Bab 3 Aljabar Boole

9,433 views
9,419 views

Published on

Materi Logika Informatika Bab 3, Aljabar Boole untuk pertemuan pertama

1 Comment
0 Likes
Statistics
Notes
  • TERIMAKASIH ................
    AKHIRNYA SAYA TEMUKAN APA YANG INGIN SAYA PELAJARI..
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
9,433
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
535
Actions
Shares
0
Downloads
277
Comments
1
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bab 3 Aljabar Boole

  1. 1. Modul Logika Informatika @ Mustahal, S.Si BAB 3 : ALJABAR BOOLE PENDAHULUAN Aljabar Boole, sebagai salah satu cabang matematika, pertama kalidikemukakan oleh George Boole pada tahun 1854. Boole dalam bukunya TheLaw Of Thought, memaparkan aturan-aturan dasar logika (yang dikenaldengan logika boolean). Aturan dasar logika ini membentuk Aljabar Boole.Pada tahun 1938, Claude Shannon memperlihatkan penggunaan AljabarBoole untuk merancang rangkaian sirkuit listrik yang menerima masukan 0dan 1 serta menghasilkan keluaran 0 dan 1 juga. Aljabar Boole telahmenjadi dasar teknologi komputer digital. Saat ini aljabar boole digunakansecara luas dalam rangkaian perancangan pensaklaran, rangkaian digital,dan rangkaian IC (Intergrated Circuit) komputer. DEFINISI ALJABAR BOOLE Aljabar boole merupakan aljabar yang terdiri atas suatu himpunandengan dua operator biner yang didefinisikan pada himpunan tersebut yaitu: + (penambahan) ekuivalen dengan ∨ (OR) • (perkalian) ekuivalen dengan ∧ (AND)Pada aljabar boole juga berlaku hukum-hukum logika, hanya berubah tandasaja yaitu : ∧ (AND) menjadi * atau • ∨ (OR) menjadi + ¬(Negasi) menjadi ’ atau  dalam aljabar boole disebut komplemenMisal : • a∧b menjadi a*b atau a.b atau cukup ditulis ab • a∨b menjadi a+b • ¬a menjadi a’ atau ā Identitas p.1 ≡ p p+0 ≡ p Ikatan P+1 ≡ 1 p.0 ≡ 0 Idempoten p+p ≡ p p.p ≡ p Komplemen p+p’ ≡ 1 p.p’ ≡ 0 (p’)’ ≡ p 1’=0 dan 0’=1 Komutatif p+q ≡ q+p p.q ≡ q.p Asosiatif (p+q)+r ≡ p+(q+r) (p.q).r ≡ p.(q.r) Distributif p+(q.r) ≡ (p+q).(p+r) p.(q+r) ≡ (p.q)+(p.r) De Morgan’s (p.q)’ ≡ p’+q’ (p+q)’ ≡ p’ . q’ Aborbsi p∧(p∨q) ≡ p p∨(p∧q) ≡ p Universitas Islam Lamongan (UNISLA) Page 38 of 55
  2. 2. Modul Logika Informatika @ Mustahal, S.Si Terdapat perbedaan antara aljabar boole dengan aljabar biasa untukaritmatika bilangan riil :1. Hukum distributif + dan . seperti pada a+(b.c)=(a+b).(a+c) benar unutk aljabar boole tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.2. Aljabar boole tidak memiliki kebalikan perkalian atau penjumlahan sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan. DUALITASDual dari setiap pernyataan S dalam sebuah aljabar boole B adalahpernyataan yang didapat dengan mengubah operasi-operasi + dan ., danmengubah elemen identitas yang menghubungkan 0 dan 1 dalampernyataan awal di S. Dalam hal ini berarti mengganti :* dengan ++ dengan *0 dengan 11 dengan 0Contoh 3.1:Tuliskan dual dari setiap persamaan boolean berikut1) (a*1)*(0+a’)=0 Untuk mencari dual dari persamaan di atas maka : • Pada (a.1), ubah * menjadi + dan 1 menjadi 0 • Ubah * pada (a*1)*(0+a’) menjadi + • Pada (0+a’), ubah 0 menjadi 1 dan + menjadi * • Komplemen pada a’ tidak berubah Sehingga secara keseluruhan dualnya adalah : (a * 1) * ( 0 + a’)=0 (a + 0) + (1 * a’)=1 ⇒ dual2) a+(a’*b)=a+b Dengan cara yang sama seperti contoh di atas maka dulanya : a*(a’+b)=a*bSekarang, coba Anda cari dual dari persamaan boolen berikut3) a(a’+b)=ab4) (a+1)(a+0)=a5) (a+b)(b+c)=ac+b FUNGSI BOOLEAN Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bnke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai f : Bn → B Universitas Islam Lamongan (UNISLA) Page 39 of 55
  3. 3. Modul Logika Informatika @ Mustahal, S.Siyang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasanganterurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkansebuah fungsi Boolean adalah : f(x, y, z) = xyz + x’y + y’zFungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) kehimpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1sehingga f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:1. f(x) = x2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’3. f(x, y) = x’ y’4. f(x, y) = (x + y)’5. f(x, y, z) = xyz’Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentukkomplemennya, disebut literal.Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitux, y, dan z’.Contoh 3.2:Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabelkebenaran.Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 FUNGSI KOMPLEMEN Untuk menentukan komplemen dari suatu persamaan boolean, makadapat digunakan prinsip dualitas dan hukum De Morgan.1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan Contoh 3.3. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’ = x’ + (y’z’ + yz)’ = x’ + (y’z’)’ (yz)’ = x’ + (y + z) (y’ + z’) Universitas Islam Lamongan (UNISLA) Page 40 of 55
  4. 4. Modul Logika Informatika @ Mustahal, S.Si2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. Contoh 3.4. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka Dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z) Komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’ Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’) BENTUK KANONIK Beberapa fungsi boolean mungkin memiliki ekspresi aljabar yangberbeda tetapi sebenarnya mempunyai nilai fungsi yang sama. Sebagaicontoh : f(x,y)=(xy)’ dan h(x,y)=x’+y’, adalah dua buah fungsi yang sama(Bisa dibuktikan dengan hukum De Morgan).Contoh lain :f(x,y,z)=x(y+z’) dan g(x,y,z)=xyz+xyz’+xy’z’adalah dua buah fungsi yang sama. Fungsi f muncul dalam bentukperkalian dari hasil jumlah sedangkan g muncul dalam bentukpenjumlahan dari hasil kali. Perhatikan juga bahwa setiap suku (term)mengandung literal yang lengkap. Fungsi boolean yang dinyatakan dalambentuk perkalian dari hasil jumlah dan penjumlahan dari hasil kali, dengansetiap suku mengandung literal lengkap disebut bentuk KANONIK.Ada dua macam bentuk kanonik:1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)Contoh 3.5:1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS Setiap suku (term) disebut maxtermSetiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap Minterm Maxterm x y Suku Lambang Suku Lambang 0 0 x’y’ m0 x+y M0 0 1 x’y m1 x + y’ M1 1 0 xy’ m2 x’ + y M2 1 1 xy m3 x’ + y’ M3 Universitas Islam Lamongan (UNISLA) Page 41 of 55

×