Your SlideShare is downloading. ×
0
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
3trans2d
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

3trans2d

4,943

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
4,943
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
8
Actions
Shares
0
Downloads
207
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. INDICE 1. Preliminares Matemáticos 2. Transformaciones Bidimensionales 3. Coordenadas Homogéneas y Representación Matricial 4. Composición de Transformaciones Bidimensionales
  • 2. PRELIMINARES MATEMATICOS Suma de Vectores v u+v u
  • 3. PRELIMINARES MATEMATICOS Suma de Vectores + X 1 X 2 . . . X n Y 1 Y 2 . . . Y n X 1 + Y 1 X 2 + Y 2 . . . X n + Y n =
  • 4. PRELIMINARES MATEMATICOS Producto Punto X 1 X 2 . . . X n Y 1 Y 2 . . . Y n X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + ..+ X n Y n =
  • 5. PRELIMINARES MATEMATICOS Propiedades del Producto Punto || v || = sqrt (V.V) Longitud Medición del ángulo entre V y W cos -1 ( ( V.W ) / ( || V || || W || ) ) V' = V / || V || (El vector resultante tiene longitud de 1) Normalización de un vector V
  • 6. PRELIMINARES MATEMATICOS Matrices X i j X 11 X 12 ... X 1m X 21 X 22 ... X 2m . . . X n1 X n2 ... X nm Fila i Columna j
  • 7. PRELIMINARES MATEMATICOS Multiplicación de Matrices A * B = C a ij n*m m*p b ij c ij n*p c ij =  a is *b sj
  • 8. PRELIMINARES MATEMATICOS Producto Cruz x V x W es perpendicular al plano formado por V y W longitud (si V<> W <> 0) || V x W || = || V || || W || | sen b | donde b es el ángulo entre V y W v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = v 2 w 3 - v 3 w 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 v 1 w 2 - v 2 w 1
  • 9. PRELIMINARES MATEMATICOS Inversa de una Matriz Cuadrada Si A y B son matrices de n*n y AB = BA = I -> B se dice la inversa de A . Se denota A -1 Una matriz A tiene inversa <-> det A <> 0
  • 10. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES traslación escalamiento b rotación
  • 11. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Traslación Vectorialmente tenemos: P' = P + T dx dy (x,y) ( x + dx , y + dy ) x y dx dy x' y'
  • 12. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Escalamiento Vectorialmente tenemos: P' = S * P (x,y) ( sx* x , sy* y ) x y sx 0 0 sy x' y'
  • 13. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Rotación (x,y) (x', y')
  • 14. x = rcos a P' = R * P TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Rotación rcos a rcos( a + b ) y = rsen a x' = rcos( a + b ) = rcos a cos b - rsen a sen b y' = rsen( a + b ) = rcos a sen b + rsen a cos b x' = x cos b - y sen b y' = x sen b + y cos b De la triangulación obtenemos: Vectorialmente tenemos: x y cos b -sen b sen b cos b x' y' (x,y) (x', y') a r r
  • 15. Rotación TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES P' = R * P P' = P + T Traslación P' = S * P Escalamiento Resumen de transformaciones sx 0 0 sy S = dx dy T = cos b -sen b sen b cos b R =
  • 16. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Repaso (x, y) Coordenadas Cartesianas (x h , y h , h) Coordenadas Homogéneas x =x h /h y =y h /h Correspondencia haciendo h=1, obtenemos (x, y, 1)
  • 17. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Rotación P' = R(  ) * P P' = T(dx,dy) * P Traslación P' = S(sx,sy) * P Escalamiento Resumen de transformaciones sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 S = 1 0 dx 0 1 dy 0 0 1 T = cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 R = x' y' 1 P' = x y 1 P =
  • 18. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Observación acerca da la inversa de las matrices de transformación P' = M * P M -1 P' = M -1 M P M -1 P' = I P = P Consideremos la matriz M -1 la inv. de la matriz de transf. gnal. M P' = S(sx,sy) P Escalamiento sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 S = P' = T(dx,dy) P Traslación 1 0 dx 0 1 dy 0 0 1 T = x' y' 1 P' = x y 1 P = 1 0 -dx 0 1 -dy 0 0 1 T -1 = 1/sx 0 0 0 1/sy 0 0 0 1 S -1 =
  • 19. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Observación acerca da la inversa de las matrices de transformación Rotación P' = R( b ) P cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 R = R -1 = cos( - b  -sen( - b  0 sen( - b  cos( - b  0 0 0 1 cos b sen b 0 -sen b cos b 0 0 0 1 =
  • 20. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Ejemplo de transformaciones sucesivas Traslación P P 1 = T * P P' = S * T' * R * T * P Rotación Traslación Escalamiento P' P 2 = R * P 1 P 3 = T' * P 2 P' = S * P 3
  • 21. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Rotación respecto de un punto pivote general (x r ,y r )
  • 22. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Rotación respecto de un punto pivote general
  • 23. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Rotación respecto de un punto pivote general 1 0 x r 0 1 y r 0 0 1 cos b -sen b x r (1-cos b  y r sen b sen b cos b y r (1-cos b - x r sen b 0 0 1 = cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 1 0 -x r 0 1 -y r 0 0 1
  • 24. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Escalación respecto de un punto fijo general (x f ,y f )
  • 25. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Escalación respecto de un punto fijo general
  • 26. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Escalación respecto de un punto fijo general 1 0 x f 0 1 y f 0 0 1 sx 0 x f (1-sx) 0 sy y f (1-sy) 0 0 1 = sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 1 0 -x f 0 1 -y f 0 0 1
  • 27. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Direcciones generales de escalación 1. Se rota el objeto un ángulo  , de modo que las direcciones de s 1 y s 2 correspondan con los ejes 2. Se escala el objeto 3. Se rota el objeto de manera opuesta a la anterior  S 1 S 2
  • 28. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Direcciones generales de escalación s 1 cos 2 b  s 2 sen 2 b (s 2 -s 1 )cos b sen b 0 (s 2 -s 1 )cos b sen b s 1 sen 2 b  s 2 cos 2 b 0 0 0 1
  • 29. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Propiedades de la concatenación Asociatividad Conmutatividad a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c) No se cumple en general

×