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  • 1. INVESTIGACION DEOPERACIONES 1ITQMuñoz Pichardo David Ing.IndustrialN°C. 10141743
  • 2. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013RamificaciónBranch-and-Bound (B&B) es una técnica eficiente para la búsqueda de soluciones donde suobjetivo es encontrar no solamente una solución, más si no la óptima solución. El algoritmoB y B interactúa y crea un árbol de búsqueda con el problema representado en un nodo,donde este nodo problema sufre una descomposición del problema en sub problemas,buscando la falseabilidad de soluciones no óptimas. Casi todas las otras técnicas debúsquedas son distintas del método B&B porque encuentran soluciones no óptimas osoluciones sub óptimas. El problema debe ser representado con un grafo de estados, dondeel estado inicial significa el problema propuesto y el estado final es el objetivo a alcanzar.Ha variaciones como búsqueda con retroceso, programación dinámica, los árboles dedecisión Y/O y otros.El funcionamiento general de lo algoritmo B y B consiste en reducir el espacio de búsquedadel problema podando las zonas del árbol aún no exploradas que no pueden crear mejoressoluciones que la solución en curso. Para tanto, el método de ramificación y acotación B&Bbusca siempre la óptima solución y, nunca una buena solución.Para comprenderemos mejor como el algoritmo B y B funciona, algunos conceptos debenser descritos.RamificaciónSignifica elegir el próximo nodo en curso de la lista de nodos vivos, siendo el nodo vivoeliminado da lista y la continuación ocurre generando sus hijos. Para elegir el próximonodo en curso hay 3 estrategias:FIFO: Se utiliza una cola para implementar la lista de nodos vivos, tiendo el nodo en cursoel primero nodo de la lista de nodos vivos (LNV) y sus hijos se añaden al final de la lista.El recorrido aquí es por niveles.LIFO: Se utiliza una pila para implementar la LNV. Aquí el próximo nodo vivo será elprimero de la LNV y sus hijos se añaden al inicio de la lista. Esta estrategia es muy similaral recorrido en profundidad, tiendo como diferencia de generar todos los hijos del nodo encurso antes de elegir el próximo nodo.MINIMO COSTE: Se utiliza una cola con prioridades para implementar la LNV. Ahora,cada nodo de la LNV tiene un prioridad o coste, de forma que siempre el nodo con mayorprioridad será elegido. Un problema de optimización con restricciones puede sertransformado en un problema de encontrar la solución de mínimo coste. Así, crease unafunción de estimación. Encontrar una función de estimación fácil de calcular no es unatarea fácil. Hay propiedades que la función debe cumplir. Se no se cumplen el algoritmo sedetén al encontrar la primera solución, la cual pude no ser la óptima.En la fase de ramificación es posible emplear poda para que el tamaño del árbol de estadossea reducido. Esta poda no es la misma que a poda realizada por el método. La podarealizada por el método es para evitar una duplicación de los estados en el árbol, evitando,así, que un mismo nodo sea explorado más de una vez.
  • 3. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013EjemploEl dominio de puntos factibles para el modelo de Programación Lineal asociado es el áreademarcada converse. Dicho modelo tiene valor óptimo igual a39, conX1=1,9yX2=0Esto corresponde ala relajación continua del PLE y nos proporciona una cota superior delvalor óptimo de dicho problema.Además, claramente la solución de la relación continua no satisface la condición deintegralidad delmodelo de PLE.Finalmente, en el gráfico anterior se han marcado conazultodas aquellascombinaciones quesatisfacen las restricciones del modelo de PLE. Claramente esto corresponde aunsubdominio del problema lineal asociado lo que justifica que la relajación continua nosentrega una cotasuperior del valor óptimo del PLE.Al aplicar el algoritmo de Branch yBound, el nodo inicial corresponde a la relajación continua y se vanagregando las ramas onodos necesarios hasta alcanzar la(s) soluciones que satisfacen las condicionesdeintegralidad.
  • 4. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013P0: Corresponde a la relajación continua del PLE.P1: Po + x1<=1. (solución inicial X1=1,9 aproximada al entero inferior)P2: Po + x1>=2 (solución inicial X1=1,9 aproximada al entero superior). Infactible.P11: P1 + x2<=1 (solución óptima X1=1 y X2=1. Valor Óptimo Z=33.Debido a que la solución satisfacelas restricciones de integralidad, se termina este nodo).P12: P1 + x2>=2 (solución X1=5/7 y X2=2. No es solución óptima de PLE debido a queX1 es aúnfraccionario. Secontinua el método debido a que el Valor Óptimo Z=37 es mayorque el Valor Óptimo deP11, en caso contrario se detiene el método y P11 sería la soluciónóptima de PLE).P121: P12 + x1<=0 (X1=0 y X2=13/4. Z=35,75. Se continúa siguiendo el mismorazonamiento anterior)
  • 5. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013P122: P12 + X1>=1 Infactible.P1211: P121 + X2<=3 (X1=0 y X2=3. Z=33 el Valor Óptimo más alto obtenido para losnodos consoluciones enteras).Se agota este nodo.P1212: P121 + x2>=4 Infactible.Luego la Solución Óptima del PLE) es X1=0 y X2=3 con Valor Óptimo Z=33.Cada problema de Programación Lineal Entera para su solución se divide en dos subproblemas; para cadasubproblema puede ocurrir lo siguiente:1. Cuando el problema es no factible se da por terminado.2. La solución es entera mejor que cualquier solución entera conocida, es candidata a solución; en estecaso no se busca más.3. Es fraccionario mejor que la solución entera conocida más adecuada, se parte en dos este problema.4. Es peor que la mejor entera conocida; no se investiga más. Ejemplo:MAX Z = 3 X1+ 5 X2Con sus restricciones:
  • 6. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013Solución Analítica:Estandarización:TABLERO 1 SIMPLEX0 Cj 3 5 0CB VB b X1 X2 S10 S1 20 6 8 10 Z 0 -3 -5 0TABLERO 2 SIMPLEXCB VB b X1 X2 S10 X2 5/2 3/4 1 1/80 Z 25/2 3/4 0 5/8
  • 7. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013Solución Óptima Única de Programación Lineal: X*1 = 0; X*2 = 5/2; S*1 = 0; Z* = 25/2, más no deProgramación Lineal Entera.Solución Óptima al problema de Programación Lineal Entera:X*1 = 2; X*2 = 1; Z* = 11
  • 8. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013ConclusionesActualmente los problemas exigen soluciones que deben ser encontradas rápida eprecisamente, tiendo un bajo costo y encontrando la solución óptima.Para tanto, algoritmos que utilizan técnicas en reducir el espacio de búsqueda del problema,haciendo podas en las zonas aún no exploradas hasta que la solución óptima sea encontradason los más eficientes. En este sentido los algoritmos Branch y Bound tienen una granaplicabilidad e eficiencia.Sin embargo, el conocimiento adquirido con la ejecución de este trabajo fue,particularmente, importante porque la aplicabilidad del algoritmo Branch-and-Bound podráser desarrollado en la realidad que vivo. Lo estudio deberá ser mayor cuando se habladedistribución de carga para que sea aplicado de manera correcta e eficiente dentro de larealidad que conozco.
  • 9. Santiago de Querétaro Qro, A 29 De Mayo De 2013Objetivo: Se Busca la introducción en el sector alimenticio de la innovación del proceso deahumados por la empresa “El Ahumadero”, y lograr un índice de competitividad quedesarrolle el crecimiento de la empresa, para la colocación del producto y que cumpla contodos los requerimientos que los clientes buscan.Visión: Deseamos mantenernos siempre a la vanguardia del sector alimenticio peroconservando la calidad de nuestro producto que nos caracteriza, para que dentro de unplazo establecido se pueda abrir mercado, a través de franquicias y la constante publicidadde nuestro producto.Misión: El Ahumadero ofrece su producto con la confianza y las características que elcliente busca, ofreciéndole la máxima calidad y sabor que se ajusten mayores a susnecesidades en la gran variedad de productos que se elaboran.