+1 ( u ) = P(1 , u ) o, alternativamente, entre P( s, 0 ) y P( s, 1 ) P( s,u ) = S  M  G( u ) donde G( u ) = G 1 ( u ) G 2 ( u ) G 3 ( u ) G 4 ( u ) x( s,u ) = S  M H  G H x ( u ) = S  M H  p k ( u ) p k+1 ( u ) Dp k ( u ) Dp k+1 ( u ) Desarrollando para la coordenada x: x u s p k ( u ) s=0 p k+1 ( u ) s=1 u=0 u=0.2 u=0.4 u=0.6 u=0.8 u=1
  27. 27. Superficies de Hermite Splines Cúbicas P( s,u ) = S  M  G'  M T  U T , 0  s , u  1 Como: G i ( u ) = U  M  G' i , donde G' i = [ g' i1 g' i2 g' i3 g' i4 ] T Entonces se el vector geométrico G i ( u ) se puede representar en la forma de Hermite así: P( s,u ) = S  M  G( u ) donde G( u ) = G 1 ( u ) G 2 ( u ) G 3 ( u ) G 4 ( u ) G' H x =  g' 11 g' 12 g' 13 g' 14 g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 g' 31 g' 32 g' 33 g' 34 g' 41 g' 42 g' 43 g' 44 s=0 s=1 g' 11 g' 12 g' 13 g' 14 x P k x ( u ) = P k+1 x ( u ) = DP k x ( u ) = DP k+1 x ( u ) = g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 x g' 31 g' 32 g' 33 g' 34 x g' 41 g' 42 g' 43 g' 44 x U  M H  U  M H  U  M H  U  M H 
  28. 28. Superficies de Hermite Splines Cúbicas G H x ' =  x( 0 , 0 ) x( 0 , 1 )  /  u x( 0 , 0 )  /  u x( 0 , 1 ) x( 1 , 0 ) x( 1 , 1 )  /  u x( 1 , 0 )  /  u x( 1 , 1 )  /  s x( 0 , 0 )  /  s x( 0 , 1 )   /  s  u x( 0 , 0 )   /  s  u x( 0 , 1 )  /  s x( 1 , 0 )  /  s x( 1 , 1 )   /  s  u x( 1 , 0 )   /  s  u x( 1 , 1 ) G' H x =  g' 11 g' 12 g' 13 g' 14 g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 g' 31 g' 32 g' 33 g' 34 g' 41 g' 42 g' 43 g' 44 s u P( 0 , 0 ) P( 0 , 1 ) P( 1 , 1 ) P( 1 , 0 )
  29. 29. Superficies de Hermite / Continuidad Splines Cúbicas Parche 1 Parche 2 - - - - g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 - - - - g' 41 g' 42 g' 43 g' 44 g' 21 g' 22 g' 23 g' 24 - - - - k g' 41 k g' 42 k g' 43 k g' 44 - - - - Si k > 0  G 1 Si K =1  C 1 Parche 1 Parche 2 s u
  30. 30. Splines Cardinales Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  M  G P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T [ 3u 2 2u 1 0 ]  M  G 0  u  Especificación con condiciones de frontera: P( 0 ) = p k P( 1 ) = p k+1 P'( 0 ) = 1/2 (1- t ) p k+1 - p k-1 P'( 1 ) = 1/2 (1- t ) p k+2 - p k donde t es el parámetro de tensión p k p k+1 u 1 0 p k+2 p k-1 P(u)
  31. 31. Splines Cardinales Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  M  G P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T [ 3u 2 2u 1 0 ]  M  G 0  u  P( u ) = p k-1 (- s u 3  s u 2  s u )  p k [(2- s ) u 3 + ( s -3) u 2 + 1]   p k+1 [( s -2) u 3 + (3-2 s ) u 2 + s u ]  p k+2 ( s u 3 - s u 2 ) = p k-1 CAR 0 ( u )  p k CAR 1 ( u )  p k+1 CAR 2 ( u )  p k+2 CAR 3 ( u ) Los polinomios CAR k ( u ) para k =0,1,2,3 son las funciones de combinación Donde s = (1- t )/2 p k-1 p k p k+1 p k+2 P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  M C  M C = - s 2- s s -2 s 2 s s -3 3-2 s - s - s 0 s 0 0 1 0 0
  32. 32. Splines Kochanek-Bartels Splines Cúbicas P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T = U  M  G P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T [ 3u 2 2u 1 0 ]  M  G 0  u  Especificación con condiciones de frontera: P( 0 ) = p k P( 1 ) = p k+1 P'( 0 ) = 1/2 (1- t ) [ (1+ b ) (1- c ) ( p k - p k-1 ) + (1- b )(1+ c ) ( p k+1 - p k ) ] P'( 1 ) = 1/2 (1- t ) [ (1+ b ) (1+ c ) ( p k+1 - p k ) + (1- b )(1- c ) ( p k+2 - p k+1 ) ] donde: t es el parámetro de tensión b es el parámetro de sesgo : controla la distancia que cada curva se inclina en cada sección. c es el parámetro de continuidad : Del vector tangente a lo largo de las fronteras de las secciones
  33. 33. 1. Curvas de Pierre Bezier 2. Propiedades 3. Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier 4. Curvas Cúbicas de Bezier 5. Superficies de Bezier Curvas y Superficies de Bezier
  34. 34. Curvas de Pierre Bezier Curvas y Superficies de Bezier Especificación con funciones de combinación: P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T 0  u  1 Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n P( u ) =  p k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n 0  u  1 x( u ) =  x k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n 0  u  1 y( u ) =  y k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n 0  u  1 z( u ) =  z k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n 0  u  1 BEZ k,n ( u ) = C( n,k ) u k (1- u ) n-k BEZ k,n ( u ) = (1- u ) BEZ k,n-1 ( u ) + u BEZ k-1,n-1 ( u ) n > k  1 C( n,k ) = C( n,k-1 ) (n-k+1) / k, n > k BEZ k,k ( u ) = u k BEZ 0,k ( u ) = (1- u ) k C( n,k ) = n! / ( k! (n-k)! )
  35. 35. Propiedades Curvas y Superficies de Bezier P( u ) =  p k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n, 0  u  1 Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n 1. Una curva de Bezier es un polinomio de grado n (uno menos que el número de puntos de control) 2. La curva siempre pasa a través del primer y último puntos de control P( 0 ) = p 0 P( 1 ) = p n 3. Asimismo P'( 0 ) = -n p 0 + n p 1 P'( 1 ) = -n p n-1 + n p n Es decir, la tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente. 4. También:  BEZ k,n ( u ) = 1, k=0,1,2...n, De esto se tiene que la curva de Bézier cae dentro del casco convexo de los puntos de control
  36. 36. Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier Curvas y Superficies de Bezier 1. Las curvas cerradas se pueden generar al especificar el primer y último punto de control en la misma posición. 2. Al especificar múltiples puntos de control en la misma posición se obtiene más peso para la posición 3. Propiedad 3 : La tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente. P( u ) =  p k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n, 0  u  1 Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n
  37. 37. Técnicas de Diseño de Curvas de Bezier: Empalme de 2 secciones Curvas y Superficies de Bezier Propiedad 3 : La tangente de la curva en el extremo está a lo largo de la línea que une ese extremo al punto de control adyacente. Ejemplo para continuidad G 0 , G 1 , C 1 p* 0 d d p* 1 p* 2 p* 3 p 0 p 1 p 2
  38. 38. Curvas Cúbicas de Bezier Curvas y Superficies de Bezier P( u ) =  p k BEZ k,n ( u ) , k=0,1,2...n, 0  u  1 Tomando n=3 (4 puntos de control ): p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,3 Especificación con funciones de combinación: BEZ 0,3 ( u ) = (1- u ) 3 BEZ 1,3 ( u ) = 3 u (1- u ) 2 BEZ 2,3 ( u ) = 3 u 2 (1- u ) BEZ 3,3 ( u ) = u 3 Especificación con matriz característica: p 0 p 1 p 2 p 3 P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  M Bez  M Bez = -1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 3 0 0 1 0 0 0
  39. 39. Superficies de Bezier Curvas y Superficies de Bezier x( s,u ) = S  M B  G' B x  M T B U T y( s,u ) = S  M B  G' B y  M T B U T z( s,u ) = S  M B  G' B z  M T B U T
  40. 40. 1. Curvas de B-Spline 2. Uniformes y Periódicas 3. Cúbicas y periódicas 4. Uniformes y Abiertas 5. No Uniformes 6. Superficies de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline
  41. 41. Curvas de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline Ventajas respecto de las curvas de Bezier: 1. El grado del polinomio se puede determinar independientemente del número de puntos de control. 2. Permiten control local Desventaja: 1. Complejidad. P( u ) =  p k B k,d ( u ) , k=0,1,2...n, 2  d  n+1 valor fijo u min  u  u max Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n Definición Ejemplo n = 4 d = 4 S 3 es definida por p 0 , p 1 , p 2 , p 3 S 4 es definida por p 1 , p 2 , p 3 , p 4 p 0 p 1 p 4 p 3 p 2 vector de nudo de n+ d +1 (9) pos: { u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 , u 8 } u min u max u 4 S 3 u 5 u 3 S 4
  42. 42. Especificación con funciones de combinación (Cox-deBoor): P( u ) = ( x( u ), y( u ), z( u ) ) T 0  u  1 Tenemos n+1 puntos de control de coordenadas: p k = ( x k , y k , z k ), k =0,1,2,...,n P( u ) =  p k B k,d ( u ) , k=0,1,2...n u min  u  u max Curvas de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline x( u ) =  x k B k,d ( u ) , k=0,1,2...n u min  u  u max y( u ) =  y k B k,d ( u ) , k=0,1,2...n u min  u  u max z( u ) =  z k B k,d ( u ) , k=0,1,2...n u min  u  u max B k,1 ( u ) = 1, si u k  u  u k+1 0, de otro modo B k,d ( u ) = ( u - u k ) / ( u k+d-1 - u k ) B k,d-1 ( u ) + ( u k+d - u ) / ( u k+d - u k+1 ) B k+1,d-1 ( u )
  43. 43. Propiedades Curvas y Superficies de B-Spline 1. La curva resultante es un polinomio de grado d -1 y continuidad C d -2 2. n+1 puntos de control y funciones de combinación 3. Cada función de combinación B k,d ( u ) se define sobre d subintervalos del rango total de u , empezando con el valor de nudo u k 4. El rango del parámetro u se divide en n+ d subintervalos entre los valores n+ d +1 que se especifican en el vector de nudo 5. Con el vector de nudo de n+ d +1 pos: { u 0 , u 1 , ... u n+d } la curva que resulta se define únicamente en el intervalo que va desde el valor de nudo u d-1 (=u min ) hasta el valor u n+1 (=u max ). Es decir, se tienen: n - d + 2 secciones de curva. 6. Cada sección de curva (entre 2 valores de nudo sucesivos) está influenciada por d puntos de control 7. La mayoría de los puntos de control afecta d secciones de curva 8. Para cualquier valor de u en el intervalo desde u d-1 hasta u n+1 se tiene:  B k,d ( u ) = 1, para k = 0 hasta n
  44. 44. Especificación Curvas y Superficies de B-Spline 1) puntos de control 2) Funciones de Combinación - d - Vector de Nudo
  45. 45. Uniformes y Periódicas / Definición, Propiedades y Ejemplo Curvas y Superficies de B-Spline Definición: El espaciado entre los valores de nudo es constante. Propiedades: 1. Posee funciones periódicas de combinación 2. B k,d ( u ) = B k+1,d ( u +  u ) + B k+2,d ( u + 2  u ) , donde  u es la distancia entre valores de nudo adyacentes Ejemplo: n = d = 3 y { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }, se tienen las stes.: funciones de combinación
  46. 46. Curvas y Superficies de B-Spline u B 0,3 ( u ) 1 2 3 4 5 6 u B 3,3 ( u ) 1 2 3 4 5 6 u B 2,3 ( u ) 1 2 3 4 5 6 u B 1,3 ( u ) 1 2 3 4 5 6
  47. 47. Cúbicas y periódicas Curvas y Superficies de B-Spline P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T 0  u  También, se pueden especificar mediante condiciones de frontera: P( 0 ) = 1/6 ( p 0 + 4 p 1 + p 2 ) P( 1 ) = 1/6 ( p 1 + 4 p 2 + p 3 ) P'( 0 ) = 1/2 ( p 2 - p 0 ) P'( 1 ) = 1/2 ( p 3 - p 1 ) Para d = 4 y n = 3 se tiene el siguiente vector de nudo : { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } y podemos calcular las funciones de combinación
  48. 48. Cúbicas y periódicas Curvas y Superficies de B-Spline P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  [ a b c d ] T P'( u ) = [ 3u 2 2u 1 0 ]  [ a b c d ] T 0  u  B 0,3 ( u ) = 1/6 (1- u ) 3 B 1,3 ( u ) = 1/6 (3 u 3 - 6 u 2 + 4) B 2,3 ( u ) = 1/6 (-3 u 3 + 3 u 2 + 3 u + 1) B 3,3 ( u ) = 1/6 u 3 0  u  1 p 0 p 1 p 2 p 3 P( u ) = [ u 3 u 2 u 1 ]  M B  M B = 1/6 -1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 0 3 0 1 4 1 0
  49. 49. Uniformes y Abiertas / Definición, Propiedades y Ejemplos Curvas y Superficies de B-Spline Definición: El espaciado entre los valores de nudo es uniforme, excepto en los extremos, donde los valores de nudo se repiten d veces Propiedades: 1.Cálculo del vector de nudo u j : 0, para 0  j <  d j - d +1, para d  j  n n- d +2, para j > n 2. Si d =n+1, tenemos las splines de BEZIER. Todos los val. de nudo son 0 o 1 Ejemplos: 1. d = 2 y n = 3. { 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 3 } 2. d = 4 y n = 3. { 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 }. BEZIER
  50. 50. No Uniformes / Definición, Propiedades y Ejemplos Curvas y Superficies de B-Spline Definición: El espaciado entre los valores de nudo no es uniforme y algunos valores se pueden repetir Propiedades: Proporcionan mayor flexibilidad Ejemplos: 1. { 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , 8 , 8.5 }
  51. 51. No Uniformes Racionales Cúbicas / Definición, Propiedades Curvas y Superficies de B-Spline x( u ) = X( u ) / W( u ), y( u ) = Y( u ) / W( u ), z( u ) = Z( u ) / W( u ) Donde X( u ), Y( u ) y Z( u ) son curvas polinómicas cuyos puntos de control se encuentran definidados en coordenadas homogéneas . Se puede pensar en la curva como definida en el espacio homogéneo, como: P( u ) = [X( u ) Y( u ) Z( u ) W( u )], como de costumbre, pasar del espacio homogéneo a 3-d equivale dividir por W( u ). Cualquier curva no racional puede ser transformada en una racional al agregarle W( u ) = 1 Los polinimios en la curva racional pueden ser Hermite, Bezier o de cualquier tipo. Cuando son B-Spline se tiene NURBS. Estas curvas son invariantes incluso respecto de transformaciones de perspectiva
  52. 52. Conversión entre representaciones de Spline Curvas y Superficies de B-Spline Curva 1 G 1 M 1 Curva 2 G 2 = ? M 2 U  G 1  M 1 = U  G 2  M 2 G 1  M 1 = U  G 2 G 2 = M -1 2  M 1 Nota: Para convertir una curva de B-Spline (ya que esta no posee matriz básica explícita), se debe primero convertir a Bezier
  53. 53. Superficies de B-Spline Curvas y Superficies de B-Spline x( s,u ) = S  M BS  G' BS x  M T BS U T y( s,u ) = S  M BS  G' BS y  M T BS U T z( s,u ) = S  M BS  G' BS z  M T BS U T

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