Bab 2 kalimat berkuantor
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Bab 2 kalimat berkuantor

on

  • 6,070 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,070
Views on SlideShare
6,050
Embed Views
20

Actions

Likes
1
Downloads
108
Comments
0

2 Embeds 20

http://mustahal.smpn3sugio.sch.id 19
http://www.techgig.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Bab 2 kalimat berkuantor Bab 2 kalimat berkuantor Document Transcript

  • BAB 2 : KALIMAT BERKUANTOR2.1 PENGANTAR LOGIKA PREDIKAT2.1.1 PENDAHULUANSeperti yang telah dibahas sebelumnya, dapat ditarik satu kesimpulanbahwa titik berat logika adalah pada pembuktian validitas suatu argumenlogika proposisional dengan berbagai teknik yang relevan, yaitumenggunakan tabel kebenaran sebagai dasar pembuktian dan jugamenggunakan hukum-hukum logika.Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika proposisional saja ternyata belum mampumenangani argumen-argumen yang berisi pernyataan-pernyataan yangrumit dan sering dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Sebagai contohperhatikan argumen berikut ini :Contoh 2.1 :1. Semua gajah mempunyai belalai.2. Dumbo seekor gajah.3. Dengan demikian, Dumbo memiliki belalai.Tanpa perlu dibuktikan validitasnya, orang-orang pasti mengatakanargumen tersebut valid karena dengan jelas kesimpulan mengikutipremis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara membuktikannya?.Tentunya memakai logika proposisional.2.1.2 ARGUMEN PADA LOGIKA PREDIKATValiditas sebuah argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang miripdengan contoh diatas. Perhatikan contoh argumen berikut :Contoh 2.2 :1. Semua mahasiswa pasti pandai.2. Badu seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, Badu pandai.Secara nalar, kebanyakan orang akan menilai bahwa argumen di atasmempunyai validitas yang kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingindibuktikan dengan logika proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan.Pembuktiannya dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur logikaproposisional dengan menentukan terlebih dahulu proposisi-proposisinya : AA=Semua mahasiswa pasti pandai. BB=Badu seorang mahasiswa. ―――C=Badu pasti pandai. ∴CSelanjutnya akan menjadi seperti berikut :Dalam bentuk ekspresi logika : (A∧B) ⇒ C
  • Dalam bentuk ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logikaproposisional yang dapat digunakan untuk membuktikan validitasargumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antaraketiga proposisi yang digunakan di atas. Atau tidak mungkin suatukesimpulan yang berbeda dapat dihasilkan dari premis-premis yangberbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan berupa Cdapat dihasilkan dari premis A dan premis B.Kalau argumen diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional,maka klaimatnya harus diperbaiki. Misalnya seperti berikut :Contoh 2.3:1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.2. Badu seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, ia pasti pandai.Jika dirubah dalam bentuk ekspresi logika1. B ⇒ C premis 12. B premis 23. C kesimpulanAtau dapat juga ditulis [(B⇒C)∧B]⇒CDalam logika proposisional, ekspresi logika di atas sudah benar karenakesimpulan diambil dari premis-premis.Persoalan yang terjadi adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnyamampu menangkap ide pada argumen yang pertama yaitu “Semuamahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak tertangkap padaargumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa yaituBadu, bukan semua mahasiswa.Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan menentukan objek, misalnyaorang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata ganti orang. Perhatikanpernyataan-pernyataan pada contoh argumen berikut ini :Contoh 2.4:1. Jika Badu seorang mahasiswa, maka ia pasti pandai.2. Dewi seorang mahasiswa.3. Dengan demikian, ia pasti pandai.Siapakah “ia” yang berada pada kesimpulan? Apakah Badu atau Dewi?.Kalau premis 1 diubah menjadi, “ Jika Dewi seorang mahasiswa, makapasti ia pandai”, maka pernyataan tersebut sudah pasti tepat. Akan tetapiargumen tersebut menunjuk kepada dua orang mahasiswa yaitu Badu danDewi sehingga kata “ia” sebagai kata ganti tunggal tidak bisa berperandengan tepat karena bisa berarti “Badu”, bisa juga berarti “Dewi”.Jadi suatu argumen yang sangat kuat logikanya, memang ada yag tidakdapat ditangani oleh logika proposisional. Oleh karena itu logika
  • proposisional dikembangkan menjadi logika predikat (predicate logic) ataukalkulus predikat (predicate calculus).Untuk mrncari kesamaan antara pernyataan-pernyataan dalam argumenpada logika predikat, diperlukan sesuatu yang mampumenghubungkannya. Pada contoh yang terakhir, penghubung antara Badudan Dewi adalah keduanya mahasiswa. Selain mengidentifikasikanindividu-individunya, yaitu Badu dan Dewi, juga akan dicari predikatnya.Ini merupakan langkah awal logika predikat sebelum membuktikanvaliditasnya. Secara umum, predikat digunakan untuk menjelaskanproperti, yakni hubungan antara individu-individu. Lihat contoh yangsederhana berikutContoh 2.5 :Badu dan Dewi berpacaranDalam logika proposisional akan dipecah menjadi dua pernyataan, yaitu“Badu berpacaran” dan “Dewi berpacaran”. Kedua pernyataan tersebutakan menjadi aneh karen maksud kalimatnya bukan seperti itu. Di sinitidak diketahui dengan siapa Badu atau Dewi berpacaran. Padahal padapernyataan awal jelas bahwa Badu berpacaran dengan Dewi atau Dewiberpacaran dengan Badu.Dengan logika predikat, kata “berpacaran” pada contoh diatas merupakanpredikat, sedangkan individu-individunya yang berupa entitas yangdihubungkan dengan predikat tersebut, yaitu Badu dan Dewi, disebutterm. Term pada logika predikat berfungsi sama seperti kata benda(noun) pada bahasa inggris.Sebagai pelengkap term dan predikat, orang menggunakan kuantor(quantifier), sedangkan prosesnya disebut pengkuantoran(quantification).Kuantor mengindikasikan seberapa banyak perulanganpada pernyataan tertentu yang bernilai benar, khususnya kuantoruniversal (universal quantifier) yang menginikasikan suatu pernyataanselalu bernilai benar. Kuantor lainnya adalah kuantor eksistensial(Existensial quantifier) yang mengindikasikan bahwa suatu pernyataankadang-kadang bernilai benar atau mungkin juga salah . pada pernyataan“Semua mahasiswa pasti pandai” maka kata “semua” secara universalsemuanya selalu bernilai benar.Dari uraian di atas, maka hubungan antara logika predikat dengan logikaproposisional menjadi jelas, bahwa logika predikat sebenarnyamenjadikan logika proposisional menjadi bersifat universal atau umum.Dengan demikian, selain term, predikat dan kuantor, logika predikat jugamemiliki proposisi-proposisi dan perangkai-perangkai sebagai bagian daripembahasan dan proses manipulasinya.Satu bagian yang penting dari logika dari logika predikat adalah fungsiproposisional (propositional function) atau cukup disebut fungsi saja.Fungsi berperan penting sewaktu menggunakan persamaan-persamaankarena ia bertugas persis seperti variabel proposisional karena fungsitersebutlah yang dirangkai dengan perangkai-perangkai logika, dankemudian membentuk ekspresi logika, dari yang rumit sampai yang View slide
  • sederhana dan digunakan sebagai bahan untuk dimanipulasi secaramatematis.Bagi para ahli di bidang ilmu komputer, logika predikat berperan pentingdengan beberapa alasan. Pertama, logika predikat memberi alasan logisyang mendasari bahasa pemrograman logika, misalnya PROLOG dan LISP.Kedua, logika predikat mampu mendorong pengembangan kebutuhanaplikasi komputer. Ketiga, logika predikat mampu berperan di bagianpembuktian tentang masalah “correctness” sehingga dapat secara tepatmengetahui kondisi program yang menghasilkan keluaran yang benar.Contoh-contoh argumen yang menggunakan logika predikat masih cukupbanyak, misalnya dua contoh berikut ini :Contoh 2.6 :1. Setiap kucing mempunyai ekor.2. Tom adalah seekor kucing.3. Dengan demikian, Tom memiliki ekorAtau :1. Setiap lelaki hidup abadi.2. Socrates adalah seorang lelaki.3. Dengan demikian, Socrates hidup abadi.Argumen juga bisa lebih panjang karena memiliki lebih dari 2 premis,tetapi tetap dengan satu kesimpulan. Lihat contoh argumen berikut :Contoh 2.7:1. Badu menyukai Siti.2. Pria yang menyukai Siti pasti menyukai Dewi.3. Badu hanya menyukai wanita cantik.4. Dengan demikian, Dewi adalah wanita cantik.Jelas bahwa kesimpulan pada pernyataan ke-4 adalah logis karena jelasberasal dari premis-premisnya, tetapi jika dibuktikan melalui logikaproposisional akan terjadi kesulitan karena kesimpulan bukan diambilutuh dari premisnya, tetapi merupakan gabungan dari beberapa premis.Di sinilah logika predikat akan berperan.Banyak argumen logis yang tidak bisa diselesaikan pembuktianvaliditasnya dengan logika proposisional. Untuk itu, kemudiandikembangkan logika predikat untuk mengatasi masalah tersebut.Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William Hamilton (1788-1856)dengan doktrinnya yang dinamakan “Quantification Theory”. Oleh karenaitu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang ditambahdengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran. View slide
  • 2.2 KALIMAT BERKUANTOR Perhatikan ketiga kalimat berikut : a) Semarang ibukota jawa tengah b) X adalah binatang berkaki empat, X={kuda, burung, ular, singa} Jika diperhatikan pada kedua kalimat diatas, kalimat (a) adalah sebuah kalimat pernyataan dengan nilai kebenaran T. Kalimat (b) belum dapat ditentukan nilai kebenarannya sebelum variabel x –nya diganti dengan salah satu himpunan dari x, karena itu kalimat (b) disebut kalimat terbuka. Jika x diganti dengan “Kuda” atau “Singa”, maka kalimat terbuka (b) menjadi benar. Tetapi jika diganti dengan “Burung” atau “Ular”, maka kalimatnya menjadi salah. Apa yang terjadi jika terhdap suatu kalimat terbuka ditambahkan kata- kata seperti : “untuk semua/ setiap x…..”, Beberapa/Terdapat/Ada x…….. Untuk kalimat (b) maka kalimatnya menjadi : 1) Untuk semua/setiap x, x adalah binatang berkaki empat. 2) Terdapat binatang x, dimana x adalah binatang berkaki empat. Kata-kata semua…….., setiap………, beberapa…….., terdapat…….., ada…….. seperti adi atas disebut dengan kalimat berkuantor (Quantifier). Kuantor tersebut menunjukkan atau berkait dengan banyaknya pengganti peubah x sehingga didapatkan suatu pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja. Seperti yang telah diuaraikan pada argumen pada logika predikat, kuantor ada dua jenis yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.ANTOR UNIVERSAL (UNIVERSAL QUANTIFIER). Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini : “Semua gajah mempunyai belalai” Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis : G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai” Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi (∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.
  • Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lainyang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secarauniversal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris,misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”,“each people”, dan lain-lainnya.Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harusbelajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, makaditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jikaditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiapmahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, makapenulisan yang lengkap adalah :(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjukmahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka xharus belajar dari buku teks”.Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal :Perhatikan pernyataan berikut ini :“Semua mahasiswa harus rajin belajar”Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebutmaka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :1. Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis : mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)2. Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))3. Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))Contoh 2.8 :1. ”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”. • Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh
  • Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x) • (∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)) • (∀x)(T(x) ⇒ A(x)) 2. ”Semua artis adalah cantik”. • Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x). • (∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x)) • (∀x)(A(x) ⇒ C(x)) 3. Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10 Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 Memenuhi A=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 Memenuhi A=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 Memenuhi A=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 Memenuhi Karena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example. SOAL LATIHAN 1 1. Misal Px : x adalah planet seperti bumi Qx : x mendukung kehidupan Terjemahkan pernyataan kuantor universal berikut ke dalam bahasa sehari-hari. a) ∀x(Px ⇒ Qx) b) ∀x(Px) ∨ ∀x(Qx) c) ∀x(Px ∨ ¬Qx) d) ∀x(Px) ∨ ∀x(¬Qx) 2. Misal Rx : x adalah bilangan integer Ubahlah ke dalam pernyataan berkuantor universal a) Kuadarat dari setiap bilangan integer negatif adalah positif b) Tidak semua bilangan integer positif c) Tidak ada bilangan integer positif yang negatif d) Semua bilangan integer adalah positif atau tidak ada bilangan e) integer yang positifANTOR EKSISTENSIAL (EXISTENSIAL QUANTIFIER) Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term – term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat
  • meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya. Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya. Perhatikan kalimat berikut ini : ” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ” Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut : 1. Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu : “Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “. Selanjutnya akan ditulis : Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x) 2. Berilah kuantor eksisitensial di depannya. (∃x) (Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x)) 3. Ubahlah menjadi suatu fungsi. (∃x)(P(x) ∧ B(x)) Contoh 2.9: 1. “Beberapa orang rajin beribadah”. Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka: • ”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”. • (∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x)) • (∃x)(O(x) ∧ I(x)) 2. “Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”. • “Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”. • (∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x)) • (∃x)(B(x) ∧ ¬K(x)) 3. Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x). (∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x2=x”. (∃x ∈ B)(x2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x2=x. Misal x= -1, maka (-1)2=1 Tidak memenuhi X= 1, maka (1)2=1 Memenuhi Karena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.MPREDIKATKAN SATU DAN N-ARITAS OBJEK
  • Contoh berikut merupakan pernyataan untuk semakin memahami cara menulis simbol dengan logika predikat. Perhatikan dengan sekssms bsgsimsns huruf besar menggantikan predikat dan huruf kecil menggantikan variabel (objek). Contoh 2.10: 1. Badu seorang mahasiswa. M(b) 2. Jika Badu rajin belajar, maka ia akan lulus. B(b) ⇒ L(b) 3. Semua rumput berwarna hijau. (∀y)(R(y) ⇒ H(y)) Tidak selalu harus menggunakan huruf kecil x untuk variabel yang umum, tetapi yang penting adalah konsisten. Jadi untuk contoh no.3 tidak boleh ditulis (∀y)(R(y) ⇒ H(x)) Contoh 2.11: 1. Semua orang harus bekerja. (∀x)(O(x) ⇒ B(x)) 2. Beberapa mahasiswa lupus sarjana. (∃x)(M(x) ∧ L(x)) 3. Ada sesuatu yang hilang di desa Sidomakmur. (∃x)(S(x) ∧ H(x)) Dari berbagai contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa : • Jika pernyataan memakai kuantor universal (∀), maka digunakan perangkai implikasi (⇒), yaitu “Jika semua......maka.....” • Jika pernyataan memakai kuantor eksistensial (∃), maka digunakan perangkai konjungsi (∧), yaitu “Ada...yang...dan....”. Conoth-contoh diatas berhubungan dengan predikat unary atau relasi satu tempat (objek hanya satu), dan tentu saja penulisan simbol harus ampu menunjukkan predikat n-ary yaitu relasi dimana objeknya sebanyak n buah. Lihat contoh berikut : Contoh 2.12: 1. Setiap orang mencintai Jogjakarta. (∀x) C(x,J) 2. Setiap bilangan genap dapat dibagi 2. (∀x)(G(x) ⇒ B(x,2)) 3. Tak ada bilangan prima di antara 23 dan 29. (∃x)(P(x) ∧ A(x,23,29)) 4. Badu mengenal seua benda. (∀x) K(b,x)ANTOR GANDA Domain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut : “Setiap orang mencintai Jogjakarta” Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x) C(x,j) Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bisa berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi
  • mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, misalayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu sajdomain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pastihanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwadomain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki sepertiberikut :(∀y)(O(y) ⇒ C(y,j))Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalahorang, maka y mencintai Jogjakarta”.Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebihdahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangaymempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinyaambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lainmanusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dansebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akantetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapamanusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbedayaitu kuantor eksisitensial.Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yangberbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan.Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikancontoh berikut ini :“Setiap orang dicintai oleh seseorang”Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut(∀x)(∃y) C(y,x)Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang,dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebihbaik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatassecara lengkap dapat ditulis :(∀x)(O(x) ⇒ (∃x)(O(y) ∧ C(y,x)))Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jikamenggunakan angka atau bilangan.(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benarx+y=y+x”Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih darisatu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilanganpositif y berlaku y<x”
  • Pernyataan di atas dapat ditulis :(∃x)(∀y)(y<x)Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantoreksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor jugamemiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary. Lihatcontoh berikut :Contoh 2.13:H(x) : x hidupM(x) : x mati(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati”Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua xhidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantoruniversal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikanpenulisan serta peletakan tanda kurungnya.Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalahsebagai berikut :(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang samaseperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.¬[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ¬P(x,y)¬[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ¬P(x,y)Contoh 2.14:Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :1. (∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat (∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya : ¬[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2y2. Ada toko buah yang menjual segala jenis buah Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya ¬[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantorgandaMisal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”Langkah-langkahnya :1. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y). K(x,y) : x kenal y2. Jadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi (∀y) K(x,y)
  • 3. Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi (∃x)(∀y) K(x,y)SOAL LATIHAN 21. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam logika predikat kemudian negasikan a. Setiap orang memiliki seseorang yang menjadi ibunya. b. Semua orang menghormati Presiden SBY. c. Ada mahasiswa TI yang tidak lulus logika informatika. d. Setiap orang dicintai oleh seseorang. e. Ada programmer yang menguasai semua bahasa pemrograman.2. Misalkan B(x,y) adalah pernyataan “x mengikuti matakuliah y”, dan semsta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di matakuliah tersebut, sedangkan y adalah semua matakuliah ilmu komputer. Ubahlah ekspresi dengan kuantor-kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia. a. (∃x)(∃y) B(x,y) b. (∃x)(∀y) B(x,y) c. (∀x)(∃y) B(x,y) d. (∃y)(∀x) B(x,y) e. (∀y)(∃x) B(x,y) f. (∀x)(∀y) B(x,y)3. Misalkan W(x,y) adalah pernyataan “x berwisata ke y”, dan semesta pembicaraan untuk x adalah semua mahasiswa di STMIK NH, sedangkan y adalah semua objek wisata di Indonesia. Ubahlah kuantor berikut ke dalam pernyataan berbahasa Indonesia. a) W(Badu, Borobudur) b) (∃x) W(x, Kuta) c) (∃y) W(Dito,y) d) (∃y) (W(Dewi,y) ∧ W(Siti,y))4. Misalkan A(x) adalah pernyataan “x berbicara bahasa Inggris” dan B(x) adalah pernyataan “x menguasai bahasa pemrograman Borland Delphi”. Ubahlah pernyataan berikut ke dalam simbol kuantor kemudian negasikan. a. Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan menguasai Delphi. b. Ada mahasiswa di STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris tetapi tidak meguasai Delphi. c. Semua mahasiswa di STMIK dapat berbicara bhs Inggris sekaligus menguasai Delphi. d. Tidak ada mahasiswa STMIK yang dapat berbicara bhs Inggris dan menguasai Delphi.5. Jika diketahui semesta pembicaraannnya adalah (1,2,3). Tentukan nilai kebenaran pernyataan berkuantor berikut : a. (∃x)(∀y) x2<y+1
  • b. (∀x)(∃y) x2+y2<12 c. (∀x)(∀y) x2+y2<126. Negasikan pernyataan berikut a. (∀x)(∃y)(p(x,y) ∨ q(x,y)) b. (∃x)(∀y)(p(x,y) ⇒ q(x,y)) c. (∃y)(∃x)(p(x) ∧ ¬q(x))