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  1. 1. INDICE 1. Preliminares Matemáticos 2. Transformaciones Bidimensionales 3. Coordenadas Homogéneas y Representación Matricial 4. Composición de Transformaciones Bidimensionales
  2. 2. PRELIMINARES MATEMATICOS Suma de Vectores v u+v u
  3. 3. PRELIMINARES MATEMATICOS Suma de Vectores + X 1 X 2 . . . X n Y 1 Y 2 . . . Y n X 1 + Y 1 X 2 + Y 2 . . . X n + Y n =
  4. 4. PRELIMINARES MATEMATICOS Producto Punto X 1 X 2 . . . X n Y 1 Y 2 . . . Y n X 1 Y 1 + X 2 Y 2 + ..+ X n Y n =
  5. 5. PRELIMINARES MATEMATICOS Propiedades del Producto Punto || v || = sqrt (V.V) Longitud Medición del ángulo entre V y W cos -1 ( ( V.W ) / ( || V || || W || ) ) V' = V / || V || (El vector resultante tiene longitud de 1) Normalización de un vector V
  6. 6. PRELIMINARES MATEMATICOS Matrices X i j X 11 X 12 ... X 1m X 21 X 22 ... X 2m . . . X n1 X n2 ... X nm Fila i Columna j
  7. 7. PRELIMINARES MATEMATICOS Multiplicación de Matrices A * B = C a ij n*m m*p b ij c ij n*p c ij =  a is *b sj
  8. 8. PRELIMINARES MATEMATICOS Producto Cruz x V x W es perpendicular al plano formado por V y W longitud (si V<> W <> 0) || V x W || = || V || || W || | sen b | donde b es el ángulo entre V y W v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = v 2 w 3 - v 3 w 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 v 1 w 2 - v 2 w 1
  9. 9. PRELIMINARES MATEMATICOS Inversa de una Matriz Cuadrada Si A y B son matrices de n*n y AB = BA = I -> B se dice la inversa de A . Se denota A -1 Una matriz A tiene inversa <-> det A <> 0
  10. 10. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES traslación escalamiento b rotación
  11. 11. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Traslación Vectorialmente tenemos: P' = P + T dx dy (x,y) ( x + dx , y + dy ) x y dx dy x' y'
  12. 12. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Escalamiento Vectorialmente tenemos: P' = S * P (x,y) ( sx* x , sy* y ) x y sx 0 0 sy x' y'
  13. 13. TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Rotación (x,y) (x', y')
  14. 14. x = rcos a P' = R * P TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Rotación rcos a rcos( a + b ) y = rsen a x' = rcos( a + b ) = rcos a cos b - rsen a sen b y' = rsen( a + b ) = rcos a sen b + rsen a cos b x' = x cos b - y sen b y' = x sen b + y cos b De la triangulación obtenemos: Vectorialmente tenemos: x y cos b -sen b sen b cos b x' y' (x,y) (x', y') a r r
  15. 15. Rotación TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES P' = R * P P' = P + T Traslación P' = S * P Escalamiento Resumen de transformaciones sx 0 0 sy S = dx dy T = cos b -sen b sen b cos b R =
  16. 16. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Repaso (x, y) Coordenadas Cartesianas (x h , y h , h) Coordenadas Homogéneas x =x h /h y =y h /h Correspondencia haciendo h=1, obtenemos (x, y, 1)
  17. 17. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Rotación P' = R(  ) * P P' = T(dx,dy) * P Traslación P' = S(sx,sy) * P Escalamiento Resumen de transformaciones sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 S = 1 0 dx 0 1 dy 0 0 1 T = cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 R = x' y' 1 P' = x y 1 P =
  18. 18. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Observación acerca da la inversa de las matrices de transformación P' = M * P M -1 P' = M -1 M P M -1 P' = I P = P Consideremos la matriz M -1 la inv. de la matriz de transf. gnal. M P' = S(sx,sy) P Escalamiento sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 S = P' = T(dx,dy) P Traslación 1 0 dx 0 1 dy 0 0 1 T = x' y' 1 P' = x y 1 P = 1 0 -dx 0 1 -dy 0 0 1 T -1 = 1/sx 0 0 0 1/sy 0 0 0 1 S -1 =
  19. 19. COORDENADAS HOMOGÉNEAS Observación acerca da la inversa de las matrices de transformación Rotación P' = R( b ) P cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 R = R -1 = cos( - b  -sen( - b  0 sen( - b  cos( - b  0 0 0 1 cos b sen b 0 -sen b cos b 0 0 0 1 =
  20. 20. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Ejemplo de transformaciones sucesivas Traslación P P 1 = T * P P' = S * T' * R * T * P Rotación Traslación Escalamiento P' P 2 = R * P 1 P 3 = T' * P 2 P' = S * P 3
  21. 21. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Rotación respecto de un punto pivote general (x r ,y r )
  22. 22. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Rotación respecto de un punto pivote general
  23. 23. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Rotación respecto de un punto pivote general 1 0 x r 0 1 y r 0 0 1 cos b -sen b x r (1-cos b  y r sen b sen b cos b y r (1-cos b - x r sen b 0 0 1 = cos b -sen b 0 sen b cos b 0 0 0 1 1 0 -x r 0 1 -y r 0 0 1
  24. 24. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Escalación respecto de un punto fijo general (x f ,y f )
  25. 25. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas Composiciones Especiales Escalación respecto de un punto fijo general
  26. 26. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Escalación respecto de un punto fijo general 1 0 x f 0 1 y f 0 0 1 sx 0 x f (1-sx) 0 sy y f (1-sy) 0 0 1 = sx 0 0 0 sy 0 0 0 1 1 0 -x f 0 1 -y f 0 0 1
  27. 27. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Direcciones generales de escalación 1. Se rota el objeto un ángulo  , de modo que las direcciones de s 1 y s 2 correspondan con los ejes 2. Se escala el objeto 3. Se rota el objeto de manera opuesta a la anterior  S 1 S 2
  28. 28. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Algunas composiciones especiales Direcciones generales de escalación s 1 cos 2 b  s 2 sen 2 b (s 2 -s 1 )cos b sen b 0 (s 2 -s 1 )cos b sen b s 1 sen 2 b  s 2 cos 2 b 0 0 0 1
  29. 29. COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES BIDIMENSIONALES Propiedades de la concatenación Asociatividad Conmutatividad a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c) No se cumple en general

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