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Matrices Presentation Transcript

  • 1. MATRICES MATEMÁTICA II
  • 2. Zapatos Carteras Correas Mano de obra: 5 3 2 Material 6 2 1 Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla: COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)
  • 3. MATRICES Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas Ejemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas. Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2
  • 4. REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n Donde: a ij : es el elemento o entrada general ubicado en la fila “i” , columna j REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n A = [ a ij ] m x n Donde: a ij : es el elemento o entrada general i = 1, 2, 3, ….., m j = 1, 2, 3, ….., n
  • 5. Matriz fila o Vector fila Es una matriz que tiene sólo una fila Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ] 1 x 4 Matriz columna o Vector columna Es una matriz que tiene sólo una columna Ejemplo:
  • 6. Construcción de una Matriz Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información: a 21 = -6 a 12 = 4 a 11 = 0 a 23 = 1 a 13 = -2 a 22 = 5 Fila 1 Fila 2 Col. 1 Col. 2 Col. 3 -6 4 0 1 -2 5 Solución:
  • 7. Construcción de una Matriz Construir la siguiente matriz: A = [ a ij ] 2x3 tal que: a 11 = a 12 = a 13 = a 21 = a 22 = a 23 = Solución: Col. 1 Col. 2 Col. 3 Fila 1 Fila 2 1 3/2 2 3/2 2 5/2
    • 3/2 2
    • 3/2 2 5/2
  • 8. IGUALDAD DE MATRICES Definición.- Las matrices A=[a ij ] y B=[b ij ] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden, además a ij = b ij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes iguales) TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota A T , es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A PROPIEDAD: (A T ) T = A Ejemplo: Ejemplo:
  • 9. MATRICES ESPECIALES Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O. Ejemplo: Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas, Es una matriz nula de orden 3x4 Ejemplo: Es una matriz cuadrada de orden 3 Diagonal principal
  • 10. MATRICES ESPECIALES Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i ≠ j Ejemplos: Matriz diagonal de orden 3 Matriz diagonal de orden 4
  • 11. Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i > j Ejemplo: Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: a ij = 0 para todo i < j Ejemplo:
  • 12. OPERACIONES CON MATRICES Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas: Deluxe Super Rojo Azul Deluxe Super Rojo Azul Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo? Resultado: Deluxe Super Rojo Azul
  • 13. SUMA DE MATRICES Definición.- Si A=[a ij ] y B=[b ij ] son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir: A+B =[a ij + b ij ] mxn Ejemplos: No está definida ya que las matrices son de diferente orden
  • 14. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo) Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
  • 15. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces k A es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k , es decir: k A =[ k a ij ] mxn Ejemplo:
  • 16. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
    • 1. k(A + B) = kA + kB
    • 2. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A
    • k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A
    • 4. 0A = O
    • 5. k O = O
    PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
    • (A + B) T = A T + B T
    • 2. ( k A) T = k A T