Psu Matematica

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Psu Matematica

  1. 1. Edici´n Revisada hasta el 10 de Marzo de 2008 o Apuntes de preparaci´n para la o ´ Prueba de Seleccion Universitaria ´ MATEMATICA 2008–2009 Pamela Paredes N unez ´˜ Manuel Ram´rez Panatt ı Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
  2. 2. ♠ ´ ´ Apuntes de Preparacion para la ´ Prueba de Seleccion Universitaria ´ Matematica. c Autores Pamela Paredes N´nez u˜ Manuel Ram´ırez Panatt ˜ ´ Diseno y Diagramacion Manuel Ram´ ırez Panatt Primera edici´n o Abril de 2008 Inscripci´n N◦ 171.533 o Santiago, Chile.
  3. 3. Simbolog´ Matematica ıa ´ < es menor que = es igual a > es mayor que = es distinto de ≤ es menor o igual que ≡ es equivalente a ≥ es mayor o igual que ∼ es semejante a ⊥ es perpendicular a ∼ = es congruente con // es paralelo a ∈ pertenece a ´ angulo ∈ no pertenece a ⊂ contenido en AB trazo AB ∀ para todo ∃ existe ⇒ implica ∪ ´ union entre conjuntos ⇔ si y solo si (doble implicancia) ∩ ´ interseccion entre conjuntos Y para nuestro libro. . . ♠ Ejemplos ♣ Actividades ♦ Observaciones
  4. 4. ´ Indice general Presentaci´n o VII 1. N´ meros u 1 1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 o 1.1.2. Representaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 e 1.2. Conjuntos Num´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 u 1.2.1. N´meros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 u 1.2.2. N´meros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 u 1.2.3. N´meros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 u 1.2.4. N´meros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 u 1.2.5. N´meros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 u 1.2.6. N´meros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 u 1.3. Operatoria con los n´meros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. M´ınimo Com´n M´ltiplo . . . . . . . . u u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 a u 1.3.3. M´ximo Com´n Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 o o 1.3.7. Potenciaci´n y Radicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 o 1.3.8. Notaci´n Cient´ ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 u 1.4. Mini Ensayo I, N´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Proporcionalidad 21 2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 o e 2.1.1. Raz´n Aritm´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 o e 2.1.2. Raz´n Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 o e 2.2.1. Proporci´n Aritm´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 o e 2.2.2. Proporci´n Geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1. Porcentaje de una Cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 i
  5. 5. ´ INDICE GENERAL 2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ´ 3. Introducci´n al Algebra o 35 ´ 3.1. Signos del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 a 3.3. Expresiones Algebr´icas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 e 3.3.1. T´rmino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 o a 3.3.2. Clasificaci´n de las Expresiones Algebr´icas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 e 3.3.3. T´rminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 o e 3.3.4. Eliminaci´n de Par´ntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 o 3.4.1. Multiplicaci´n de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 o 3.4.2. Multiplicaci´n de Polinomio por Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 o 3.4.3. Multiplicaci´n de Polinomio por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ 3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4. Desarrollo Algebraico 45 4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.3. Cubo de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 o e 4.1.4. Multiplicaci´n de binomios con un t´rmino en com´nu . . . . . . . . . . . 46 4.1.5. Binomio a una Potencia Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 o 4.2. Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 u 4.2.1. Factor Com´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 o 4.2.2. Factorizaci´n de Trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 o 4.2.3. Factorizaci´n de Cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.4. Diferencia de Cuadrados Perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 o 4.2.5. Completaci´n de Cuadrados de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 o 4.3. Mini Ensayo IV, Factorizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5. Ecuaciones Algebraicas 55 a 5.1. Conceptos B´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 o 5.2. Ecuaci´n de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 o 5.2.1. Resoluci´n de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 o 5.2.2. Redacci´n de ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 o 5.3. Ecuaci´n de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 o 5.3.1. Ecuaci´n incompleta total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 o 5.3.2. Ecuaci´n incompleta binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 o 5.3.3. Ecuaci´n general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 o 5.3.4. Propiedades de las raices de la ecuaci´n de segundo grado . . . . . . . . . 60 5.4. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 o 5.4.1. Resoluci´n de Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 o 5.4.2. Sistemas de Ecuaciones de 3 inc´gnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4.3. Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5. Mini Ensayo V, Ecuaciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ii ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  6. 6. ´ INDICE GENERAL 6. Ecuaciones no Algebraicas 75 o 6.1. Ecuaci´n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 o 6.1.1. Resoluci´n de Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 o 6.2. Ecuaci´n Logar´ ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.1. Significado de un Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2.2. Propiedades de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 o 6.2.3. Resoluci´n de Ecuaciones Logar´ ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 o 6.3. Aplicaci´n de los Logaritmos a las ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . 79 6.4. Mini Ensayo VI, Ecuaciones no Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7. Inecuaciones 85 7.1. Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.1. Intervalo Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.2. Intervalo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.3. Intervalo Semi-Abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2.1. Desigualdad Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.2.2. Desigualdad Condicionada o Inecuaci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 o 7.3. Resoluci´n de Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.4. Mini Ensayo VII, Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8. Funciones 93 o 8.1. El Concepto de Funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 8.1.1. Funciones Inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.1.2. Funciones Sobreyectivas o Epiyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.1.3. Funciones Biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 o 8.1.4. Composici´n de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 o 8.1.5. La Funci´n Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.1.6. Funciones Crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.1.7. Funciones Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.1.8. Funciones Pares e Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.2. El Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 o 8.2.1. Determinaci´n de un punto por sus coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 97 o a 8.2.2. Representaci´n gr´fica de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3. Algunas Funciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 o 8.3.1. Funci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 o ın 8.3.2. Funci´n Af´ y la Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ıa 8.3.3. Un Poco de Geometr´ Anal´ ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 o a a 8.3.4. Funci´n Cuadr´tica y la Par´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 o 8.3.5. Funci´n Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 o 8.3.6. Funci´n Parte Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 o 8.3.7. Funci´n Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 o 8.3.8. Funci´n Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.4. Mini Ensayo VIII, Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9. Geometr´ Plana ıa 121 ıa 9.1. Conceptos Primitivos de la Geometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 ıa 9.1.1. Axiomas Principales de la Geometr´ Euclidiana . . . . . . . . . . . . . . 121 ´ 9.2. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9.2.1. Clasificaci´n de los Angulos seg´n su medida . . o ´ u . . . . . . . . . . . . . . 122 ´ Matematica iii
  7. 7. ´ INDICE GENERAL ´ 9.2.2. Clasificaci´n de los Angulos seg´n su posici´n . . . . . . . . . . . . . . . . o u o 122 9.2.3. Clasificaci´n de los ´ngulos de acuerdo a la suma de sus medidas . . . . . o a 123 ´ 9.2.4. Angulos formados por dos paralelas cortadas por una secante o transversal 123 9.3. Pol´ ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.3.1. Pol´ıgono Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.4. Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 125 9.4.1. Clasificaci´n de los Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 125 9.4.2. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.4.3. Bisectriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.4.4. Simetral o Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.4.5. Transversal de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.4.6. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4.7. Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 129 ´ 9.5. Mini Ensayo IX, Angulos y Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 129 9.6. Cuadril´teros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 133 9.6.1. Paralel´gramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 133 9.6.2. Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.6.3. Trapezoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.7. Mini Ensayo X, Cuadril´teros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 136 9.8. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.8.1. Posiciones Relativas a dos Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.9. Partes de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.9.1. Teoremas Referentes a una Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 ´ 9.9.2. Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ´ 9.9.3. Teoremas Referentes a Angulos en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . 144 9.10. Mini Ensayo XI, Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ´ 9.11. Areas y Per´ ımetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ´ 9.11.1. Areas y Per´ ımetros de Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 ´ 9.11.2. Suma de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ´ 9.11.3. Diferencia de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ´ 9.12. Mini Ensayo XII, Areas y Per´ ımetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.Geometr´ de Proporciones ıa 157 10.1. Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 a 10.1.1. Congruencia de Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.1.2. Criterios de Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.2. Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 a 10.2.1. Semejanza de Tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 a 10.2.2. Teorema fundamental para la existencia de Tri´ngulos Semejantes . . . . 159 10.2.3. Criterios de Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.3. Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 o 10.3.1. Aplicaci´n al Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 a 10.4. Teorema de Pit´goras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.5. Teorema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.5.1. Teorema de Euclides referente a una Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.5.2. Teorema de Euclides referido a un Cateto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 o e 10.6. Relaci´n M´trica en la Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.6.1. Teorema de las Cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.6.2. Teorema de las Secantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 iv ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  8. 8. ´ INDICE GENERAL 10.6.3. Teorema de la Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 ıa 10.7. Trigonometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 a a 10.7.1. Tri´ngulos Rect´ngulos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 o e 10.7.2. Raz´nes Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 ´ 10.7.3. Angulos Importantes y sus razones trigonom´tricas e . . . . . . . . . . . . . 164 e 10.7.4. Identidades Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 e 10.7.5. Ecuaciones Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 ıa 10.8. Mini Ensayo XIII, Geometr´ de Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.Transformaciones Isom´tricase 175 ıas 11.1. Isometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 o 11.1.1. La Traslaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 ıa 11.1.2. La Simetr´ o Reflexi´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 o 11.1.3. La Rotaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.2. Teselaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 o 11.2.1. Teselaci´n Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 o 11.2.2. Teselaci´n Semi-regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 11.3. Mini Ensayo XIV, Isometr´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.Cuerpos Geom´tricos e 183 12.1. Superficie y Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2. Cuerpos de Revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 o 13.Probabilidad y Estad´ ıstica 187 13.1. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13.1.1. Espacio Muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13.1.2. Evento o Suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13.1.3. Probabilidad a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13.1.4. Probabilidad a Posteriori o Frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.1.5. Ley Aditiva de las Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.1.6. Ley Multiplicativa de las Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2. Estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2.1. Algunos Conceptos Previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2.2. Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 o 13.2.3. Representaci´n de los Datos Estad´ ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 13.3. Mini Ensayo XV, Probabilidad y Estad´ ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 14.Permutaciones, Arreglos y Combinaciones 201 14.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 14.2. Arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 14.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.Inter´se 205 e 15.1. Inter´s Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 o o e 15.1.1. Deducci´n de la f´rmula del inter´s simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 o e 15.1.2. Resoluci´n de ejercicios con inter´s simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 e 15.2. Inter´s Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 o o e 15.2.1. Deducci´n de la f´rmula de inter´s compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 207 o e 15.2.2. Resoluci´n de ejercicios de inter´s compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 208 ´ Matematica v
  9. 9. ´ INDICE GENERAL Solucionario de Mini Ensayos 211 Bibliograf´ ıa 213 vi ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  10. 10. Presentaci´n o a Prueba de Selecci´n Universitaria parte Matem´tica, es una o a L de las pruebas obligatorias aplicadas en el proceso de selecci´n o a las Universidades llamadas tradicionales. Esta prueba permite determinar el nivel de habilidad en el razonamiento matem´tico y a conocimientos que posee cada postulante a la educaci´n superior y o si ´stos son los adecuados para que prosiga en estudios superiores. e En particular, la PSU parte Matem´tica mide las capacidades a del postulante para reconocer los conceptos, principios, reglas y propiedades de la matem´tica, identificar y aplicar m´todos ma- a e tem´ticos en la resoluci´n de problemas, analizar y evaluar in- a o formaci´n matem´tica proveniente de otras ciencias y de la vida o a cotidiana y por ultimo analizar y evaluar las soluciones de un pro- ´ blema para fundamentar su pertinencia. Para medir correctamente ´stos procesos, el equipo t´cnico de e e matem´tica del DEMRE elabora una prueba de 70 preguntas divi- a dades en 4 grandes ejes tem´ticos estudiados en la matem´tica de a a ense˜anza media. Las preguntas se subdividen aproximadamen- n te en 11 del primer eje tem´tico N´meros y Proporcionalidad, 29 a u ´ del segundo eje tem´tico Algebra y Funciones, 21 del tercer eje a tem´tico Geometr´ y 9 del ultimo eje tem´tico Probabilidad y a ıa ´ a Estad´ ıstica. El libro que tienes en tus manos contiene la mayor´ de los con- ıa tenidos que se evaluar´n en la prueba, las materias se estudiar´n a a en su totalidad en las clases del preuniveristario, aprovecha ´ste e documento leyendo lo que corresponda antes de cada clase para que ´sta pueda ser m´s fluida y productiva sirviendo de comple- e a mento a tus conocimientos. Los Autores vii
  11. 11. Si tienes alg´n aporte o cr´ u ıtica sobre el contenido de ´ste libro, te e agradecemos comunicarlo a los correos, pparedes@zeth.ciencias.uchile.cl Pamela Paredes Nunez ´˜ manramirezp@zeth.ciencias.uchile.cl Manuel Ram´ ırez Panatt
  12. 12. Cap´ ıtulo 1 N´ meros u unto con la historia de la humanidad, la historia de las matem´ticas y la numeraci´n a evolu- a o J cionado optimiz´ndoce cada vez m´s. En muchas culturas distintas se realiz´ la numeraci´n a a o o de variados modos pero todos llegaban a una misma soluci´n, definir una unidad y aumentarla o en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exist´ una cantidad inc´moda de repre- ıa o sentar se involucraba un nuevo s´ımbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a ´ste e ultimo s´ ´ ımbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base m´s usada ha sido la base de a 10, como lo hace el sitema de numeraci´n que ocupamos actualmente, aparentemente a causa o que tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera m´s primitiva de contar. a Versi´n 1.0, Junio de 2007 o 1.1. Conjuntos Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el t´rmino “conjunto”, e seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturaleza determinada. Bueno, en matem´ticas esta expresi´n no est´ para nada alejada de lo que tu entiendes por a o a un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemos son aquellos que est´n a formados por nada m´s ni nada menos que n´meros. Los n´meros son elementos fundamentales a u u en el estudio de las matem´ticas, ya que gracias a ellos se pueden precisar o determinar exacta- a mente respuestas a algunas de las preguntas del ser humano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos en este cap´ıtulo, agruparlos. 1.1.1. Subconjuntos Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub. que aparece delante nos infiere que existe un conjunto m´s grande del que estamos hablando. Uno en el cual nuestro a subconjunto esta contenido. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado por todas las personas involucradas en nuestro preuniversitario, encontraremos en el a profesores, alumnos y coordinadores, y un subconjunto de este ser´ el grupo de todos los profesores, ya que ´stos por ıa e si solos forman un conjunto, pero ´ste est´ contenido en el primer conjunto nombrado. e a 1.1.2. Representaci´n o Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una l´ ınea que encierra a un grupo de cosas, las cuales, forman el conjunto. Una manera an´loga es ordenarlos, separados de a comas y entre par´ntesis de llave ({})1 esta ultima notaci´n es la que utilizaremos frecuente- e ´ o mente. 1 Ejemplo de un conjunto A={a,b,c,d,e} 1
  13. 13. ´ 1. Numeros 1.1.3. Cardinalidad Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjunto es m´s grande o no que otro, introducimos un t´rmino que llamamos cardinalidad, la cual a e representamos por el s´ ımbolo #, ´sta solo depende del n´mero de objetos de nuestro conjunto. e u Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura 1.1 es 4. Figura 1.1: Conjunto de objetos 1.2. Conjuntos Num´ricos e Son todos aquellos conjuntos que est´n formados por n´meros, ´stos se dividen principal- a u e mente en: 1.2.1. N´ meros Naturales u Los n´meros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representan por u el s´ ımbolo N. Y sus elementos son: N = {1, 2, 3, 4, . . . ∞} Algunos subconjuntos de N son: • Los n´meros pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ∞}, ´stos los podemos representar como u e 2n∀ n ∈ N • Los n´meros impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . ∞}, los cuales los podemos representar u como (2n + 1) o (2n − 1)∀ n ∈ N • Los n´meros primos = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ∞}, son todos aquellos n´meros que u u son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a ´ste ultimo. e ´ • Los n´meros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos. u • etc. . . 2 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  14. 14. ´ 1.2. Conjuntos Numericos ♦ Observa que . . . † La cardinalidad de N es infinita. † Este conjunto es “cerrado” bajo la suma y la multiplicaci´n, es decir, para o todo par de n´meros en N, su suma y su multiplicaci´n tambi´n es un n´mero u o e u natural. † Este conjunto NO es “cerrado” bajo la resta y la divisi´n, ya que para todo o par de n´meros en N, su diferencia y divisi´n NO es necesariamente un n´mero u o u natural. † 2 es el unico n´mero par que es primo. ´ u 1.2.2. N´ meros Cardinales u Cuando en el conjunto de los n´meros naturales incluimos el 0, se denomina como N´meros u u Cardinales, se representa por el s´ ımbolo N0 , y sus elementos son: N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . ∞} Algunos subconjuntos de N0 son: • Los n´meros Naturales y todos los subconjuntos de ´ste. u e • Los d´ ıgitos; = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 1.2.3. N´ meros Enteros u Es el conjunto formado por todos los n´meros sin cifra decimal, es decir, los numeros natu- u rales, sus inversos aditivos2 , y el neutro aditivo3 . Z = {−∞ . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . ∞} Algunos subconjuntos de Z son: • Los n´meros Naturales. u • Los n´meros Cardinales. u • etc. . . ♦ Observa que . . . A diferencia de los n´meros Naturales, este conjunto si es “cerrado” bajo la suma, u la resta y la multiplicaci´n; es decir, para todo par de n´meros enteros, su suma, o u multiplicaci´n y diferencia es siempre un n´mero entero. o u Pero como el mundo no es tan bello, ´ste conjunto no conserva a la divisi´n, ya e o que una divisi´n entre dos n´meros enteros no es necesariamente un n´mero de Z o u u 2 Se dice que un n´mero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal b es tambi´n conocido u e como −a. 3 Para cualquier n´mero x existe un unico que cumple que x+(ese unico)= x, a ese n´mero lo conocemos como u ´ ´ u neutro aditivo, (tambi´n conocido como 0). e ´ Matematica 3
  15. 15. ´ 1. Numeros 1.2.4. N´ meros Racionales u Como te habr´s dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos el pro- a blema de que sus elementos se pueden “escapar” facilmente de ellos, nos referimos a que basta que dos n´meros Naturales se resten (4 − 5, por ejemplo), para obtener alg´n n´mero negativo u u u y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, basta que dos de ellos que no sean divisibles entre si (−3 y 2, por ejemplo), se dividan y entonces ya no tendremos un n´mero u entero. Para resolver ´ste problema, existe el conjunto de los n´meros Racionles, representados por e u el s´ ımbolo Q y que cumple que para cada par de n´meros racionales, la suma, resta, divisi´n y u o multiplicaci´n (sin considerar al 0), es siempre un n´mero de Q, a ´ste tipo de conjuntos se les o u e conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como: p Q= p, q ∈ Z, q = 0 q Para cada elemento de ´ste cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversos multiplicati- e vos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1 (neutro multiplicativo). Por ejemplo: 5 · 1 = 1, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 1 , o 4 · 4 = 1, por lo tanto 5 5 3 3 3 4 el inverso multiplicativo de 4 es 3 . Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto. Forma Fraccionaria ´ Esta forma nos expresa “porciones” de alg´n entero. En su estructura tenemos una l´ u ınea fraccionaria, un numerador (n´mero sobre la l´ u ınea fraccionaria), y un denominador (n´mero u bajo la l´ ınea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes en que dividimos un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar. Por ejemplo: Figura 1.2: Representaciones Fraccionarias En el primer caso dividimos un c´ ırculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo cual representamos por: 3 . Y en el segundo caso dividimos un rect´ngulo en 6 partes iguales, consi- 8 a 3 derando s´lo 3 de ellas, lo cual representamos por: 6 o Forma Mixta Hay ocasiones en que el numerador de una fracci´n es mayor que el denominador. En ´stas o e situaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de esta divisi´n consi- o deramos el cuociente como la parte entera, y el resto como numerador de la fracci´n que la o acompa˜a. n Por ejemplo: 4 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  16. 16. ´ 1.2. Conjuntos Numericos o 8 Consideremos la fracci´n 5 , entonces al efectuar la divisi´n se tiene. o 8 ÷ 5=1 3. 8 Por lo tanto podemos escribir esta fracci´n como: o 5 = 13. 5 Forma Decimal Toda fracci´n tiene su representaci´n como n´mero decimal, para obtenerlo basta dividir, o o u sin dejar resto, el numerador con el denominador. o 5 Por ejemplo, consideremos la fracci´n 4 : 5 ÷ 4 = 1, 25 10 20 0. Para pasar un n´mero decimal a fracci´n existen 3 posibles casos: u o 1. Con Decimales Finitos Es decir, cu´ndo las cifras decimales de un n´mero son finitas, por ejemplo 4,376 es un a u decimal finito pues tiene solo 3 d´ ıgitos despues de la coma, pero 4,333333333333. . . con infinitos 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos d´ ıgitos despues de la coma. La manera de pasar este tipo de decimales a fraccti´n es simplemente escribir una fracci´n o o cuyo n´merador sea el mismo n´mero pero sin coma, y cuyo denominador sea 10000. . . u u con tantos ceros como d´ ıgitos tiene el n´mero despues de la coma, por ejemplo: u 5626 ♠ 5, 326 = 1000 3 d´ ıgitos 232 ♠ 2, 32 = 100 2 d´ ıgitos 13 ♠ 1, 3 = 10 1 d´ ıgitos Esto es dibido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc, lo unico que le sucede al ´ dividendo es que se corre la coma hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee el divisor. 2. Decimales Peri´dicos o Los decimales peri´dicos son aquellos en que los n´meros despues de la coma se repiten o u infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo: ♠ 1,333333333333333. . . es un n´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces des- u pues de la coma, este n´mero lo escribiremos de la forma: 1, 3. u ♠ 4,324324324324324324. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 324 se repite infi- u u nitamente despues de la coma, este n´mero lo escribiremos de la forma: 4, 324 u ´ Matematica 5
  17. 17. ´ 1. Numeros ♠ 2,56565656723214569875. . . es un n´mero cuyos decimales no tienen ninguna relaci´n u o por lo tanto se dice que NO es un decimal peri´dico. o La fracci´n que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero escrito o u sin coma ni linea peri´dica menos la parte entera dividido por 9999. . . con tantos 9 como o decimales peri´dicos halla, por ejemplo: o 132−1 131 ♠ 1, 32 = 99 = 99 ♠ 1, 586 = 1586−1 = 1585 999 999 ♠ 6, 2 = 62−6 = 56 9 9 ♠ 12, 432 = 999 = 12420 12432−12 999 3. Decimales Semiperi´dicos o Los decimales semiperi´dicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo o una vez y las dem´s se repiten infinitamente, por ejemplo: a ♠ 1,233333333333333. . . es un n´mero decimal donde el 3 se repite infinitas veces des- u pues del 1, este n´mero lo escribiremos de la forma: 1, 23. u ♠ 3,3211111111111111111. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 1 se repite infini- u u tamente despues del 32, este n´mero lo escribiremos de la forma: 3, 321 u ♠ 2,532323232323232323232. . . es un n´mero decimal donde el n´mero 32 se repite u u infinitamente despues del 5, este n´mero lo escribiremos de la forma: 2, 532 u La fracci´n que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el n´mero o u escrito sin coma ni linea peri´dica menos la parte no peri´dica del n´mero, dividido por o o u 9999. . . 0000. . . con tantos 9 como decimales peri´dicos halla y tantos ceros como d´ o ıgitos no per´dicos halla despues de la coma, por ejemplo: o 132−13 ♠ 1, 32 = 90 = 119 90 ♠ 2, 561 = 2561−256 = 2305 900 900 ♠ 6, 123 = 6123−61 = 6062 990 990 ♠ 12, 06 = 1206−120 = 1086 90 90 Algunos subconjuntos de Q son: n • Los n´meros Naturales, ya que todo n´mero natural n lo podemos escribir como u u 1. • Los n´meros Cardinales. u • Los n´meros Enteros ya que todo n´mero entero z lo podemos escribir como z . u u 1 • etc. . . 1.2.5. N´ meros Irracionales u Es el conjunto de todos los n´meros que no pertenecen al mundo de los racionales, es decir u no se pueden escribir como fracci´n ya que tienen infinitos decimales sin ninguna relaci´n. Una o o forma de enunciar sus elementos es: I = { i | i ∈ Q} √ Algunos elementos de ´ste conjunto son: π, e, 2, etc . . . e 6 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  18. 18. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales ♦ Observa que . . . Entre el conjunto de los n´meros racionales y el de los irracionales no existe ning´n u u elemento en com´n. u Adem´s, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse, a √ o dividirse pueden obtener un n´mero racional, como por ejemplo; √2 = 1, y 1 no es u 2 un n´mero irracional. u 1.2.6. N´ meros Reales u Es el conjunto que obtenemos entre la uni´n de todos los conjuntos que acabamos de ver, o pero como te habr´s dado cuenta, en los n´meros racionales est´n ya incluidos los naturales y a u a los enteros, entonces basta decir que: R=Q∪I En la figura 1.3 puedes observar gr´ficamente ´ste hecho. a e Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos num´ricos b´sicos e a 1.3. Operatoria con los n´ meros Reales u 1.3.1. Axiomas de Cuerpo 1. Conmutatividad: Para todo a, b ∈ R, se cumple que: a+b=b+a y a·b=b·a 2. Asociatividad: Para todo a, b y c ∈ R, se cumple que: a + (b + c) = (a + b) + c y a · (b · c) = (a · b) · c 3. Distributividad: Para todo a, b y c ∈ R, se cumple que: a · (b + c) = a · b + a · c ´ Matematica 7
  19. 19. ´ 1. Numeros 1.3.2. M´ ınimo Com´ n M´ ltiplo u u El m´ u u ınimo com´n m´ltiplo (M.C.M), entre dos o m´s n´meros reales es el n´mero m´s a u u a peque˜o entre todos los m´ltiplos que tengan en com´n. Por ejemplo, para determinar el M.C.M n u u entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus m´ltiplos. u → M´ltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, . . .} u → M´ltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, . . .} u → Y la intersecci´n entre ´stos dos conjuntos es = {12, 24, 36, 48, . . .} o e Luego, como el m´ ınimo de ´ste ultimo conjunto es 12, entpnces el M.C.M. entre 4 y 6 es 12. e ´ Otra forma de determinar el M.C.M. es con la siguiente tabla: 4 6 ÷2 2 3 ÷2 1 3 ÷3 1 Donde se va dividiendo a los n´meros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. ser´ la u a multiplicaci´n entre los divisores usados. o De manera que obtenemos: 2 · 2 · 3 = 12 1.3.3. M´ximo Com´ n Divisor a u Cuando nos referimos al divisor de un n´mero real estamos hablando de un n´mero que u u divide exactamente (sin dejar resto) al n´mero en cuesti´n. El m´ximo com´n divisor (M.C.D) u o a u entre dos o m´s n´meros reales es el divisor m´s grande que tienen en com´n. Por ejemplo, a u a u busquemos el m´ximo com´n divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer los conjuntos a u de sus respectivos divisores. → Divisores de 16 = {1, 2, 4, 8, 16} → Divisores de 40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} → Y la intersecci´n entre ´stos dos conjuntos es = {1, 2, 4,8} o e Por lo tanto el M.C.D. entre 16 y 40, es 8. ♦ Observa que . . . El m´ u u ınimo com´n m´ltiplo y el m´ximo com´n divisor entre dos o m´s n´meros a u a u enteros siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M ser´ la multiplicaci´n a o entre ellos, y el M.C.D. ser´ el 1. a 8 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  20. 20. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales 1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad Para multiplicar o dividir n´meros reales debes tener en cuenta que su signo (positivo o u negativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto siempre considera la siguiente tabla: + · + = + − · − = + + · − = − − · + = − O si te es m´s sencillo, considera la palabra “amigo” como positivo (+), y “enemigo” como a negativo (−), y recuerda que: “El amigo de mi amigo es mi amigo” “El enemigo de mi enemigo es mi amigo” “El amigo de mi enemigo es mi enemigo” “El enemigo de mi amigo es mi enemigo” Adem´s para que te sea m´s f´cil la obtenci´n de divisores o m´ltiplos comunes es bueno a a a o u tener presente que: Todos los n´meros son divisibles por 1. u Los n´meros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo ultimo d´ u ´ ıgito es par o 0. Los n´meros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus d´ u ıgitos es divisible por 3. Los n´meros divisibles por 4, son todos cuyos ultimos dos d´ u ´ ıgitos forman un n´mero u divisible por 4. Los n´meros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0. u Los n´meros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismo u tiempo. 1.3.5. Orden Operatorio Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas, multiplica- ciones, divisiones, potencias, etc, debes tener presente que existe una prioridad en el desarrollo de ´stas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antes que otras para obtener el resultado e ´ correcto. Este orden es el siguiente: 1. Potencias. 2. Multiplicaciones y divisiones. 3. Sumas y restas. ´ Matematica 9
  21. 21. ´ 1. Numeros Adem´s si aparecen par´ntesis dentro de alg´n ejercicio nos indicar´ que debemos realizar a e u a primero las operaciones que est´n dentro de ´l. a e Por ejemplo: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 Primero debemos realizar el par´ntesis (la potencia, luego la multiplicaci´n y despu´s la e o e resta). Luego la multiplicaci´n por 4 y la divisi´n 26 ÷ 2. Posteriormente terminamos con las o o sumas y restas. Entonces se ver´ algo as´ ıa ı: 6 + 4 · (14 − 22 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 4 · 3) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (14 − 12) − 26 ÷ 2 = 6 + 4 · (2) − 26 ÷ 2 = 6 + 8 − 26 ÷ 2 = 6 + 8 − 13 = 14 − 13 = 1 ♣ Actividad Resuelve los siguientes ejercicios combinados: 1. −(2 + (3 · 3 + 5)) = 5. (6 · 2 · 3 − [2 · (−45) + 112]) = 2. (6 ÷ 3 − (1 + 2 · 3 − 1)) · 2 = 6. − −[−(12 ÷ 4 + 5)] + 1 = 3. −(65 − [2 − (10 ÷ 2)] + (5 · 3 ÷ 5)) = 7. −[−3 + 4 · 3 − 4 − (−5 + 2)] = 4. 5 · (10 + 3 · 3 + 48 ÷ 6 − 7) = 8. −(−(2 + 3) − (3 · 6 + 5) + 2) = 1.3.6. Operaciones con Fracciones Multiplicaci´n de Fracciones o Multiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y ´ste ser´ el nu- e a merador del resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento. Veamos algunos ejemplos: 3 6 3·6 18 → 2 · 7 = 2·7 = 14 5 5·2 10 → 4 ·2= 4·1 = 4 4 1 4·1 4 → 3 · 5 = 3·5 = 15 Divisi´n de Fracciones o Dividir fracciones es un poco m´s complicado ya que debemos realizar lo que llamamos a una multiplicaci´n cruzada, es decir; el numerador del resultado de una divisi´n ser´ lo que o o a obtengamos de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del divisor, de la misma forma el denominador del resultado ser´ lo que obtengamos de multiplicar el denominador a del dividendo con el numerador del divisor. Como lo anterior parece ser m´s complicado de lo que realmente es, tambi´n podemos “trans- a e formar” la divisi´n en una multiplicaci´n y realizar la operaci´n de ‘esta forma que ya conocemos, o o o recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. Veamos algunos ejemplos: 10 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  22. 22. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales 5 2 5 3 15 → 4 ÷ 3 = 4 · 2 = 8 9 9 1 9 → 5 ÷4= 5 · 4 = 20 6 1 6 18 → 5 ÷ 3 = 5 ·3= 5 Adici´n y Sustracci´n de Fracciones o o Antes de continuar vamos a aclarar dos conceptos muy importantes al momento de sumar y restar fracciones, la amplificaci´n y la simplificaci´n. o o † Amplificar Significa aumentar el numerador y el denominador de una fracci´n en la misma pro- o porci´n. Por ejemplo, amplifiquemos 2 por 5. o 3 2 2 2 5 10 = ·1= · = 3 3 3 5 15 ´ Estas dos fracciones son llamadas equivalentes, es dcir, representan la misma cantidad. † Simplificar An´logamente simplificar significa disminuir el numerador y el denominador de una a fracci´n (si es que se puede), en una misma proporci´n. Por ejemplo, simplifiquemos 150 : o o 90 150 15 10 15 5 3 5 5 = · = ·1= · = ·1= 90 9 10 9 3 3 3 3 En el proceso anterior primero simplificamos por 10 y luego por 3, obteniendo una fracci´n irreducible (que no se puede simplificar). o Antes de realizar cualquier operaci´n con fracciones es recomendable simplificar lo m´s o a que se pueda. Ahora, para sumar o restar fracciones tenemos dos casos: cuando tienen igual denominador y cuando no. Para el primer caso no existe gran problema ya que consiste simplemente en operar solo los numeradores, dejando intacto al denominador. Por ejemplo: 2 7 2+7 9 4 → 5 + 5 = 5 = 5 = 15 6 9 6−9 −3 → 7 − 7 = 7 = 7 = −3 7 En cambio para el segundo caso donde tenemos distintos denominadores debemos amplificar cada una de las fracciones en juego de forma tal que obtengamos el mismo denominador en a a a ambas, el cual no ser´ al azar, m´s bien ser´ el m´ ınimo com´n m´ltiplo entre los denominadores u u de las fracciones. Por ejemplo: 5 7 5 3 7 2 15 14 15+14 29 → 4 + 6 = 4 · 3 + 6 · 2 = 12 + 12 = 12 = 12 En el ejemplo anterior primero encontramos el M.C.M entre 6 y 4, que es 12, luego buscamos los n´meros por los que deb´ u ıamos amplificar cada fracci´n para obtener este denominador en o ambas encontrando el 3 para la primera y el 2 para la segunda. Posteriormente obtuvimos una suma entre fracciones de igual denominador que ya sabemos operar. Otro ejemplo: ´ Matematica 11
  23. 23. ´ 1. Numeros 9 3 9 4 3 5 36 15 36−15 21 → 5 − 4 = 5 · 4 + 4 · 5 = 20 − 20 = 20 = 20 ♣ Actividad Suma o resta seg´n corresponda las siguientes fracciones: u 2 1 3 7 −8 1. 3 + 3 = 7. 2 + 9 + 4 = 5 1 6 1 2. 4 − 4 = 8. 11 + 1 + 1 = 3 2 7 4 41 31 3. 2 + 3 = 9. 36 + 72 + 1 = 9 −2 60 6 15 12 24 4. 4 + 6 = 10. 6 + 48 − 20 + 36 − 18 = 1 5 2 m n m·n 5. 4 − 4 + 4 = 11. n + m − n = 6 1 4 1 2 3 6. 5 − 3 + 3 = 12. 1+ 1 + 2+ 2 + 3+ 3 = 2 3 4 1.3.7. Potenciaci´n y Radicaci´n o o Potencias Esencialmente una potencia nos representa una multiplicaci´n por sigo mismo de un n´mero o u que llamamos “base”, tantas veces como lo indique otro n´mero que llamamos “exponente”. u Propiedades Consideremos a, b ∈ R − {0} y m, n ∈ Z • a0 = 1 • a1 = a • am · an = am+n • a−n = 1 an a m m • b = amb a −n b n bn • b = a = an am • an = am−n • (an )m = an·m = am·n = (am )n ♣ Actividad Utilizando las propiedades de las potencias, realiza los siguientes ejercicios: 1 2 2 −3 4 3 1. 4 6. 3 ·15 11. 2 15 16. 1 4 6 ·5·3 4 2 2 2 3 2 3 2. 3 7. (2 · 6)2 12. 43 17. 5 · 102 6 −2 2 −4 6 2 1 6 5 5 3. 5 8. 3 · 5 ·4 13. 33 18. 6 · 1 1 · 0,01 5 10 −(−2) 6·3 4 1 8 3 4 4. 5 9. 5 14. 12 19. 0,02 · 0,12 · 23 3 2 2 3 3 −2 1 4 8 3 5. 10 10. 4 15. 24 20. 3 12 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  24. 24. ´ 1.3. Operatoria con los numeros Reales Raices Las raices son casos m´s generales de las potencias, ya que corresponden a una potencia, a pero de ´ındice racional. Decimos que una ra´ n-´sima de un n´mero a es b, si y solo si la n-´sima potencia de b es ız e u e a,es decir: Propiedades Consideremos a, b ∈ R − {0} y m, n ∈ Z √ • n am = am/n , con ´sta propiedad podemos generalizar las mismas propiedades e de las potencias a las raices. √ √ √ • na· nb= na·b √ na • √ n b = n ab n m √ √ • a = n·m a √ √ • a · n b = n an · b ♣ Actividad Utilizando las propiedades de las raices, realiza los siguientes ejercicios: √ 9 56 0 √ 3 1. 4 · 16 6. − π4 11. 8 · 27 · 216 √ 8 64 4 √ 2. 9 · 16 · 25 7. 9 12. 28 · 36 √ 3 81 2 √ 3 3. 8 · 64 8. 36 · 25 4 13. 2 · 32 27 √ √ √ 3 4. 3 125 9. 3 −27 · 721 14. 5 · 32 −1 27 √ 5 3 √ 5. 3 8 · 1 10. −32 · 243 ÷ 1024 15. 64 1.3.8. Notaci´n Cient´ o ıfica La notaci´n cient´ o ıfica es una herramienta que ocupamos para poder escribir n´meros dema- u siado peque˜os o demasiado grandes con el fin de reducir espacio en su escritura. n Por ejemplo, 5.000.000.000.000.000.000.000, es un n´mero bastante grande, por lo que apren- u deremos que podemos escribir ´ste n´mero como 5 × 1021 , cuya notaci´n es claramente m´s e u o a eficiente. Potencias de 10 Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias de la forma: 10n ∀ n ∈ Z ´ Matematica 13
  25. 25. ´ 1. Numeros Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros que vamos a poner a la derecha del n´mero 1. De la misma forma para los enteros negativos nos indicar´ la u a cantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del 1. Es decir: 100 =1 10−1 = 0, 1 101 = 10 10−2 = 0, 01 102 = 100 10−3 = 0, 001 103 = 1000 10−4 = 0, 0001 104 = 10000 10−5 = 0, 00001 . . . . . . De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, mil´simas, decenas de e mil´simas, etc . . .. Reemplazando por ´stas potencias de 10 se tiene por ejemplo: e e → 5000 = 5 unidades de mil = 5 · 1000 = 5 · 103 3 ceros → 20000 = 2 decenas de mil = 2 · 10000 = 2 · 104 4 ceros → 300000000 = 3 cent´simas de millon´sima = 3 · 100000000 = 3 · 108 e e 8 ceros As´ podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuando desee- ı mos expresar n´meros excesivamente grandes. Pero tambi´n utilizando exponentes negativos u e podemos obtener el mismo resultado, esta vez con n´meros peque˜os. Por ejemplo: u n → 0,0000000005 = 5 · 0,0000000001 = 5 · 10−10 10 ceros Descomposici´n de n´ meros con potencias de 10 o u Tambi´n podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer n´meros, ya que como e u cuando lo hac´ıamos en ense˜anza b´sica, los n´meros los podemos separar en una suma de n a u unidades, decenas, centenas, etc. . ., y las potencias de base diez son precisamente eso. Por ejemplo: 4580403 = 4000000 + 500000 + 80000 + 400 + 3 = 4 · 1000000 + 5 · 100000 + 8 · 10000 + 4 · 100 + 3 · 1 = 4 · 106 + 5 · 105 + 8 · 104 + 4 · 102 + 3 · 100 256,4 = 200 + 50 + 6 + 0,4 = 2 · 100 + 5 · 10 + 6 · 1 + 4 · 0,1 = 2 · 102 + 5 · 101 + 6 · 100 + 4 · 10−1 Ahora; llamamos espec´ ıficamente notaci´n cient´ o ıfica cuando escribimos cualquier n´mero u representado por un n´mero, con un solo d´ u ıgito antes de la coma, multiplicado por una potencia de diez. Este d´ ıgito es el primero del valor original, por ejemplo: Escribamos el n´mero 65.300.000 con notaci´n cient´ u o ıfica, entonces tenemos que escribir un n´mero de un solo d´ u ıgito antes de la coma que multiplicado por alguna potencia de diez resulte 14 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  26. 26. ´ 1.4. Mini Ensayo I, Numeros 65.300.000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponente igual a la cantidad de espacios que vamos a correr la coma. Entonces: → 65.300.000 = 6,53 × 107 7 espacios Otros ejemplos: → 4.568.000 = 4,568 × 106 6 espacios → 12.050.000 = 1,205 × 107 7 espacios → 0, 0003 2 = 3,2 × 10−4 4 espacios → 0,000000000000061 = 6,1 × 10−15 15 espacios ♣ Actividad 1. Escribe los siguientes valores con notaci´n cient´ o ıfica: 1. 0,00001 = 6. 0,00000639 = 2. 0,0000000000235 = 7. 0,000000001001 = 3. 125.230= 8. 123.200.000= 4. 1.235.300= 9. 998.000.000.000.000.000.000= 5. 85.325.000.000= 10. 0,0000000000000000009 = 2. Escribe los siguientes n´meros como decimales sin notaci´n cient´ u o ıfica: 2 2 1. 1, 2 × 10 = 5. 6, 022 × 10 3 = 2. 3, 456 × 106 = 6. 1, 62×−32 = −3 3. 1, 56 × 10 = 7. 2, 99 × 108 = 4. 9, 99 × 10 9 8. 5, 99 × 10−28 = 1.4. Mini Ensayo I N´ meros u 1. 3 + 2 · 4 − (−1)2 = a) 21 b) 19 c) 12 d ) 10 e) Otro valor 2. Un n´mero entero p se compone de dos d´ u ıgitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente, entonces el inverso aditivo de p es: ´ Matematica 15
  27. 27. ´ 1. Numeros a) 10a + b b) −10a + b c) 10b + a d ) −10a − b e) −10b − a 3. Si a es un n´mero natural y b un n´mero cardinal, entonces puede darse que: u u a) a + b = 0 b) a ÷ b = 0 c) b ÷ a = 0 d ) a + b2 = b e) ba + 1 = 0 4. Si m y n son n´meros naturales impares, entonces es (son) siempre un n´mero par: u u I. m + n II. m − n III. m · n IV. m + 1 a) Solo I b) Solo II y IV c) Solo I y IV d ) Solo III y IV e) I, II y IV 5. Si se divide el m´ u u ınimo com´n m´ltiplo por el m´ximo com´n divisor entre los n´meros 30, a u u 54, 18 y 12; se obtiene: a) 5 b) 15 c) 30 d ) 45 e) 90 6. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros n´meros primos, entonces a + b + c = u a) 6 b) 10 c) 15 d ) 17 e) 30 16 ´ Prueba de Seleccion Universitaria
  28. 28. ´ 1.4. Mini Ensayo I, Numeros 7. ¿Cu´ntos elementos en com´n tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16? a u a) Ninguno b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 8. Si se duplica la expresi´n 24 se obtiene: o a) 25 b) 28 c) 42 d ) 45 e) 46 9. Si n es un n´mero tal que n ∈ Z, entonces ¿cu´l(es) de las siguientes expresiones repre- u a senta(n) tres n´meros pares consecutivos? u I. 2n, 2n + 1, 2n + 2 II. 4n, 4n + 2, 4n + 4 III. 2n − 4, 2n − 2, 2n a) Solo III b) I y II c) I y III d ) II y III e) Todas 10. Sea el conjunto A ={1,2,5,8,9,11}, entonces la cantidad de elementos que existen entre la intersecci´n de A con el conjunto de los n´meros primos es: o u a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Se define (a, b) ∗ (c, d) = (ad + bc, ab − cd), entonces (2, 1) ∗ (3, 2) = a) (3,1) b) (7,5) c) (8,4) d ) (8,−4) e) (7,−4) ´ Matematica 17

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